X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=11-np%2F11-np.tex;h=1007575cca65654a524d0604eeabe83f3be5154b;hb=9df6c69d4f3cf552725ac8998a73e162997734cb;hp=346be519c797401470e271144a62db853dff3584;hpb=5fcfe1a176352dc85a4bc25e0321b1d900b07717;p=ads2.git diff --git a/11-np/11-np.tex b/11-np/11-np.tex index 346be51..1007575 100644 --- a/11-np/11-np.tex +++ b/11-np/11-np.tex @@ -1,125 +1,267 @@ \input lecnotes.tex -\prednaska{11}{NP-úplné problémy}{(zapsali F. Kaèmarik, R. Krivák, D. Remi¹)} +\prednaska{11}{NP-úplné problémy}{\vbox{\hbox{(zapsali F. Kaèmarik, R. Krivák, D. Remi¹} + \hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}} -Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptali na to, jestli nìco existuje. Napøíklad: dostali jsme formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí? Nebo v~pøípade nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která je veliká alespoò $k$? Tyto otázky mìli spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo zadal nìjaký objekt, pak jsme umìli efektivnì øíci, zda je to objekt, který hledáme. Napøíklad: pokud dostaneme ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, ¾e formule je $true$ nebo $false$. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP. Definujme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou. +Dosud jsme zkoumali problémy, které se nás ptaly na to, jestli nìco existuje. Napøíklad jsme dostali formuli a problém splnitelnosti se nás ptal, zda existuje ohodnocení promìnných takové, ¾e formule platí. Nebo v~pøípade nezávislých mno¾in jsme dostali graf a èíslo $k$ a ptali jsme se, jestli v~grafu existuje nezávislá mno¾ina, která obsahuje alespoò~$k$ vrcholù. Tyto otázky mìly spoleèné to, ¾e kdy¾ nám nìkdo zadal nìjaký objekt, umìli jsme efektivnì øíci, zda je to objekt, který hledáme. Napøíklad pokud dostaneme ohodnocení promìnných logické formule, staèí jen dosadit a spoèítat, ¾e formule je \ nebo \. Zjistit, ¾e nìjaký objekt je ten, který hledáme, umíme efektivnì. Tì¾ké na tom je takový objekt najít. Co¾ vede k~definici obecných vyhledávacích problémù, kterým se øíká tøída problémù NP. Definujeme si ji poøádnì, ale nejdøíve zaèneme tro¹ièku jednodu¹¹í tøídou. \s{Definice:} P je {\I tøída rozhodovacích problémù}, které jsou øe¹itelné v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém -$L \in \rm{P} \Leftrightarrow \exists $ polynom $f$ a~$\exists$ algoritmus $A$ takový, ¾e $\forall x: L(x)=A(x)$ a $A(x)$ dobìhne v~èase $\leq f(x)$ +$L \in P \Leftrightarrow \exists $ polynom $f$ a~$\exists$ algoritmus $A$ takový, ¾e $\forall x: L(x)=A(x)$ a $A(x)$ dobìhne v~èase $\O(f(x))$. Tøída P odpovídá tomu, o èem jsme se shodli, ¾e umíme efektivnì øe¹it. Nadefinujme tedy tøídu NP: -\s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in \rm{NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém -$K\in\rm{P}$ a $\exists$ polynom $g$ takový, ¾e pro +\s{Definice:} NP je {\I tøída rozhodovacích problémù} takových, ¾e $L \in {\rm NP}$ právì tehdy, kdy¾ $\exists $ problém +$K\in{\rm P}$ a $\exists$ polynom $g$ takový, ¾e pro $\forall x$ platí $L(x)=1 \Leftrightarrow \exists $ nápovìda $ y: \vert y \vert \leq g(\vert x \vert)$ a souèasnì $K(x,y)=1$. -\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP. +\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~NP. Staèí si toti¾ nechat napovìdìt, jak +ohodnotit jednotlivé promìnné a pak ovìøit, jestli je formule splnìna. Nápovìda je polynomiálnì +velká (dokonce lineárnì), splnìní zkontrolujeme také v~lineárním èase. Odpovíme tedy ano právì +tehdy, existuje-li nápovìda, která nás pøesvìdèí, tedy