které u¾ umíme (obvykle vhodným kódováním èísly) øe¹it v~konstantním
èase.
-\h{Union-Find problem}
+\h{Union-Find Problem}
\s{Problém:} Udr¾ování tøíd ekvivalence: na~poèátku máme $N$ jednoprvkových ekvivalenèních
tøíd, provádíme operace \<Find> (zji¹tìní, zda dva prvky jsou ekvivalentní) a \<Union>
jedné tøídy pod koøen druhé. Aby stromy nedegenerovaly, pøidáme dvì pravidla:
\itemize\ibull
-\:{\I Union by rank:} ka¾dý koøen $v$ si pamatuje svùj rank $r(v)$. Pokud spojujeme
+\:{\I Union by rank:} ka¾dý koøen $v$ si pamatuje svùj rank $r(v)$. Na~poèátku
+jsou v¹echny ranky nulové. Pokud spojujeme
dva stromy s~koøeny $v$, $w$ a $r(v)<r(w)$, pøipojíme $v$ pod~$w$ a rank zachováme.
Pokud $r(v)=r(w)$, pøipojíme libovolnì a nový koøen bude mít rank $r(v)+1$.%
\foot{Stejnì by fungovalo pravidlo {\I Union by size,} které pøipojuje men¹í
\s{Pozorování:} Samotné pravidlo Union by rank zajistí, ¾e strom ranku $r$ bude
mít hloubku nejvý¹e $r$ a minimálnì $2^r$ vrcholù, tak¾e èasová slo¾itost operací
bude omezena $\O(\log n)$ v~nejhor¹ím pøípadì.%
-\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila.}
+\foot{Mimochodem, Path compression samotná by také na~slo¾itost $\O(\log n)$ amortizovanì staèila. \cite{tarjan84setunion}}
Amortizovanì se ale popsaná struktura chová daleko lépe:
\foot{Existuje varianta tohoto algoritmu, která dosahuje stejné slo¾itosti i v~nejhor¹ím
pøípadì; té¾ je známo, ¾e asymptoticky lep¹í slo¾itosti nelze dosáhnout.}
+Dùkaz této vìty neuvádíme, jeliko¾ je technicky dosti nároèný, ale naznaèíme alespoò,
+¾e amortizovaná èasová slo¾itost je omezena iterovaným logaritmem, konkrétnì ¾e
+ve~struktuøe s~$n$ prvky trvá provedení $\ell$~operací Union a Find $\O((n+\ell)\cdot\log^* n)$.
+
+\def\up{\mathop{\uparrow}}
+
+\s{Definice:} {\I Vì¾ovou funkci} $2\up k$ definujeme následovnì: $2\up 0=1$,
+$2\up (k+1)=2^{2\up k}$.
+
+Funkce $2\up k$ je tedy $k$-krát iterovaná mocnina dvojky a $\log^*$ je funkce
+k~této funkci inverzní.
+
+Vrcholy ve~struktuøe si nyní rozdìlíme podle jejich rankù (vrchol, který ji¾ není
+koøenem, si pamatuje svùj poslední rank z~doby, kdy je¹tì koøenem byl):
+$k$-tá skupina bude tvoøena tìmi vrcholy, jejich¾ rank je od~$2\up (k-1)+1$ do~$2\up k$. Vrcholy jsou
+tedy rozdìleny do~$1+\log^*\log n$ skupin. Odhadnìme nyní shora poèet vrcholù v~$k$-té
+skupinì, vyu¾ívajíce toho, ¾e vrcholù s~rankem~$r$ je nejvý¹e~$n/2^r$:
+$$
+{n \over 2^{2\up(k-1)+1}} + {n \over 2^{2\up(k-1)+2}} + \cdots + {n \over 2^{2\up k}} \le
+{n \over 2^{2\up(k-1)}} \cdot \sum_{i=1}^\infty {1 \over 2^i} =
+{n \over 2^{2\up(k-1)}} \cdot 1 =
+{n \over 2\up k}.
+$$
+
+Operace Union a Find potøebují nekonstantní èas pouze na~vystoupání ze~zadaného vrcholu~$v$ do~koøene stromu
+a tento èas je pøímo úmìrný poètu hran na~cestì z~$v$ do~koøene. Tato cesta je následnì rozpojena a v¹echny
+vrcholy le¾ící na~ní jsou pøepojeny pøímo pod~koøen stromu. Hrany cesty, které spojují vrcholy z~rùzných
+skupin (takových je jistì $\O(\log^* n)$), naúètujeme právì provádìné operaci, tak¾e
+jimi celkem strávíme èas $\O(\ell\log^*n)$. Zbylé hrany budeme poèítat pøes celou dobu bìhu
+algoritmu a úètovat je vrcholùm.
