X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=3-bipcon%2F3-bipcon.tex;h=362bd7b75a79cb904c7c8009f4040da281cb03ca;hb=b2484e9e3f714201f2c3543a2a265d015e6e5915;hp=7415877436179d48a20784e26e8548300554e2fe;hpb=8d1efdbbecccc98ba81ee706e700d11b1b0a25e8;p=ga.git

diff --git a/3-bipcon/3-bipcon.tex b/3-bipcon/3-bipcon.tex
index 7415877..362bd7b 100644
--- a/3-bipcon/3-bipcon.tex
+++ b/3-bipcon/3-bipcon.tex
@@ -1,131 +1,150 @@
-%%%%%%%%%%%%
-% Zápisek tøetího semináre z grafových agoritmù - ze dne 20.3.2006
-% Zapsal Jiøí Peinlich - peinlich@seznam.cz a Michal Kùrka - michal.kurka@gmail.com
-%%%%%%%%%%%
-
 \input ../sgr.tex
 
-\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{zapsali Jiøí Peinlich, Michal Kùrka}
-
-\h{Maximální párování v $k$-regulárním bipartitním grafu}
-
-\s{Operace Degree Split} provádí rozdìlení sudì-regulárního grafu na dva
-podgrafy s polovièní regularitou. Operaci Degree Split definujme na
-sudì-regulárním grafu takto: V grafu najdeme eulerovský tah. Sestrojíme dva
-grafy, které budou mít oba stejnou mno¾inu vrcholù jako graf pùvodní a ka¾dý
-bude mít polovinu jeho hran. Mno¾inu hran prvního grafu budou tvoøit sudé hrany
-z nalezeného eulerovského tahu, mno¾inu hran druhého grafu pak hrany liché. Tuto
-operaci lze jistì provést v lineárním èase (v lineárním èase najdeme eulerovský
-tah i rozklad na sudé a liché hrany).
-
-Dále budeme pracovat s $2^d$-regulárními grafy. Operací Degree Split tedy získáme dva grafy, které budou $2^{d-1}$-regulární.
-
-Provedeme-li operaci Degree Split $\log k = d$ krát (polovinu hran v¾dy
-zahodíme), získáme 1-regulární podgraf a tedy párování pro zadaný graf (ve
-skuteènosti mù¾eme graf rozkládat na párování a vyrobit si 1-faktorizaci
-grafu). Slo¾itost nalezení párování bude tedy pro $2^d$ regulární grafy $\O(2^d n
-d)$.
-
-Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární budeme muset pøidat hrany tak, aby nový
-graf tuto vlastnost mìl. Operaci Degree Split pak budeme provádìt tak, abychom
-se k párování blí¾ili.
-
-Místo toho, abychom do grafu hrany jen pøidávali, budeme v pøípadech, kdy je to
-mo¾né, pouze zvìt¹ovat násobnost hrany. U ka¾dé hrany si tedy budeme pamatovat
-její násobnost.
-
-\s{Degree Split s~násobnostmi:} Pro sudì-regulární grafy s násobnostmi zavedeme operaci Degree Split takto:
-Graf $G=(V,E)$ rozdìlíme na dva grafy $G_1$ a $G_2$, bude platit $V(G_1) = V(G_2) = V$. Hrany nyní pøidìlíme následujícím zpùsobem:
-\algo
-\:Pokud $e\in E$ v $G$ má sudou násobnost (znaèíme $n(e)$), umístíme ji do $E_1$ i do $E_2$ s násobností ${n(e) \over 2}$, v opaèném pøípadì pøidáme do obou grafù hranu s násobností $\lfloor {n(e) \over 2} \rfloor$.
-\:Graf se zbylých hran má v¹echny stupnì sudé a je bez multiplicit. Provedeme na nìj pùvodní operaci Degree Split a rozdìlené mno¾iny hran pøidáme do $G_1$ a $G_2$.
-\endalgo
-
-Celý proces lze stihnout v èase $\O(m)$ ($m$ je poèet hran $G$), nebo» v první èásti u ka¾dé hrany pouze zjistíme, zda má sudou násobnost, pøidáme nové hrany v konstantním èase (upravíme násobnosti), a v druhé èásti se provede Split, který má té¾ lineární slo¾itost. Operace Degree Split má tedy slo¾itost $\O(m)$ i v grafu s násobnostmi.
-
-Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
-Zvolme dále
-$\alpha := \lfloor {2^t \over k} \rfloor$ a
+\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{}
+
+V~předešlých kapitolách jsme se zabývali aplikacemi toků na~hledání maximálního párování
+a minimálního $st$-řezu. Nyní si předvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
+které se obejdou bez toků.
+
+\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu \cite{alon:matching}}
+
+Nejprve si nadefinujme operaci {\I štěpení grafu,} která zadaný graf $G=(V,E)$
+se všemi vrcholy sudého stupně a sudým počtem hran v~každé komponentě souvislosti
