X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=4-goldberg%2F4-goldberg.tex;h=c7f53bfd55f081ed184e2a8ce9bf586347e8f701;hb=HEAD;hp=4ca1bc0a337ec238495d6fa7974958147156f492;hpb=44ef460cf60d4082df1e57cc160902d63c64be37;p=ads2.git diff --git a/4-goldberg/4-goldberg.tex b/4-goldberg/4-goldberg.tex old mode 100755 new mode 100644 index 4ca1bc0..c7f53bf --- a/4-goldberg/4-goldberg.tex +++ b/4-goldberg/4-goldberg.tex @@ -1,124 +1,439 @@ -\input lecnotes.tex - -\prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, -%J. Volec, -J. Záloha)} - -\noindent -Pøedstavíme si nový algoritmus pro hledání toku v síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako -{\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í. - -\noindent -Tento algoritmus narozdíl od {\I Dinicova algoritmu} zaèíná s pøebytky v sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevedení. Abychom se pøi pøi tomto pøevádìní nezacyklili definujeme vý¹ku vrcholu a pøevádíme pouze z kopce. - -\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$ -je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), taková ¾e $ \forall (u,v) \in E : f(u,v) \leq c(u,v) \wedge $, kde $c(u,v)$ je kapacita hrany$(u,v)$, pro -$ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. - -\s{Poznámka:} Funkci $f^{\Delta}(v)$ definujeme pro libovolnou funkci $f : E \rightarrow \bb R$ -: $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$ -Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $. - -\noindent -Algoritmus pracuje se sítí rezerv. To je funkce $r(u, v) u,v \in V$ taková, ¾e pro $\forall (u, v) \in E: r(u,v)+f(u,v)=c(u,v)$. Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je pøidáme s nulovou kapacitou. - -\noindent -V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em -vrcholùm vý¹ky pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$. - -\s{Operace:} pro $ (u,v) \in E$ - -\algo -\:{\I Pøevedení pøebytku} - -Pokud platí: -\itemize\ibull - \: $u : f^{\Delta}(v) > 0$ - \: $v : h(u) > h(v)$ - \: $r(u,v)>0$ -\endlist - pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$, $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ . - -Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$. -Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$ -budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}. - -\:{\I Zvednutí vrcholu} $u$ - -Pokud v algoritmu narazíme na pøebytek, který nelze pøevést, zvedneme vrchol $h(u):=h(u)+1$. -\endalgo - -\s{Algoritmus:} (Goldberg) - -\algo -\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$. -\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$. -\:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$: -\::Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v). -\::Jinak zvedneme $u$. -\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek. -\endalgo - -%\s{Poznámka:} Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je tam pøidáme s nulovou kapacitou - -\noindent -Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného -agoritmu. - -\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$, se kterou pracuje algoritmus je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a $h(z)=n, h(s)=0$. - -\proof -Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne z$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku. -\qed - -\s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou. - -\proof -Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h$, ale to nejde. -\qed - -\s{Lemma K (o korektnosti):} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maximální tok $f$. - -\proof -Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit jen pokud nastanou oba tyto pøípady souèasnì: -\itemize\ibull -\:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok. -\:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $n$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S. -\endlist -\qed - -\s{Invarinat C (cesta domù, do zdroje):} Je-li $v \in V(G), v \neq z,s, f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. - -\proof -Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. -Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$. -Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$. - -\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$, se jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí: -$$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$ -Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo» obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek. -\qed -\s{Invariant V (vý¹ka):} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2n$. - -\proof -Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $n-1$. -Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2n$, musel by být zvednut alespoò $2n$-krát. To ale znamená, ¾e by po $2n-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu ${u} \in E$, musí platit $h(v)\le h({u})$ a tedy $v$ bude zvednut po $2n$-té. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=n$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S. -\qed - -\s{Lemma Z (poèet zvednutí):} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2n^{2}$. - -\proof -Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì $2n$-krát a vrcholù je $n$. -\qed -% -%\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena. -% -%\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu. - -\s{Lemma SY (sytá pøevedení):} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$. - -\proof -Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v)0$ a $r(uv)>0$, +provedeme tak, ¾e po hranì~$uv$ po¹leme $\delta = \min(f^\Delta(u), r(uv))$ jednotek toku, +podobnì jako v~pøedchozích algoritmech buï pøiètením po smìru nebo odeètením proti smìru. + +\s{Pozorování:} Pøevedení zmìní pøebytky a rezervy následovnì: + +$$\eqalign{ +f'^\Delta(u) &= f^\Delta(u) - \delta \cr +f'^\Delta(v) &= f^\Delta(v) + \delta \cr +r'(uv) &= r(uv) - \delta \cr +r'(vu) &= r(vu) + \delta \cr +}$$ + +Rádi bychom postupným pøevádìním v¹echny pøebytky buï pøepravili do spotøebièe +nebo, pokud je vlna pøíli¹ velká, je pøelili zpìt do zdroje. Chceme se ov¹em vyhnout +pøelévání pøebytkù tam a zase zpìt, tak¾e vrcholùm pøiøadíme {\I vý¹ky} -- to budou +nìjaká pøirozená èísla $h(v)$. + +Pøebytek pak budeme ochotni pøevádìt pouze z~vy¹¹ího vrcholu do~ni¾¹ího. Pokud se +stane, ¾e nalezneme vrchol s~pøebytkem, ze kterého nevede ¾ádná nenasycená hrana +smìrem dolù, budeme tento vrchol {\I zvedat} -- tedy zvy¹ovat mu vý¹ku po jedné, +ne¾ se dostane dostateènì vysoko, aby z~nìj pøebytek mohl odtéci. + +Získáme tak následující algoritmus: + +\algo{Goldberg} +\algin Sí». +\:Nastavíme poèáteèní vý¹ky: \cmt{zdroj ve~vý¹ce~$n$, ostatní ve~vý¹ce~0} +\::$h(z)\leftarrow n$ +\::$h(v)\leftarrow 0$ pro v¹echny $v\ne z$ +\:Vytvoøíme poèáteèní vlnu: \cmt{v¹echny hrany ze~$z$ na maximum, jinde~0} +\::$f\leftarrow \hbox{v¹ude nulová funkce}$ +\::$f(zv)\leftarrow c(zv)$, kdykoliv $zv\in E$ +\:Dokud $\exists u \in V \setminus \{z,s\}: f^{\Delta}(u)>0$: +\::Pokud $\exists v \in V: uv \in E,~r(uv)>0$ a~$h(u)>h(v)$, \hfil\break {\I pøevedeme pøebytek} po~hranì~$uv$. +\::V~opaèném pøípadì {\I zvedneme} $u$:~$h(u) \leftarrow h(u) + 1$. +\algout Maximální tok~$f$. +\endalgo + +\h{Analýza algoritmu} + +Algoritmus je jednoduchý, ale na první pohled není vidìt ani to, ¾e se v¾dy +zastaví, nato¾ ¾e by mìl vydat maximální tok. Postupnì o~nìm doká¾eme nìkolik +invariantù a lemmat a pomocí nich se dobereme k~dùkazu správnosti a èasové slo¾itosti. + +\s{Invariant A (základní):} +\numlist \ndotted +\:Funkce~$f$ je v~ka¾dém kroku algoritmu vlna. +\:Vý¹ka $h(v)$ ¾ádného vrcholu~$v$ nikdy neklesá. +\:$h(z)=n$ a~$h(s)=0$ po~celou dobu bìhu algoritmu. +\endlist + +\proof Indukcí dle poètu prùchodù cyklem (7. -- 9. krok algoritmu): + +\itemize\ibull +\:Po inicializaci algoritmu je v¹e v~poøádku: pøebytky v¹ech vrcholù mimo zdroj +jsou nezáporné, vý¹ky souhlasí. +\:Pøi pøevedení pøebytku: Z~definice pøevedení pøímo plyne, ¾e neporu¹uje +kapacity a nevytváøí záporné pøebytky. Vý¹ky se nemìní. +\:Pøi zvednutí vrcholu: Tehdy se naopak mìní jen vý¹ky, ale pouze u~vrcholù rùzných +od~zdroje a stoku. Vý¹ky navíc pouze rostou. +\qeditem +\endlist + +\s{Invariant S (o~Spádu):} Neexistuje hrana~$uv$, která by mìla kladnou rezervu +a spád $h(u) - h(v)$ vìt¹í ne¾~1. + +\proof Indukcí dle bìhu algoritmu. +Na zaèátku mají v¹echny hrany ze~zdroje rezervu nulovou a~v¹echny ostatní vedou +mezi vrcholy s~vý¹kou 0. V~prùbìhu výpoètu by se~tento invariant mohl pokazit pouze +dvìma zpùsoby: + +\itemize\ibull +\:Zvednutím vrcholu~$u$, ze~kterého vede hrana~$uv$ s~kladnou rezervou +a~spádem 1. Tento pøípad nemù¾e nastat, nebo» algoritmus by dal pøednost +pøevedení pøebytku po~této hranì pøed zvednutím. +\:Zvìt¹ením rezervy hrany se~spádem vìt¹ím ne¾ 1. Toto také nemù¾e +nastat, nebo» rezervu bychom mohli zvìt¹it jedinì tak, ¾e bychom +poslali nìco v~protismìru -- a~to nesmíme, jeliko¾ bychom pøevádìli +pøebytek z~ni¾¹ího vrcholu do~vy¹¹ího. +\qeditem +\endlist + +\s{Lemma K (o~Korektnosti):} Kdy¾ se~algoritmus zastaví, je~$f$ maximální tok. + +\proof +Nejprve uká¾eme, ¾e {\I $f$ je tok:} Omezení na kapacity splòuje tok stejnì +jako vlna, tak¾e postaèí dokázat, ¾e platí Kirchhoffùv zákon. Ten po¾aduje, +aby pøebytky ve~v¹ech vrcholech kromì zdroje a spotøebièe byly nulové. To ov¹em +musí být, proto¾e nenulový pøebytek by musel být kladný a algoritmus by se dosud +nezastavil. + +Zbývá zdùvodnit, ¾e {\I $f$ je maximální:} Pro spor pøedpokládejme, ¾e tomu tak není. +Ze~správnosti Fordova-Fulkersonova algoritmu plyne, ¾e tehdy musí existovat