+
+Uva¾me vrchol~$v$ v~$k$-té skupinì, který ji¾ není koøenem stromu. Hrana z~$v$ do~jeho rodièe
+bude úètována vrcholu~$v$ pouze tehdy, le¾í-li rodiè také v~$k$-té skupinì. Jen¾e
+ranky vrcholù na~cestì z~libovolného vrcholu do~koøene ostøe rostou, tak¾e pøi ka¾dém pøepojení
+rank rodièe vrcholu~$v$ vzroste, a~proto po~$2\up k$ pøepojeních bude rodiè vrcholu~$v$ v~$(k+1)$-ní
+nebo vy¹¹í skupinì. Ka¾dému vrcholu v~$k$-té skupinì tedy úètujeme nejvý¹e $2\up k$ pøepojení
+a jeliko¾, jak u¾ víme, jeho skupina obsahuje nejvý¹e $n/(2\up k)$ vrcholù, naúètujeme
+celé skupinì èas $\O(n)$ a v¹em skupinám dohromady $\O(n\log^* n)$.
+
\h{Union-Find s~pøedem známými Uniony}
-Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problemu, v~ní¾ dopøedu známe
+Dále nás bude zajímat speciální varianta Union-Find problému, v~ní¾ dopøedu známe
posloupnost Unionù, èili strom, který spojováním komponent vznikne.\foot{Kdy se to hodí?
Tøeba v~Thorupovì lineárním algoritmu \cite{thorup:usssp} na~nejkrat¹í cesty nebo
ve~Weiheho takté¾ lineárním algoritmu \cite{weihe:paths} na~hledání hranovì disjunktních
¾e $\log n=4$. Vrcholy mikrostromù jsou èerné, makrostromu bílé. Spojovací hrany kreslíme teèkovanì,
hrany komprimovaných cest tuènì.
+\medskip
\fig{mima.eps}{\epsfxsize}
\s{Algoritmus pro cesty:} Cestu délky~$l$ rozdìlíme na~úseky délky $\log n$, pro nì¾ si ulo¾íme
\itemize\ibull
\:Ka¾dý vrchol se nachází v~právì jednom clusteru (hrany mohou vést i mezi clustery).
\:Ka¾dý cluster má nejvý¹e~$c$ vrcholù.
-\:Vnìj¹í stupeò ka¾dého clusteru (tj. poèet hran, které vedou mezi $C_i$ a zbytkem grafu)
-je nejvý¹e~3. Navíc pokud je právì~3, je cluster triviální, èili $\vert C_i \vert = 1$.
+\:Vnìj¹í stupeò ka¾dého clusteru (tj. poèet hran, které vedou mezi $C_i$ a ostatními
+clustery; mezi ka¾dou dvojicí clusterù poèítáme jen jednu hranu) je nejvý¹e~3.
+Navíc pokud je právì~3, je cluster triviální, èili $\vert C_i \vert = 1$.
\:®ádné dva sousední clustery nelze spojit.
\endlist
\proof První èást rozborem pøípadù, druhá hladovì pomocí DFS. \qed
-\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problemu bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
+\s{Pou¾ití:} Pøedchozí variantu Union-Find problému bychom také mohli vyøe¹it nahrazením
vrcholù stupnì $>3$ \uv{kruhovými objezdy bez jedné hrany}\foot{tzv. francouzský trik},
nalezením $(\log n)$-clusterizace, pou¾itím bitové reprezentace mno¾in uvnitø clusterù
a pøebarvovací struktury na~hrany mezi clustery.
èasem na~pøevod dotazu.
\proof Strom projdeme do~hloubky a poka¾dé, kdy¾ vstoupíme do~vrcholu (a» ji¾ poprvé nebo se do~nìj vrátíme),
-zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejhlub¹í vrchol mezi libovolnou
+zapí¹eme jeho hloubku. ${\rm LCA}(x,y)$ pak bude nejvy¹¹í vrchol mezi libovolnou
náv¹tìvou~$x$ a libovolnou náv¹tìvou~$y$.
\qed
\s{Vìta:} Problémy LCA i RMQ je mo¾né øe¹it v~konstantním èase na~dotaz
po~pøedzpracování v~lineárním èase.
+\s{Cvièení:} Vymyslete jednodu¹¹í strukturu pro RMQ, víte-li, ¾e v¹echny dotazy budou na~intervaly stejné délky.
+
\references
\bye
projects / ga.git / blobdiff