Korektury.

diff --git a/1-toky/1-toky.tex b/1-toky/1-toky.tex
index cff001962111dffd166209cc043bfab9ea9e2fe1..3d5ab0e712fbdc3a1a55a7c24d99d61fe19a6e7b 100644 (file)
--- a/1-toky/1-toky.tex
+++ b/1-toky/1-toky.tex
@@ -2,13 +2,14 @@
 
 \prednaska{1}{Toky, øezy a Ford-Fulkersonùv algoritmus}{zapsal Radovan ©esták}
 
 
 \prednaska{1}{Toky, øezy a Ford-Fulkersonùv algoritmus}{zapsal Radovan ©esták}
 

-V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, øezy a související pojmy a uká¾eme
-Ford-Fulkersonùv algoritmus na nalezení maximálního toku. Dal¹í algoritmy budou
-následovat v~pøí¹tích kapitolách.
+V~této kapitole nadefinujeme toky v~sítích, odvodíme základní vìty o~nich
+a Ford-Fulkersonùv algoritmus pro hledání maximálního toku. Také uká¾eme,
+jak na~hledání maximálního toku pøevést problémy týkající se øezù, separátorù
+a párování. Dal¹í algoritmy budou následovat v~pøí¹tích kapitolách.

 
 

-\todo{Tady (nebo nìkde jinde poblí¾) by mìly být zavedeny základní znaèky.}
+\todo{Tady (nebo nìkde poblí¾) by mìly být zavedeny základní znaèky.}

 
 

-\todo{Co je $V$, $E$, $m$, $n$ \dots}
+\todo{Co je $V$, $E$, $m$, $n$, komplementy, multihrany, WLOG souvislost \dots}

 
 \h{Toky v sítích}
 
 
 \h{Toky v sítích}
 


@@ -23,7 +24,7 @@ se nikde mimo tato dv
   \itemize\ibull
   \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
   \:$s\in V$ {\I zdroj,}
   \itemize\ibull
   \:$(V,E)$ je orientovaný graf,
   \:$s\in V$ {\I zdroj,}

-  \:$t\in V$ {\I stok,} a
+  \:$t\in V$ {\I spotøebiè} neboli {\I stok} a

   \:$c: E\rightarrow {\bb R}^+$ funkce udávající {\I kapacity} jednotlivých hran.
   \endlist
 \:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro ka¾dé ohodnocení $f$
   \:$c: E\rightarrow {\bb R}^+$ funkce udávající {\I kapacity} jednotlivých hran.
   \endlist
 \:{\I Ohodnocení} hran je libovolná funkce $f:\, E\rightarrow {\bb R}$. Pro ka¾dé ohodnocení $f$


@@ -32,7 +33,7 @@ se nikde mimo tato dv
      f^-(v) = \sum_{e=(w,\cdot)} f(e), \quad
      f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)
   $$
      f^-(v) = \sum_{e=(w,\cdot)} f(e), \quad
      f^\Delta(v) = f^+(v) - f^-(v)
   $$

-  [intuitivnì: co do~vrcholu pøiteèe, co odteèe a jaký je v~nìm pøebytek].
+  [co do~vrcholu pøiteèe, co odteèe a jaký je v~nìm pøebytek].

 \:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
   \itemize\ibull
   \:$\forall e: 0 \le f(e) \le w(e)$, \quad {\I (dodr¾uje kapacity)}
 \:{\I Tok} je ohodnocení $f:\, E\rightarrow {\bb R}$, pro které platí:
   \itemize\ibull
   \:$\forall e: 0 \le f(e) \le w(e)$, \quad {\I (dodr¾uje kapacity)}


@@ -40,14 +41,17 @@ se nikde mimo tato dv
   \endlist
 \:{\I Velikost toku:} $\vert f \vert = -f^\Delta(s)$.
 \:{\I Øez (tokový):} mno¾ina vrcholù $C\subset V$ taková, ¾e $s\in C$, $t\not\in C$. Øez mù¾eme také
   \endlist
 \:{\I Velikost toku:} $\vert f \vert = -f^\Delta(s)$.
 \:{\I Øez (tokový):} mno¾ina vrcholù $C\subset V$ taková, ¾e $s\in C$, $t\not\in C$. Øez mù¾eme také

-  ztoto¾nit s~mno¾inami hran $E \cap (C \times \overline C)$ [tìm budeme øíkat hrany zleva doprava a budeme
-  je znaèit $C^-$] a $E \cap (\overline C \times C)$ [hrany zprava doleva, tedy $C^+$].
+  ztoto¾nit s~mno¾inami hran $C^- = E \cap (C \times \overline C)$ [tìm budeme øíkat hrany zleva doprava]
+  a $C^+ = E \cap (\overline C \times C)$ [hrany zprava doleva].

 \:{\I Kapacita øezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).
 \:{\I Kapacita øezu:} $\vert C \vert = \sum_{e \in C^-} c(e)$ (bereme v~úvahu jen hrany zleva doprava).

-\:{\I Tok pøes øez:} $f^-(C)=\sum_{e \in C^-} f(e)$, $f^+(C)=\sum_{e\in C^+} f(e)$, $f^\Delta(C)=f^+(C)-f^-(C)$.
+\:{\I Tok pøes øez:}
+  $f^+(C)=\sum_{e\in C^+} f(e)$,
+  $f^-(C)=\sum_{e \in C^-} f(e)$,
+  $f^\Delta(C)=f^+(C)-f^-(C)$.

 \:{\I Cirkulace} je nulový tok, èili $\forall v: f^\Delta(v)=0$.
 \endlist
 
 \:{\I Cirkulace} je nulový tok, èili $\forall v: f^\Delta(v)=0$.
 \endlist
 

-\figure{graf.eps}{Pøíklad orientovaného grafu ze zvoleným zdrojem a stokem.}{0.4\hsize}
+%%%\figure{graf.eps}{Pøíklad orientovaného grafu ze zvoleným zdrojem a stokem.}{0.4\hsize}

 
 Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
 velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).
 
 Základním problémem, kterým se budeme zabývat, je hledání {\I maximálního toku} (tedy toku nejvìt¹í mo¾né
 velikosti) a {\I minimálního øezu} (øezu nejmen¹í mo¾né kapacity).


@@ -56,13 +60,14 @@ velikosti) a {\I minim
 
 \s{Dùkaz:} Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
 pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické
 
 \s{Dùkaz:} Existence minimálního øezu je triviální, proto¾e øezù v~ka¾dé síti je koneènì mnoho;
 pro toky v~sítích s~reálnými kapacitami to ov¹em není samozøejmost a je k~tomu potøeba trocha matematické

-analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce,
+analýzy (v~prostoru v¹ech ohodnocení hran tvoøí toky kompaktní mno¾inu, velikost toku je lineární funkce

 a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
 analýzy Ford-Fulkersonova algoritmu.
 a~tedy i spojitá, proèe¾ nabývá maxima). Pro racionální kapacity dostaneme tuto vìtièku jako dùsledek
 analýzy Ford-Fulkersonova algoritmu.

+\qed

 
 \s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾:
 $$\eqalign{
 
 \s{Pozorování:} Kdybychom velikost toku definovali podle spotøebièe, vy¹lo by toté¾:
 $$\eqalign{

-\sum_v f^\Delta(v) &= f^\Delta(s) + f^\Delta(t) \hbox{~~~(podle Kirchhoffova zákona), ale také:} \cr
+\sum_v f^\Delta(v) &= f^\Delta(s) + f^\Delta(t) \hbox{~~~(podle Kirchhoffova zákona jsou v¹echna ostatní $f^\Delta(v)=0$), ale také:} \cr

 \sum_v f^\Delta(v) &= \sum_e f(e) - f(e) = 0 \hbox{~~~(ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$),}
 }$$
 tak¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$
 \sum_v f^\Delta(v) &= \sum_e f(e) - f(e) = 0 \hbox{~~~(ka¾dá hrana pøispìje k~jednomu $f^+(v)$ a k~jednomu $f^-(v)$),}
 }$$
 tak¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(s) = f^\Delta(t).$


@@ -72,12 +77,12 @@ Stejn
 \s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
 
 \s{Dùkaz:} První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$
 \s{Lemma:} Pro ka¾dý øez $C$ platí, ¾e $\vert f\vert = -f^\Delta(C) \le \vert C \vert$.
 
