+\input ../lecnotes.tex
+
+\prednaska{2}{Slo¾itost, grafové algoritmy}
+{(zapsal Martin Koutecký)}
+
+\h{Model {\sc Ram}}
+
+Pøi analýze algoritmu bychom chtìli nìjak popsat jeho slo¾itost. Abychom mohli
+ udìlat toto, potøebujeme nejprve definovat výpoèetní model. Výpoèetních modelù
+je více, my vybereme jeden pomìrnì blízký skuteèným poèítaèùm:
+
+\s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
+
+{\sc Ram} poèítá jen s èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
+èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
+èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
+koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
+\itemize\ibull
+\:Aritmetické a logické:
+$X \leftarrow Y \oplus Z, \oplus\in\{+, -, \times, \div,\mod, \&\&, \|, <<,
+>>\}$
+\:Skoky: goto LABEL
+\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít
+if~$X~<~Y~\Rightarrow$~instrukce
+\:Øídící: goto, halt.
+\endlist
+
+\s{Poznámka} (operandy):
+\itemize\ibull
+\:Konstanty (1,2,\dots)
+\:Adresované pøímo - M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena A-Z jako aliasy pro
+registry -1 a¾ -26
+(tedy A=M[-1])
+\:Adresované nepøímo -- M[M[konst.]] - budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
+\endlist
+
+Samotný výpoèet probíhá takto:
+\algo
+\:Do smluvených bunìk umístíme vstup, obsah zbylých pamì»ových bunìk není
+definován.
+\:Provádíme program postupnì po instrukcích, dokud nedojdeme k haltu nebo konci
+programu.
+\:Pokud se program nezacyklil, tedy pokud skonèil, ze smluvených bunìk pøeèteme
+výstup.
+\endalgo
+
+
+\h{Slo¾itost}
+Jak dobøe popsat slo¾itost?
+\numlist\ndotted
+\:{\sc Ram} s jednotkovou cenou: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor $\approx$
+maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
+Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
+velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
+poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
+bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
+\:{\sc Ram} s logaritmickou cenou: èas $\approx$ \#bitù zpracovávaných èísel,
+prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
+dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
+\:{\sc Ram} s omezenými èísly: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme na
+$\leq P(n)$, $P(n)$ je polynom. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale mù¾eme
+adresovat jen polynomiální prostor (to nám obvykle nevadí).
+\endlist
+
+% Z minulých zápiskù.
+\s{Definice:}
+\itemize\ibull
+\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako poèet
+elementárních operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
+$x$.
+\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
+bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
+\:{\I Èasová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
+$$T(n) := \max \{t(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
+\:{\I Prostorová slo¾itost} (v~nejhor¹ím pøípadì) je:
+$$S(n) := \max \{s(x) ; \hbox{$x$ je vstup délky $n$}\}.$$
+\endlist
+
+Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
+pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme v registru N poèet
+èísel, v buòkách 1\dots n je nesetøídìná posloupnost èísel. Ty pak tøídíme
+následujícím algoritmem zapsaném v pseudokódu:
+\algo
+\:Pro $i=1$ do $n$:
+\::$j\leftarrow i$
+\::Pro $k=i$ do $n$:
+\:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
+\::$[i]\leftrightarrow[j]$
+\endalgo
+
+Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
+pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
+tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
+
+%Tady vá¾nì nevím jak formátovat, aby to bylo hezké. Nejvíce by se mi líbil
+% verbatim, ale jak v nìm udìlat rozumnì ¹ipeèky? Tøeba => a <- ?
+\verbatim{
+ I <- 1
+LOOP: J <- I
+ M <- I
+MIN: IF [J]<[M] ==> M <- J
+ J <- J+1
+ IF J<=N ==> GOTO MIN
+ X <- [I]
+ [I] <- [M]
+ [M] <- X
+ I <- I+1
+ IF I<=N ==> GOTO LOOP
+}
+
+
+Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
+Cyklus MIN provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu MIN je v LOOP je¹tì 7
+instrukcí, tedy celý LOOP provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí. Celkovì se
+dostáváme k souètu
+$$1+3\cdot N+7+3\cdot (N-1)+7+3\cdot (N-2)+7+3\cdot (N-3)+\dots +3\cdot 1+7 =$$
+$$1+7\dots N+3\dots {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8,5N + 1$$
+
+Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- zaprvé se na reálných strojích
+ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, zadruhé
+asymptoticky pomalej¹í funkce stejnì pro velké N v¾dy prohraje, tak¾e nemá cenu
+(alespoò pøi prvním pøiblí¾ení k problému) multiplikativními konstantami se
+zabývat. Tím pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹í øádù:
+$$1,5N^2 + 8,5N + 1 \leq 1,5N^2 + 8,5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
+Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
+$\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení tzv.
+{\I asymptotické notace}
+
+\h{Asymptotická notace}
+% Okopírováno z minulých zápiskù, lehké opravy, na konci ukazujeme select sort
+% místo E.A.