pokud je formule splnitelná. -Máme-li lineárnì velké nápovìdy, co¾ jsou ohodnocení promìnných zadané formule, odpovíme ano, formule je splnitelná, pokud nám nìkdo mù¾e odpovìdìt na splòující ohodnocení. Tak¾e $K$ nám ovìøí, èi dosazením ohodnocení je formule splnìna a ptáme se tedy, èi existuje nápovìda taková, ¾e existuje ohodnocení takové, ¾e formule je splnìna. Splnitelnost logických formulí je urèitì v~tøídì NP. -V¹imneme si, ¾e celá tøída P le¾í uvnitø NP. v~podstatì øíkáme, ¾e kdy¾ máme problém, který umíme øe¹it v~polynomiálním èase bez nápovìdy, tak to zvládneme v~polynomiálním èase i s~nápovìdou. +\s{Pozorování:} Tøída P le¾í uvnitø NP. +V~podstatì øíkáme, ¾e kdy¾ máme problém, který umíme øe¹it v~polynomiálním èase bez nápovìdy, tak to zvládneme v~polynomiálním èase i s~nápovìdou. -Nasbírali jsme problémy, které jsou v~NP, ale nevíme, jestli jsou v~P. Dokonce by se dalo øíct, ¾e jsou to nejtì¾¹í problémy v~NP. +Problémy z minulé pøedná¹ky jsou v¹echny v NP (napø. pro nezávislou +mno¾inu je onou nápovìdou pøímo mno¾ina vrcholù deklarující nezávislost), +o jejich pøíslu¹nosti do P ale nevíme nic. +Brzy uká¾eme, ¾e to jsou v jistém smyslu nejtì¾¹í problémy v~NP. Nadefinujme si: -\s{Definice:} Problém $L$ je NP-tì¾ký právì tehdy, kdy¾ je pøevoditelný: -$\forall M \in \rm{NP}: M~\rightarrow~L$. -Také platí, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP problém v~polynomiálním èase, pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, -pokud nìjaké takové~$\in~\rm{P} \Rightarrow \rm{P}=\rm{NP} $. +\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I tì¾ký} právì tehdy, kdy¾ je na~nìj pøevoditelný +ka¾dý problém z~NP (viz definici pøevodù z minulé pøedná¹ky). -My se budeme zabývat problémy, které jsou NP tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné. +Také platí, ¾e pokud umíme øe¹it nìjaký NP-tì¾ký problém v~polynomiálním èase, +pak umíme vyøe¹it v~polynomiálním èase v¹e v~NP, a tedy ${\rm P}={\rm NP}$. -\s{Definice:} Problém $L$ je NP úplný právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾ký a $L \in \rm{NP}$. +My se budeme zabývat problémy, které jsou NP-tì¾ké a samotné jsou v~NP. Takovým problémùm se øíká NP-úplné. -NP-úplné problémy jsou ve své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP. Proto¾e le¾í v~NP platí, ¾e libovolný problém z NP umíme pøevést na nì. Kdybychom umìli pøevést nìjaký NP-úplný problém, který je øe¹itelný v~polynomiálním èase, pak v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el, to se neví. Otázka jestli $\rm{P}=\rm{NP}$ je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické informatice. +\s{Definice:} Problém $L$ je NP-{\I úplný} právì tehdy, kdy¾ $L$ je NP-tì¾ký a $L \in {\rm NP}$. -Uká¾eme si nìjaký NP-úplný problém. Velmi se nám bude hodit následující vìta: +NP-úplné problémy jsou tedy ve~své podstatì nejtì¾¹í problémy, které le¾í v~NP. +Kdybychom umìli vyøe¹it nìjaký NP-úplný problém v~polynomiálním èase, pak +v¹echno v~NP je øe¹itelné v~polynomiálním èase. Bohu¾el to, jestli nìjaký +NP-úplný problém lze øe¹it v~polynomiálním èase, se neví. Otázka, jestli +${\rm P}={\rm NP}$, je asi nejznámìj¹í otevøený problém v~celé teoretické +informatice. + +Kde ale nìjaký NP-úplný problém vzít? K~tomu se nám bude velice hodit následující vìta: \s{Vìta (Cookova):} SAT je NP-úplný. -\>Dùkaz je pøíli¹ technický, jenom ho pøibli¾nì naznaèíme pozdìji. Pøímím dùsledkem je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT. -Dá se dokázat vìtièka: +\>Dùkaz je znaènì technický, pøibli¾nì ho naznaèíme pozdìji. Pøímým dùsledkem je, ¾e cokoli v~NP je pøevoditelné na SAT. +K