 \s{Dùkaz:} První èást indukcí: ka¾dý øez mù¾eme získat postupným pøidáváním vrcholù do~triviálního øezu $\{s\}$

-[tedy pøesouváním vrcholu zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
-Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(c) \le \vert C \vert.$ \qed
+[tedy pøesouváním vrcholù zprava doleva], a~to, jak uká¾e jednoduchý rozbor pøípadù, nezmìní $f^\Delta$.
+Druhá èást: $-f^\Delta(C) = f^-(C) - f^+(C) \le f^-(C) \le \vert C \vert.$ \qed

 
 Velikost ka¾dého toku mù¾eme tedy omezit kapacitou libovolného øezu. Kdybychom na¹li tok a øez stejné
 velikosti, mù¾eme si tedy být jisti, ¾e tok je maximální a øez minimální. To není náhoda, platí toti¾
 
 Velikost ka¾dého toku mù¾eme tedy omezit kapacitou libovolného øezu. Kdybychom na¹li tok a øez stejné
 velikosti, mù¾eme si tedy být jisti, ¾e tok je maximální a øez minimální. To není náhoda, platí toti¾

-následující vìta:
+následující:

 
 \s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
 
 
 \s{Vìta (Ford, Fulkerson):} V~ka¾dé síti je velikost maximálního toku rovna velikosti minimálního øezu.
 


@@ -87,7 +92,7 @@ d
 
 \h{Ford-Fulkersonùv algoritmus}
 
 
 \h{Ford-Fulkersonùv algoritmus}
 

-Nejpøímoèaøej¹í zpùsob, jak hledat toky v~sítích, je zaèít s~nìjakým tokem (nulový je po~ruce v¾dy)
+Nejpøímoèaøej¹í zpùsob, jak bychom mohli hledat toky v~sítích, je zaèít s~nìjakým tokem (nulový je po~ruce v¾dy)

 a postupnì ho zlep¹ovat tak, ¾e nalezneme nìjakou nenasycenou cestu a po¹leme po~ní \uv{co pùjde}.
 To~bohu¾el nefunguje, ale mù¾eme tento postup trochu zobecnit a být ochotni pou¾ívat nejen hrany,
 pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok
 a postupnì ho zlep¹ovat tak, ¾e nalezneme nìjakou nenasycenou cestu a po¹leme po~ní \uv{co pùjde}.
 To~bohu¾el nefunguje, ale mù¾eme tento postup trochu zobecnit a být ochotni pou¾ívat nejen hrany,
 pro~které je $f(e) < c(e)$, ale také hrany, po~kterých nìco teèe v~protismìru a my mù¾eme tok


@@ -105,10 +110,10 @@ v~na
 \s{Algoritmus:}
 
 \algo
 \s{Algoritmus:}
 
 \algo

-\:$f \leftarrow 0$
+\:$f \leftarrow \<nulový tok>$

 \:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$ z~$s$ do~$t$
 \:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$ z~$s$ do~$t$

-\::$m=\min_{e\in P} r(P)$
-\::zvìt¹i tok $f$ podle~$P$ o~$m$ (ka¾dé hranì $e\in P$ zvìt¹i $f(e)$, pøípadnì zmen¹i $f(e^\prime)$, podle toho, co jde)
+\::$m \leftarrow \min_{e\in P} r(e)$
+\::zvìt¹i tok $f$ podél~$P$ o~$m$ (ka¾dé hranì $e\in P$ zvìt¹i $f(e)$, pøípadnì zmen¹i $f(e^\prime)$, podle toho, co jde).

 \endalgo
 
 \s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku
 \endalgo
 
 \s{Analýza:} Nejdøíve si rozmysleme, ¾e pro celoèíselné kapacity algoritmus v¾dy dobìhne: v~ka¾dém kroku


@@ -123,29 +128,32 @@ Jist
 být $f(e)=c(e)$ a pro ka¾dou $e\in C^+$ je $f(e)=0$, proto¾e jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
 nulová. Tak¾e $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, èili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
 
 být $f(e)=c(e)$ a pro ka¾dou $e\in C^+$ je $f(e)=0$, proto¾e jinak by rezerva hrany~$e$ nebyla
 nulová. Tak¾e $f^-(C) = \vert C \vert$ a $f^+(C) = 0$, èili $\vert f\vert = \vert C \vert$.
 

-Na¹li jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, øez stejné velikosti, tak¾e jak u¾ víme,
-tok je maximání a øez minimální. Tím jsme také dokázali Ford-Fulkersonovu vìtu (dokonce
-i pro obecné reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit na maximální tok místo nulového
-a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez). Navíc algoritmus nikdy nevytváøí z~celých
-èísel necelá, èim¾ získáme:
+Na¹li jsme tedy k~toku, který algoritmus vydal, øez stejné velikosti, tak¾e, jak u¾ víme,
+tok je maximální a øez minimální. Tím jsme také dokázali Ford-Fulkersonovu vìtu\foot{Dokonce
+jsme ji dokázali i pro reálné kapacity, proto¾e mù¾eme algoritmus spustit rovnou na maximální tok místo
+nulového a on se ihned zastaví a vydá certifikující øez.} a existenci maximálního toku. Navíc algoritmus nikdy
+nevytváøí z~celých èísel necelá, èim¾ získáme:

 
 \s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
 
 \s{Èasová slo¾itost} F-F algoritmu mù¾e být pro obecné sítì a ne¹ikovnou volbu zlep¹ujících
 cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
 do~¹íøky (co¾ je asi nejpøímoèaøej¹í implementace), pobì¾í v~èase $\O(m^2n)$. Pokud budou
 
 \s{Dùsledek:} Sí» s~celoèíselnými kapacitami má maximální tok, který je celoèíselný.
 
 \s{Èasová slo¾itost} F-F algoritmu mù¾e být pro obecné sítì a ne¹ikovnou volbu zlep¹ujících
 cest obludná, ale jak dokázali Edmonds s~Karpem, pokud budeme hledat cesty prohledáváním
 do~¹íøky (co¾ je asi nejpøímoèaøej¹í implementace), pobì¾í v~èase $\O(m^2n)$. Pokud budou

-v¹echny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, ¾e staèí $\O(nm)$.
+v¹echny kapacity jednotkové, snadno nahlédneme, ¾e staèí $\O(nm)$. Edmondsùv a Karpùv
+odhad nebudeme dokazovat, místo toho si v~pøí¹tí kapitole pøedvedeme efektivnìj¹í algoritmus.

 
 \h{Maximální párování v bipartitním grafu}
 
 Jedním z~problémù, které lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení
 
 \h{Maximální párování v bipartitním grafu}
 
 Jedním z~problémù, které lze snadno pøevést na~hledání maximálního toku, je nalezení

-maximálního {\I párování} v~bipartitním grafu (to je mno¾ina hran taková, ¾e ¾ádné
-dvì nemají spoleèný vrchol).
+{\I maximálního párování} v~bipartitním grafu\foot{Párování je mno¾ina hran taková, ¾e ¾ádné
+dvì nemají spoleèný vrchol. Maximálním míníme vzhledem k~poètu hran, nikoliv vzhledem k~inkluzi.}.

 
 Bipartitní graf $(A\cup B, E)$ pøevedeme na sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy
 
 Bipartitní graf $(A\cup B, E)$ pøevedeme na sí» obsahující v¹echny pùvodní vrcholy

-plus dva nové vrcholy $s$ a~$t$, v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,
+a navíc dva nové vrcholy $s$ a~$t$, dále v¹echny pùvodní hrany orientované z~$A$ do~$B$,

 nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.
 nové hrany z~$s$ do~v¹ech vrcholù partity~$A$ a ze~v¹ech vrcholù partity~$B$ do~$t$.

-Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky.
+Kapacity v¹ech hran nastavíme na jednièky:
+
+\figure{bipartitni.eps}{Bipartitní graf a z~nìj odvozená sí» (v¹echny kapacity jsou jednièky).}{0.4\hsize}

 
 Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
 Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme
 
 Nyní si v¹imneme, ¾e ke~ka¾dému párování existuje celoèíselný tok stejné velikosti a naopak.
 Tak¾e najdeme maximální celoèíselný tok (tøeba F-F algoritmem) a do~párování umístíme


@@ -158,22 +166,20 @@ Tak z~F-F v
 \s{Vìta (König):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
 rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
 
 \s{Vìta (König):} V~ka¾dém bipartitním grafu je velikost maximálního párování
 rovna velikosti minimálního vrcholového pokrytí.
 

