X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=7-ac%2F7-ac.tex;h=09fe571d583b15e7c59840e5dffa48bac9a9cd36;hb=803253be8a92091997e531f78824c2ff0f6b7268;hp=f8408a307e89186501fcc120efb19cb36be02018;hpb=f81463b774c133e8023c605dfc96be9343f5d5c1;p=ads2.git diff --git a/7-ac/7-ac.tex b/7-ac/7-ac.tex index f8408a3..09fe571 100644 --- a/7-ac/7-ac.tex +++ b/7-ac/7-ac.tex @@ -2,124 +2,123 @@ \prednaska{7}{Vyhledávání v textu}{(zapsali J. Kunèar, M. Demin a J. Chludil)} +Na minulých predná¹kách jsme si ukázali, jak se v textu vyhledává slovo. Teï si ov¹em úlohu zobecníme a uká¾eme si, jak v kupce sena vyhledat více ne¾ jednu jehlu. + \h{Zopakujeme si základní znaèení} \itemize\ibull -\:$\iota_1 \ldots \iota_k$ -- jehly -\:$\sigma$ text (seno) +\:$\iota_1, \ldots, \iota_k$ -- jehly +\:$\sigma$ -- text (seno) \endlist \h{Hledání výskytu v¹ech slov} -\itemize\ibull -\:Chceme najít v¹echny $(i,j)$ takové ¾e $\iota_i=\sigma[j:j+\vert\iota_i\vert]$ -\:Postavíme vyhledávací automat -\endlist +Nejprve si øeknìme, jak chceme aby vypadal výstup a poté jak ho dosáhnout. Výstupem pro nás budou v¹echny uspoøádané dvojice $(i,j)$ takové, ¾e $$\iota_i=\sigma[j:j+\vert\iota_i\vert]$$ Postavme si proto vyhledávací automat, který najde v¹echny takové uspoøádané dvojice. -\h{Vyhledávací automat} -Teï si popí¹eme, jak se takovýto vyhledávací automat vytváøí. Vyhledávací automat je vlastnì obecný $n$-ární strom, do kterého jsou pøidány zpìtné hrany. +\h{Vyhledávací automat} +Vyhledávací automat je vlastnì strom\foot{http://en.wikipedia.org/wiki/Trie}, kde ka¾dý vrchol mù¾e mít stupeò a¾ do velikosti abecedy a kde jednotlivé hrany odpovídají písmenùm této abecedy. Vrcholy, ve kterých konèí slovo, jsou oznaèené (na obrazcích èernì). Dále si èasem do tohto vyhledávacího stromu pøidáme zpìtné hrany a "zkratky". -\s{Zpìtná hrana z$(\alpha)$ }:= nejdel¹í vlastní sufix slova $\alpha$, který je stavem. +\s{Stav} je pozice ve stromì, která odpovídá nejdel¹ímu prefixu vyhovující jehly v senì (platí rovnì¾ stejný \s{invariant} z pøedchozí pøedná¹ky).\par +\s{Zpìtná hrana} $z$($\alpha$) := nejdel¹í vlastní suffix\foot{definováno na 6. pøedná¹ce} slova $\alpha$, který je stavem.\par \figure{vyhl_automat_dopr.eps}{Vyhledávací automat}{1in} -\h{Hledání jehel v kupì sena} -Konkrétní algoritmus vyhledávání by se dal popsat takto: +\h{Výstup z automatu} +Pøi vypisování výsledkù mu¾eme narazit na urèité problémy, které jsou dobøe vidìt na následujícím obrázku. První problém urèitì nastane, proto¾e v automatu není pøesnì øeèeno, které slovo konèí v jakém vrcholu. +Napøíklad ve stavu, kde konèí slovo BARBARA, konèí také slovo ARA, ale o tom nevíme. +Druhý problém nastává, kdy¾ v automatu není zaznaèen konec slova. Pøíkladem je seno BARAB (jednoduché k nahlédnutí viz. obrázek). +Teï nám nezbývá