+rozloží na~disjunktní podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$,
+v~nichž bude pro každý vrchol~$v$ platit ${\rm deg}_{G_1}(v) = {\rm
+deg}_{G_2}(v) = {\rm deg}_G(v)/2$. Tuto operaci můžeme snadno
+provést v~lineárním čase tak, že si graf rozdělíme na~komponenty, v~každé
+nalezneme eulerovský tah a jeho hrany budeme přidávat střídavě do~$G_1$ a do~$G_2$.
+
+Štěpení nám pomůže ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^t$-regulárním
+bipartitním grafu.\foot{Všimněte si, že takové párování bude vždy perfektní (viz Hallova věta).}
+Komponenty takového grafu mají určitě sudý počet hran, takže jej můžeme
+rozštěpit na~dva $2^{t-1}$-regulární grafy. Libovolný jeden z~nich pak opět rozštěpíme
+atd., až dostaneme $1$-regulární graf, který je perfektním párováním v~$G$.
+To vše jsme schopni stihnout v~lineárním čase, jelikož velikosti grafů, které
+štěpíme, exponenciálně klesají. Také bychom mohli rekurzivně zpracovávat obě
+části a tak se v~čase $\O(m\log n)$ dobrat ke~kompletní 1-faktorizaci
+zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní perfektní párování
+a má ho každý regulární bipartitní graf.}
+
+Pokud zadaný graf nebude $2^t$-regulární, pomůžeme si tím, že ho novými hranami
+doplníme na $2^t$-regulární a pak si při štěpeních budeme vybírat ten podgraf,
+do~kterého padlo méně nových hran, a ukážeme, že nakonec všechny zmizí.
+Abychom graf příliš nezvětšili, budeme se snažit místo přidávání úplně nových
+hran pouze zvyšovat násobnost hran existujících. Pro každou hranu $e$ si tedy
+budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
+
+{\I Štěpení grafu s~násobnostmi} pak budeme provádět následovně: hranu~$e$
+s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$ i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2
+\rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, přidáme hranu do~pomocného grafu
+$G^\prime$. Všimněte si, že $G^\prime$ bude graf bez násobností, v~němž mají
+všechny vrcholy sudý stupeň, takže na~něj můžeme aplikovat původní štěpící algoritmus
+a $G^\prime_i$ přiřadit ke~$G_i$. To~vše zvládneme v~čase $\O(m)$.
+
+Mějme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Obě jeho partity jsou stejně velké,
+označme si počet vrcholů v~každé z~nich~$n$. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
+Zvolme dále parametry
+$\alpha := \lfloor 2^t/k \rfloor$ a
 $\beta := 2^t \bmod k$.
-Do grafu pøidáme hrany a upravíme násobnosti hran tak, aby byl $2^t$ regulární. Dále pøidáme triviální párování ($i$-tý vrchol vlevo se spojí s $i$-tým vrcholem vpravo) s násobností $\beta$. Tuto mno¾inu hran oznaème $F$. Platí $\beta < k \Rightarrow \vert F \vert < 2^t$.
+Každé původní hraně nastavíme násobnost~$\alpha$ a přidáme triviální párování~$F$
+($i$-tý vrchol vlevo se spojí s~$i$-tým vrcholem vpravo) s~násobností~$\beta$.
+Všimněte si, že $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (včetně násobností) bude méně než $2^t$.
 
-Takto získáme $2^t$-regulární graf. Na tento graf budeme aplikovat operaci Degree Split a vybereme si v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z $F$. Tímto zpùsobem budem graf dìlit dokud budou stupnì vrcholù vìt¹í ne¾ jedna. Tedy $t$-krát. Poslední takto získaný graf bude 1-regulární (párování). V ka¾dém kroku se zbavíme alespoò poloviny hran z $F$. Provedeme to ceklem $t$-krát a tedy výsledné párování bude perfektní párování zadaného grafu.
+Takto získáme $2^t$-regulární graf, jehož reprezentace bude lineárně velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
+štěpení a budeme si vybírat vždy tu polovinu, kde bude méně hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospějeme k~párování
+a jelikož se~v~každém kroku zbavíme alespoň poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat žádnou takovou hranu
+a navíc nebude obsahovat ani násobné hrany, takže bude podgrafem zadaného grafu, jak potřebujeme.
 