-\figure{bip-graf.eps}{Bipartitní graf pro který hledáme maximální párování.}{0.2\hsize}
-\figure{bip-tok.eps}{Sí», ve~které najdeme maximální tok.}{0.3\hsize}
-

 \h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
 
 \s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
 \itemize\ibull
 \h{Øezy, separátory a $k$-souvislost}
 
 \s{Definice:} Pro ka¾dý neorientovaný graf $G$ a libovolné jeho vrcholy $s,t$ zavedeme:
 \itemize\ibull

-\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ budou
+\:{\I $st$-øez} je mno¾ina hran $F$ taková, ¾e v~grafu $G-F$ jsou

   vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
 \:{\I $st$-separátor} je mno¾ina vrcholù $W$ taková, ¾e $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$
   vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
 \:{\I $st$-separátor} je mno¾ina vrcholù $W$ taková, ¾e $s,t\not\in W$ a v~grafu $G-W$

-  budou vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.
+  jsou vrcholy $s,t$ v~rùzných komponentách souvislosti.

 \:{\I Øez} je mno¾ina hran, která je $xy$-øezem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
 \:{\I Separátor} je mno¾ina vrcholù, která je $xy$-separátorem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
 \:$G$ je {\I hranovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny øezy v~$G$
 \:{\I Øez} je mno¾ina hran, která je $xy$-øezem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
 \:{\I Separátor} je mno¾ina vrcholù, která je $xy$-separátorem pro nìjakou dvojici vrcholù $x,y$.
 \:$G$ je {\I hranovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny øezy v~$G$

-  mají více ne¾~$k$ hran.
+  mají alespoò~$k$ hran.

 \:$G$ je {\I vrcholovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny separátory v~$G$
 \:$G$ je {\I vrcholovì $k$-souvislý,} pokud $\vert V\vert > k$ a v¹echny separátory v~$G$

+  mají alespoò~$k$ vrcholù.

 \endlist
 
 V¹imnìte si, ¾e nesouvislý graf má øez i separátor velikosti~0, tak¾e vrcholová i hranová 1-souvislost
 \endlist
 
 V¹imnìte si, ¾e nesouvislý graf má øez i separátor velikosti~0, tak¾e vrcholová i hranová 1-souvislost


@@ -181,11 +187,11 @@ spl
 jsou právì (netriviální) grafy bez {\I mostù,} vrcholovì 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
 
 Pro orientované grafy mù¾eme $st$-øezy a $st$-separátory definovat analogicky
 jsou právì (netriviální) grafy bez {\I mostù,} vrcholovì 2-souvislé jsou ty bez {\I artikulací.}
 
 Pro orientované grafy mù¾eme $st$-øezy a $st$-separátory definovat analogicky

-(toti¾, ¾e po~odstranìní pøíslu¹né mno¾iny hran èi vrcholù nemá existovat orientovaná
+(toti¾, ¾e po~odstranìní pøíslu¹né mno¾iny hran èi vrcholù neexistuje orientovaná

 cesta z~$s$ do~$t$), globální øezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
 nedefinují.
 
 cesta z~$s$ do~$t$), globální øezy a separátory ani vícenásobná souvislost se obvykle
 nedefinují.
 

-\s{Pozorování:} Minimální orientované $st$-øezy podle této definice a minimální tokové øezy
+\s{Poznámka:} Minimální orientované $st$-øezy podle této definice a minimální tokové øezy

 podle definice ze~zaèátku kapitoly splývají: ka¾dý tokový øez~$C$ odpovídá $st$-øezu stejné
 velikosti tvoøenému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimální $st$-øez musí být mno¾ina
 vrcholù dosa¾itelných z~$s$ po~odebrání øezu z~grafu tokovým øezem, opìt stejné velikosti.
 podle definice ze~zaèátku kapitoly splývají: ka¾dý tokový øez~$C$ odpovídá $st$-øezu stejné
 velikosti tvoøenému hranami v~$C^-$; naopak pro~minimální $st$-øez musí být mno¾ina
 vrcholù dosa¾itelných z~$s$ po~odebrání øezu z~grafu tokovým øezem, opìt stejné velikosti.


@@ -201,20 +207,32 @@ Bu
 $st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
 cest z~$s$ do~$t$}
 
 $st$-øezu rovna maximálnímu poètu hranovì disjunktních $st$-cest.\foot{orientovaných
 cest z~$s$ do~$t$}
 

-\s{Dùkaz:} TODO
+\s{Dùkaz:} Z~grafu sestrojíme sí» tak, ¾e $s$~bude zdroj, $t$~spotøebiè a v¹em
+hranám nastavíme kapacitu na~jednotku. Øezy v~této síti odpovídají øezùm v~pùvodním
+grafu. Podobnì ka¾dý systém hranovì disjunktních $st$-cest odpovídá toku stejné
+velikosti a naopak ke~ka¾dému celoèíselnému toku dovedeme najít systém disjunktních
+cest (hladovì tok rozkládáme na~cesty a prùbì¾nì odstraòujeme cirkulace, které
+objevíme). Pak pou¾ijeme F-F vìtu.
+\qed

 
 \s{Vìta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
 Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy takové, ¾e $st\not\in E$.
 Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
 disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
 
 
 \s{Vìta (Mengerova, lokální vrcholová orientovaná):}
 Buï $G$ orientovaný graf a $s,t$ nìjaké jeho vrcholy takové, ¾e $st\not\in E$.
 Pak je velikost minimálního $st$-separátoru rovna maximálnímu poètu vrcholovì
 disjunktních $st$-cest.\foot{Tím myslíme cesty disjunktní a¾ na~krajní vrcholy.}
 

-\s{Dùkaz:} TODO
+\s{Dùkaz:} Podobnì jako v~dùkazu pøedchozí vìty zkonstruujeme vhodnou sí».
+Tentokrát ov¹em rozdìlíme ka¾dý vrchol na~vrcholy $v^+$ a $v^-$, v¹echny hrany, které
+pùvodnì vedly do~$v$, pøepojíme do~$v^+$, hrany vedoucí z~$v$ povedou z~$v^-$
+a pøidáme novou hranu z~$v^+$ do~$v^-$. V¹echny hrany budou mít jednotkové kapacity.
+Toky nyní odpovídají vrcholovì disjunktním cestám, øezy v~síti separátorùm.
+\qed

 
 

-\figure{vrchol.eps}{Vrchol který chceme podrozdìlit.}{0.1\hsize}
-\figure{podrozdeleni.eps}{Výsledek podrozdìlení vrcholu.}{0.15\hsize}
+%\figure{vrchol.eps}{Vrchol který chceme podrozdìlit.}{0.1\hsize}
+%\figure{podrozdeleni.eps}{Výsledek podrozdìlení vrcholu.}{0.15\hsize}

 
 

-Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty a z~nich pak i globální varianty
-popisující $k$-souvislost grafù:
+Podobnì dostaneme neorientované lokální vìty (neorientovanou hranu nahradíme
+orientovanými v~obou smìrech) a z~nich pak i globální varianty popisující
+$k$-souvislost grafù:

 
 \s{Vìta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
 Neorientovaný graf~$G$ je hranovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými
 
 \s{Vìta (Mengerova, globální hranová neorientovaná):}
 Neorientovaný graf~$G$ je hranovì $k$-souvislý právì tehdy, kdy¾ mezi ka¾dými

