Prvni verze.

diff --git a/10-decomp/10-decomp.tex b/10-decomp/10-decomp.tex
index 2e5348e51fd40fa4ccc033f3e23d37a1ca37f113..1727415e00280d8d2c935b8e5d126ed6a1243c22 100644 (file)
--- a/10-decomp/10-decomp.tex
+++ b/10-decomp/10-decomp.tex
@@ -2,112 +2,270 @@
 
 \prednaska{10}{Dekompozice stromù}{zapsal Ale¹ ©nupárek}
 
 
 \prednaska{10}{Dekompozice stromù}{zapsal Ale¹ ©nupárek}
 

+V~této kapitole uká¾eme nìkolik datových struktur zalo¾ených
+na~my¹lence dekompozice problému na~dostateènì malé podproblémy,
+které u¾ umíme (obvykle vhodným kódováním èísly) øe¹it v~konstantním
+èase.
+

 \h{Union-Find problem}
 \h{Union-Find problem}

-Na Uion-Find problem (UF) mù¾eme nahlí¾et ze více stran (udr¾ování ekvivalencí, 
-inkrementální souvislost grafu). K èemu je to dobré? 
-Napøíklad v Kruskalovì algoritmu pro hledání minimálních koster v grafu.
-\h{Udr¾ování tøíd ekvivalence }
-Mìjme nìjakou mno¾inu M, která se dá rozlo¾it na k ekvivalentních podmon¾in (tøídy ekvivalence). Na mno¾iòe M chceme provádìt 
-dvì operace: jsou p,q z M ekvivalentní (ve stejné tøídì ekvivalence)? (find(p,q)) Dále chceme umìt spojit dvì tøídy ekvivalence do jedné (union(p,q)).
-\h{Inkrementální idr¾ování komponent souvislosti grafu}
-Jedná se o pøipad podobný udr¾ování tøíd ekvivalence. Tentokrát mnou¾inou M bude mno¾ina vrcholù V grafu G (V,E). 
-Za »øídy ekvivalence budou jednotlivé komponenty souvislosti grafu G. Operace find nám øekne o dvou vrcholech nachází-li
-se ve stejné komponen»e, èi nikoliv. Operace union nám spojí dvì komponenty do jedné pøidáním hrany. Pokud pøipustíme mazání hran, 
-øe©ení problému je výraznì te¾¹í.
-
-\h{Bì¾ná implementace }
-Ka¾dé tøídì ekvivalence pøiøadíme unikátní barvu, kterou obarvíme její prvky. Pro operaci find staèí porovnat barvy prvkù. 
-Pro operaci union dvou komponent je nutné pøebarvit obì na stejnou barvu. Budeme pøebarvovat 
-v¾dy tu men¹í pak celková operace union bude trvat $\O(n\log(n) + m)$. (Ka¾dé pøebarvení minimálnì zdvojnásobí velikost nové komponenty.)
-\h {Chytøej¹í implementace }
-Budeme-li prvky za stejné tøídy reprezentovat ve jednom stromì (synové mají ukazatel svého otce), operaci find
-provedeme prùchodem ze zadaných prvkù do koøene. Prvky jsou ve stejné komponentì souvislosti, pokud mají stejného otce.
-Operace union bude spojení dvou stromù do jednoho (otec jednoho stromu se zavìsí pod listy druhého). 
-Takto definovaný union nemusí garantovat logaritmickou slo¾itost pro find, 
-v extrémním pøipadì mù¾e strom mít lineární hloubku vzhledem k poètu vrcholù.
-
-Degeneraci stromu lze zabránit pøidánim podmínky urèující, jaký strom bude dole.
-První mmo¾nost (union by size) je povìsit dolu vìtsí strom.
-Druhá mo¾nost (union by rank) je ka¾dému vrcholu nastavit na zaèátku nìjaký rank (tøeba 1). Pokud je $r1<r2$ pak strom s r1 povìsíme dolu.
-Pokud $r1=r2$ pak ve slouèeném stromù zvý¹íme v koøeni rank o 1. Informace o ranku nám zabere ménì pamìti ne¾ o velikosti stromu.
-
-Dal¹i mo¾nost pro zkrácení vý¹ky stromu je path compression. Pøi operaci find si pamatujeme pro¹lé vrcholy a pøesmìrujeme 
-jejich ukazatele na otce na koøen.
-
-\s{Vìta: } UF s Union by size nebo Union by rank s path compression mají amortizovanì 
-slo¾itost $\O(n\alpha(n))$, kde $\alpha(n)$ je inverzní funkce k Ackermanovì funkci. ($\alpha(poèet atomù ve vesmíru)=5$)
-
-\h {Microtree/Macrotree decomposition}
-
-\s{Otázka: } Je mo¾né provádìt UF v lep¹ím èase kdy¾ bude pøedem znám výsledný strom?
-
-Cíl: UF lze za pomoci preprocesingu v èase $\O(n)$  zvládnout amortizovanì v èase $\O(1)$ na U,F.
-
-\h{Clusterizace}
-\s {Definice: } Nech» G je je graf kde $\forall v \in V(G): deg(v)<=3$ a $c \in N$ pak c-clusterizací grafu G je rozklad
-G na podgrafy na podgrafy G1,G2 ... Gk s následujícimi vlastnostmi:
-\itemize\ibull
-\: $\forall v  \in V \exists !\ i: v \in C_i$
-\: $\forall i\  C_i\leq C$
-\: $\forall i$ vnìj¹i stupeò $C\leq3$, pokud $C_i=3$ pak $\|C_i\|=1$
-\: ¾ádné dva sousední clustery nelze spojit
-\endlist