dokazování NP-úplnosti dal¹ích problémù pou¾ijeme následující vìtièku: -\s{Vìtièka:} $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na $M$ ($L \rightarrow M$), $M \in \rm{NP} \Rightarrow M$ je také NP-úplný. +\s{Vìtièka:} Pokud problém $L$ je NP-úplný a $L$ se dá pøevést na $M\in{\rm NP}$ ($L \rightarrow M$), pak $M$ je také NP-úplný. \proof -Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z toho, ¾e problémy jsou NP tì¾ké a le¾í v~NP, podle pøedpokladu. -Víme ¾e $L$ se dá pøevést na $M$ a také z toho, ¾e $L$ je NP-úplný plyne, ¾e ka¾dý problém $Q$ z $NP$ se $Q$ dá pøevést na $L$. $Q$ se dá pøevést na $L$, $L$ se dá pøevést na $M$. Z toho plyne, ¾e $Q$ se dá pøevést na $M$. Staèí tedy slo¾it funkci $f(Q \rightarrow L)$ s~funkcí $g(L \rightarrow M)$. To urèitì také spoèteme v~polynomiálním èase. Tak nahlédneme, ¾e v¹echny problémy z $NP$ se dají pøevést na problém $M$. +Tuto vìtièku staèí dokázat pro NP-tì¾kost, NP-úplnost plyne okam¾itì z~toho, ¾e +problémy jsou NP-tì¾ké a le¾í v~NP (podle pøedpokladu). + +Víme, ¾e $L$ se dá pøevést na~$M$ nìjakou funkcí~$f$. Jeliko¾ $L$ je NP-úplný, +pak pro ka¾dý problém $Q\in{\rm NP}$ existuje nìjaká funkce~$g$, která pøevede +$Q$ na~$L$. Staèí tedy slo¾it funkci~$f$ s~funkcí~$g$, èím¾ získáme funkci pracující +opìt v~polynomiálním èase, která pøevede~$Q$ na~$M$. Ka¾dý problém z~NP se tedy +dá pøevést na problém~$M$. \qed -\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT je také NP-úplné. Napøíklad nezávislá mno¾ina, v¹echny varianty SATu, klika v~grafu... - -\figure{p-np.eps}{Obrázek 11.1}{2.5cm} +\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné. Napøíklad nezávislá mno¾ina, rùzné varianty SATu, klika v~grafu~\dots + +Jak taková tøída NP vypadá? Pøedstavme si v¹echny problémy tøídy NP, jakoby seøazené +zhora nadolu podle obtí¾nosti problémù (tedy navzdor gravitaci), kde porovnání dvou +problémù urèuje pøevoditelnost (viz obrázek). + +\figure{p-np.eps}{Struktura tøídy NP}{2.5cm} + +Obecnì mohou nastat dvì situace, proto¾e nevíme, jestli ${\rm P}={\rm NP}$. +Jestli ano, pak v¹echno je jedna a ta samá tøída. To by bylo v nìkterých +pøípadech nepraktické, napø. ka¾dá ¹ifra by byla jednodu¹e rozlu¹titelná. +Jestli ne, NP-úplné problémy urèitì nele¾í v P, tak¾e P a NP-úplné problémy +jsou dvì disjunktní èásti NP. Také se dá dokázat (to dìlat nebudeme, ale je +dobré to vìdìt), ¾e je¹tì nìco le¾í mezi nimi, tedy ¾e existuje problém, který +je v~NP, není v~P a není NP-úplný (dokonce je takových problémù nekoneènì mnoho, +v nekoneènì tøídách). + +\s{Katalog NP-úplných problémù} + +Uká¾eme si nìkolik základních NP-úplných problémù. O~nìkterých jsme to dokázali +na~minulé pøedná¹ce, o~dal¹ích si to doká¾eme nyní, zbylým se na~zoubek podíváme +na~cvièeních. -\s{Katalog NP-úplných problémù:} \itemize\ibull \:{\I logické:} -SAT, 3-SAT, 3,3-SAT, obvodový SAT, SAT pro obecné formule + \itemize\ibull + \:SAT (splnitelnost logických formulí v~CNF) + \:3-SAT (ka¾dá klauzule obsahuje max.~3 literály) + \:3,3-SAT (a navíc ka¾dá promìnná se vyskytuje nejvý¹e tøikrát) + \:SAT pro obecné formule (nejen CNF) + \:Obvodový SAT (není to formule, ale obvod) + \endlist \:{\I grafové:} -Nezávislá mno¾ina, klika v~grafu, 3D párování, 3-barvení, Hamiltonova cesta/kru¾nice + \itemize\ibull + \:Nezávislá mno¾ina (mno¾ina alespoò~$k$ vrcholù taková, ¾e ¾ádné dva nejsou propojeny hranou) + \:Klika (úplný podgraf na~$k$ vrcholech) + \:3D párování (tøi mno¾iny se zadanými trojicemi, najít takovou mno¾inu disjunktních trojic, ve~které jsou v¹echny prvky) + \:Barvení grafu (obarvit vrcholy $k$~barvami tak, aby vrcholy