-Slo¾itost algoritmu je $\O(kn \log n)$, proto¾e inicializace algoritmu se dá provést v lineárním èase, provede se $\log (kn)$ iterací po $\O(m)$.
+Časová složitost algoritmu je $\O(m \log n)$, jelikož provádíme inicializaci v~čase
+$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
 
-\h{Algoritmy na hledání globální k-souvislosti}
+\h{Stupeň souvislosti grafu}
 
-\>Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
-který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
-Pokud chceme najít minimum pøes v¹echny dvojice, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
-To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù $s$ nebo $t$ lze zvolit
-pevnì. Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
-Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.
+Problém zjištění {\I stupně hranové souvislosti} grafu lze převést na problém hledání minimálního řezu,
+který již pro zadanou dvojici vrcholů umíme řešit pomocí Dinicova algoritmu v~čase $\O(n^{2/3}m)$.
+Pokud chceme najít minimum ze~všech řezů v~grafu, můžeme vyzkoušet všechny dvojice $(s,t)$.
+To však lze snadno zrychlit, pokud si uvědomíme, že jeden z~vrcholů (třeba $s$) můžeme zvolit
+pevně: vezmeme-li libovolný řez $C$, pak jistě najdeme alespoň jedno~$t$, které padne
+do~jiné komponenty než pevně zvolené~$s$, takže minimální $st$-řez bude nejvýše tak velký jako~$C$.
+V~orientovaném grafu musíme projít jak řezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
+Algoritmus bude mít složitost $\O(n^{{5/3}}m)$.
 
-U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
-minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí si
-pamatovat, kolik vrcholù $s$ jsme u¾ pro v¹echny $t$ zkontrolovali a nejmen¹í zatím nalezený separátor. Kdy¾ bude poèet
-vrcholù vìt¹í ne¾ nejmen¹í separátor, tak u¾ jsme jistì na¹li jeden z minimálních øezù. Slo¾itost takového algoritmu pak
-bude $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je stupeò souvislosti $G$, který hledáme.
+U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ovšem tak snadno nepůjde. Pokud by totiž fixovaný vrchol byl součástí nějakého
+minimálního separátoru, algoritmus může selhat. Přesto ale nemusíme procházet všechny dvojice vrcholů. Stačí jako
+$s$ postupně zvolit více vrcholů, než je velikost minimálního separátoru. Algoritmus si tedy bude pamatovat, kolik
+vrcholů už prošel a nejmenší zatím nalezený $st$-separátor, a jakmile počet vrcholů překročí velikost separátoru,
+prohlásí separátor za~minimální. To zvládne v~čase $\O(\kappa (G) \cdot n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je nalezený stupeň souvislosti~$G$.
 
-Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje rychlej¹í algoritmus, který toky nepou¾ívá.
+Pro minimální řezy v~neorientovaných grafech ovšem existuje následující rychlejší algoritmus:
 
-\h{Algoritmus Namagochiho a Ibarakiho}
+\h{Globálně minimální řez (Nagamochi, Ibaraki \cite{nagaiba:conn})}
 
-\>Buï $G$ neorientovaný graf s~ohodnocením na~hranách. Oznaèíme si:
+Buď $G$ neorientovaný multigraf s~nezáporným ohodnocením hran. Označíme si:
 
-\s{Znaèení:}
+\s{Značení:}
 
 \itemize\ibull
-\:$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu,
-\:$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q \subseteq V$,
-\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buï kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
-\:$d(v) = d(\{v\})$ buï kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeò~$v$),
+\:$r(u,v)$ buď kapacita minimálního $uv$-řezu,
+\:$d(P,Q)$ buď kapacita hran vedoucích mezi množinami $P,Q \subseteq V$,
+\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buď kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
+\:$d(v) = d(\{v\})$ buď kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeň~$v$),
 \:analogicky zavedeme $d(v,w)$ a $d(v,P)$.
 \endlist
 
 \s{Definice:}
-{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1 \ldots v_n$ takové, ¾e platí
-$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro $1 \leq i<j\leq n$.
+{\it Legálním uspořádáním vrcholů} (LU) budeme nazývat lineární uspořádání vrcholů $v_1 \ldots v_n$ takové, že platí
+$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro každé $1 \leq i<j\leq n$.
 
 \s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.
 