nenasycená +cesta ze~zdroje do~stoku. Uva¾me libovolnou takovou cestu. Zdroj je stále ve~vý¹ce~$n$ +a~spotøebiè ve~vý¹ce 0 (viz invariant A). Tato cesta tedy pøekonává spád~$n$, +ale mù¾e mít nejvý¹e~$n-1$ hran. Proto se v~ní nachází alespoò jedna hrana se~spádem +alespoò~2. Jeliko¾ je tato hrana souèástí nenasycené cesty, musí být sama nenasycená, +co¾ je spor s~invariantem~S. Tok je tedy maximální. +\qed + +\s{Lemma C (Cesta do zdroje):} Mìjme vrchol~$v$, jeho¾ pøebytek $f^{\Delta}(v)$ je kladný. +Pak existuje nenasycená cesta z~tohoto vrcholu do~zdroje. + +\proof +Buï~$v$ vrchol s~kladným pøebytkem. +Uva¾me mno¾inu $A := \{ u \in V \mid \hbox{existuje nenasycená cesta z~$v$ do~$u$} \}$. +Uká¾eme, ¾e tato mno¾ina obsahuje zdroj. + +Pou¾ijeme u¾ mírnì okoukaný trik: seèteme pøebytky ve~v¹ech vrcholech mno¾iny~$A$. +V¹echny hrany le¾ící celé uvnitø~$A$ nebo celé venku pøispìjí dohromady nulou. +Nenulou mohou pøispìt pouze hrany vedoucí ven z~$A$ nebo naopak zvenku dovnitø. +Získáme: +$$ + \sum_{u \in A}f^{\Delta}(u) = + \underbrace{ \sum_{ba \in E(V\setminus A,A)} f(ba) }\limits_{=0} - + \underbrace{ \sum_{ab \in E(A,V\setminus A)} f(ab) }\limits_{\geq 0} + \leq~0. +$$ + +Uka¾me si, proè je první svorka rovna nule. Mìjme hranu~$ab$ ($a\in A$, $b \in V \setminus A$). +Ta musí mít nulovou rezervu -- jinak by toti¾ i vrchol~$b$ patøil do~$A$. +Proto po hranì $ba$ nemù¾e nic téci. + +\figure{Goldberg01.eps}{Obrázek k dùkazu lemmatu C}{0.2\hsize} + +Druhá svorka je evidentnì nezáporná, proto¾e je to souèet nezáporných ohodnocení hran. + +Proto $\sum_{u \in A}{f^\Delta(u) \le 0}$. Zároveò v¹ak v~$A$ le¾í aspoò jeden +vrchol s~kladným pøebytkem, toti¾~$v$, tudí¾ v~$A$ musí být také nìjaký vrchol +se~záporným pøebytkem -- a~jediný takový je zdroj. Tím je dokázáno, ¾e $z$ le¾í v~$A$, +tedy ¾e vede nenasycená cesta z~vrcholu~$v$ do~zdroje. +\qed + +\s{Invariant V (Vý¹ka):} Pro ka¾dý vrchol~$v$ je $h(v)\leq 2n$. + +\proof +Kdyby existoval vrchol~$v$ s~vý¹kou $h(v) > 2n$, mohl se do této vý¹ky +dostat pouze zvednutím z~vý¹ky alespoò~$2n$. Tehdy musel mít kladný pøebytek $f^\Delta(v)>0$ +(jinak by nemohl být zvednut). Dle lemmatu C musela existovat nenasycená cesta z~$v$ do~zdroje. +Tato cesta nicménì pøekonávala spád alespoò~$n$, ale mohla mít nejvý¹e~\hbox{$n-1$} hran (na cestách +se vrcholy neopakují). Tudí¾ musela obsahovat nenasycenou hranu se~spádem alespoò~2, co¾ je +spor s~invariantem~S. +\qed + +\s{Lemma Z (poèet Zvednutí):} Bìhem výpoètu nastane nejvý¹e $2n^{2}$ zvednutí. + +\proof +Z~pøedchozího invariantu plyne, ¾e ka¾dý vrchol mohl být zvednut nejvý¹e $2n$-krát. +Vrcholù je~$n$. +\qed + +Teï nám je¹tì zbývá urèit poèet provedených pøevedení. Bude se~nám hodit, kdy¾ pøevedení rozdìlíme na~dva druhy: + +\s{Definice:} Øekneme, ¾e pøevedení po hranì~$uv$ je {\I nasycené}, pokud po~pøevodu +rezerva $r(uv)$ klesla na~nulu. V~opaèném pøípadì je {\I nenasycené}, a~tehdy urèitì +klesne pøebytek $f^\Delta(u)$ na~nulu (to se nicménì mù¾e stát i pøi nasyceném pøevedení). + +\s{Lemma S (naSycená pøevedení):} Poèet v¹ech nasycených pøevedení je nejvý¹~$nm$. + +\proof +Pro ka¾dou hranu~$uv$ spoèítejme poèet nasycených pøevedení (tedy takových +pøevedení, ¾e po~nich klesne rezerva hrany na~nulu). Abychom dvakrát nasycenì +pøevedli pøebytek (nebo jeho èást) z~vrcholu~$u$ do~vrcholu~$v$, tak jsme +museli~$u$ mezitím alespoò dvakrát zvednout: + +Po~prvním nasyceném pøevedení z~vrcholu~$u$ do~vrcholu~$v$ se~vynulovala +rezerva hrany~$uv$. Uvìdomme si, ¾e pøi~této operaci muselo být~$u$ vý¹e +ne¾~$v$, a~dokonce víme, ¾e bylo vý¹e pøesnì o~1 (viz invariant~S). Ne¾ nastane +dal¹í pøevedení po~této hranì, musíme její rezervu z~nuly opìt zvý¹it. +Jediný zpùsob, jak toho lze dosáhnout, je pøevést èást pøebytku z~$v$ zpátky do~$u$. +K~tomu se~musí~$v$ dostat (alespoò o~1) vý¹e ne¾~$u$. Po~pøelití bude rezerva~$uv$ +opìt kladná. A~abychom provedli nasycené pøevedení znovu ve~smìru z~$u$ do~$v$, +musíme zase~$u$ dostat (alespoò o~1) vý¹e ne¾~$v$. Proto musíme~$u$ alespoò o~2 +zvednout -- nejprve na~úroveò~$v$ a~pak je¹tì o~1 vý¹e. + +Ukázali jsme tedy, ¾e mezi ka¾dými dvìma nasycenými pøevedeními musel být vrchol~$u$ +zvednut alespoò dvakrát. Podle lemmatu~V se~$u$ mohlo zvedat maximálnì $2n$-krát za celý +výpoèet, tak¾e v¹ech nasycených pøevedení po~hranì~$uv$ je nejvý¹e~$n$ a po~v¹ech hranách +dohromady nejvý¹e~$nm$. +\qed + +\s{Potenciálová metoda:} +Pøedchozí dvì lemmata jsme dokazovali \uv{lokálním} zpùsobem -- zvednutí jsme poèítali +pro ka¾dý vrchol zvlá¹» a nasycená pøevedení pro ka¾dou hranu. Tento pøístup pro nenasycená +pøevedení nefunguje, jeliko¾ jich lokálnì mù¾e být velmi mnoho. +Podaøí se nám nicménì omezit jejich celkový poèet. + +Jedím ze~zpùsobù, jak taková \uv{globální} tvrzení o~chování algoritmù dokazovat, +je pou¾ít {\I potenciál.} To je nìjaká {\I nezáporná} funkce, která popisuje stav výpoètu. +Pro ka¾dou operaci pak stanovíme, jaký vliv má na hodnotu potenciálu. Z~toho odvodíme, +¾e operací, které potenciál sni¾ují, nemù¾e být výraznì více ne¾ tìch, které ho zvy¹ují. +Jinak by toti¾ potenciál musel nìkdy bìhem výpoètu klesnout pod nulu. + +S~tímto druhem dùkazu jsme se vlastnì u¾ setkali. To kdy¾ jsme v~kapitole o~vyhledávání v~textu +odhadovali poèet prùchodù po~zpìtných hranách. Roli potenciálu tam hrálo èíslo stavu. + +V~následujícím lemmatu bude potenciál trochu slo¾itìj¹í. Zvolíme ho tak, aby +operace, jejich¾ poèty u¾ známe (zvednutí, nasycené pøevedení), pøispívaly +nanejvý¹ malými kladnými èísly, a~nenasycená pøevedení potenciál v¾dy +sni¾ovala. + +\s{Lemma N (Nenasycená pøevedení):} Poèet v¹ech nenasycených pøevedení je~$\O(n^2m)$. + +\proof +Dùkaz provedeme potenciálovou metodou. Uva¾ujme následující potenciál: +$$ \Phi := \sum_{\scriptstyle{v \ne z,s} \atop \scriptstyle{f^{\Delta}(v) > 0}} h(v). $$ +Nyní se~podívejme, jak se~ná¹ potenciál bìhem algoritmu vyvíjí: + + \itemize\ibull + \:Na poèátku je $ \Phi = 0 $. + \:Bìhem celého algoritmu je $ \Phi \ge 0 $, nebo» potenciál je souètem nezáporných èlenù. + \:Zvednutí vrcholu zvý¹í $\Phi$ o~jednièku. (Aby byl vrchol zvednut, musel mít kladný + pøebytek, tak¾e vrchol do~sumy ji¾ pøispíval. Teï jen pøispìje èíslem o~1 vy¹¹ím.) + Ji¾ víme, ¾e za~celý prùbìh algoritmu je v¹ech zvednutí maximálnì~$2n^2$, proto + zvedáním vrcholù zvý¹íme potenciál dohromady nejvý¹e o~$2n^2$. + \:Nasycené pøevedení zvý¹í~$\Phi$ nejvý¹e o~$2n$, proto¾e buï po~pøevodu hranou~$uv$ + v~$u$ zùstal nìjaký pøebytek, tak¾e se~mohl potenciál zvý¹it nejvý¹e o~$h(v) \leq 2n$, + nebo je pøebytek v~$u$ po~pøevodu nulový a~potenciál se~dokonce o~jedna sní¾il. + Podle lemmatu~S nastane nejvý¹e~$nm$ takových nasycených pøevedení a ta celkovì + potenciál zvý¹í maximálnì o~$2n^2m$. + \:Koneènì kdy¾ pøevádíme po~hranì~$uv$ nenasycenì, tak od~potenciálu + urèitì odeèteme vý¹ku vrcholu~$u$ (nebo» se~vynuluje pøebytek + ve~vrcholu~$u$) a~mo¾ná pøièteme vý¹ku vrcholu~$v$. Jen¾e $h(v) = h(u) + - 1$, a~proto nenasycené pøevedení potenciál v¾dy sní¾í alespoò o~jedna. + \endlist + +\>Potenciál celkovì stoupne o~nejvy¹e $2n^2 + 2n^2m = \O(n^2m)$, klesá pouze pøi nenasycených +pøevedeních a poka¾dé alespoò o~1. Proto je v¹ech nenasycených pøevedení $\O(n^2m)$. +\qed + +\h{Implementace} + +Zbývá vyøe¹it, jak sí» a vý¹ky reprezentovat, abychom dokázali rychle hledat +vrcholy s~pøebytkem a nenasycené hrany vedoucí s~kopce. + +Budeme si~pamatovat seznam~$P$ v¹ech vrcholù s~kladným pøebytkem. +Kdy¾ mìníme pøebytek nìjakého vrcholu, mù¾eme tento seznam v~konstantním èase +aktualizovat -- buïto vrchol do seznamu pøidat nebo ho naopak odebrat. (K~tomu se +hodí, aby si vrcholy pamatovaly ukazatel na svou polohu v~seznamu~$P$). +V~konstantním èase také umíme odpovìdìt, zda existuje nìjaký vrchol s~pøebytkem. + +Dále si pro ka¾dý vrchol $u \in V$ budeme udr¾ovat seznam~$L(u)$. Ten bude +obsahovat v¹echny nenasycené hrany, které vedou z~$u$ dolù (mají spád alespoò 1). +Opìt pøi zmìnách rezerv mù¾eme tyto seznamy v~konstantním èase upravit. + +Jednotlivé operace budou mít tyto slo¾itosti: + +\itemize\ibull +\:{\I Inicializace} algoritmu -- trivialnì $\O(m)$. +\:{\I Výbìr vrcholu} s~kladným pøebytkem a nalezení nenasycené hrany vedoucí dolù -- $\O(1)$ + (staèí se podívat na poèátky pøíslu¹ných seznamù). +\:{\I Pøevedení pøebytku} po~hranì~$uv$ -- zmìny rezerv $r(uv)$ a $r(vu)$ zpùsobí pøepoèítání + seznamù~$L(u)$ a~$L(v)$, zmìny pøebytkù $f^\Delta(u)$ a~$f^\Delta(v)$ mohou zpùsobit + zmìnu v~seznamu~$P$. V¹e v~èase $\O(1)$. +\:{\I Zvednutí vrcholu~$u$} -- musíme obejít v¹echny hrany do~$u$ a~z~$u$, kterých je nejvý¹e~$2n$, + porovnat vý¹ky a~pøípadnì tyto hrany~$uv$ odebrat ze~seznamu~$L(v)$ resp. pøidat + do~$L(u)$. To trvá $\O(n)$. +\endlist + +Vidíme, ¾e ka¾dé zvednutí je sice drahé, ale je jich zase pomìrnì málo. Naopak +pøevádìní pøebytkù je èastá operace, tak¾e je výhodné, ¾e trvá konstantní èas. + +\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(n^2m)$. + +\proof +Inicializace algoritmu trvá $\O(m)$. Pak algoritmus provede nejvý¹e~$2n^2$ zvednutí +(viz lemma~Z), nejvý¹e $nm$ nasycených pøevedení (lemma~N) a nejvý¹e $n^2m$ nenasycených +pøevedení. Vynásobením slo¾itostmi jednotlivých operací dostaneme èas $\O(n^3 + nm + n^2m) = \O(n^2m)$. +Podle lemmatu~K po~zastavení vydá maximální tok. +\qed + +\h{Vylep¹ení Goldbergova algoritmu} + +Základní verze Goldbergova algoritmu tedy dosáhla stejné slo¾itosti jako Dinicùv algoritmus. +Nyní uká¾eme, ¾e pokud budeme volit vrchol, ze~kterého budeme pøevádìt pøebytek, ¹ikovnìji +-- toti¾ jako nejvy¹¹í z~vrcholù s~nenulovým pøebytkem~--, slo¾itost