stejné barvy nebyly nikdy spojeny hranou; NP-úplné u¾ pro~$k=3$) + \:Hamiltonovská cesta (cesta obsahující v¹echny vrcholy [právì jednou]) + \:Hamiltonovská kru¾nice (kru¾nice, která nav¹tíví v¹echny vrcholy [právì jednou]) + \endlist \:{\I èíselné:} -problém batohu, loupe¾níci, $Ax=b$, celoèíselné lineární programování + \itemize\ibull + \:Batoh (nejjednodu¹¹í verze: dána mno¾ina èísel, zjistit, zda existuje podmno¾ina se zadaným souètem) + \:Batoh -- optimalizace (podobnì jako u pøedchozího problému, ale místo mno¾iny èísel máme mno¾inu + pøedmìtù s váhami a cenami, chceme co nejdra¾¹í podmno¾inu její¾ váha nepøesáhne zadanou kapacitu + batohu) + \:Loupe¾níci (rozdìlit mno¾inu na~dvì podmno¾iny se stejným souètem) + \:$Ax=b$ (soustava celoèíslených lineárních rovnic; $x_i$ mohou být pouze 0 nebo 1; NP-úplné i pokud $A_{ij}\in\{0,1\}$ a $b_i\in\{0,1\}$) + \:Celoèíselné lineární programování (existuje vektor nezáporných celoèísených $x$ takový, ¾e $Ax \leq b$) + \endlist \endlist +Nyní si uká¾eme, jak pøevést SAT na nìjaký problém. Kdy¾ chceme ukázat, ¾e na +nìco se dá pøevést SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci: +konstrukci, která bude simulovat promìnné, tedy nìco, co nabývá dvou stavù +\/\; a nìco, co bude reprezentovat klauzule a umí zaøídit, aby +ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò jednou promìnnou. +\h{3D párování (3D matching)} + +\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a +mno¾ina $T$ kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou), + tj. $T \subseteq K\times H\times Z$. + +\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic $P\subseteq K\times H \times Z$ -- + tj. taková podmno¾ina trojic, ¾e $(\forall k\in K\ \exists !p\in P, k\in p) + \wedge(\forall h\in H\ \exists !p\in P, h\in p) + \wedge(\forall z\in Z\ \exists !p\in P, z\in p)$ -- tedy ka¾dý byl vybrán + právì jednou. + + \h { Pøevoditelnost 3,3-SAT na 3D-párování } -Kdy¾ chceme ukázat, ¾e na nìco se dá pøevést SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci. Konstrukci, která bude simulovat promìnné, nìco co nabývá dvou stavù $true$/$false$ a nìco co bude reprezentovat klauzule a umí zaøídit, aby ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò jednou promìnnou. -Jenom pro pøipomenutí, máme mno¾inu klukù, dìvèat, zvíøátek a nìjaké trojice, kdo se s~kým snese a chceme vybrat trojice tak, aby se v~nich ka¾dý kluk, holka, zvíøátko vyskytovalo právì jednou. Najdeme si takovouto konfiguraci: -\figure{3d.eps}{Obrázek 11.2}{4cm} +\fig{3d.eps}{4cm} + +\>4 zvíøátka, 2 kluci, 2 dívky a~takové 4 trojice, které oznaèíme $A, B, C, D$. +Je¹tì pøedpokládáme, ¾e zvíøátka se mohou úèastnit nìjakých jiných trojic, ale +tito ètyøi lidé se vyskytují pouze v~tìchto ètyøech trojicích a~nikde jinde. +V¹imneme si, ¾e existují právì dvì mo¾nosti, jak tento obrázek spárovat. +Abychom spárovali kluka $k_1$, tak si musíme vybrat $A$ nebo $B$. Kdy¾ si +vybereme $A$, $k_1$ i $d_2$ u¾ jsou spárovaní tak¾e si nesmíme vybrat $B$ ani +$D$. Pak jediná mo¾nost, jak spárovat $d_1$ a~$k_2$ je $C$. Jedna mo¾nost je +tedy vybrat si $A$ a $C$ a jeliko¾ je obrázek symetrický, tak kdy¾ vybereme +místo $A$ trojici $B$, dostaneme $B$ a~$D$. V¾dy si tedy vybereme dvì protìj¹í +trojice v~obrázku. + +Takovýto obrázek budeme pou¾ívat k~reprezentaci promìnných. Pro ka¾dou +promìnnou si nakreslíme takový obrázek a~to, ¾e $A$ bude spárované s~$C$, bude +odpovídat tomu, ¾e $x=1$, a~spárování $B$ a~$D$ odpovídá $x=0$. Pokud jsme +pou¾ili $A$ a~$C$, zvíøata se sudými èísly, tj. $z_2$ a~$z_4$, horní a~dolní +jsou nespárovaná a~pokud jsme pou¾ili $B$ a~$D$, zvíøátka $z_1$ a~$z_3$ zùstala +nespárovaná. Pøes tyto nespárovaná zvíøátka mù¾eme pøedávat informaci, jestli +promìnná $x$ má hodnotu \ nebo \ do dal¹ích èástí grafu. + +Zbývá vymyslet, jak reprezentovat klauzule. Klauzule jsou trojice popø. dvojice +literálù, napø. $\kappa = (x \lor y \lor \lnot r) $ kde +potøebujeme zajistit, aby $x$ bylo nastavené na $1$ nebo $y$ bylo nastavené na $1$ nebo $r$ na $0$. + +\fig{klauzule.eps}{4cm} + +\>Pro takovouto klauzuli si poøídíme dvojici kluk-dívka, kteøí budou figurovat +ve tøech trojicích se tøemi rùznými zvíøátky, co¾ mají být volná zvíøátka +z~obrázkù pro pøíslu¹né promìnné (podle toho, má-li se promìnná vyskytnout +s negací nebo ne). A~zaøídíme to tak, aby ka¾dé zvíøátko bylo +pou¾ité maximálnì v~jedné takové trojici, co¾ jde proto, ¾e ka¾dý literál se +vyskytuje maximálnì dvakrát a~pro ka¾dý literál máme dvì volná zvíøátka, +z~èeho¾ plyne, ¾e zvíøátek je dost pro v¹echny klauzule. Pro dvojice se postupuje +obdobnì. + +Je¹tì nám ale urèitì zbude $2p-k$ zvíøátek, kde $p$ je poèet promìnných, $k$ +poèet klauzulí --- ka¾dá promìnná vyrobí 4 zvíøátka, klauzule zba¹tí jedno +a samotné ohodnocení 2 zvíøátka --- tak pøidáme je¹tì $2p-k$ párù +kluk-dìvèe, kteøí milují +v¹echna zvíøátka, a~ti vytvoøí zbývající páry. + +Pokud formule byla splnitelná, pak ze splòujícího ohodnocení mù¾eme vyrobit +párování s~na¹í konstrukcí. Obrázek pro ka¾dou promìnnou spárujeme podle +ohodnocení, tj. promìnná je $0$ nebo $1$ a~pro ka¾dou klauzuli si vybereme +nìkterou z~promìnných, kterými je ta klauzule splnìna. Funguje to také ale +i~opaènì. Kdy¾ nám nìkdo dá párovaní v~na¹í konstrukci, pak z nìho doká¾eme +vyrobit splòující ohodnocení dané formule. Podíváme se, v~jakém stavu je +promìnná, a~to je v¹echno. Z~toho, ¾e jsou správnì spárované klauzule, u¾ +okam¾itì víme, ¾e jsou v¹echny splnìné. + +Zbývá ovìøit, ¾e na¹e redukce funguje v~polynomiálním èase. Pro ka¾dou klauzuli +spotøebujeme konstantnì mnoho èasu, $2p-k$ je také polynomiálnì mnoho a~kdy¾ to +seèteme, máme polynomiální èas vzhledem k~velikosti vstupní formule. Tím je +pøevod hotový a~mù¾eme 3D-párování zaøadit mezi NP-úplné problémy. -\>4 zvíøátka, 2 kluci, 2 dívky a~takové 4 trojice, které oznaèíme $A, B, C, D$. Je¹tì pøedpokládáme, ¾e zvíøátka se mohou úèastnit nìjakých jiných trojic, ale tito ètyøi lidé se vyskytují pouze v~tìchto ètyøech trojicích a~nikde jinde. -V¹imneme si, ¾e existují právì dvì mo¾nosti, jak tento obrázek spárovat. Abychom spárovali kluka $k_1$, tak si musíme vybrat $A$ nebo $B$. Kdy¾ si vybereme $A$, $k_1$ i $d_2$ u¾ jsou spárovaní tak¾e si nesmíme vybrat $B$ ani $D$. Pak jediná mo¾nost, jak spárovat $d_1$ a~$k_2$ je $C$. Jedna mo¾nost je tedy vybrat si $A$ a $C$ a jeliko¾ je obrázek symetrický, tak kdy¾ vybereme místo $A$ trojici $B$, tak dostaneme $B$ a~$D$. V¾dy si vybereme dvì protìj¹í trojice v~obrázku. Takovýto obrázek budeme pou¾ívat k~reprezentaci promìnných. Pro ka¾dou promìnnou si nakreslíme takový obrázek a~to, ¾e $A$ bude spárované s~$C$ bude odpovídat tomu, ¾e $x=1$ -a~spárování $B$ a~$D$ odpovídá $x=0$. Pokud jsme pou¾ili $A$ a~$C$, zvíøata se sudými èísly ,tj. $z_2$ a~$z_4$, horní a~dolní jsou nespárovaná a~pokud jsme pou¾ili $B$ a~$D$, zvíøátka $z_1$ a~$z_3$ zùstala nespárovaná. Pøes tyto nespárovaná zvíøátka mù¾eme pøedávat informaci, jestli promìnná $x$ má hodnotu $true$ nebo $false$ do dal¹ích èástí grafu. -Zbývá vymyslet, jak reprezentovat klauzule. Klauzule budou vypadat jako trojice literálù: -$\kappa = (x \lor y \lor \lnot r) $ -Potøebujeme zajistit, aby $x$ bylo nastavené na $1$ nebo $y$ bylo