+\s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
+¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
+f(n) \leq c \cdot g(n)$.
+Zde $\forall^* n \in {\bb N}$ je zkratka za \uv{$\exists n_0 \in {\bb N}:
+\forall n \geq n_0$}, tedy
+\uv{pro v¹echna~$n$ a¾ na~koneènì mnoho výjimek.}
+
+\s{Poznámka:} $\O$-notace tedy vyjadøuje, ¾e funkce~$f$ je skoro v¹ude men¹í
+nebo nejvý¹e rovná nìjakému reálnému násobku funkce~$g$. Aèkoliv zápis vypadá
+jako rovnost, rozhodnì není symetrický: napøíklad platí $\log n=\O(n)$, ale
+neplatí $n=\O(\log n)$. Formálnì by bylo lep¹í pova¾ovat $\O(g)$ za tøídu
+funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
+a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
+
+\s{Pøíklady:} $2.5n^{2} = \O(n^{2})$, $2.5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
+
+\>Také platí:
+$$
+\O(f)+\O(g) \in \O(f+g),
+$$
+èím¾ myslíme, ¾e pokud vezmeme libovolnou $f'=O(f)$ a $g'=O(g)$, bude
+$f'+g'=O(f+g)$.
+To platí, jeliko¾ skoro v¹ude je $f' \leq cf$, $g'\leq dg$, a~tedy $f'+g' \le
+cf+dg \le (c+d)(f+g)$.
+
+\s{Cvièení:} Uka¾te, ¾e:
+\itemize\ibull
+\:$\O(f) \cdot \O(g)=\O(f \cdot g)$,
+\:$\O(f+g)=\O(\max(f,g))$,
+\:$\O(n^{2})+\O(n)=\O(n^{2}+n)=\O(n^{2})$.
+\endlist
+
+$\O$-notace popisuje horní odhad asymptotického chování funkce. Mnohdy v¹ak
+potøebujeme také odhadnout funkci zespodu (chceme-li øíci, ¾e algoritmus
+potøebuje {\I alespoò} nìjaké mno¾ství èasu nebo pamìti), pøípadnì z~obou stran:
+
+\s{Definice:}
+
+\itemize\ibull
+\:$f=\Omega(g) \equiv \exists c>0:\forall^* n \in {\bb N}: f(n) \geq c\cdot
+g(n)$.
+
+$\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
+nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
+\:$f=\Theta(g) \equiv f=O(g) \wedge f=\Omega(g)$
+
+nebo výøeènìji:
+
+$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
+c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
+$c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
+$c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
+\endlist
+
+\s{Porovnání rùstu funkcí:} (aneb jak moc máme algoritmy rádi podle jejich
+chování od~nejlep¹ích k~nejhor¹ím)
+
+\itemize\ibull
+\:$\Theta(1) \ldots$ funkce zespoda i shora ohranièené konstantami
+\:$\Theta(\log{( \log{n} )})$
+\:$\Theta(\log{n})$ \dots\ logaritmická
+\:$\Theta(n^{\varepsilon}), \varepsilon \in (0,1)$ \dots\ sublineární
+\:$\Theta(n)$ \dots\ lineární
+\:$\Theta(n^{2})$ \dots\ kvadratická
+\:$\Theta(n^{k})$ \dots\ polynomiální
+\:$\Theta(2^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $2$
+\:$\Theta(3^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $3$
+\:$\Theta(k^{n})$ \dots\ exponenciální pøi základu $k>1$
+\:$\Theta(n!)$ \dots\ faktoriálová
+\:$\Theta(n^{n})$
+\:\dots\ nekoneènì mnoho dal¹ích tøíd (i mezi tìmi vý¹e uvedenými)
+\endlist
+
+\>{\sl Poznámka:} Pokud se v~odhadu slo¾itosti vyskytne logaritmus (jinde ne¾
+v~exponentu), nezále¾í na tom, jaký má základ, proto¾e platí:
+$$
+\log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
+$$
+kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$.}
+
+\s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
+Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
+prostorová $S(n) = \Theta(n)$.
+
+\h{Úvod do grafových algoritmù}
+Dal¹í dùle¾itou a zajímavou kapitolou jsou grafové algoritmy. Napøíklad
+následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
+nìjakým grafovým algoritmem:
+\itemize\ibull
+\:Mám mapku silnièní sítì, v ní oznaèené \uv{Doma} a \uv{©kola}. Dostanu se do
+¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
+napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
+cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
+\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ s ètvereèky
+oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
+na¹ím úkolem je správnì je seøadit. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
+to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
+\:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
+èíslicemi 1, 0 dìlitelné tøemi? Nakreslíme orientovaný graf s vrcholy 1 a¾ 13
+a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$ (z
+ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici 0).
+Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled z 0 do
+1. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
+\endlist
+Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
+
+\bye
projects / ads1.git / commitdiff