se je¹tì zlep¹í. + +V~èasové slo¾itosti pùvodního algoritmu byl nejvýznamnìj¹í èlen $\O(n^2m)$ za~nenasycená +pøevedení. Pokusme se jejich poèet ve~vylep¹eném algoritmu odhadnout tìsnìji. + +\s{Lemma N' (Nenasycená pøevedení):} Goldbergùv algoritmus s~volbou nejvy¹¹ího vrcholu +provede $\O(n^3)$ nenasycených pøevedení. + +\proof +Dokazovat budeme opìt pomocí potenciálové metody. Vrcholy rozdìlíme do~hladin +podle vý¹ky. Speciálnì nás bude zajímat {\I nejvy¹¹í hladina s~pøebytkem}: +$$H := \max \{ h(v) \mid v \neq z,s ~\&~ f^\Delta(v) > 0\}.$$ +Rozdìlíme bìh algoritmu na~{\I fáze}. Ka¾dá fáze konèí tím, ¾e~se~$H$ zmìní. +Jak se~mù¾e zmìnit? Buï se~$H$ zvý¹í, co¾ znamená, ¾e~nìjaký vrchol s~pøebytkem +v~nejvy¹¹í hladinì byl o~1 zvednut, nebo se~$H$ sní¾í. U¾ víme, ¾e v~prùbìhu +výpoètu nastane $\O(n^2)$ zvednutí, co¾ shora omezuje poèet zvý¹ení~$H$. +Zároveò si~mù¾eme uvìdomit, ¾e~$H$ je nezáporný potenciál a sni¾uje se i zvy¹uje +pøesnì o~1. Poèet sní¾ení bude proto omezen poètem zvý¹ení. Tím pádem nastane +v¹eho v¹udy $\O(n^2)$ fází. + +Bìhem jedné fáze pøitom provedeme nejvý¹e jedno nenasycené pøevedení +z~ka¾dého vrcholu. Po~ka¾dém nenasyceném pøevedení po~hranì $uv$ se~toti¾ +vynuluje pøebytek v~$u$ a~aby se~provedlo dal¹í nenasycené pøevedení +z~vrcholu~$u$, muselo by nejdøíve být co~pøevádìt. Muselo by tedy do~$u$ nìco +pøitéci. My ale víme, ¾e pøevádíme pouze shora dolù a~$u$ je v~nejvy¹¹í hladinì +(to zajistí právì ono vylep¹ení algoritmu), tedy nejdøíve by musel být nìjaký +jiný vrchol zvednut. Tím by se~ale zmìnilo~$H$ a~skonèila by tato fáze. + +Proto poèet v¹ech nenasycených pøevedení bìhem jedné fáze je nejvý¹e~$n$. A ji¾ jsme dokázali, ¾e~fází je~$\O(n^2)$. Tedy poèet v¹ech nenasycených pøevedení je~$\O(n^3)$. +\qed + +Tento odhad je hezký, ale stále není tìsný a~algoritmus se~chová lépe. Doka¾me si~je¹tì jeden tìsnìj¹í odhad na~poèet nenasycených pøevedení. + +\s{Lemma N'' (Nenasycená pøevedení):} Poèet nenasycených pøevedení je~$\O(n^2 \sqrt{m})$. + +\s{Poznámka:} Tato èasová slo¾itost je výhodná napøíklad pro~øídké grafy. Ty mají toti¾ pomìrnì malý poèet hran. + +\proof +Zaveïme fáze stejnì jako v~dùkazu pøedchozí verze lemmatu a rozdìlme je +na~dva druhy: laciné a~drahé podle toho, kolik se~v~nich provede nenasycených +pøevedení. Pro ka¾dý druh fází pøitom odhadneme celkový poèet pøevedení +jiným zpùsobem. + +Nech» $k$~je nìjaké kladné èíslo, jeho¾ hodnotu urèíme pozdìji. +{\I Laciné fáze} budou ty, bìhem nich¾ se~provede nejvý¹e~$k$ nenasycených +pøevedení. {\I Drahé fáze} budou ty ostatní, tedy takové, ve~kterých +se~provede více jak~$k$ nenasycených pøevedení. + +Teï potøebujeme odhadnout, kolik nás budou stát oba typy fází. Zaènìme tìmi +jednodu¹¹ími -- lacinými. Jejich poèet shora odhadneme poètem v¹ech fází, +tedy~$\O(n^2).$ Nenasycených pøevedení se~bìhem jedné laciné fáze provede +nejvíce~$k$. Bìhem v¹ech laciných fází dohromady jich proto bude $\O(n^2k)$. + +Pro~poèet nenasycených pøevedení v~drahých fázích si~zaveïme nový potenciál: +$$\Psi := \sum_{\scriptstyle{v \ne z,s} \atop \scriptstyle{f^{\Delta}(v) \ne 0}} p(v),$$ +kde~$p(v)$ je poèet vrcholù~$u$, které nejsou vý¹e ne¾~$v$. Neboli: +$$p(v) = \vert \{ u \in V \mid h(u) \leq h(v) \} \vert.