X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=7-ac%2F7-ac.tex;h=506a29e569657db70a98ac95e2d6f469e9c952b2;hb=60b2306bf042de503bce76f8050636dbafd273e0;hp=5030f062011959209be540243fe568a0078b4810;hpb=c3db7103f942ee420b7d525802bbc6b9b2a98b90;p=ads2.git diff --git a/7-ac/7-ac.tex b/7-ac/7-ac.tex index 5030f06..506a29e 100644 --- a/7-ac/7-ac.tex +++ b/7-ac/7-ac.tex @@ -2,92 +2,92 @@ \prednaska{7}{Vyhledávání v textu}{(zapsali J. Kunèar, M. Demin a J. Chludil)} -Na minulých predná¹kách jsme si ukázali, jak se v textu vyhledává slovo. Teï si ov¹em úlohu zobecníme a uká¾eme si, jak v kupce sena vyhledat více ne¾ jednu jehlu. +Na minulých predná¹kách jsme si ukázali, jak se v~textu (senì) vyhledává slovo (jehlu). Teï si ov¹em úlohu zobecníme a uká¾eme si, jak v kupce sena hledat souèasnì více ne¾ jednu jehlu. + +\h{Hledání výskytu v¹ech slov} -\h{Zopakujeme si základní znaèení} \itemize\ibull -\:$\iota_1, \ldots, \iota_k$ -- vyhledávaná slova (jehly) -\:$\sigma$ -- text, kde se hledá (seno) +\:$\iota_1, \ldots, \iota_k$ -- vyhledávaná slova (jehly) délek $ J_i= \vert\iota_i\vert $ +\:$\sigma$ -- text (seno) délky $ S= \vert\sigma\vert $ \endlist +Nejprve si øekneme, jak chceme, aby vypadal výstup. Výstupem pro nás budou v¹echny uspoøádané dvojice $(i,j)$ ($i$ je index jehly, kterou jsme nalezli, a $j$ je poèáteèní pozice v senì, kde se jehla nachází) takové, ¾e $$\iota_i=\sigma[j:j+J_i].$$ Postavme si proto vyhledávací automat podobný tomu, který jsme vidìli na minulé pøedná¹ce. Tento automat nám v¹echny takové uspoøádané dvojice najde. -\h{Hledání výskytu v¹ech slov} -Nejprve si øekneme, jak chceme, aby vypadal výstup, a poté jak ho dosáhnout. Výstupem pro nás budou v¹echny uspoøádané dvojice $(i,j)$ takové, ¾e $$\iota_i=\sigma[j:j+\vert\iota_i\vert]$$ Postavme si proto vyhledávací automat, který najde v¹echny takové uspoøádané dvojice. \h{Vyhledávací automat} -{\I Vyhledávací automat} je vlastnì strom\foot{http://en.wikipedia.org/wiki/Trie}, kde ka¾dý vrchol mù¾e mít stupeò a¾ do velikosti abecedy a kde jednotlivé hrany odpovídají písmenùm této abecedy. Vrcholy, ve kterých konèí slovo, jsou oznaèené (na obrazcích èernì). Dále si èasem do tohto vyhledávacího stromu pøidáme zpìtné hrany a \uv{zkratky}. +Vyhledávací automat je strom\foot{http://en.wikipedia.org/wiki/Trie}, kde ka¾dý vrchol mù¾e mít stupeò a¾ do velikosti abecedy a kde jednotlivé hrany odpovídají písmenùm této abecedy. Vrcholy, ve kterých konèí slovo, jsou oznaèené (na obrazcích èernì). Dále si èasem do tohoto vyhledávacího stromu pøidáme zpìtné hrany a \uv{zkratky}. -\s{Definice:} {\I Stav} je pozice ve stromì, která odpovídá nejdel¹ímu prefixu vyhovující jehly v senì (platí rovnì¾ stejný invariant z pøedchozí pøedná¹ky). - -\s{Definice:} {\I Zpìtná hrana} $z$($\alpha$) := nejdel¹í vlastní suffix\foot{definováno na 6. pøedná¹ce} slova $\alpha$, který je stavem. +\s{\I{Stavy}} automatu jsou urèeny vrcholy stromu, pro které platí rovnì¾ stejný {\I{invariant}} z pøedchozí pøedná¹ky.