diff --git a/1-toky/bip-graf.eps b/1-toky/bip-graf.eps
deleted file mode 100644 (file)
index 98da488..0000000
--- a/1-toky/bip-graf.eps
+++ /dev/null
@@ -1,221 +0,0 @@
-%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
-%%Title: /mnt/data/toky/toky.dia
-%%Creator: Dia v0.95
-%%CreationDate: Tue Jun 13 12:12:35 2006
-%%For: radofan
-%%Orientation: Portrait
-%%Magnification: 1.0000
-%%BoundingBox: 0 0 197 171
-%%BeginSetup
-%%EndSetup
-%%EndComments
-%%BeginProlog
-[ /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl /numbersign /dollar /percent /ampersand /quoteright
-/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma /hyphen /period /slash /zero /one
-/two /three /four /five /six /seven /eight /nine /colon /semicolon
-/less /equal /greater /question /at /A /B /C /D /E
-/F /G /H /I /J /K /L /M /N /O
-/P /Q /R /S /T /U /V /W /X /Y
-/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum /underscore /quoteleft /a /b /c
-/d /e /f /g /h /i /j /k /l /m
-/n /o /p /q /r /s /t /u /v /w
-/x /y /z /braceleft /bar /braceright /asciitilde /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/space /exclamdown /cent /sterling /currency /yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
-/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /hyphen /registered /macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
-/acute /mu /paragraph /periodcentered /cedilla /onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
-/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex /Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
-/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave /Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
-/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis /multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
-/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave /aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
-/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex /edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
-/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex /otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
-/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn /ydieresis] /isolatin1encoding exch def
-/cp {closepath} bind def
-/c {curveto} bind def
-/f {fill} bind def
-/a {arc} bind def
-/ef {eofill} bind def
-/ex {exch} bind def
-/gr {grestore} bind def
-/gs {gsave} bind def
-/sa {save} bind def
-/rs {restore} bind def
-/l {lineto} bind def
-/m {moveto} bind def
-/rm {rmoveto} bind def
-/n {newpath} bind def
-/s {stroke} bind def
-/sh {show} bind def
-/slc {setlinecap} bind def
-/slj {setlinejoin} bind def
-/slw {setlinewidth} bind def
-/srgb {setrgbcolor} bind def
-/rot {rotate} bind def
-/sc {scale} bind def
-/sd {setdash} bind def
-/ff {findfont} bind def
-/sf {setfont} bind def
-/scf {scalefont} bind def
-/sw {stringwidth pop} bind def
-/tr {translate} bind def
-
-/ellipsedict 8 dict def
-ellipsedict /mtrx matrix put
-/ellipse
-{ ellipsedict begin
-   /endangle exch def
-   /startangle exch def
-   /yrad exch def
-   /xrad exch def
-   /y exch def
-   /x exch def   /savematrix mtrx currentmatrix def
-   x y tr xrad yrad sc
-   0 0 1 startangle endangle arc
-   savematrix setmatrix
-   end
-} def
-
-/mergeprocs {
-dup length
-3 -1 roll
-dup
-length
-dup
-5 1 roll
-3 -1 roll
-add
-array cvx
-dup
-3 -1 roll
-0 exch
-putinterval
-dup
-4 2 roll
-putinterval
-} bind def
-/dpi_x 300 def
-/dpi_y 300 def
-/conicto {
-    /to_y exch def
-    /to_x exch def
-    /conic_cntrl_y exch def
-    /conic_cntrl_x exch def
-    currentpoint
-    /p0_y exch def
-    /p0_x exch def
-    /p1_x p0_x conic_cntrl_x p0_x sub 2 3 div mul add def
-    /p1_y p0_y conic_cntrl_y p0_y sub 2 3 div mul add def
-    /p2_x p1_x to_x p0_x sub 1 3 div mul add def
-    /p2_y p1_y to_y p0_y sub 1 3 div mul add def
-    p1_x p1_y p2_x p2_y to_x to_y curveto
-} bind def
-/start_ol { gsave 1.1 dpi_x div dup scale} bind def
-/end_ol { closepath fill grestore } bind def
-28.346000 -28.346000 scale
--8.605723 4.387504 translate
-%%EndProlog
-
-
-1.000000 1.000000 1.000000 srgb
-n 13.857500 -7.427508 0.826777 2.937496 0 360 ellipse f
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0.000000 0.000000 0.000000 srgb
-n 13.857500 -7.427508 0.826777 2.937496 0 360 ellipse cp s
-1.000000 1.000000 1.000000 srgb
-n 10.200000 -7.375000 0.826777 2.937496 0 360 ellipse f
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0.000000 0.000000 0.000000 srgb
-n 10.200000 -7.375000 0.826777 2.937496 0 360 ellipse cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -10.000000 m 14.000000 -8.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -8.000000 m 14.000000 -6.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -5.000000 m 14.000000 -5.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -8.000000 m 10.000000 -6.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -10.000000 m 10.000000 -7.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -9.000000 m 14.000000 -10.000000 l s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -7.000000 m 14.000000 -8.000000 l s
-gsave 8.623223 -7.187504 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-1600 2882 moveto
-985 1216 lineto
-2218 1216 lineto
-1600 2882 lineto
-1344 3328 moveto
-1858 3328 lineto
-3136 0 lineto
-2665 0 lineto
-2360 832 lineto
-847 832 lineto
-542 0 lineto
-64 0 lineto
-1344 3328 lineto
-end_ol grestore 
-gsave 15.148223 -7.312504 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-896 1600 moveto
-896 384 lineto
-1632 384 lineto
-2007 384 2187 534 conicto
-2368 684 2368 993 conicto
-2368 1304 2187 1452 conicto
-2007 1600 1632 1600 conicto
-896 1600 lineto
-896 2944 moveto
-896 1984 lineto
-1575 1984 lineto
-1911 1984 2075 2102 conicto
-2240 2221 2240 2464 conicto
-2240 2705 2075 2824 conicto
-1911 2944 1575 2944 conicto
-896 2944 lineto
-448 3328 moveto
-1608 3328 lineto
-2127 3328 2407 3117 conicto
-2688 2906 2688 2517 conicto
-2688 2216 2546 2037 conicto
-2404 1859 2129 1815 conicto
-2455 1743 2635 1514 conicto
-2816 1286 2816 943 conicto
-2816 492 2514 246 conicto
-2212 0 1654 0 conicto
-448 0 lineto
-448 3328 lineto
-end_ol grestore 
-showpage

