X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=12-apx%2F12-apx.tex;h=2635b3d875e56b86eaa63def143fb6c27d6dba23;hb=6935403607728a64c5b6ca3b3de348705e0aa3b6;hp=3625a401918b8e19a62bc218a54107dff06d836e;hpb=d1f95d7e91aa65daa2bb8c4a3d45cc19f965774d;p=ads2.git diff --git a/12-apx/12-apx.tex b/12-apx/12-apx.tex index 3625a40..2635b3d 100644 --- a/12-apx/12-apx.tex +++ b/12-apx/12-apx.tex @@ -18,38 +18,38 @@ slo Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$ pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost -podmno¾iny, jeji¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$: +podmno¾iny, její¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$: Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=\infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe $A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì -pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto pøedmìt $k$ nepou¾ili -(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$) nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) = A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ +pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili +(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) = A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy: $$ A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k). $$ -Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme jednu mno¾ínu, v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny. +Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme jednu mno¾inu, v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny. Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do batohu. To bude -nejvìt¹í~$c^*$, pro které je $A_n(c^*) < \infty$. To nás stojí èas $\O(C)$. +nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí èas $\O(C)$. A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus, -aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ je index posledního pøedmìtu, -který do~pøíslu¹né mno¾iny pøidal. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$ +aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu, +který jsme do~pøíslu¹né mno¾iny pøidali. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$ poslední pøedmìt v~nalezené mno¾inì, $i'=B_{i-1}(c^*-c_i)$ ten pøedposlední a tak dále. Takto v~èase $\O(n)$ rekonstruujeme celou mno¾inu od~posledního prvku k~prvnímu. Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í -problém batohu. To není polynom ve~velikosti vstupu ($C$~mu¾e být a¾ exponenciálnì +problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mu¾e být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} \s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny -$Z_k$, které obsahují v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá -nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù batohu. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$ -spoèteme z~$Z_{k-1}$ a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny +$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá +nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$ +spoèteme ze~$Z_{k-1}$ a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$. \h{Aproximaèní schéma pro problém batohu} @@ -70,25 +70,24 @@ stejn Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu -øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò dobrou aproximací -optima. +øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací. \s{Základní my¹lenka:} Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M$ -a zobrazme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$. +a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$. Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$. Ka¾dé $c_i$ jsme tím zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù tedy -nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imneme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme -pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy ceny $OPT\ge c_{max}$, +nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme +pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $OPT\ge c_{max}$, tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot OPT/M$. Má-li tato chyba být shora omezena -$\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\approx n/\varepsilon$. +$\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$. \s{Algoritmus:} \algo \:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$. -\:Spoèítáme $c_{max}=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lfloor n/\varepsilon\rfloor$. +\:Spoèítáme $c_{max}=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$. \:Kvantujeme ceny: $\hat{c}_i = \lfloor c_i \cdot M/c_{max} \rfloor$. \:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$ a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu. @@ -126,7 +125,7 @@ kvantovan které nemù¾e být lep¹í. Teï u¾ staèí slo¾it obì nerovnosti a dosadit za~$M$: $$ \eqalign{ -ALG &\ge \biggl( { OPT \cdot M\over c_{max}} - n\biggr) \cdot {c_{max}\over M} = +ALG &\ge \biggl( { OPT \cdot M\over c_{max}} - n\biggr) \cdot {c_{max}\over M} \ge OPT - {n\cdot c_{max}\over n / \varepsilon} \ge OPT - \varepsilon c_{max} \ge \cr &\ge OPT - \varepsilon OPT = (1-\varepsilon)\cdot OPT. } @@ -134,7 +133,7 @@ $$ Algoritmus tedy v¾dy vydá øe¹ení, které je nejvý¹e $(1-\varepsilon)$-krát hor¹í ne¾ optimum, a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme {\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}). -V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~zavislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e +V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation Scheme}). \bye