 
 

-Co udìlat se stromem, ve kterém existuje vrchol se stupnìm vìt¹im ne¾ 3? Pou¾ijeme French trick.
-V¹echny vrcholy s vy¹¹im stupnìm jak 3, rozdìlíme na více vrcholù se stupnìm 3 spojených cestou. 
-Tato ùprava nám asymptoticky nezmìní èasovou slo¾itost UF o proti pùvodnímu stromu.
+\s{Problém:} Udr¾ování tøíd ekvivalence: na~poèátku máme $N$ jednoprvkových ekvivalenèních
+tøíd, provádíme operace \<Find> (zji¹tìní, zda dva prvky jsou ekvivalentní) a \<Union>
+(slouèení dvou tøíd do~jedné). Také na~to lze pohlí¾et jako na~inkrementální udr¾ování
+komponent souvislosti neorientovaného grafu: \<Union> je pøidání hrany, \<Find> test,
+zda dva vrcholy le¾í v~té¾e komponentì. To se hodí v~mnoha algoritmech, kupøíkladu
+v~Kruskalovì algoritmu pro hledání minimální kostry.

 
 

+\s{Triviální øe¹ení:} Ka¾dé tøídì pøiøadíme unikátní barvu, kterou obarvíme prvky tøídy. Operace \<Find>
+porovává barvy, operace \<Union> prvky jedné tøídy pøebarví.

 
 

-\s{Lemma: } Pro ka¾dou C-clusterizaci n-vrcholového stromu je  $\O(n/C)$ clusterù.
+Operace \<Find> tak pracuje v~konstantním èase, \<Union> mù¾e zabrat a¾ lineární. Mù¾eme si ale
+pomoci tím, ¾e v¾dy pøebarvíme {\I men¹í} ze~sluèovaných ekvivalenèních tøíd (budeme
+si pro ka¾dou tøídu pamatovat seznam jejích prvkù a velikost). Tehdy mù¾e být ka¾dý
+prvek pøebarven jen $\O(\log n)$-krát, jeliko¾ ka¾dým pøebarvením se alespoò zdvojnásobí
+velikost tøídy, ve~které prvek le¾í. Posloupnost operací \<Union>, kterou vznikla tøída
+velikosti~$k$, tak trvá $\O(k\log k)$, tak¾e mù¾eme bezpeènì prohlásit, ¾e amortizovaná
+slo¾itost operace \<Union> je $\O(\log n)$.

