X-Git-Url: http://mj.ucw.cz/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=10-prevody%2F10-prevody.tex;h=b30e31e7132ad34d127f05cc1e71ef77e88a8970;hb=9df6c69d4f3cf552725ac8998a73e162997734cb;hp=a78615465ec243bfbeee955280071821fe2af01d;hpb=54e947b2e7f4313db432474ea066bd300c4d2a36;p=ads2.git diff --git a/10-prevody/10-prevody.tex b/10-prevody/10-prevody.tex index a786154..b30e31e 100644 --- a/10-prevody/10-prevody.tex +++ b/10-prevody/10-prevody.tex @@ -1,156 +1,281 @@ -\input ../lecnotes.tex +\input lecnotes.tex + +\prednaska{10}{Pøevody problémù}{\vbox{\hbox{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas,}\hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}} + +\>Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a jejich obtí¾ností. +Za jednoduché budeme trochu zjednodu¹enì pova¾ovat ty problémy, na~nì¾ známe algoritmus +pracující v~polynomiálním èase. + +\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano}, nebo {\sc ne}. +[Formálnì bychom se na~nìj mohli dívat jako na~mno¾inu $L$ vstupù, na~které je odpovìï {\sc ano}, +a místo $L(x)=\hbox{\sc ano}$ psát prostì $x\in L$.] + +Vstupy mìjme zakódované jen pomocí nul a jednièek (obecnì je jedno, jaký základ pro soustavu +kódování zvolíme, pøevody mezi soustavami o nìjakém základu $\neq$ 1 jsou co do velikosti +zápisu polynomiální). Rozhodovací problém je tedy +$f:\ \{0,1\}^{\ast} \to \{0,1\}$, to jest funkce z mno¾iny v¹ech øetìzcù jednièek a nul +do mno¾iny $\{1,0\}$, kde 1 na výstupu znamená {\sc ano}, 0 {\sc ne}. + +\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$ +párování, které obsahuje alespoò $k$ hran? + +To, co bychom ve~vìt¹inì pøípadù chtìli, je samozøejmì nejen zjistit, zda takové párování +existuje, ale také nìjaké konkrétní najít. V¹imnìme si ale, ¾e kdy¾ umíme rozhodovat +existenci párování v~polynomiálním èase, mù¾eme ho polynomiálnì rychle i najít: + +Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný +graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu +a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato +hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak +nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu +poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto +vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy +byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy. +Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí +do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì +mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální. + +A~jak ná¹ rozhodovací problém øe¹it? Nejsnáze tak, ¾e ho pøevedeme +na~{jiný,\footnote{${}^{\dag}$}{vìrni matfyzáckým vtipùm}} který +u¾ vyøe¹it umíme. Tento postup jsme (právì u~hledání párování) u¾ pou¾ili +v~kapitole o~Dinicovì algoritmu. Vytvoøili jsme vhodnou sí», pro kterou +platilo, ¾e v~ní existuje tok velikosti~$k$ právì tehdy, kdy¾ +v~pùvodním grafu existuje párování velikosti~$k$. + +Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat obecnì: + +\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I +redukovat} (neboli {\it pøevést}) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy, +kdy¾ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall +x: A(x) = B(f(x))$. V¹imnìme si, ¾e $f$ pracující v polynomiálním èase vstup +zvìt¹í nejvíce polynomiálnì. + +\s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký +jako problém~$A$ (tím myslíme, ¾e pokud lze $B$ øe¹it v~polynomiálním èase, +lze tak øe¹it i~$A$): Nech» problém~$B$ umíme øe¹it v~èase $\O(b^k)$, kde +$b$ je délka jeho vstupu. Nech» dále funkce $f$ pøevádìjící $A$ na $B$ pracuje +v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Spustíme-li tedy $B(f(x))$ na~nìjaký +vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, kde $a=|q|$; tak¾e +$B(f(x))$ pobì¾í v~èase $\O(a^\ell + (a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je +polynomiální v~délce vstupu~$a$. + + +\s{Pozorování:} Pøevoditelnost je +\itemize\ibull +\:reflexivní (úlohu mù¾eme pøevést na tu stejnou identickým zobrazením): $A \rightarrow A$, +\:tranzitivní: Je-li $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, +pak $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $g \circ f$ +(slo¾ení dvou polynomiálních funkcí je zase polynomiální funkce, jak u¾ jsme zpozorovali +v~pøedchozím odstavci). +\endlist +\>Takovýmto relacím øíkáme kvaziuspoøádání -- nesplòují obecnì antisymetrii, tedy mù¾e nastat +$A\rightarrow B$ a $B\rightarrow A$. Omezíme-li se v¹ak na tøídy navzájem pøevoditelných +problémù, dostáváme ji¾ (èásteèné) uspoøádání. Existují i navzájem nepøevoditelné problémy -- +napøíklad problém v¾dy odpovídající 1 a problém v¾dy odpovídající 0. +Nyní se ji¾ podíváme na nìjaké zajímavé problémy. Obecnì to budou problémy, na které +polynomiální algoritmus není znám, a vzájemnými pøevody zjistíme ¾e jsou stejnì tì¾ké. + +\h{1. problém: SAT} +\>Splnitelnost (satisfiability) logických formulí, tj. dosazení 1 èi +0 za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek 1. + +\>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí, {\I konjunktivní normální formu} (CNF), + které splòují následující podmínky: +\itemize\ibull +\:{\I formule} je zadána pomocí {\I klauzulí}\footnote{${}^{\dag}$}{bez politických konotací} oddìlených $\land$, +\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$, +\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace. +\endlist +\>Formule mají tedy tvar: +$$\psi = (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$ -\prednaska{10}{Pøevody problémù}{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas)} +\>{\I Vstup:} Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì. -Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a pøevody mezi nimy. +\>{\I Výstup:} $\exists$ dosazení 1 a 0 za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\psi(\ldots) = 1$. -\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano} nebo {\sc ne} -\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$, $k \in N$. Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$ hran? -\s{Pøíklad:} Daný problém pøevedeme na jiný: Párování $\rightarrow$ (lze pøevést) $\rightarrow$ hledání maximálního toku. -Tzn. Existuje v síti $G$ tok velikosti alespoò $k$? +\>Pøevod nìjaké obecné formule $\psi$ na jí ekvivalentní $\chi$ v~CNF mù¾e +zpùsobit, ¾e $\chi$ je exponenciálnì velká vùèi $\psi$. +Pozdìji uká¾eme, ¾e lze podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v~CNF, která sice není +ekvivalentní s $\psi$ (pøibydou nám promìnné, a ne ka¾dý roz¹íøený model +$\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ --- co¾ nám +pøesnì staèí --- a je lineárnì velká vùèi $\psi$. -\s{Obecnì se dá øici:} Pokud daný pro problém umíme rozhodnout, zda platí $\Rightarrow$ umíme najít øe¹ení problému. -\s{Pøíklad:} Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný graf má nebo nemá perfektní párování. Odebereme hranu a zeptáme se, jestli i tento nový graf má pefektní párovaní. Kdy¾ má, tak tahle hrana nebyla potøebná pro párování, vyhodíme ji, proto¾e ji nepotøebujeme. -Kdy¾ nemá (hrana patøí do párování), tak si danou hranu poznamenáme a odebereme ji i její vrcholy a také hrany, které vedli do tìchto vrcholù. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s ¾ádnými jinými vrcholy. -Tohle iterujeme dokud to jde. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí do maximálního párování. Tím jsme dané párování nalezli. -Hran je polynomiálne mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e algoritmus je polynomiální. +\h{2. problém: 3-SAT} +\s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály. -\s{Definice:} Jsou-li A, B rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e A lze redukovat na B ($A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase, t¾. pro $\forall x: A(x) = B(f(x))$ +\s{Pøevod 3-SAT na SAT:} +Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT +$\rightarrow$ SAT (SAT je alespoò tak tì¾ký jako 3-SAT) -\s{Pøíklad:} Bipartitní graf $\rightarrow$ Tok v síti -funkce $f$ je funkce, která vezme bipartitní graf a vyrobí z nìj regulerní sí» (pøidá zdroj, stok, hrany + ohodnocení) +\s {Pøevod SAT na 3-SAT:} +Musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost. -\s{Nìco málo o slo¾itosti:} -Kdy¾ $A$ lze redukovat na $B$ a $B$ umíme vyøe¹it v èase $O(\vert vstup \vert^l) = O(\vert f(x)\vert^l)$ -$ pro vstup x: \vert x \vert = n$ -$ \vert f(x)\vert = O(n^k)$ pro nìjaké k -B poèíta v èase $O(n^{kl})$ -$f$ poèíta v polynomiálním èase $\rightarrow$ mù¾e vydat maximálne polynomiální výstup +\>Trik pro dlouhé klauzule: Ka¾dou \uv{¹patnou} klauzuli +$$(\alpha \lor \beta) \hbox{, t¾. } \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4 +,\ \vert\alpha\vert \geq 2,\ \vert\beta\vert\geq 2$$ +pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \land (\beta \lor \lnot x),$$ +kde $x$ je nová promìnná (pøi ka¾dém dìlení klauzule {\it jiná} +nová promìnná). +%kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule. -\s{Pozorování:} funkce $f$ je: -\itemize\ibull -\:reflexivní (úlohu mù¾eme identicky pøevést na tu stejnou), $A \rightarrow A$ -\:tranzitivní, $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $(f o g)$ -\endlist +\>Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba -- formuli délky $k+l$ +roztrhneme na formule délky $k+1$ a $l+1$. Pokud klauzule pùlíme, dostaneme +polynomiální èas (strom rekurze má logaritmicky pater -- formule délky alespoò 6 +se nám pøi rozdìlení zmen¹í na dvì instance velikosti maximálnì $2/3$ pùvodní, krat¹í +formule nás netrápí; na ka¾dém patøe se vykoná tolik co na pøedchozím + $2^{hloubka}$ +za pøidané formule). Velikost výsledné formule je tím pádem polynomiální vùèi pùvodní: +v ka¾dém kroku se pøidají jen dva literály, tedy celkem {\it èas na pøevod}$\cdot +2$ nových. -\h{1.Problém: SAT} +\>Platí-li: \itemize\ibull -\:splnitelnost logických formulí -\:tj. dosazení $0,1$ do logické formule tak, aby formule platila +\:$\alpha \Rightarrow$ zvolíme $x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule), +\:$\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule), +\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 0/1$ (je nám to + jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní). \endlist -Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí - konjunktivní normální forma: -$$(\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& \ldots $$ +Nabízí se otázka, proè mù¾eme pøidanou promìnnou $x$ nastavovat, jak se nám zlíbí. +Vysvìtlení je prosté -- promìnná $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e +se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit tak, jak chceme. -{\I Vstup:} formule v konjunktivní normální formì (CNF) -{\I Výstup} $\exists$ dosazení $0/1$ za promìnné t.¾. $\phi(\ldots) = 1$. +\s{Poznámka:} U~3-SAT lze vynutit právì tøi literály, pro krátké klauzule +pou¾ijeme stejný trik: +$$(\alpha) \rightarrow (\alpha \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$ -$$ \phi(x, y, \ldots) = (x \lor \lnot y \lor \ldots) \& (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor) \& \ldots $$ -\itemize\ibull -\:formule zadána pomocí klauzulí oddìlených \&, -\:ka¾dá klauzule je slo¾ená z literálù oddìlených $\lor$, -\:ka¾dý literál je slo¾ený z promìnných, nebo $\lnot$ promìnných -\endlist - -Uká¾eme, ¾e staèí vyøe¹it jednodu¹¹í problém 3-SAT. - -\h{2.Problém: 3-SAT} -{\I 3-SAT} je SAT, kde ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e 3 literály - -\s{Pøevod 3-SAT na SAT} -platí identita, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT = SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký, jako SAT) - -\s {Pøevod SAT na 3-SAT} -- musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost -{\I trik pro dlouhé klauzule:} -$$(\alpha \lor \beta) t¾. \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4$$ -pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \& (\beta \lor \lnot x)$$ -$x$ je nová promìnná, kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule -platí-li: -\itemize\ibull -\:$\alpha \rightarrow x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule) -\:$\beta \rightarrow x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule) -\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \rightarrow x = 0/1$ (je nám to jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní) -Hodnota x nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit, jak chceme my. -Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba. +\h{3. problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu} + +\>Existuje nezávislá mno¾ina vrcholù z~$G$ velikosti alespoò $k$? + +\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) budeme øíkat ka¾dé mno¾inì vrcholù grafu +takové, ¾e mezi nimi nevede ¾ádná hrana. + +\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{1in} -{\I poznámka} u 3-SAT lze vynutit právì $3$ literály, pro krátké klauzule pou¾ijeme následující trik: -$$(a) \rightarrow (a \lor x) \& (a \lor \lnot x) $$ +\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf $G$, $k \in {\bb N}$. -\h{3. Problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu} -\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina:} je tvoøena vrcholy grafu, které spolu nemají spoleènou hranu +\>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$: $\forall u,v \in A \Rightarrow uv \not\in E(G)$? -{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in N$ -{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$, $u,v \in A \Rightarrow (uv) \not\in E(G)$ ? +\s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. Proto je potøeba zadat i minimální velikost hledané mno¾iny. -Úlohu øe¹íme tak, ¾e problém 3-SAT pøevedeme tuto úlohu. +\>Uká¾eme, jak na~tento probém pøevést 3-SAT. -\s{poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. - -\s{øe¹ení úlohy:} Z ka¾dé klauzule vybereme $1$ literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x a \lnot x$ +\s{Pøevod 3-SAT na NzMna:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v~rùzných +klauzulích nevybírali konfliktnì, tj.~$x$ a~$\lnot x$. -\s {pøíklad} -$$(x \lor y \lor z) \& (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \& (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $$ -pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) + pøidáme "konfliktní" hrany tj. $x a \lnot x$ +\s{Pøíklad:} +$(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $. -Princip je takový, ¾e z ka¾dé klauzule si vybereme promìnnou, která danou klauzuli splní a to, aby promìnné, které si vybereme nekolidovali, vyøe¹íme hranami mezi promìnnými a jejich negacemi. +\>Pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) a pøidáme \uv{konfliktní} +hrany, tj. $x$ a $\lnot x$. Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli, +poèet hran je maximálnì kvadratický a pøevod je tedy polynomiální. -Existuje NzMna velikosti rovné poètu klauzulí? -Pokud ano, tak dostaneme seznam promìnných, pomocí kterých splníme danou formuli. +Existuje-li v grafu nezávislá mno¾ina velikosti $k$, pak z právì $k$ trojúhelníkù +vybere právì jeden vrchol, a pøitom ¾ádné dva vrcholy nebudou odpovídat literálu a +jeho negaci -- tedy dostaneme ohodnocení promìnných splòujících alespoò $k$ klauzulí. +Na druhou stranu, existuje-li ohodnocení $k$ klauzulí, pak pøímo odpovídá nezávislé +mno¾inì velikosti $k$ (v ka¾dém trojúhelníku zvolíme právì jednu z ohodnocených +promìnných, nemù¾e se stát ¾e zvolíme vrcholy konfliktní hrany). Ptáme-li se tedy +na nezávislou mno¾inu velikosti odpovídající +poètu klauzulí, dostaneme odpovìï {\sc ano} právì tehdy, kdy¾ je formule splnitelná. -\h{4. Problém: Klika} -{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$ -{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech ? -\s{øe¹ení:} prohodíme hrany a nehrany $\rightarrow$ hledání nezávislé mno¾iny -\s{dùvod:} pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v "invertovaném" grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu +Jsou-li ve formuli i klauzule krat¹í ne¾ 3, mù¾eme je buïto prodlou¾it metodou vý¹e +popsanou; nebo si v grafu necháme dvoj- a jedno-úhelníky, které ¾ádné z na¹ich úvah +vadit nebudou. -\s{Pøíklad:} (viz obrázky) +\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu}{3in} -\s{Pøevod NzMna na SAT} -Máme promìnné $v_1 \ldots v_n$ pro vrcholy +\s{Pøevod NzMna na SAT:} -pro ka¾dé $(i,j) \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot vi \lor \lnot vj)$ +\itemize\ibull +\:Poøídíme si promìnné $v_1, \ldots, v_n$ odpovídající vrcholùm grafu. Promìnná $v_i$ bude + indikovat, zda se $i$-tý vrchol vyskytuje v~nezávislé mno¾inì (tedy pøíslu¹né ohodnocení + promìnných bude vlastnì charakteristická funkce nezávislé mno¾iny). +\:Pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$. Tyto klauzule + nám ohlídají, ¾e vybraná mno¾ina je vskutku nezávislá.. +\:Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e je mno¾ina dostateènì velká, tak¾e si její prvky + oèíslujeme èísly od~1 do~$k$. Oèíslování popí¹eme maticí promìnných $x_{ij}$, pøièem¾ + $x_{ij}$ bude pravdivá právì tehdy, kdy¾ v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$v_j$ +-- pøidáme tedy klauzule, které nám øeknou, ¾e vybrané do nezávislé mno¾iny jsou právì + ty vrcholy, které jsou touto maticí oèíslované: $\forall i,j$, $x_{ij} \Rightarrow