diff --git a/1-toky/bip-tok.eps b/1-toky/bip-tok.eps
deleted file mode 100644 (file)
index 355a493..0000000
--- a/1-toky/bip-tok.eps
+++ /dev/null
@@ -1,434 +0,0 @@
-%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
-%%Title: toky.dia
-%%Creator: Dia v0.94
-%%CreationDate: Tue Jun 13 20:07:01 2006
-%%For: sestr2am
-%%Orientation: Portrait
-%%Magnification: 1.0000
-%%BoundingBox: 0 0 343 189
-%%BeginSetup
-%%EndSetup
-%%EndComments
-%%BeginProlog
-[ /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl /numbersign /dollar /percent /ampersand /quoteright
-/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma /hyphen /period /slash /zero /one
-/two /three /four /five /six /seven /eight /nine /colon /semicolon
-/less /equal /greater /question /at /A /B /C /D /E
-/F /G /H /I /J /K /L /M /N /O
-/P /Q /R /S /T /U /V /W /X /Y
-/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum /underscore /quoteleft /a /b /c
-/d /e /f /g /h /i /j /k /l /m
-/n /o /p /q /r /s /t /u /v /w
-/x /y /z /braceleft /bar /braceright /asciitilde /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/space /exclamdown /cent /sterling /currency /yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
-/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /hyphen /registered /macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
-/acute /mu /paragraph /periodcentered /cedilla /onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
-/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex /Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
-/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave /Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
-/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis /multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
-/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave /aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
-/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex /edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
-/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex /otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
-/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn /ydieresis] /isolatin1encoding exch def
-/cp {closepath} bind def
-/c {curveto} bind def
-/f {fill} bind def
-/a {arc} bind def
-/ef {eofill} bind def
-/ex {exch} bind def
-/gr {grestore} bind def
-/gs {gsave} bind def
-/sa {save} bind def
-/rs {restore} bind def
-/l {lineto} bind def
-/m {moveto} bind def
-/rm {rmoveto} bind def
-/n {newpath} bind def
-/s {stroke} bind def
-/sh {show} bind def
-/slc {setlinecap} bind def
-/slj {setlinejoin} bind def
-/slw {setlinewidth} bind def
-/srgb {setrgbcolor} bind def
-/rot {rotate} bind def
-/sc {scale} bind def
-/sd {setdash} bind def
-/ff {findfont} bind def
-/sf {setfont} bind def
-/scf {scalefont} bind def
-/sw {stringwidth pop} bind def
-/tr {translate} bind def
-
-/ellipsedict 8 dict def
-ellipsedict /mtrx matrix put
-/ellipse
-{ ellipsedict begin
-   /endangle exch def
-   /startangle exch def
-   /yrad exch def
-   /xrad exch def
-   /y exch def
-   /x exch def   /savematrix mtrx currentmatrix def
-   x y tr xrad yrad sc
-   0 0 1 startangle endangle arc
-   savematrix setmatrix
-   end
-} def
-
-/mergeprocs {
-dup length
-3 -1 roll
-dup
-length
-dup
-5 1 roll
-3 -1 roll
-add
-array cvx
-dup
-3 -1 roll
-0 exch
-putinterval
-dup
-4 2 roll
-putinterval
-} bind def
-/dpi_x 300 def
-/dpi_y 300 def
-/conicto {
-    /to_y exch def
-    /to_x exch def
-    /conic_cntrl_y exch def
-    /conic_cntrl_x exch def
-    currentpoint
-    /p0_y exch def
-    /p0_x exch def
-    /p1_x p0_x conic_cntrl_x p0_x sub 2 3 div mul add def
-    /p1_y p0_y conic_cntrl_y p0_y sub 2 3 div mul add def
-    /p2_x p1_x to_x p0_x sub 1 3 div mul add def
-    /p2_y p1_y to_y p0_y sub 1 3 div mul add def
-    p1_x p1_y p2_x p2_y to_x to_y curveto
-} bind def
-/start_ol { gsave 1.1 dpi_x div dup scale} bind def
-/end_ol { closepath fill grestore } bind def
-28.346000 -28.346000 scale
--6.498220 -2.584992 translate
-%%EndProlog
-
-
-1.000000 1.000000 1.000000 srgb
-n 9.907497 -0.502504 0.826777 2.937496 0 360 ellipse f
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0.000000 0.000000 0.000000 srgb
-n 9.907497 -0.502504 0.826777 2.937496 0 360 ellipse cp s
-1.000000 1.000000 1.000000 srgb
-n 13.882477 -0.402504 0.826777 2.937496 0 360 ellipse f
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0.000000 0.000000 0.000000 srgb
-n 13.882477 -0.402504 0.826777 2.937496 0 360 ellipse cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -3.000000 m 13.564590 -1.217705 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.900000 -1.050000 m 13.340983 -1.050000 l 13.564590 -1.217705 l 13.564590 -1.497214 l ef
-n 13.900000 -1.050000 m 13.340983 -1.050000 l 13.564590 -1.217705 l 13.564590 -1.497214 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -1.000000 m 13.564590 0.782295 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.900000 0.950000 m 13.340983 0.950000 l 13.564590 0.782295 l 13.564590 0.502786 l ef
-n 13.900000 0.950000 m 13.340983 0.950000 l 13.564590 0.782295 l 13.564590 0.502786 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 2.000000 m 13.513197 2.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.888197 2.000000 m 13.388197 2.250000 l 13.513197 2.000000 l 13.388197 1.750000 l ef
-n 13.888197 2.000000 m 13.388197 2.250000 l 13.513197 2.000000 l 13.388197 1.750000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 13.564590 -0.782295 m 10.000000 1.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.900000 -0.950000 m 13.564590 -0.502786 l 13.564590 -0.782295 l 13.340983 -0.950000 l ef
-n 13.900000 -0.950000 m 13.564590 -0.502786 l 13.564590 -0.782295 l 13.340983 -0.950000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 0.000000 m 13.610557 -2.707918 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.910557 -2.932918 m 13.660557 -2.432918 l 13.610557 -2.707918 l 13.360557 -2.832918 l ef
-n 13.910557 -2.932918 m 13.660557 -2.432918 l 13.610557 -2.707918 l 13.360557 -2.832918 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -2.000000 m 13.527731 -2.881933 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.891535 -2.972884 m 13.467097 -2.609080 l 13.527731 -2.881933 l 13.345830 -3.094152 l ef