 
 

-\s{Vìta: } Pro ka¾dé C lze C-clusterizaci (splòujíci pøedchozí lemma) najít v èase $\O(n)$.
+\s{Chytøej¹í øe¹ení:} Ka¾dou tøídu budeme reprezentovat zakoøenìným stromem s~hranami
+orientovanými smìrem ke~koøeni (jinými slovy pro ka¾dý prvek si pamatujeme jeho otce
+nebo ¾e je to koøen). \<Find> nalezne koøeny stromù a porovná je, \<Union> pøipojí koøen
+jedné tøídy pod koøen druhé. Aby stromy nedegenerovaly, pøidáme dvì podmínky:

 
 

-\s{Dùkaz: } za pomoci DFS ...
-\h{Jednodu¹¹í clusterizace}
-Pøedpokládejme, ¾e máme zakoøeòené stromy
-\s{Definice: } Koøeny makrostromù jsou nejvy¹¹i vrcholy, pod kterými je maximálnì $\log(n)$ listù.
-Celá clusterizace se nám rozpadne na následujíci pøipady: 

 \itemize\ibull
 \itemize\ibull

-\:N-strom: (má stupeò 1)
-\:M-strom: (má stupeò 2)
-\:cestu: ka¾dá cesta se popí¹e bitovým polem, jednotlivé úseky se poí¹í jednotlivými slovy
+\:{\I Union by rank:} ka¾dý koøen $v$ si pamatuje svùj rank $r(v)$. Pokud spojujeme
+dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
+Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
+\foot{Podobnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
+strom pod vìt¹í, ale ranky máme radìji, neb jsou skladnìj¹í.}
+
+\:{\I Path compression:} pokud z~vrcholu vystoupíme do~koøene (napøíklad
+bìhem operace \<Find>), pøepojíme v¹echny vrcholy na~cestì, po~které jsme pro¹li,
+rovnou pod koøen.

 \endlist
 \endlist

-poèet listù v makrostromu je maximálnì $n/\log(n)$ z toho vyplývá, ¾e vý¹ka makrostromu $\O(n/log(n))$

 
 

-\s{Co si potøebujeme pamatovat}
+\s{Pozorování:} Pravidlo Union by rank samotné zajistí, ¾e strom ranku $r$ bude
+mít hloubku nejvý¹e $r$ a minimálnì $2^r$ vrcholù, tak¾e èasová slo¾itost operací
+bude omezena $\O(\log n)$.%
+\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila.}
+
+\s{Vìta:} (Tarjan et al.) Kombinace Union by rank a Path compression vede k~amortizované
+slo¾itosti obou operací $\O(\alpha(n))$, kde $\alpha$ je inverzní Ackermannova funkce.%
+\foot{Existuje varianta tohoto algoritmu, která dosahuje stejné slo¾itosti i v~nejhor¹ím
+pøípadì; té¾ je známo, ¾e asymptoticky lep¹í slo¾itosti nelze dosáhnout.}
+
+\h{Union-Find s~pøedem známými Uniony}
+
+Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problemu, v~ní¾ dopøedu známe
+posloupnost unionù, èili strom, který spojováním komponent vznikne. Popí¹eme algoritmus,
+který po~poèáteèním pøedzpracování v~èase $\O(n)$ zvládne \<Union> i \<Find> v~amortizovanì
+konstantním èase.
+
+\s{Definice:} {\I (Microtree/Macrotree dekompozice)} Pro zakoøenìný strom $T$ o~$n$ vrcholech
+definujeme:

 \itemize\ibull
 \itemize\ibull

-\: $\log(n)$ na clusterizaci
-\: makrostrom  G s $C_i$ zkontrahovanými pro deg 1,3 do vrcholu a deg 2 do hrany, jeho velikost je $\O(n/\log(n))$
-\:mikrostromy, bitovì popsány
+\:{\I Koøeny mikrostromù} $R$ budou nejvy¹¹í vrcholy, pod~nimi¾ je nejvý¹e $\log n$ listù.
+\:{\I Mikrostromy} le¾í v~$T$ od~tìchto koøenù ní¾e.
+\:{\I Spojovací hrany} vedou z~koøenù mikrostromù do~jejich otcù.
+\:{\I Makrostrom} je tvoøen zbytkem stromu~$T$, který nepatøí ani do~mikrostromù, ani do~spojovacích hran.