nic jiného, ne¾ najít øe¹ení tìchto záludných problémù. Øe¹e¹í se nám naskýtá hned nìkolik: +\itemize\ibull +\:Projdeme v¹echy zpìtné hrany a vypí¹eme slova, jen¾ v daných stavech konèí. Toto øe¹ení funguje, ale je pomalé, proto¾e procházíme v¹echny zpìtné hrany. +\:Pøedpoèítání mno¾in. Najdeme mno¾inu slov tak, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární. Funkèní, ale konstrukce je pomalá. +\:\s{\($s$)} = index slova $\iota$, které konèí ve stavu $s$, nebo $\emptyset$ \par +\s{\($s$)} = nejbli¾¹í vrchol, do kterého se lze z $s$ dostat po zpìtných hranách a \ $\ne 0$ (konèí tam slovo) +\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat -- se zpìtnými hranami}{1.3in} +\endlist + +\>Jako vhodné øe¹ení tohoto problému se naskýtá poslední bod. Podle nìho vytvoøíme algoritmus na vyhledávání "jehel v senì". \algo -\:$s \leftarrow koren$ (zaèínáme v koøeni) -\:$\forall$ c písmenka $\sigma$ -\::$s \leftarrow krok(s,c)$ -\::je-li \ $\ne 0 \Rightarrow$ \ -\::$v \leftarrow out(s)$ -\::dokud $v \ne 0 $ -\:::vypi¹ \ -\:::$v \leftarrow$ \ +\:$s \leftarrow$ \ ($s$ je aktuální stav vyhledávacího automatu). +\:Procházíme v¹echny písmena $c$ v senì $\sigma$: +\::$s \leftarrow krok(s,c)$. +\::Je-li \ $\ne 0 \Rightarrow$ \. +\::$v \leftarrow out(s)$. +\::Dokud $v \ne 0 $: +\:::Vypi¹ \. +\:::$v \leftarrow$ \. \endalgo -\s{\}:= jeden \ vytváøení vyhledávacího algoritmu - +\s{\}:= jeden \ ve vyhledávacím automatu \algo -\:dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ koøen: $s \leftarrow$ \ -\:pokud $\exists$ \: $s \leftarrow$ \ -\:vrátíme s +\:Dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ koøen: $s \leftarrow$ \. +\:Pokud $\exists f(s,c)$: $s \leftarrow$ \. +\:Vrátíme $s$. \endalgo -\s{Výstup z automatu} -\itemize\ibull - -\:\s{BARBARA} - konèí \s{BARBARA} ale taky \s{ARA}, ale o tom nevíme. -\:Slovo mù¾e konèit i tehdy, pokud v automatu není zaznaèen konec. -\endlist -\>Øeknìme si nìkolik návrhù na vypisování nalezených slov a¾ se dostaneme k tomu nejlep¹ímu. - -\s{Vypisování nalezených slov} -\itemize\ibull -\:slovo, které v daném stavu konèí -- nefunguje -\:projít v¹echy zpìtné hrany -- funguje, ale pomalé -\:pøepoèítat mno¾iny - najít mno¾inu slov, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární -- nestihneme konstrukci -\:\ = index $\iota_i$, která konèí ve stavu S, nebo $\emptyset$ -\par $out(s)$ = nejbli¾¹í vrchol , do kterého se dá z s dostat po zpìtných hranách a \ $\ne 0$ (konèí tam slovo) -\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat -- se zpìtnými hranami}{1.3in} -\endlist +\h{Reprezentace v pamìti} +První mo¾nost jak reprezentovat vyhledávací automat je pole se seznamem synù. Je to jednoduchá varianta, ale má nevýhodu pro velké abecedy, proto¾e procházení seznamu synù mù¾e trvat neúmìrnì dlouho. Proto se nabízí druhá mo¾nost a to hashovací tabulka \<(stav,znak)> $\rightarrow$ \, kde se "ztratí" pou¾ívání hashovací funkce. \h{Slo¾itost} \itemize\ibull -\:kroky 2.