\par +\s{\I{Zpìtná hrana}} $z$($\alpha$) := nejdel¹í vlastní suffix\foot{definováno na minulé pøedná¹ce} slova $\alpha$, který je stavem.\par \figure{vyhl_automat_dopr.eps}{Vyhledávací automat}{1in} \h{Výstup z automatu} Pøi vypisování výsledkù mu¾eme narazit na urèité problémy, které jsou dobøe vidìt na následujícím obrázku. První problém urèitì nastane, proto¾e v automatu není pøesnì øeèeno, které slovo konèí v jakém vrcholu. Napøíklad ve stavu, kde konèí slovo BARBARA, konèí také slovo ARA, ale o tom nevíme. -Druhý problém nastává, kdy¾ v automatu není zaznaèen konec slova. Pøíkladem je seno BARAB (jednoduché k~nahlédnutí, viz obrázek). +Druhý problém nastává, kdy¾ v automatu není informace o~konci slova. Pøíkladem je seno BARAB (jednoduché k~nahlédnutí, viz obrázek). Teï nám nezbývá nic jiného, ne¾ najít øe¹ení tìchto záludných problémù. Øe¹e¹í se nám naskýtá hned nìkolik: \itemize\ibull -\:Projdeme v¹echy zpìtné hrany a vypí¹eme slova, jen¾ v daných stavech konèí. Toto øe¹ení funguje, ale je pomalé, proto¾e procházíme v¹echny zpìtné hrany. -\:Pøedpoèítání mno¾in. Najdeme mno¾inu slov tak, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární. Funkèní, ale konstrukce je pomalá. -\:$\(s) =$ index slova $\iota$, které konèí ve stavu $s$, nebo 0, \par -$\(s) =$ nejbli¾¹í vrchol, do kterého se lze z $s$ dostat po zpìtných hranách a $\(v) \ne 0$ (konèí tam slovo). -\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat -- se zpìtnými hranami}{1.3in} +\:Projdeme v¹echy zpìtné hrany a vypí¹eme slova, je¾ v daných stavech konèí. Toto øe¹ení funguje, ale je pomalé, proto¾e poka¾dé procházíme v¹echny zpìtné hrany. +%\:Pøedpoèítání mno¾in slov. Najdeme mno¾inu slov tak, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární. Funkèní, ale konstrukce je pomalá. +\:Pro následující øe¹ení, jen¾ spoèívá v nalezení zkratek ve stromì, si zavedeme toto znaèení:\par +\s{\($s$)} = index slova $\iota$, které konèí ve stavu $s$, nebo $\emptyset$ \par +\s{\($s$)} = nejbli¾¹í vrchol, do kterého se lze z $s$ dostat po zpìtných hranách a \ $\ne 0$ (konèí tam slovo) +\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat se zpìtnými hranami}{1.3in} \endlist -\>Jako vhodné øe¹ení tohoto problému se naskýtá poslední bod. Podle nìho vytvoøíme algoritmus na vyhledávání \uv{jehel v senì}. +\>Podle posledního bodu vytvoøíme algoritmus na vyhledávání \uv{jehel v senì}. \algo -\:$s \leftarrow \$ ($s$ je aktuální stav vyhledávacího automatu). +\:$s \leftarrow$ \ ($s$ bude aktuální stav vyhledávacího automatu). \:Procházíme v¹echny písmena $c$ v senì $\sigma$: \::$s \leftarrow krok(s,c)$. -\::Je-li $\(s) \ne 0 \Rightarrow$ vypí¹eme $\(s)$. -\::$v \leftarrow out(s)$. -\::Dokud $v \ne 0 $: +\::Je-li $\(s) \ne 0$, vypí¹eme $\(s)$. +\::$v \leftarrow \(s)$. +\::Dokud $v \ne 0$: \:::Vypí¹eme $\(v)$. \:::$v \leftarrow \(v)$. \endalgo -\>$\(s,c) :=$ jeden krok ve vyhledávacím automatu: +\s{\}:= jeden \ vyhledávacího automatu: \algo -\:Dokud $\neg \exists f(s,c) \wedge s \ne$ koøen: $s \leftarrow \(s)$. -\:Pokud $\exists f(s,c)$: $s \leftarrow \(s,c)$. +\:Dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ \: $s \leftarrow z(s)$. +\:Pokud $\exists f(s,c)$: $s \leftarrow f(s,c)$. \:Vrátíme $s$. \endalgo \h{Reprezentace v pamìti} -První mo¾nost jak reprezentovat vyhledávací automat je pole se seznamem synù. Je to jednoduchá varianta, ale má nevýhodu pro velké abecedy, proto¾e procházení seznamu synù mù¾e trvat neúmìrnì dlouho. Proto se nabízí druhá mo¾nost a to hashovací tabulka $(\,\) \rightarrow \(\,\)$, kde se \uv{ztratí} pou¾ívání hashovací funkce. +První mo¾nost, jak reprezentovat vyhledávací automat, je jednorozmìrné pole vrcholù stromu, v nìm¾ ukládáme seznam synù pro ka¾dý vrchol. Je to jednoduchá varianta, ale má nevýhodu pro velké abecedy, proto¾e procházení seznamu synù mù¾e trvat neúmìrnì dlouho. Proto se nabízí druhá mo¾nost a to hashovací tabulka $(\,\) \rightarrow f(\,\)$, kde se \uv{ztratí} pou¾ívání hashovací funkce. \h{Slo¾itost} \itemize\ibull -\:Kroky 2--5 mají èasovou slo¾itost $\O(\vert \sigma \vert)$, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu -- poèet krokù nahoru $ \leq $ poèet krokù dolù $ \leq \vert \sigma \vert$, kde $\vert \sigma \vert$ je délka sena. -\:Kroky 6--8 mají èasovou slo¾itost $\O(\)$, proto¾e rychleji opravdu nelze v¹echny výskyty vypsat. +\:Kroky 2.--5. mají èasovou slo¾itost $\O(\vert \sigma \vert)$, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu -- poèet krokù nahoru je men¹í nebo roven poètu krokù dolù. A to je maximálnì $S$. +\:Kroky 6.--8. mají èasovou slo¾itost $\O(\)$, proto¾e rychleji doopravdy nelze v¹echny výskyty vypsat. \endlist -\s{Konstrukce automatu (Aho, Corasicková)} +\s{Konstrukce automatu} (Aho, Corasicková) \algo \:Postavíme strom dopøedných hran, $r \leftarrow$ koøen stromu. -\:Spoèteme $\(\ast)$ (spoèteme funkci \ pro v¹chny stavy). -\:Spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:])$. -\itemize\ibull -\:$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ -- v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin -\:$z(v) = \(z(u),c)$ -\endlist +\:Spoèteme $\(\ast)$ -- oznaèíme si stavy, kde konèí slova. +\:Spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:])$: + {\parindent=6em \itemize\ibull + \:\>\>\>$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ -- v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin + \:$z(v) = \(z(u),c)$ + \endlist} \figure{Graphic100.eps}{$\(v) = \(z(u),c)$}{0.7in} \:$z(r) \leftarrow 0$, do fronty $Q$ pøiøadíme v¹echny syny $r$, pro v¹echny $v$ prvky $Q: z(v) \leftarrow r$. \:Dokud fronta $Q$ není prázdná: -\::$u\leftarrow$ vybereme z $Q$. +\::$u\leftarrow$ vybereme z~$Q$. \::Pro syny $v$ vrcholu $u$: -\:::$R \leftarrow \(z(u)$, znak na hranì \). +\:::$R \leftarrow \(z(u))$ [znak na hranì \]. \:::$z(v)\leftarrow R$. \figure{Graphic101.eps}{}{0.7in} -\:::Je-li $slovo(R) \not= 0 \Rightarrow out(v) \leftarrow R$, jinak $out(v) \leftarrow out(R)$. +\:::Je-li $slovo(R) \not= 0 \Rightarrow \(v) \leftarrow R$, jinak $\(v) \leftarrow \(R)$. \figure{Graphic102.eps}{}{0.7in} \endalgo \figure{vyhl_automat_full.eps}{Vyhledávací automat -- kompletní}{1in} \s{Vìta:} -Algoritmus A-C najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve slove $\sigma$ v èase: $$\O(\Sigma_i \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \).$$ +Algoritmus Aho-Corasicková najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve~slovì $\sigma$ v~èase $\O(\sum_i \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \)$. \h{Polynomy a násobení} \>Mìjme dva polynomy definované jako: @@ -102,7 +102,8 @@ ve~v \figure{polynom.eps}{Polynom}{2in} \ss{Plán:} -\>Nech» $k=2n-1$, zvolíme $x_0, \ldots, x_k$ libolná, ale rùzná a spoèteme $P(x_0), \ldots, P(x_k)$ a $Q(x_0), \ldots, Q(x_k)$. + +\>Nech» $k=2^{n-1}$. Zvolíme èísla $x_0, \ldots, x_k$ libovolná, ale rùzná, a spoèteme $P(x_0)$, \dots, $P(x_k)$ a $Q(x_0), \ldots, Q(x_k)$. Poté $\forall j: y_j=P(x_j)Q(x_j)$ musíme najít polynom $R$ stupnì $\leq k: \forall j: R(x_j)=y_j$. @@ -110,19 +111,17 @@ mus \>BÚNO $n=2^m$. Uva¾me polynom: $$P(x) = p_0 x^0 + p_1 x^1 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}.$$ -Tento polynom si mu¾eme rozdìlit, na dvì èásti. V~levé budeme mít èleny se sudými exponenty a v~pravé budou èleny s exponenty lichými: +Tento polynom si mu¾eme rozdìlit na dvì èasti. V levé budeme mít èleny se sudými exponenty a v~pravé budou èleny s~exponenty lichými: $$P(x) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + (p_1 x^1 + p_3 x^3 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}).$$ Z pravé strany mù¾eme vytknout $x$ a dostaneme: -$$P(x) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2})$$ +$$P(x) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2}),$$ $$ \vdots $$ $$P(x) = L(x^2) + xN(x^2),$$ $$P(-x) = L(x^2) - xN(x^2),$$ -kde $L(x)$ a $N(x)$ jsou polynomy stupnì $n/2$. Umocnìním $x^2$ se nám poru¹í párování $x$ a $-x$, proto musíme poèítat v $\bb{C}$. -Musíme si ale uvìdomit, ¾e tyto vztahy platí pouze, kdy¾ existuje pár $-x$ a $x$ v tìlese, nad kterým poèítáme. V~tomto pøípadì jsme z~polynomu s~$n$ koeficienty v~$n$ bodech dostali $2$ polynomy s~$n/2$ koeficienty v~$n/2$ bodech. Z~toho vyplývá èasová slo¾itost definována vztahem: +kde $L(x)$ a $N(x)$ jsou polynomy stupnì $n/2$. Umocnìním $x^2$ se nám poru¹í párování $x$ a $-x$, proto musíme poèítat v~$\bb{C}$ místo~$\bb{R}$. +V~tomto pøípadì jsme z~polynomu s~$n$ koeficienty v~$n$ bodech dostali $2$ polynomy s~$n/2$ koeficienty v~$n/2$ bodech. Z~toho vyplývá èasová slo¾itost definována vztahem: $$T(n) = 2T(n/2) + \O(n).$$ Ten mù¾eme vyøe¹it s pou¾itím Master Theoremu z~ADS~I a dostaneme: $$T(n) = \O(n \log n).$$ \bye - -