 \endlist
 
 \endlist
 

-\h{Makrostromy}
-V makrostromu jsou takové hrany, které vedly v pùvodním stromu mezi clustery, vrcholy budou hranièní
-vrcholy pøislu¹ných clusterù, cluster stupnì 1 je v novém stromì list, cluster stupnì 2 nahradíme 
-hranou mezi hranièními vrcholy a cluster stupòe 3 má jeden vnìj¹í vrchol, který je také v novém stromì.
+\s{Pozorování:} Ka¾dý mikrostrom má nejvý¹e $\log n$ listù. Pod ka¾dým listem makrostromu le¾í
+alespoò jeden makrostrom\foot{Mù¾e jich být i více, pøedstavte si dekompozici hvìzdy.}, tak¾e
+listù makrostromu je nejvý¹e $n/\log n$.
+
+Vnitøních vrcholù makro- i mikrostromù ale mù¾e být ne¹ikovnì mnoho, proto¾e se ve~stromech mohou
+vyskytovat dlouhé cesty. Pomu¾eme si snadno: ka¾dou cestu si budeme pamatovat zvlá¹» a ve~stromu
+ji nahradíme hranou, která bude existovat právì tehdy, kdy¾ budou pøítomny v¹echny hrany cesty.
+
+\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si pamatujeme
+(jako èísla) mno¾iny ji¾ pøítomných hran. Pak si je¹tì pamatujeme zkomprimovanou cestu (hrany
+odpovídají úsekùm a jsou pøítomny právì tehdy, jsou-li pøítomny v¹echny hrany pøíslu¹ného úseku)
+délky $l/\log n$ a pro ni \uv{pøebarvovací} strukturu pro Union-Find.

 
 

-\s{find(x,y)}

 \algo
 \algo

-nech» $i,j: x \in C_i, y \in C_j$
-\:pokud $i=j$, ptáme se v $C_i$ (mikro-find(i,j))
-\:pokud $i\not = j$, najdeme hranièní vrcholy pøíslu¹ných clusterù, tj. $h_i \in C_i, h_j \in C_j$ a provedeme makro-find($h_i$,$h_j$)
-       find($i$,$j$):=makro-find($h_i$,$h_j$) and mikro-find($i$,$h_i$) and mikro-find($j$,$h_j$);
+\:\<Union>(x,y) (pøidání hrany $e=xy$ na~cestu):
+\::Pøidáme $e$ do mno¾iny hran pøítomných v~pøíslu¹ném úseku.
+\::Pokud se tím úsek naplnil, pøidáme odpovídající hranu do~zkomprimované cesty.
+\:\<Find>(x,y):
+\::Pokud $x$ a $y$ jsou v~tém¾e úseku, otestujeme bitovými operacemi, zda
+   jsou v¹echny hrany mezi $x$ a $y$ pøítomny.
+\::Pokud jsou v~rùzných, rozdìlíme cestu z~$x$ do~$y$ na~posloupnost celých úsekù,
+   na~které nám odpoví zkomprimovaná cesta, a~dva dotazy v~krajních èásteèných úsecích.

 \endalgo
 
 \endalgo
 

-\s{delete(x,y)}
+Operace uvnitø úsekù pracují v~èase $\O(1)$, operace na~zkomprimované cestì v~$\O(\log l)$
+amortizovanì, ale je jich $\O(l/\log n)=\O(l/\log l)$, tak¾e celkovì zaberou lineární èas.
+
+\s{Algoritmus pro mikrostromy:} Po~kompresi cest má ka¾dý mikrostrom nejvý¹e $2\log n$
+vrcholù, èili také nejvý¹e tolik hran. Hrany si oèíslujeme pøirozenými èísly, ka¾dou
+mno¾inu hran pak mù¾eme reprezentovat $2\log n$-bitovým èíslem a mno¾inové operace
+provádìt pomocí bitových v~konstatním èase.
+
+Pro ka¾dý mikrostrom si pøedpoèítáme pro v¹echny jeho vrcholy~$v$ mno¾iny~$P_v$ hran le¾ících
+na~cestì z~koøene mikrostromu do~$v$. Navíc si budeme pamatovat mno¾inu pøítomných hran~$F$.
+