v_j$ + (jen dodejme, ¾e $a\Rightarrow b$ je definované jako $\neg a\vee b$). +\:Je¹tì potøebujeme zajistit, aby byla v~ka¾dém øádku i sloupci nejvý¹e jedna jednièka: + $\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{i^{'}j}$ a + $\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{ij^{'}}$.. +\:A~nakonec si ohlídáme, aby v~ka¾dém øádku byla alespoò jedna jednièka, klauzulí $\forall i : + x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$. +\endlist +Tímto vynutíme NezMnu $\geq k$, co¾ jsme pøesnì chtìli. Takovýto pøevod je zøejmì polynomiální. + +\s{Pøíklad matice:} Jako pøíklad pou¾ijeme nezávislou mno¾inu z ukázky nezávislé mno¾iny. +Nech» jsou vrcholy grafu oèíslované zleva a zezhora. Hledáme nezávislou mno¾inu velikosti $2$. +Matice pak bude vypadat následovnì: +$$ \pmatrix{1&0&0&0&0 \cr 0&0&0&1&0}$$ +\s{Vysvìtlení:} Jako první vrchol mno¾iny bude vybrán vrchol $v_1$, proto v prvním +øádku a v prvním sloupci bude $1$. Jako druhý vrchol mno¾iny bude vybrán +vrchol $v_4$, proto na druhém øádku a ve ètvrtém sloupci bude $1$. Na ostatních místech bude $0$. +\h{4. problém: Klika} -prvek matice $x_{i,j} = 1 \Leftrightarrow i$-tý prvek je vrchol $j$, tj. $\forall i,j$, $x_{ij} \Rightarrow v_j$ +\>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$. -$\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow x_{i^{'}j}$ +\>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech? +\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{2in} -$\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow x_{ij^{'}}$ +\s{Pøevod:} Prohodíme v grafu $G$ hrany a nehrany $\Rightarrow$ (hledání nezávislé mno¾iny $\leftrightarrow$ hledání kliky). +\s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~komplementárním grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu, + a naopak. -\h{5. Problém: 3D -- párování (matching)} -{\I Vstup:} Mno¾ina K, H, Z + mno¾ina kompatibilních 3-ic (ti, kteøí se spolu snesou) -{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina 3-ic -\s{Øe¹ení:} pøes 3,3-SAT (konkrétnìji viz dal¹í pøedná¹ka) +\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{2in} -\h{3,3-SAT} -\s{Definice:} {\I 3,3-SAT} je speciální pøípad 3-SATu, kde ka¾dá promìnná se vyskytuje v maximálnì 3 literálech +\h{5. problém: 3,3-SAT} +\s{Definice:} 3,3-SAT je speciální pøípad 3-SATu, kde ka¾dá promìnná se vyskytuje v~maximálnì tøech literálech. -\s{Pøevod 3-SAT na 3,3-SAT} -Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v $k > 3$ literálech, tak nahradíme výskyty novými promìnnými $x_1 \ldots x_k$ a pøidáme klauzule +\s{Pøevod 3-SAT na 3,3-SAT:} +Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, tak nahradíme výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$ a pøidáme klauzule: $$ -(\lnot x_1 \lor x_2) -(\lnot x_2 \lor x_3) -(\lnot x_3 \lor x_4) -\ldots -(\lnot x_{k-1} \lor x_k) -(\lnot x_k \lor x_1) +(\lnot x_1 \lor x_2), +(\lnot x_2 \lor x_3), +(\lnot x_3 \lor x_4), +\ldots, +(\lnot x_{k-1} \lor x_k), +(\lnot x_k \lor x_1), $$ co¾ odpovídá: $$ -(x_1 \Rightarrow x_2) -(x_2 \Rightarrow x_3) -(x_3 \Rightarrow x_4) -\ldots -(x_{k-1} \Rightarrow x_k) -(x_k \Rightarrow x_1) +(x_1 \Rightarrow x_2), +(x_2 \Rightarrow x_3), +(x_3 \Rightarrow x_4), +\ldots, +(x_{k-1} \Rightarrow x_k), +(x_k \Rightarrow x_1). $$ -tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu. + +Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny nové promìnné budou mít stejnou hodnotu. + +Mimochodem, mù¾eme rovnou zaøídit, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce dvakrát (tedy ¾e +ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì). Pokud by +se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni +také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude +vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì. + +\h{6. problém: 3D párování (3D matching)} + +\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou). + +\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$. + +\>Uká¾eme, jak na tento problém pøevést 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce). + +\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování}{3in} + +\s{Závìr:} Obrázek ukazuje problémy, jimi¾ jsme se dnes zabývali, a vztahy mezi tìmito problémy. +\figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy}{3in} \bye