-\s{Dùkaz:} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
+\proof Buď $C$ libovolný řez oddělující $v_{n-1}$ a $v_n$.
+Dokážeme, že jeho velikost je alespoň~$d(v_n)$.
+Utvořme posloupnost vrcholů $u_i$ takto:
 
 \algo
 \:$u_0 := v_1$
-\:$u_i := v_j$ tak, ¾e $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou oddìleny øezem $C$ a $j$ je minimální takové.
+\:$u_i := v_j$ tak, že $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou odděleny řezem $C$ a $j$ je minimální takové.
+[Tedy $v_j$ je nejbližší vrchol na~druhé straně řezu.]
 \endalgo
 
-Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo $u_{i-1}$ je $v_i$ pokud
-jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na opaèné stranì øezu.  Dostáváme tedy, ¾e $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
-v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_i=u_{i-1}$, a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_i=v_j$, $j>i$ a
-nerovnost plyne z LU vrcholù $v_i$.
-
-Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
-Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
+Každé $u_{i-1}$ je tedy buď rovno $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné straně řezu, nebo rovno $v_i$, pokud
+jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na~stranách opačných. Z~toho dostáváme, že $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
+v_{i-1}\},u_{i-1})$, protože buďto $u_{i-1}=u_i$, a pak je nerovnost splněna jako rovnost, nebo je $u_{i-1}=v_i$ a
+nerovnost plyne z~legálnosti uspořádání.
 
+Chceme ukázat, že velikost našeho řezu~$C$ je alespoň taková, jako velikost řezu kolem vrcholu $v_n$.
+Všimneme si, že $\vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Hrany mezi $v_i$ a $u_i$ jsou totiž navzájem
+různé a každá z~nich je součástí řezu~$C$. Ukážeme, že pravá strana je alespoň $d(v_n)$:
 $$\eqalign{
-\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
-&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
+\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \cr
+&\geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
+&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = \cr
+&=d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
 }$$
 \qed
 
-Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez $v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální øez v $G'$. Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
-
-Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$ a prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.
-
-Zde se hodí datová struktura, která doká¾e rychle hledat maxima a zvy¹ovat hodnoty prvkù,
-napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
-amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
-
-Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøíhrádkové struktury. Budeme
-si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
-seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
-mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku znamená pouze podívat se na
-první prvek seznamu a z nìj odebrat jeden vrchol, pøípadnì celý prvek ze seznamu
-odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
-malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
-\<DeleteMax> i \<Increase> pak budou mít slo¾itost $\O(1)$ a celý algoritmus $\O(mn)$.
-
+Dokázali jsme, že libovolný řez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je alespoň tak velký jako jednoduchý řez skládající se jen z hran
+kolem~$v_n$. Když tedy sestavíme nějakou LU posloupnost vrcholů, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální řez
+$v_{n-1}$ a~$v_n$. Následně vytvoříme graf $G'$, v němž $v_{n-1}$ a $v_n$ kontrahujeme. Rekurzivně najdeme minimální
+řez v $G'$ (sestrojíme nové LU atd.). Hledaný minimální řez poté buďto odděluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$, a potom je řez
+kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neodděluje, a v takovém případě jej najdeme
+rekurzivně. Hledaný řez je tedy menší z rekurzivně nalezeného řezu a řezu kolem $v_n$.
+
+Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postačí hladově: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v)$, označme ji $z_v$. V každém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$, prohlásíme ho za $v_i$ a přepočítáme~$z_v$.
+
+Zde se hodí datová struktura, která dokáže rychle hledat maxima a zvyšovat hodnoty prvků,
+například Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~čase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
+amortizovaně. Celkem pak náš algoritmus bude mít složitost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
+
+Pokud jsou kapacity malá celá čísla, můžeme využít přihrádkové struktury. Budeme
+si udržovat obousměrný seznam zatím použitých hodnot $z_v$, každý prvek takového
+seznamu bude obsahovat všechny vrcholy se společnou hodnotou $z_v$. Když budeme
+mít seznam seřazený, vybrání minimálního prvku bude znamenat pouze podívat se na
+první prvek seznamu a z něj odebrat jeden vrchol, případně celý prvek ze seznamu
+odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze přesunutí vrcholu o
+malý počet přihrádek, případně založení nové přihrádky na správném místě.
+\<DeleteMax> proto bude mít složitost $\O(1)$, všechny \<Increase> dohromady $\O(m)$,
+jelikož za~každou hranu přeskakujeme maximálně jednu přihrádku, a celý algoritmus $\O(mn)$.
+
+\references
 \bye