 \algo
 \algo

-\: pokud $x,y$ je makro-hrana, sma¾eme ji
-\: pokud $x,y \in C_i$  pak mikro-delete v $C_i$, pokud je $deg(C_i)=2$ a find($h_1$,$h_2$)==FALSE ($h_1, h_2$hranièní vrcholy), 
-pak makro-delete hrany odpovýdajíci $C_i$. ($C_i$ je neprùchodná)
+\:\<Union>(x,y)
+\::Najdeme poøadové èíslo $i$ hrany $xy$ (máme pøedpoèítané).
+\::$F := F \cup \{i\}$.
+\:\<Find>(x,y):
+\::$P := P_x \mathop{\Delta} P_v$ (to je mno¾ina hran le¾ících na~cestì z~$x$ do~$y$)
+\::Pokud $P\setminus F=\emptyset$, le¾í $x$ a $y$ ve~stejnì komponentì, jinak ne.

 \endalgo
 \endalgo

-\h{Mikrostromy}
+
+\s{Algoritmus pro celý problém:} Zkomprimujeme cesty a výsledný strom rozlo¾íme
+na~mikrostromy, makrostromy a spojovací hrany. Pro cesty a mikrostromy pou¾ijeme
+vý¹e popsané struktury, pro ka¾dou spojovací hranu si budeme pamatovat jen znaèku,
+zda je pøítomna, a pro makrostrom pøebarvovací strukturu.
+
+\>Operace $\<Union>(x,y)$:
+
+\algo
+\:Pokud $e=xy$ le¾í uvnitø cesty, pøidáme ji do~cesty, co¾ buïto zpùsobí
+   pøidávání jiné hrany do~stromu, a~nebo u¾ jsme hotovi.
+\:Pokud $e$ je spojovací, poznamenáme si, ¾e je pøítomna, a~konèíme.
+\:Pokud $e$ le¾í uvnitø mikrostromu nebo makrostromu, provedeme \<Union>
+   na~pøíslu¹né struktuøe.
+\endlist
+
+\>Operace $\<Find>(x,y)$:
+
+\algo
+\:Pokud $x$ a $y$ le¾í uvnitø jedné cesty, zeptáme se cestové struktury a konèíme.
+\:Pokud $x$ le¾í uvnitø nìjaké cesty, zjistíme dotazem na~cestovou strukturu,
+   ke~kterému krajnímu vrcholu cesty je pøipojen, a~$x$ nahradíme tímto vrcholem.
+   Není-li pøipojen k~¾ádnému, je~evidentnì odpovìï na~celý \<Find> negativní,
+   pokud k~obìma, vybereme si libovolný, proto¾e jsou stejnì v~cestovì komprimovaném
+   stromu spojeny hranou. Analogicky pro~$y$.
+\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy cestovì zkomprimovaného stromu.]
+\:Le¾í-li $x$ a $y$ v~jednom mikrostromu, zeptáme se struktury pro~mikrostrom.
+\:Je-li $x$ uvnitø mikrostromu, zeptáme se mikrostromové struktury na~spojení s~koøenem mikrostromu.
+  Není-li, odpovíme {\sc ne}, stejnì jako kdy¾ není pøítomna pøíslu¹ná spojovací hrana.
+  Jinak $x$ nahradíme listem makrostromu, do~kterého spojovací hrana vede. Podobnì pro~$y$.
+\:[Nyní jsou $x$ a $y$ vrcholy makrostromu.]
+\:Odpovíme podle struktury pro makrostrom.
+\endalgo
+
+\s{Analýza:} Operace s~mikrostromy, spojovacími hranami a cestami jsou, jak u¾ víme,
+amortizovanì konstantní. Operace s~makrostromy také, jeliko¾ trvají $\O(\log n)$,
+ale provede se jich pouze $\O(n/\log n)$. Ka¾dou operaci \<Union> nebo \<Find>
+rozlo¾íme $\O(1)$ tìchto dílèích operací, tak¾e bude také trvat $\O(1)$ amortizovanì.
+
+\h{Fredericksonova clusterizace}
+
+Mikro/makro-stromová dekompozice není jediný zpùsob, jak stromy rozkládat. Nìkdy
+se hodí napøíklad následující my¹lenka:
+
+\s{Definice:} (Fredericksonova clusterizace) Nech» $G$ je graf kde $\forall v \in V(G): {\rm deg}(v)\le 3$
+a $c \in {\bb N}$. Pak $c$-clusterizací grafu $G$ nazveme libovolný rozklad
+$G$ na~souvislé podgrafy (clustery) $G_1, G_2, \ldots, G_k$ takový, ¾e platí:
+\itemize\ibull
+\:$\forall v \in V \exists ! i: v \in C_i$.
+\:$\forall i: \vert C_i\vert \le c$.
+\:$\forall i$ je vnìj¹i stupeò $C_i$ (tj. poèet hran, které vedou mezi $C_i$ a zbytkem grafu)
+nejvý¹e~3. Navíc pokud je právì~3, je cluster triviální, èili $\vert C_i \vert = 1$.
+\:®ádné dva sousední clustery nelze spojit.
+\endlist
+
+\s{Vìta:} (Frederickson) $c$-clusterizace grafu $G$ má $\O(V(G)/c)$ clusterù a lze ji
+najít v~lineárním èase.
+
+\s{Dùkaz:} Hladovì pomocí DFS. \qed
+
+\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problemu bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
+vrcholù stupnì $>3$ \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany}\foot{tzv. francouzský trik},
+nalezením $(\log n)$-clusterizace, pou¾itím bitové reprezentace mno¾in uvnitø clusterù
+a pøebarvovací struktury na~hrany mezi clustery.
+
+\h{Stromoví pøedchùdci}
+
+\s{Problém:} {\I (Least Common Ancestor alias LCA)} Chceme si pøedzpracovat zakoøenìný strom~$T$
+tak, abychom dokázali pro libovolné dva vrcholy $x,y$ najít co~nejrychleji jejich nejbli¾¹ího
+spoleèného pøedchùdce.
+
+\s{Triviální øe¹ení LCA:}