-n 13.891535 -2.972884 m 13.467097 -2.609080 l 13.527731 -2.881933 l 13.345830 -3.094152 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 0.000000 m 13.527731 -0.881933 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.891535 -0.972884 m 13.467097 -0.609080 l 13.527731 -0.881933 l 13.345830 -1.094152 l ef
-n 13.891535 -0.972884 m 13.467097 -0.609080 l 13.527731 -0.881933 l 13.345830 -1.094152 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.594955 -2.729970 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.906974 -2.937983 m 9.629624 -2.452620 l 9.594955 -2.729970 l 9.352274 -2.868645 l ef
-n 9.906974 -2.937983 m 9.629624 -2.452620 l 9.594955 -2.729970 l 9.352274 -2.868645 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.538178 -1.846059 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.893934 -1.964645 m 9.498649 -1.569360 l 9.538178 -1.846059 l 9.340535 -2.043702 l ef
-n 9.893934 -1.964645 m 9.498649 -1.569360 l 9.538178 -1.846059 l 9.340535 -2.043702 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.513197 -1.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.888197 -1.000000 m 9.388197 -0.750000 l 9.513197 -1.000000 l 9.388197 -1.250000 l ef
-n 9.888197 -1.000000 m 9.388197 -0.750000 l 9.513197 -1.000000 l 9.388197 -1.250000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.538178 -0.153941 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.893934 -0.035355 m 9.340535 0.043702 l 9.538178 -0.153941 l 9.498649 -0.430640 l ef
-n 9.893934 -0.035355 m 9.340535 0.043702 l 9.538178 -0.153941 l 9.498649 -0.430640 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.594955 0.729970 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.906974 0.937983 m 9.352274 0.868645 l 9.594955 0.729970 l 9.629624 0.452620 l ef
-n 9.906974 0.937983 m 9.352274 0.868645 l 9.594955 0.729970 l 9.629624 0.452620 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 7.000000 -1.000000 m 9.655778 1.655778 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.920943 1.920943 m 9.390613 1.744166 l 9.655778 1.655778 l 9.744166 1.390613 l ef
-n 9.920943 1.920943 m 9.390613 1.744166 l 9.655778 1.655778 l 9.744166 1.390613 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -3.000000 m 17.564590 -1.217705 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 17.900000 -1.050000 m 17.340983 -1.050000 l 17.564590 -1.217705 l 17.564590 -1.497214 l ef
-n 17.900000 -1.050000 m 17.340983 -1.050000 l 17.564590 -1.217705 l 17.564590 -1.497214 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -1.000000 m 17.513197 -1.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 17.888197 -1.000000 m 17.388197 -0.750000 l 17.513197 -1.000000 l 17.388197 -1.250000 l ef
-n 17.888197 -1.000000 m 17.388197 -0.750000 l 17.513197 -1.000000 l 17.388197 -1.250000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 1.000000 m 17.564590 -0.782295 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 17.900000 -0.950000 m 17.564590 -0.502786 l 17.564590 -0.782295 l 17.340983 -0.950000 l ef
-n 17.900000 -0.950000 m 17.564590 -0.502786 l 17.564590 -0.782295 l 17.340983 -0.950000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 2.000000 m 17.610557 -0.707918 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 17.910557 -0.932918 m 17.660557 -0.432918 l 17.610557 -0.707918 l 17.360557 -0.832918 l ef
-n 17.910557 -0.932918 m 17.660557 -0.432918 l 17.610557 -0.707918 l 17.360557 -0.832918 l cp s
-gsave 8.898220 -3.337500 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-3072 0 moveto
-2596 0 lineto
-2281 896 lineto
-855 896 lineto
-541 0 lineto
-64 0 lineto
-1273 3328 lineto
-1862 3328 lineto
-3072 0 lineto
-2143 1280 moveto
-1569 2895 lineto
-990 1280 lineto
-2143 1280 lineto
-end_ol grestore 
-gsave 14.473200 -3.462500 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-2944 1020 moveto
-2944 772 2850 583 conicto
-2757 394 2599 272 conicto
-2413 125 2189 62 conicto
-1966 0 1621 0 conicto
-448 0 lineto
-448 3328 lineto
-1440 3328 lineto
-1806 3328 1988 3301 conicto
-2171 3274 2337 3189 conicto
-2522 3093 2605 2941 conicto
-2688 2789 2688 2579 conicto
-2688 2340 2567 2173 conicto
-2446 2006 2244 1903 conicto
-2244 1885 lineto
-2569 1816 2756 1590 conicto
-2944 1364 2944 1020 conicto
-2240 2517 moveto
-2240 2638 2199 2720 conicto
-2158 2803 2067 2855 conicto
-1961 2915 1808 2929 conicto
-1656 2944 1432 2944 conicto
-896 2944 lineto
-896 1984 lineto
-1477 1984 lineto
-1688 1984 1812 2005 conicto
-1937 2026 2044 2093 conicto
-2151 2160 2195 2266 conicto
-2240 2372 2240 2517 conicto
-2496 1001 moveto
-2496 1198 2436 1314 conicto
-2376 1431 2218 1512 conicto
-2111 1567 1958 1583 conicto
-1806 1600 1588 1600 conicto
-896 1600 lineto
-896 384 lineto
-1479 384 lineto
-1769 384 1953 413 conicto
-2138 443 2256 522 conicto
-2380 608 2438 718 conicto
-2496 828 2496 1001 conicto
-end_ol grestore 
-gsave 6.498220 -0.912504 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-2240 719 moveto
-2240 375 1952 155 conicto
-1665 -64 1167 -64 conicto
-885 -64 650 4 conicto
-415 72 256 153 conicto
-256 640 lineto
-278 640 lineto
-479 493 725 406 conicto
-971 320 1196 320 conicto
-1476 320 1634 403 conicto
-1792 486 1792 665 conicto
-1792 812 1705 889 conicto
-1619 965 1374 1018 conicto
-1283 1038 1136 1065 conicto
-990 1092 869 1124 conicto
-536 1212 396 1380 conicto
-256 1549 256 1796 conicto
-256 1950 320 2087 conicto
-384 2224 515 2332 conicto
-641 2436 836 2498 conicto
-1031 2560 1272 2560 conicto
-1497 2560 1728 2505 conicto
-1959 2450 2112 2371 conicto
-2112 1920 lineto
-2089 1920 lineto
-1929 2028 1699 2102 conicto
-1470 2176 1250 2176 conicto
-1020 2176 862 2095 conicto
-704 2014 704 1852 conicto
-704 1698 802 1619 conicto
-897 1540 1111 1492 conicto
-1229 1465 1375 1438 conicto
-1522 1411 1620 1388 conicto
-1917 1321 2078 1158 conicto
-2240 992 2240 719 conicto
-end_ol grestore 
-gsave 18.348200 -0.812504 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-1728 8 moveto
-1610 -23 1471 -43 conicto
-1333 -64 1224 -64 conicto
-844 -64 646 140 conicto
-448 345 448 794 conicto
-448 2112 lineto
-192 2112 lineto
-192 2496 lineto
-448 2496 lineto
-448 3200 lineto
-896 3200 lineto
-896 2496 lineto
-1728 2496 lineto
-1728 2112 lineto
-896 2112 lineto
-896 994 lineto
-896 801 904 692 conicto
-913 584 965 489 conicto
-1012 401 1094 360 conicto
-1177 320 1347 320 conicto
-1445 320 1552 344 conicto
-1659 368 1707 384 conicto
-1728 384 lineto
-1728 8 lineto
-end_ol grestore 
-showpage