nastavené na $1$ nebo $r$ na $0$. -\figure{klauzule.eps}{Obrázek 11.3}{4cm} +%RK -\>Pro takovouto klauzuli si poøídíme dvojici kluk-dívka, kteøí budou figurovat ve tøech trojicích se tøemi rùznými zvíøátky, co¾ mají být volná zvíøátka z~obrázku pro pøíslu¹né promìnné. A~zaøídíme to tak, aby ka¾dé zvíøátko bylo pou¾ité maximálnì v~jedné takové trojici, co¾ jde proto, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje maximálnì dvakrát a~pro ka¾dý literál máme dvì volná zvíøátka, -z~èeho¾ plyne, ¾e zvíøátek je dost pro v¹echny klauzule. Pak nám ale urèitì zbude $2p-k$ zvíøátek, kde $p$ je poèet promìnných, tak pøidáme je¹tì $2p-k$ párù kluk-dìvèe, kteøí milují v¹echna zvíøátka a~ti vytvoøí zbývající páry. Pokud formule byla splnitelná, pak ze splòujícího ohodnocení mù¾eme vyrobit párování s~na¹í konstrukcí. Obrázek pro ka¾dou promìnnou spárujeme podle ohodnocení, tj. promìnná je $0$ nebo $1$ a~pro ka¾dou klauzuli si vybereme nìkterou z~promìnných, kterými je ta klauzule splnìna. Funguje to také ale i~opaènì. Kdy¾ nám nìkdo dá párovaní v~na¹í konstrukci, pak z nìho doká¾eme vyrobit splòující ohodnocení dané formule. Podíváme se, v~jakém stavu je promìnná a~to je v¹echno. Z~toho, ¾e jsou správnì spárované klauzule u¾ okam¾itì víme, ¾e jsou v¹echny splnìné. Zbývá ovìøit, ¾e na¹e redukce funguje v~polynomiálním èase. Pro ka¾dou klauzuli spotøebujeme konstantnì mnoho èasu, $2p-k$ je také polynomiálnì mnoho a~kdy¾ to seèteme, pak máme polynomiální èas vzhledem k~velikosti vstupní formule. Tím je pøevod hotový a~mù¾eme 3D-párování zaøadit mezi NP-úplné problémy. +\h{Náznak dùkazu Cookovy vìty} -%RK +Abychom mohli budovat teorii NP-úplnosti, potøebujeme alespoò jeden problém, o kterém doká¾eme, ¾e je NP-úplný, z definice. Cookova vìta øíká o NP-úplnosti SAT-u, ale nám se to hodí dokázat o tro¹ku jiném problému -- {\I obvodovém SAT-u}. +\>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~booleovskými obvody. Ka¾dá formule se dá pøepsat do booleovského obvodu, který ji poèítá, tak¾e dává smysl zavést splnitelnost i pro obvody. Na¹e obvody budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali \. -\h{Náznak dùkazu Cookovy vety} +\>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá pøevést na obyèejný SAT v~CNF. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový. Zaènìme s pomocným lemmatem. -Abychom mohli budovat teorii NP-úplnosti, tak potøebujeme alespoò jeden problém, o kterém doká¾eme, ¾e je NP-úplný z definice. Cookova vìta øíká o NP-úplnosti SAT-u, ale nám se to hodí dokázat o tro¹ku jiném problému -- {\I obvodovém SAT-u}. +\s{Lemma:} Nech» $L$ je problém v $P$. Potom existuje polynom $p$ a algoritmus, který pro $\forall n \ge 0$ spoète v èase $p(n)$ hradlovou sí» $B_n$ s $n$ vstupy a 1 výstupem takovou, ¾e $\forall x \in \{ 0, 1 \}^{n} : B_n(x) = L(x).$ -\>{\I Obvodový SAT} je splnitelnost, která nepracuje s~formulemi, ale s~boolovskými obvody. Ka¾dá formule se dá pøepsat do boolovského obvodu, který ji poèítá, tak ¾e dává smysl zavést splnitelnost pro obvody. Na¹e obvody budou mít nìjaké vstupy a~jenom jeden výstup. Budeme se ptát, jestli se vstupy tohoto obvodu dají nastavit tak, abychom na výstupu dostali $1$. +\proof +Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme poèítaèe +jako nìjaké slo¾ité booleovské obvody, jejich¾ stav se mìní v~èase. Uva¾me tedy nìjaký +problém $L \in {\rm P}$ a polynomiální algoritmus, který ho øe¹í. Pro vstup velikosti~$n$ dobìhne v~èase~$T$ polynomiálním v~$n$ a spotøebuje $\O(T)$ bunìk pamìti. +Staèí nám tedy \uv{poèítaè s~pamìtí velkou $\O(T)$}, co¾ je nìjaký booleovský obvod +velikosti polynomiální v~$T$, a~tedy i v~$n$. Vývoj v~èase o¹etøíme tak, ¾e sestrojíme~$T$ +kopií tohoto obvodu, ka¾dá z~nich bude odpovídat jednomu kroku výpoètu a bude +propojena s~\uv{minulou} a \uv{budoucí} kopií. Tím sestrojíme booleovský obvod, +který bude øe¹it problém~$L$ pro vstupy velikosti~$n$ a bude polynomiálnì velký +vzhledem k~$n$. -\>Nejprve doká¾eme NP-úplnost {\I obvodového SAT-u} a~pak uká¾eme, ¾e se dá pøevést na formulový SAT. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový. +\s{Poznámka:} +Je¹tì si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy NP. Budeme chtít, aby nápovìda +mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert += g(\vert x \vert)$). Proè je taková úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit, +¾e pùvodní nápovìdu doplníme na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které +program ignoruje (tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na +konci nápovìdy nìjak kódované mezery). \s{Vìta:} Obvodový SAT je NP-úplný. \proof -Náznak. Na základì zku¹eností principu poèítaèù intuitivnì chápeme, ¾e pokud nìjaký problém $L \in \rm{P}$, pak existuje polynomiálnì velký boolovský obvod, který poèítá $L$. +Máme tedy nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést na obvodový +SAT (tj. NP-tì¾kost). Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$ (chápeme jako vektor $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$), +spoèítáme velikost nápovìdy $g(\vert x\vert)$. Víme, ¾e kontrolní +algoritmus~$K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme +intuice o~obvodech, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu +$x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$ +(vstup problému $L$) a~nápovìda~$y$. Na výstupu nám øekne, jestli je nápovìda +správná. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $\vert x\vert + g(\vert x\vert)$, co¾ je polynom. -\>Dovolíme si drobnou úpravu v~definici tøídy NP. Budeme chtít, aby nápovìda byla pravì tak velká jako velikost vstupu (tedy: $\vert y \vert = g(\vert x \vert)$). Proè je taková úprava BÚNO? Jistì si dovedete pøedstavit, ¾e pùvodní nápovìdu doplníme -na po¾adovanou délku nìjakými \uv{mezerami}, které program ignoruje. (Tedy upravíme program tak, aby mu nevadilo, ¾e dostane na konci nápovìdy nìjak kódované mezery.) +\fig{kobvod.eps}{2.3cm} -\>Máme nìjaký problém $L$ z~NP a~chceme dokázat, ¾e $L$ se dá pøevést na obvodový SAT. Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup $x$ (chápeme jako vektor $(x_1, x_2, \dots)$), spoèítáme velikost nápovìdy $g(\vert x\vert)$. Víme, ¾e kontrolní algoritmus $K$ (který kontroluje, zda nápovìda je správnì) je v~P. Vyu¾ijeme intuice v~obvodech, abychom získali obvod, který pro konkrétní velikost vstupu $x$ poèítá to, co kontrolní algoritmus $K$. Na vstupu tohoto obvodu bude $x$ (vstup problému $L$) a~nápovìda $y$. -Na výstupu nám øekne, jestli je to nápovìda, která k~tomu patøí nebo nepatøí. Velikost vstupu tohoto obvodu bude tedy $\vert x\vert + g(\vert x\vert)$, co¾ je polynom. +\>V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen $y$ a~ptáme se, zda za $y$ mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu bylo \. Jinými slovy, ptáme se, zda je tento obvod splnitelný. -\figure{kobvod.eps}{Obrázek 11.4 - Obvod pro kontrolní algoritmus $K$}{2.3cm} +\>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme sestrojit funkci, která pro ka¾dý vstup~$x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být \. Tedy libovolný problém z~NP se dá +v~polynomiálním èase pøevést na obvodový SAT. -\>V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen $y$ a~ptáme se, zda za $y$ mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu byla 1. Jinými slovy, ptáme se, zda je tento obvod splnitelný. - -\>Pro libovolný problém z~NP tak doká¾eme vyrobit funkci, která pro ka¾dý vstup $x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, který je splnitelný pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup $x$ má být jedna. Tedy libovolný problém z~NP se dá -v~polnomiálním èase pøevést na obvodový SAT. +\>Obvodový SAT je v NP triviálnì -- za nápovìdu staèí vzít ohodnocení vstupù, hradla topologicky setøídit a postupnì vyhodnocovat. \qed \s{Lemma:} Obvodový SAT se dá pøevést na 3-SAT. \proof -Budeme postupnì budovat formuli v~konjunktivní normální formì. Pro ka¾dé hradlo v~obvodu zavedeme novou promìnnou popisující jeho výstup. Pøidáme klauzule, které nám kontrolují, ¾e toto hradlo máme ohodnocené konzistentnì. Ka¾dý boolovský obvod se dá pøevést na ekvivalentní obvod, v~kterém se vyskytují jen hradla {\sc and} a {\sc not}, tak ¾e staèí najít klauzule odpovídající tìmto hradlùm. +Budeme postupnì budovat formuli v~konjunktivní normální formì. Pro ka¾dé hradlo v~obvodu zavedeme novou promìnnou popisující jeho výstup. Pøidáme klauzule, které nám kontrolují, ¾e toto hradlo máme ohodnocené konzistentnì. Ka¾dý booleovský obvod se dá pøevést na ekvivalentní obvod, ve~kterém se vyskytují jen hradla {\sc and} a {\sc not}, tak¾e staèí najít klauzule odpovídající tìmto hradlùm. \>{\I Pøevod hradla \sc not}: na vstupu hradla budeme mít nìjakou promìnnou $x$ (která pøi¹la buïto pøímo ze~vstupu toho celého obvodu nebo je to promìnná, která vznikla na výstupu nìjakého hradla) a na výstupu promìnnou $y$. Pøidáme klauzule, které nám zaruèí, ¾e jedna promìnná bude negací té druhé: $$\matrix{ (x \lor y), \cr - (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }$$ -\figure{not.eps}{Obrázek 11.5 - Hradlo \sc not}{0.8cm} + (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr } + \hskip 0.2\hsize +\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{not.eps}}} +$$ \>{\I Pøevod hradla \sc and}: Hradlo má vstupy $x, y$ a~výstup $z$. Potøebujeme pøidat klauzule, které nám popisují, jak se má hradlo {\sc and} chovat. Tyto vztahy pøepí¹eme do~konjunktivní normální formy: $$ @@ -135,19 +277,19 @@ $$ (z \lor \neg{x} \lor \neg{y}) \cr (\neg{z} \lor x) \cr (\neg{z} \lor y) \cr - } $$ -\figure{and.eps}{Obrázek 11.6 - Hradlo \sc and}{0.9cm} + } + \hskip 0.1\hsize +\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{and.eps}}} +$$ -\>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, tak ten obvod nejdøíve pøelo¾íme na obvod, v~kterém jsou jen hradla {\sc and} a~{\sc not} a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. +\>Kdy¾ chceme pøevádìt obvodový SAT na 3-SAT, obvod nejdøíve pøelo¾íme na takový, ve~kterém jsou jen hradla {\sc and} a~{\sc not}, a~pak hradla tohoto obvodu pøelo¾íme na klauzule. Formule vzniklá z~takovýchto klauzulí je splnitelná pravì tehdy, kdy¾ je splnitelný daný obvod. Pøevod pracuje v polynomiálním èase. \qed \s{Poznámka:} Kdy¾ jsme zavádìli SAT, omezili jsme se jen na formule, které jsou v~konjunktivní normální formì (CNF). Teï u¾ víme, ¾e splnitelnost obecné -boolovské formule doká¾eme pøevést na obvodovou splnitelnost a tu pak -pøevést na 3-SAT. SAT bychom si tedy mohli definovat i jako problém -splnitelnosti obecných boolovských formulí. - +booleovské formule doká¾eme pøevést na obvodovou splnitelnost a tu pak +pøevést na 3-SAT. Opaèný pøevod je samozøejmì triviální, tak¾e obecný SAT +je ve~skuteènosti ekvivalentní s~na¹ím \uv{standardním} SATem pro CNF. \bye -