 \itemize\ibull
 \itemize\ibull

-\: strom zakoøením a oèísluji mu hrany $0..h <  \log(n)$
-\: pamatujeme si: \itemize\ibull  
-  \:$\forall v \in C_i$ mno¾inu hran $P_v$ na cestì do koøene v (bitový vektor)
-  \:mon¾inu smazaných hran, operace delete pøidá hranu do mno¾iny
-  \:hranièní vrcholy
-  \endlist
-\: $P_x \oplus  P_y$ je cesta z x do y
+\:Vystoupáme z~$x$ i $y$ do~koøene, oznaèíme vrcholy na~cestách a kde se poprvé
+  potkají, tam je hledaný pøedchùdce. To je lineární s~hloubkou a nepotøebuje
+  pøedzpracování.
+\:Vylep¹ení: Budeme stoupat z~$x$ a $y$ støídavì. Tak potøebujeme jen lineárnì mnoho
+  krokù vzhledem ke~vzdálenosti spoleèného pøedchùdce.
+\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾nosti: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
+\:\dots\ co dál?

 \endlist
 \endlist

+
+Vìrni vtipùm o~matfyzácích pøevedeme radìji tento problém na~jiný:
+
+\s{Problém:} {\I (Range Minimum Query alias RMQ)} Chceme pøedzpracovat posloupnost èísel
+$a_1,\ldots a_n$ tak, abychom umìli rychle poèítat $\min_{x\le i\le y} a_i$.%
+\foot{V¹imnìte si, ¾e pro sèítání místo minima je tento problém velmi snadný.}
+
+\s{Triviální øe¹ení RMQ:}
+\itemize\ibull
+\:Pøedpoèítáme v¹echny mo¾né dotazy: pøedzpracování $\O(n^2)$, dotaz $\O(1)$.
+\:Pro ka¾dé $i$ a $j\le \log n$ pøedpoèítáme $m_{ij} = \min\{ a_i, a_{i+1}, \ldots, a_{i+2^j-1}$,
+èili minima v¹ech blokù velkých jako nìjaká mocnina dvojky. Kdy¾ se poté nìkdo zeptá
+na~minimum bloku délky~$l$, najdeme nejbli¾¹í ni¾¹í mocninu dvojky a spoèteme minimum
+z~minim blokù této velikost pøira¾ených k~zaèátku a ke~konci dotazovaného bloku.
+Tak zvládneme dotaz v~èase $\O(1)$ za~cenu pøedzpracování v~èase $\O(n\log n)$.
+\endlist
+
+\s{Lemma:} LCA lze pøevést na~RMQ s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
+èasem na~pøevod dotazu.
+
+\s{Dùkaz:} Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ nav¹tívíme vrchol (v~inorderu),
+zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi poslední
+náv¹tìvou~$x$ a první náv¹tìvou~$y$, nebo opaènì.
+\qed
+
+My si ov¹em v¹imneme, ¾e tento pøevod vytváøí dosti speciální instance problému RMQ,
+toti¾ takové, v~nich¾ je $\vert a_i - a_{i+1} \vert = 1$. Takovým instancím budeme
+øíkat RMQ${\pm}1$ a budeme je umìt øe¹it ¹ikovnou dekompozicí.
+