-5. mají èasouvou slo¾itost \, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu - kroku nahoru $ \leq $ kroku dolu $= max(\vert \sigma \vert) $ -\:kroky 6.-8. mají èasovou slo¾itost \, co¾ je celkem logické, proto¾e rychleji opravdu nejdou vèechny výskyty vypsat +\:kroky 2.--5. mají èasovou slo¾itost $O(\vert \sigma \vert)$, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu -- poèet krokù nahoru $ \leq $ poèet krokù dolù je maximálnì $\vert \sigma \vert$, kde $\vert \sigma \vert$ je délka sena +\:kroky 6.--8. mají èasovou slo¾itost $O$(\), proto¾e rychleji opravdu nejdou v¹echny výskyty vypsat \endlist -\s{Konstrukce automatu} (Aho, Coracisková) +\s{Konstrukce automatu} (Aho, Corasicková) \algo -\:postavíme strom dopøedných hran r $\leftarrow$ koøen -\:spoèteme \$(\ast)$ -\:spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:]) \{\beta[1:]$ slovo $\beta$ bez prvního písmene$\}$ +\:Postavíme strom dopøedných hran, $r \leftarrow$ koøen stromu. +\:Spoèteme \($\ast$). +\:Spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:])$. \itemize\ibull \:$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ - v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin \:\ \endlist -\figure{Graphic100.eps}{z(v)=Krok(z(u),c)}{0.7in} -\:$z(r) \leftarrow 0, Q \leftarrow \{$ \ $\}, \forall v \in Q : z(v) \leftarrow r$ -\:dokud $ Q \ne 0$ -\::$u\leftarrow$ vyber z $Q$ (7-9 ¹ipka) -\::pro syny $v$ vrcholu $u$: -\:::$z \leftarrow$ \, znak $n \geq uv)$ -\:::$z(v)\leftarrow R$ +\figure{Graphic100.eps}{\}{0.7in} +\:$z(r) \leftarrow 0$, do fronty $Q$ pøiøadíme v¹echny syny $r$, pro v¹echny $v$ prvky $Q: z(v) \leftarrow r$ +\:Dokud fronta $Q$ není prázdná: +\::$u\leftarrow$ vyber z $Q$. +\::Pro syny $v$ vrcholu $u$: +\:::$R \leftarrow$ \($z(u)$, znak na hranì \). +\:::$z(v)\leftarrow R$. \figure{Graphic101.eps}{}{0.7in} -\:::je-li $slovo(z) \not= 0 \Rightarrow out(v) \leftarrow z$, jinak $out(v) = out(z)$ +\:::Je-li $slovo(R) \not= 0 \Rightarrow out(v) \leftarrow R$, jinak $out(v) = out(R)$. \figure{Graphic102.eps}{}{0.7in} \endalgo \figure{vyhl_automat_full.eps}{Vyhledávací automat -- kompletní}{1in} \s{Vìta:} -Algoritmus A-C najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve slove $\sigma$ v èase $$O(\Sigma \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \# výskytù)$$ - -\s{Reprezentace v pamìti} -\itemize\ibull -\:pole se seznamem synù -\:hashovací tabulka \<(stav-znak)> $\rightarrow$ \ -- pro velké abecedy -\endlist +Algoritmus A-C najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve slove $\sigma$ v èase $$O(\Sigma_i \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \)$$ \h{Polynomy a násobení} Mìjme dva polynomy definované jako -$$P(x) = \sum_{j=0}^{n-1} p_j x^j$$ -$$Q(x) = \sum_{j=0}^{n-1} q_j x^j$$ -Provedení operace $R=P*R$ je ekvivalentní s $R = \sum_{j,k} p_j q_k k^{j+k}$. Pøièem¾ na vypoèítání èlenu $r_l = \sum_{j=0}^l p_j q_{l-j}$ pou¾ijeme $\theta(n^2)$ operací. +$$P(x) = \sum_{j=0}^{n-1} p_j x^j, Q(x) = \sum_{j=0}^{n-1} q_j x^j$$ +Násobení dvou polynomù $R=P*Q$ je ekvivalentní s operací $R = \sum_{j,k} p_j q_k x^{j+k}$. Pøièem¾ na vypoèítání èlenu $r_l = \sum_{j=0}^l p_j q_{l-j}$ pou¾ijeme $\Theta(n)$ operací, teda na spoèítaní celého polynomu $R$ potøebujeme $\Theta(n^2)$ operací.\par -\s{Vìta:} Jsou-li $x_0, \ldots, x_k \in R$ navzájem ruzná a $y_0, \ldots, y_k \in R$, pak $\exists !$ polynom P stupnì $\leq k : \forall j: P(x_j) = y_j$ +Podíváme se na jinou mo¾nost, jak tento problém øe¹it. Poslou¾í nám k tomu následující vìta o jednoznaènosti existence polynomu nejvý¹e $k$-tého stupnì, pokud známe hodnoty v alespoò $k$ bodech. + +\s{Vìta:} Jsou-li $x_0, \ldots, x_k \in \bb{R} $ navzájem ruzná a $y_0, \ldots, y_k \in \bb{R}$, pak $\exists !$ polynom P stupnì $\leq k : \forall j: P(x_j) = y_j$ \figure{polynom.eps}{Polynom}{2in} -\s{Vyhodnocováni polynomu} (metodou rozdìl a panuj) +\s{Plán:} +Nech» $k=2n-1$, zvolíme $x_0, \ldots, x_k$ libolné, ale rùzná a spoèteme $P(x_0), \ldots, P(x_k)$ a $P(y_0), \ldots, P(y_k)$. +Poté $\forall j: y_j=P(x_j)Q(x_j)$ +musíme najít polynom $R$ stupnì $\leq k: \forall j: R(x_j)=y_j$ -BÚNO $n=2^m$ +\s{Vyhodnocování polynomù} (metodou Rozdìl a panuj)\par +\>BÚNO $n=2^m$\par +\>Uvá¾me polynom: $$P(x_j) = p_0 x^0 + p_1 x^1 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}$$ +Tento polynom si mu¾eme rozdelit, na 2 èasti. V levé budeme mít èleny s exponentem sudým a v pravé budou èleny s lichými koeficienty. $$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + (p_1 x^1 + p_3 x^3 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1})$$ +Z pravé strany mù¾eme vytknout $x$ a dostaneme: $$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2})$$ $$ \vdots $$ $$P(x) = L(x^2) + xN(x^2)$$ $$P(-x) = L(x^2) + xN(x^2)$$ - -\>polynom s $n$ koeficienty v $n$ bodech $\rightarrow$ $2$ polynomy s $n/2$ koeficienty v $n/2$ bodech +Kde $L(x)$ a $N(x)$ jsou polynomy stupnì $n/2$. Umonìním $x^2$ se nám poru¹í párování $x$ a $-x$, proto musíme poèítat v $\bb{C}$. +Musíme si ale uvìdomit, ¾e tyto vztahy platí pouze, kdy¾ existuje pár $-x$ a $x$ v tìlese, nad kterým poèítáme. V tomto pøípade jsme z polynomu s $n$ koeficienty v $n$ bodech dostali $2$ polynomy s $n/2$ koeficienty v $n/2$ bodech. Z èeho¾ vyplývá èasová slo¾itost definována vztahem: $$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$$ +Co¾ mù¾eme vyøeøit s pou¾itím Master Theoremu z ADS 1 a dostáváme $$T(n) = O(n \log n)$$ \bye