$$ +Tedy platí, ¾e~$p(v)$ je v¾dy nezáporné nikdy nepøesáhne poèet v¹ech vrcholù~$n$. +Proto~$\Psi$ bude také v¾dy nezáporné a nepøekroèí $n^2$. Rozmysleme si, jak +bude potenciál ovlivòován operacemi algoritmu: + +\itemize\ibull +\:{\I Inicializace:} Poèáteèní potenciál je nejvý¹e~$n^2$. +\:{\I Zvednutí vrcholu~$v$}: Hodnota $p(v)$ se zvý¹í nejvý¹e o~$n$ +a v¹echna ostatní~$p(w)$ se buïto nezmìní, nebo klesnou o~1. Bez ohledu +na pøebytky vrcholù se tedy potenciál zvý¹í nejvý¹e~o~$n$. +\:{\I Nasycené pøevedení} po~hranì $uv$: Hodnoty $p(\ldots)$ se nezmìní, +ale mìní se pøebytky -- vrcholu~$u$ se sni¾uje, vrcholu~$v$ zvy¹uje. +Z~potenciálu proto mù¾e zmizet èlen $p(u)$ a naopak pøibýt $p(v)$. +Potenciál~$\Psi$ tedy vzroste nejvý¹e o~$n$. +\:{\I Nenasycené pøevedení} po~hranì $uv$: Hodnoty $p(\ldots)$ se opìt +nemìní. Pøebytek v~$u$ se vynuluje, co¾ sní¾í~$\Psi$ o~$p(u)$. Pøebytek~$v$ +se naopak zvý¹í, tak¾e pokud byl pøedtím nulový, $\Psi$~se zvý¹í o~$p(v)$. +Celkovì tedy $\Psi$ klesne alespoò o~$p(u)-p(v)$. + +Teï vyu¾ijeme toho, ¾e~pokud pøevádíme po~hranì~$uv$, má tato hrana spád~1. +Výraz $p(u)-p(v)$ tedy udává poèet vrcholù na~hladinì $h(u)$, co¾ je nejvy¹¹í +hladina s~pøebytkem. Z~pøedchozího dùkazu víme, ¾e tìchto vrcholù je alespoò +tolik, kolik je nenasycených pøevedení bìhem dané fáze. + +Z~toho plyne, ¾e nenasycená pøevedení provedená bìhem drahých fází sní¾í +potenciál alespoò o~$k$. Ty v~laciných fázích ho nesni¾ují tak výraznì, +ale urèitì ho nezvý¹í. +\endlist + +Potenciál~$\Psi$ se~tedy mù¾e zvìt¹it pouze pøi~operacích inicializace, zvednutí a~nasyceného +pøevedení. Inicializace pøispìje~$n^2$. V¹ech zvednutí se~provede celkem~$\O(n^2)$ a~ka¾dé zvý¹í potenciál nejvý¹e +o~$n$. Nasycených pøevedení se provede celkem~$\O(nm)$ a~ka¾dé zvý¹í +potenciál takté¾ nejvý¹e o~$n$. Celkem se~tedy~$\Psi$ zvý¹í nejvý¹e +o $$n^2 + n \cdot \O(n^2) + n \cdot \O(nm) = \O(n^3 + n^2m).$$ + +Teï vyu¾ijeme toho, ¾e~$\Psi$ je nezáporný potenciál, tedy kdy¾ ho ka¾dé +nenasycené pøevedení v~drahé fázi sní¾í~$\Psi$ alespoò o~$k$, mù¾e takových +pøevedení nastat nejvý¹e $\O(n^3/k + n^2m/k)$. To nyní seèteme s~odhadem +pro laciné fáze a dostaneme, ¾e v¹ech nenasycených pøevedení probìhne +$$\O \left(n^2k + {n^3 \over k} + {n^2m \over k} \right) = \O \left(n^2k + {n^2m \over k} \right)$$ +(vyu¾ili jsme toho, ¾e v~souvislých grafech je $m\ge n$, a~tedy $n^2m \ge n^3$). + +Tento odhad ov¹em platí pro libovolnou volbu~$k$. Proto zvolíme takové~$k$, +aby byl co nejni¾¹í. Jeliko¾ první èlen s~rostoucím~$k$ roste a druhý klesá, +asymptotické minimum nastane tam, kde se tyto èleny vyrovnají, tedy kdy¾ +$n^2k = n^2m / k$. + +Nastavíme tedy $k=\sqrt{m}$ a získáme ký¾ený odhad $\O(n^2\sqrt{m})$. +\qed + +\exercises + +\ex{Rozeberte chování Goldbergova algoritmu na sítích s~jednotkovými kapacitami. +Bude rychlej¹í ne¾ ostatní algoritmy?} + +\ex{Navrhnìte implementaci vylep¹eného Goldbergova algoritmu se zvedáním nejvy¹¹ího +vrcholu s~pøebytkem. Sna¾te se dosáhnout èasové slo¾itosti $\O(n^2\sqrt m)$.} + +\ex{Co by se stalo, kdybychom v~inicializaci algoritmu umístili zdroj o~1 ní¾e?} + +\endexercises + +\bye