+\s{Dekompozice} pro RMQ${\pm}1$: Vstupní posloupnost rozdìlíme na~bloky velikosti $b=1/2\cdot \log n$,
+ka¾dý dotaz umíme rozdìlit na~èást týkající se celých blokù a maximálnì dva dotazy na~èásteèné bloky.
+
+V¹imneme si, ¾e aèkoliv blokù je mnoho, jejich mo¾ných typù (tj. posloupností klesání
+a stoupání) je pouze $2^{b-1}\le\sqrt n$ a bloky tého¾ typu se li¹í pouze posunutím
+o~konstantu. Vybudujeme proto kvadratickou strukturu pro jednotlivé typy a pro ka¾dý
+blok si zapamatujeme, jakého je typu a jaké má posunutí. Celkem strávíme èas
+$\O(n + \sqrt n \cdot \log^2 n) = \O(n)$ pøedzpracování a $\O(1)$ dotazem.
+
+Mimo to je¹tì vytvoøíme komprimovanou posloupnost v~ní¾ ka¾dý blok nahradíme
+jeho minimem. Tuto posloupnost délky $n/b$ budeme pou¾ívat pro èásti dotazù
+týkající se celých blokù a pøipravíme si pro ni \uv{logaritmickou} variantu
+triviální struktury. To nás bude stát $\O(n/b\cdot\log n)=\O(n)$ na~pøedzpracování
+a $\O(1)$ na~dotaz.
+
+To nám tedy dává algoritmus pro RMQ${\pm}1$ s~konstantním èasem na~dotaz po~lineárním
+pøedzpracováním a vý¹e zmínìným pøevodem i algoritmus na~LCA se stejnými parametry.
+Je¹tì uká¾eme, ¾e pøevod mù¾e fungovat i v~opaèném smìru, a~tak mù¾eme získat
+i konstantní/lineární algoritmus pro obecné RMQ.
+
+\s{Definice:} {\I Kartézský strom} pro posloupnost $a_1,\ldots,a_n$ je strom,
+jeho¾ koøenem je $a_j=\min_i a_i$, jeho levý syn je kartézský strom pro
+$a_1,\ldots,a_{j-1}$ a pravý syn kartézský strom pro $a_{j+1},\ldots,a_n$.
+
+\s{Lemma:} Kartézský strom je mo¾né zkonstruovat v~lineárním èase.
+
+\s{Dùkaz:} Pou¾ijeme inkrementální algoritmus, v¾dy si budeme pamatovat
+kartézský strom pro ji¾ zpracované prvky a pozici posledního zpracovaného
+prvku v~tomto stromu. Kdy¾ pøidáváme dal¹í prvek, hledáme místo, kam ho
+pøipojit, od~tohoto oznaèeného prvku nahoru. Pov¹imneme si, ¾e vzhledem
+k~potenciálu urèenému hloubkou oznaèeného prvku je èasová slo¾itost pøidání
+prvku amortizovanì konstantní.
+\qed
+
+\s{Lemma:} RMQ lze pøevést na~LCA s~lineárním èasem na~pøedzpracování a konstantním
+èasem na~pøevod dotazu.
+
+\s{Dùkaz:} Sestrojíme kartézský strom a RMQ pøevedeme na~LCA v~tomto stromu.
+\qed
+
+Výsledky této podkapitoly mù¾eme shrnout do~následující vìty:
+
+\s{Vìta:} Problémy LCA i RMQ je mo¾né øe¹it v~konstatním èase na~dotaz
+po~pøedzpracování v~lineárním èase.
+

 \bye
 \bye