diff --git a/1-toky/bipartitni.eps b/1-toky/bipartitni.eps
new file mode 100644 (file)
index 0000000..bc8b0ab
--- /dev/null
+++ b/1-toky/bipartitni.eps
@@ -0,0 +1,420 @@
+%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
+%%Title: Diagram1.dia
+%%Creator: Dia v0.94
+%%CreationDate: Thu Apr 27 13:18:41 2006
+%%For: bernard
+%%Orientation: Portrait
+%%Magnification: 1.0000
+%%BoundingBox: 0 0 674 341
+%%BeginSetup
+%%EndSetup
+%%EndComments
+%%BeginProlog
+[ /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl /numbersign /dollar /percent /ampersand /quoteright
+/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma /hyphen /period /slash /zero /one
+/two /three /four /five /six /seven /eight /nine /colon /semicolon
+/less /equal /greater /question /at /A /B /C /D /E
+/F /G /H /I /J /K /L /M /N /O
+/P /Q /R /S /T /U /V /W /X /Y
+/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum /underscore /quoteleft /a /b /c
+/d /e /f /g /h /i /j /k /l /m
+/n /o /p /q /r /s /t /u /v /w
+/x /y /z /braceleft /bar /braceright /asciitilde /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/space /exclamdown /cent /sterling /currency /yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
+/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /hyphen /registered /macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
+/acute /mu /paragraph /periodcentered /cedilla /onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
+/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex /Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
+/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave /Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
+/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis /multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
+/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave /aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
+/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex /edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
+/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex /otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
+/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn /ydieresis] /isolatin1encoding exch def
+/cp {closepath} bind def
+/c {curveto} bind def
+/f {fill} bind def
+/a {arc} bind def
+/ef {eofill} bind def
+/ex {exch} bind def
+/gr {grestore} bind def
+/gs {gsave} bind def
+/sa {save} bind def
+/rs {restore} bind def
+/l {lineto} bind def
+/m {moveto} bind def
+/rm {rmoveto} bind def
+/n {newpath} bind def
+/s {stroke} bind def
+/sh {show} bind def
+/slc {setlinecap} bind def
+/slj {setlinejoin} bind def
+/slw {setlinewidth} bind def
+/srgb {setrgbcolor} bind def
+/rot {rotate} bind def
+/sc {scale} bind def
+/sd {setdash} bind def
+/ff {findfont} bind def
+/sf {setfont} bind def
+/scf {scalefont} bind def
+/sw {stringwidth pop} bind def
+/tr {translate} bind def
+
+/ellipsedict 8 dict def
+ellipsedict /mtrx matrix put
+/ellipse
+{ ellipsedict begin
+   /endangle exch def
+   /startangle exch def
+   /yrad exch def
+   /xrad exch def
+   /y exch def
+   /x exch def   /savematrix mtrx currentmatrix def
+   x y tr xrad yrad sc
+   0 0 1 startangle endangle arc
+   savematrix setmatrix
+   end
+} def
+
+/mergeprocs {
+dup length
+3 -1 roll
+dup
+length
+dup
+5 1 roll
+3 -1 roll
+add
+array cvx
+dup
+3 -1 roll
+0 exch
+putinterval
+dup
+4 2 roll
+putinterval
+} bind def
+/dpi_x 300 def
+/dpi_y 300 def
+/conicto {
+    /to_y exch def
+    /to_x exch def
+    /conic_cntrl_y exch def
+    /conic_cntrl_x exch def
+    currentpoint
+    /p0_y exch def
+    /p0_x exch def
+    /p1_x p0_x conic_cntrl_x p0_x sub 2 3 div mul add def
+    /p1_y p0_y conic_cntrl_y p0_y sub 2 3 div mul add def
+    /p2_x p1_x to_x p0_x sub 1 3 div mul add def
+    /p2_y p1_y to_y p0_y sub 1 3 div mul add def
+    p1_x p1_y p2_x p2_y to_x to_y curveto
+} bind def
+/start_ol { gsave 1.1 dpi_x div dup scale} bind def
+/end_ol { closepath fill grestore } bind def
+28.346000 -28.346000 scale
+-2.500000 -14.003022 translate
+%%EndProlog
+
+
+1.000000 1.000000 1.000000 srgb
+n 18.960000 8.055822 0.950000 5.861600 0 360 ellipse f
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0.000000 0.000000 0.000000 srgb
+n 18.960000 8.055822 0.950000 5.861600 0 360 ellipse cp s
+1.000000 1.000000 1.000000 srgb
+n 15.185000 7.955822 0.462500 0.450000 0 360 ellipse f
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0.000000 0.000000 0.000000 srgb
+n 15.185000 7.955822 0.462500 0.450000 0 360 ellipse cp s
+1.000000 1.000000 1.000000 srgb
+n 25.671000 8.187822 0.450000 0.450000 0 360 ellipse f
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0.000000 0.000000 0.000000 srgb
+n 25.671000 8.187822 0.450000 0.450000 0 360 ellipse cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 15.512040 7.637622 m 18.419170 5.984009 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 18.745128 5.798600 m 18.434124 6.263118 l 18.419170 5.984009 l 18.186912 5.828507 l ef
+n 18.745128 5.798600 m 18.434124 6.263118 l 18.419170 5.984009 l 18.186912 5.828507 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 15.512040 8.274022 m 18.422626 10.310358 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 18.729891 10.525330 m 18.176889 10.443544 l 18.422626 10.310358 l 18.463519 10.033857 l ef
+n 18.729891 10.525330 m 18.176889 10.443544 l 18.422626 10.310358 l 18.463519 10.033857 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 15.647500 7.955822 m 18.473418 8.041133 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 18.848248 8.052448 m 18.340931 8.287247 l 18.473418 8.041133 l 18.356019 7.787475 l ef
+n 18.848248 8.052448 m 18.340931 8.287247 l 18.473418 8.041133 l 18.356019 7.787475 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 19.013500 3.933422 m 22.283474 10.039186 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.460516 10.369763 m 22.004075 10.047022 l 22.283474 10.039186 l 22.444845 9.810966 l ef
+n 22.460516 10.369763 m 22.004075 10.047022 l 22.283474 10.039186 l 22.444845 9.810966 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 19.269500 8.093422 m 21.957872 5.947052 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.250928 5.713079 m 22.016169 6.220414 l 21.957872 5.947052 l 21.704205 5.829673 l ef
+n 22.250928 5.713079 m 22.016169 6.220414 l 21.957872 5.947052 l 21.704205 5.829673 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 18.885500 12.253422 m 22.202993 8.243405 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.442032 7.954467 m 22.315939 8.499077 l 22.202993 8.243405 l 21.930688 8.180358 l ef
+n 22.442032 7.954467 m 22.315939 8.499077 l 22.202993 8.243405 l 21.930688 8.180358 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 19.141500 10.589422 m 22.059297 10.590193 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.434297 10.590293 m 21.934231 10.840160 l 22.059297 10.590193 l 21.934363 10.340160 l ef
+n 22.434297 10.590293 m 21.934231 10.840160 l 22.059297 10.590193 l 21.934363 10.340160 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 22.661500 5.917422 m 24.958749 7.583788 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 25.262299 7.803975 m 24.710774 7.712758 l 24.958749 7.583788 l 25.004357 7.308025 l ef
+n 25.262299 7.803975 m 24.710774 7.712758 l 24.958749 7.583788 l 25.004357 7.308025 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 22.725500 7.901422 m 24.737371 8.132318 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 25.109926 8.175074 m 24.584682 8.366435 l 24.737371 8.132318 l 24.641691 7.869696 l ef
+n 25.109926 8.175074 m 24.584682 8.366435 l 24.737371 8.132318 l 24.641691 7.869696 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 22.789500 10.525422 m 24.970408 8.807276 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 25.264977 8.575211 m 25.026928 9.081010 l 24.970408 8.807276 l 24.717508 8.688251 l ef
+n 25.264977 8.575211 m 25.026928 9.081010 l 24.970408 8.807276 l 24.717508 8.688251 l cp s
+gsave 14.597500 10.118322 translate 0.035278 -0.035278 scale
+start_ol
+6314 6050 moveto
+6023 4487 lineto
+5441 4766 4866 4911 conicto
+4292 5056 3780 5056 conicto
+3194 5056 2877 4902 conicto
+2560 4749 2560 4465 conicto
+2560 4297 2736 4196 conicto
+2912 4096 3428 3985 conicto
+3785 3918 lineto
+4987 3660 5469 3254 conicto
+5952 2848 5952 2126 conicto
+5952 1034 5110 421 conicto
+4269 -192 2758 -192 conicto
+2127 -192 1467 -90 conicto
+807 12 120 215 conicto
+416 1793 lineto
+946 1475 1551 1313 conicto
+2156 1152 2790 1152 conicto
+3408 1152 3720 1302 conicto
+4032 1453 4032 1743 conicto
+4032 1944 3856 2055 conicto
+3680 2167 3131 2284 conicto
+2774 2351 lineto
+1726 2575 1279 3011 conicto
+832 3448 832 4221 conicto
+832 5269 1610 5834 conicto
+2389 6400 3834 6400 conicto
+4467 6400 5079 6312 conicto
+5692 6225 6314 6050 conicto
+end_ol grestore 
+gsave 25.613500 10.255322 translate 0.035278 -0.035278 scale
+start_ol
+4037 8003 moveto
+3703 6228 lineto
+5709 6228 lineto
+5430 4800 lineto
+3423 4800 lineto
+2919 2171 lineto
+2897 2082 2888 2021 conicto
+2880 1960 2880 1904 conicto
+2880 1650 3047 1539 conicto
+3215 1428 3610 1428 conicto
+4624 1428 lineto
+4344 0 lineto
+2704 0 lineto
+1822 0 1359 378 conicto
+896 757 896 1470 conicto
+896 1625 912 1803 conicto
+929 1981 961 2166 conicto
+1460 4800 lineto
+501 4800 lineto
+770 6228 lineto
+1736 6228 lineto
+2072 8003 lineto
+4037 8003 lineto
+end_ol grestore 
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 15.185000 8.405822 m 18.375125 11.865157 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 18.629346 12.140832 m 18.106601 11.942746 l 18.375125 11.865157 l 18.474167 11.603785 l ef
+n 18.629346 12.140832 m 18.106601 11.942746 l 18.375125 11.865157 l 18.474167 11.603785 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 15.185000 7.505822 m 18.416343 4.216682 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 18.679147 3.949177 m 18.507078 4.481053 l 18.416343 4.216682 l 18.150405 4.130647 l ef
+n 18.679147 3.949177 m 18.507078 4.481053 l 18.416343 4.216682 l 18.150405 4.130647 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 22.405500 3.997422 m 25.350846 7.371108 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 25.597471 7.653599 m 25.080310 7.441361 l 25.350846 7.371108 l 25.456965 7.112528 l ef
+n 25.597471 7.653599 m 25.080310 7.441361 l 25.350846 7.371108 l 25.456965 7.112528 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 22.642000 12.297922 m 25.360633 9.012855 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 25.599718 8.723955 m 25.473537 9.268545 l 25.360633 9.012855 l 25.088338 8.949765 l ef
+n 25.599718 8.723955 m 25.473537 9.268545 l 25.360633 9.012855 l 25.088338 8.949765 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 19.013500 3.805422 m 21.854697 3.805422 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.229697 3.805422 m 21.729697 4.055422 l 21.854697 3.805422 l 21.729697 3.555422 l ef
+n 22.229697 3.805422 m 21.729697 4.055422 l 21.854697 3.805422 l 21.729697 3.555422 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 19.077500 12.253422 m 21.982697 12.253422 l s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 22.357697 12.253422 m 21.857697 12.503422 l 21.982697 12.253422 l 21.857697 12.003422 l ef
+n 22.357697 12.253422 m 21.857697 12.503422 l 21.982697 12.253422 l 21.857697 12.003422 l cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+n 22.291900 8.091422 0.950000 5.861600 0 360 ellipse cp s
+1.000000 1.000000 1.000000 srgb
+n 3.500000 7.911600 0.950000 5.861600 0 360 ellipse f
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0.000000 0.000000 0.000000 srgb
+n 3.500000 7.911600 0.950000 5.861600 0 360 ellipse cp s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.553500 3.789200 m 7.053300 10.324100 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.809500 7.949200 m 6.878300 5.499100 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.425500 12.109200 m 7.053300 7.724100 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.681500 10.445200 m 7.086100 10.446100 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.553500 3.661200 m 6.881500 3.661200 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+0 slc
+n 3.617500 12.109200 m 7.009500 12.109200 l s
+0.100000 slw
+[] 0 sd
+[] 0 sd
+n 6.831900 7.947200 0.950000 5.861600 0 360 ellipse cp s
+0.100000 slw
+[0.200000] 0 sd
+[0.200000] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 9.297500 8.575000 m 11.547500 7.075000 11.397500 9.425000 12.998695 8.304163 c s
+[] 0 sd
+0 slj
+0 slc
+n 13.305907 8.089115 m 13.039657 8.580654 l 12.998695 8.304163 l 12.752926 8.171038 l ef
+n 13.305907 8.089115 m 13.039657 8.580654 l 12.998695 8.304163 l 12.752926 8.171038 l cp s
+showpage

diff --git a/1-toky/graf.eps b/1-toky/graf.eps
deleted file mode 100644 (file)
index e9edee3..0000000
--- a/1-toky/graf.eps
+++ /dev/null
@@ -1,310 +0,0 @@
-%!PS-Adobe-2.0 EPSF-2.0
-%%Title: /mnt/data/toky/toky.dia
-%%Creator: Dia v0.95
-%%CreationDate: Tue Jun 13 12:12:08 2006
-%%For: radofan
-%%Orientation: Portrait
-%%Magnification: 1.0000
-%%BoundingBox: 0 0 397 169
-%%BeginSetup
-%%EndSetup
-%%EndComments
-%%BeginProlog
-[ /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl /numbersign /dollar /percent /ampersand /quoteright
-/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma /hyphen /period /slash /zero /one
-/two /three /four /five /six /seven /eight /nine /colon /semicolon
-/less /equal /greater /question /at /A /B /C /D /E
-/F /G /H /I /J /K /L /M /N /O
-/P /Q /R /S /T /U /V /W /X /Y
-/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum /underscore /quoteleft /a /b /c
-/d /e /f /g /h /i /j /k /l /m
-/n /o /p /q /r /s /t /u /v /w
-/x /y /z /braceleft /bar /braceright /asciitilde /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
-/space /exclamdown /cent /sterling /currency /yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
-/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /hyphen /registered /macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
-/acute /mu /paragraph /periodcentered /cedilla /onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
-/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex /Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
-/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave /Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
-/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis /multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
-/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave /aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
-/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex /edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
-/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex /otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
-/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn /ydieresis] /isolatin1encoding exch def
-/cp {closepath} bind def
-/c {curveto} bind def
-/f {fill} bind def
-/a {arc} bind def
-/ef {eofill} bind def
-/ex {exch} bind def
-/gr {grestore} bind def
-/gs {gsave} bind def
-/sa {save} bind def
-/rs {restore} bind def
-/l {lineto} bind def
-/m {moveto} bind def
-/rm {rmoveto} bind def
-/n {newpath} bind def
-/s {stroke} bind def
-/sh {show} bind def
-/slc {setlinecap} bind def
-/slj {setlinejoin} bind def
-/slw {setlinewidth} bind def
-/srgb {setrgbcolor} bind def
-/rot {rotate} bind def
-/sc {scale} bind def
-/sd {setdash} bind def
-/ff {findfont} bind def
-/sf {setfont} bind def
-/scf {scalefont} bind def
-/sw {stringwidth pop} bind def
-/tr {translate} bind def
-
-/ellipsedict 8 dict def
-ellipsedict /mtrx matrix put
-/ellipse
-{ ellipsedict begin
-   /endangle exch def
-   /startangle exch def
-   /yrad exch def
-   /xrad exch def
-   /y exch def
-   /x exch def   /savematrix mtrx currentmatrix def
-   x y tr xrad yrad sc
-   0 0 1 startangle endangle arc
-   savematrix setmatrix
-   end
-} def
-
-/mergeprocs {
-dup length
-3 -1 roll
-dup
-length
-dup
-5 1 roll
-3 -1 roll
-add
-array cvx
-dup
-3 -1 roll
-0 exch
-putinterval
-dup
-4 2 roll
-putinterval
-} bind def
-/dpi_x 300 def
-/dpi_y 300 def
-/conicto {
-    /to_y exch def
-    /to_x exch def
-    /conic_cntrl_y exch def
-    /conic_cntrl_x exch def
-    currentpoint
-    /p0_y exch def
-    /p0_x exch def
-    /p1_x p0_x conic_cntrl_x p0_x sub 2 3 div mul add def
-    /p1_y p0_y conic_cntrl_y p0_y sub 2 3 div mul add def
-    /p2_x p1_x to_x p0_x sub 1 3 div mul add def
-    /p2_y p1_y to_y p0_y sub 1 3 div mul add def
-    p1_x p1_y p2_x p2_y to_x to_y curveto
-} bind def
-/start_ol { gsave 1.1 dpi_x div dup scale} bind def
-/end_ol { closepath fill grestore } bind def
-28.346000 -28.346000 scale
--5.545100 12.570000 translate
-%%EndProlog
-
-
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-0.000000 0.000000 0.000000 srgb
-n 6.000000 -16.000000 m 9.564590 -17.782295 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.900000 -17.950000 m 9.564590 -17.502786 l 9.564590 -17.782295 l 9.340983 -17.950000 l ef
-n 9.900000 -17.950000 m 9.564590 -17.502786 l 9.564590 -17.782295 l 9.340983 -17.950000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 6.000000 -16.000000 m 9.527731 -16.881933 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.891535 -16.972884 m 9.467097 -16.609080 l 9.527731 -16.881933 l 9.345830 -17.094152 l ef
-n 9.891535 -16.972884 m 9.467097 -16.609080 l 9.527731 -16.881933 l 9.345830 -17.094152 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 6.000000 -16.000000 m 9.527731 -15.118067 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 9.891535 -15.027116 m 9.345830 -14.905848 l 9.527731 -15.118067 l 9.467097 -15.390920 l ef
-n 9.891535 -15.027116 m 9.345830 -14.905848 l 9.527731 -15.118067 l 9.467097 -15.390920 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -13.000000 m 6.389443 -15.707918 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 6.089443 -15.932918 m 6.639443 -15.832918 l 6.389443 -15.707918 l 6.339443 -15.432918 l ef
-n 6.089443 -15.932918 m 6.639443 -15.832918 l 6.389443 -15.707918 l 6.339443 -15.432918 l cp s
-gsave 5.562600 -15.887500 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-2048 2432 moveto
-2048 2048 lineto
-1868 2144 1674 2192 conicto
-1480 2240 1273 2240 conicto
-957 2240 798 2144 conicto
-640 2048 640 1856 conicto
-640 1709 757 1625 conicto
-875 1542 1229 1467 conicto
-1380 1435 lineto
-1812 1341 1994 1170 conicto
-2176 999 2176 692 conicto
-2176 343 1899 139 conicto
-1622 -64 1137 -64 conicto
-936 -64 717 -32 conicto
-498 0 256 64 conicto
-256 512 lineto
-490 385 718 320 conicto
-947 256 1170 256 conicto
-1470 256 1631 358 conicto
-1792 461 1792 647 conicto
-1792 820 1670 912 conicto
-1549 1004 1141 1089 conicto
-988 1123 lineto
-600 1203 428 1369 conicto
-256 1535 256 1824 conicto
-256 2177 510 2368 conicto
-765 2560 1233 2560 conicto
-1466 2560 1670 2528 conicto
-1875 2496 2048 2432 conicto
-end_ol grestore 
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -18.000000 m 13.564590 -16.217705 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.900000 -16.050000 m 13.340983 -16.050000 l 13.564590 -16.217705 l 13.564590 -16.497214 l ef
-n 13.900000 -16.050000 m 13.340983 -16.050000 l 13.564590 -16.217705 l 13.564590 -16.497214 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -16.000000 m 10.389443 -13.292082 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 10.089443 -13.067082 m 10.339443 -13.567082 l 10.389443 -13.292082 l 10.639443 -13.167082 l ef
-n 10.089443 -13.067082 m 10.339443 -13.567082 l 10.389443 -13.292082 l 10.639443 -13.167082 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -18.000000 m 10.389443 -15.292082 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 10.089443 -15.067082 m 10.339443 -15.567082 l 10.389443 -15.292082 l 10.639443 -15.167082 l ef
-n 10.089443 -15.067082 m 10.339443 -15.567082 l 10.389443 -15.292082 l 10.639443 -15.167082 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 14.000000 -18.000000 m 18.548014 -16.180794 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 18.896193 -16.041523 m 18.339107 -15.995099 l 18.548014 -16.180794 l 18.524802 -16.459337 l ef
-n 18.896193 -16.041523 m 18.339107 -15.995099 l 18.548014 -16.180794 l 18.524802 -16.459337 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 19.000000 -16.000000 m 14.486803 -16.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 14.111803 -16.000000 m 14.611803 -16.250000 l 14.486803 -16.000000 l 14.611803 -15.750000 l ef
-n 14.111803 -16.000000 m 14.611803 -16.250000 l 14.486803 -16.000000 l 14.611803 -15.750000 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -13.000000 m 18.538178 -15.846059 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 18.893934 -15.964645 m 18.498649 -15.569360 l 18.538178 -15.846059 l 18.340535 -16.043702 l ef
-n 18.893934 -15.964645 m 18.498649 -15.569360 l 18.538178 -15.846059 l 18.340535 -16.043702 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -18.000000 m 18.524789 -16.105602 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 18.890859 -16.024254 m 18.348533 -15.888672 l 18.524789 -16.105602 l 18.456998 -16.376766 l ef
-n 18.890859 -16.024254 m 18.348533 -15.888672 l 18.524789 -16.105602 l 18.456998 -16.376766 l cp s
-gsave 19.275000 -15.725000 translate 0.035278 -0.035278 scale
-start_ol
-832 3200 moveto
-832 2496 lineto
-1664 2496 lineto
-1664 2176 lineto
-832 2176 lineto
-832 804 lineto
-832 495 914 407 conicto
-997 320 1248 320 conicto
-1664 320 lineto
-1664 0 lineto
-1248 0 lineto
-793 0 620 173 conicto
-448 347 448 804 conicto
-448 2176 lineto
-128 2176 lineto
-128 2496 lineto
-448 2496 lineto
-448 3200 lineto
-832 3200 lineto
-end_ol grestore 
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 9.987600 -16.987500 m 18.253945 -16.042775 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 18.626520 -16.000195 m 18.101367 -15.808585 l 18.253945 -16.042775 l 18.158140 -16.305351 l ef
-n 18.626520 -16.000195 m 18.101367 -15.808585 l 18.253945 -16.042775 l 18.158140 -16.305351 l cp s
-0.100000 slw
-[] 0 sd
-[] 0 sd
-0 slc
-n 10.000000 -18.000000 m 13.513197 -18.000000 l s
-[] 0 sd
-0 slj
-0 slc
-n 13.888197 -18.000000 m 13.388197 -17.750000 l 13.513197 -18.000000 l 13.388197 -18.250000 l ef
-n 13.888197 -18.000000 m 13.388197 -17.750000 l 13.513197 -18.000000 l 13.388197 -18.250000 l cp s
-showpage