\input lecnotes.tex
\prednaska{8}{Fourierova transformace}{(K.Jakubec, M.Polák a G.Ocsovszky)}
-Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- jednodu¹e vezmeme koeficienty prvního polynomu a ka¾dým z nich pøenásobím v¹echny koeficienty toho druhého. Pokud øád prvního polynomu je $n$ a druhého $m$, tak èasová slo¾itost nám vyjde nìco jako $\O(mn)$. To není a¾ tak ¹patné, v nejhor¹ím pøípadì se dostaneme na $\O(n^{2})$ (pokud $m = n$). Na první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme v¾dy vynásobit \uv{ka¾dej s ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat mù¾e, ale k~tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast Fourier Transform}.
+Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- vezmeme koeficienty prvního polynomu a vynásobíme ka¾dý se v¹emi koeficienty druhého polynomu a pøíslu¹nì u toho vynásobíme i exponenty (stejnì jako to dìláme, kdy¾ násobíme polynomy na papíøe). Pokud stupeò prvního polynomu je $n$ a druhého $m$, tak èasová slo¾itost nám vyjde $\O(mn)$. To není a¾ tak ¹patné, v nejhor¹ím pøípadì se dostaneme na $\O(n^{2})$ (pokud $m = n$). Na první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme v¾dy vynásobit \uv{ka¾dý s ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat mù¾e, ale k tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast Fourier Transform}.
\ss{Trochu algebry na zaèátek:}
-\>Libovolný polynom $P$ øádu $n$ mù¾eme být reprezentován dvìma rùznými zpùsoby:
+\>Libovolný polynom $P$ stupnì $n$ mù¾e být reprezentován dvìma rùznými zpùsoby:
\itemize\ibull
\:svými koeficienty, èili èísly $a_{0}, a_{1}, \ldots ,a_{n}$, nebo
-\:svými hodnotami v $n + 1$ rùzných bodech $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$, èili èísly $P(x_{0}),$ $P(x_{1}),$ $\ldots , P(x_{n})$.
+\:svými hodnotami v $n$ rùzných bodech $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$, èili èísly $P(x_{0}),$ $P(x_{1}),$ $\ldots , P(x_{n})$.
\endlist
-\>Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a $B$ øádu $n$ a body $x_{0}, \ldots, x_{k}$, pak platí $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots, n+1.$ Toto èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení. Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty a ne hodnotami v bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algorimtus (tj. rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému algoritmu) na pøevod polynomu z~jedné reprezentace do druhé a zase zpìt.
+\ss{Konvence}
+\>Celé polynomy oznaèujeme velkými písmeny, jednotlivé èleny polynomù pak pøíslu¹nými malými písmeny. (Pø.: Polynom $W$ stupnì $n$ má èleny $w_{1}, w_{2},\ldots, w_{n}$.)
-Dále bychom si mìli uvìdomit, ¾e stupeò na¹eho výsledného polynomu $C$ bude $\leq 2n+1$ (kde $n$ je stupnìm výchozích polynomù). To snad netøeba nijak vysvìtlovat, ka¾dý si to snadno ovìøí, jen dodáme, ¾e pokud chceme polynom $C$ reprezentovat pomocí jeho hodnot v bodech, musíme vzít $2n + 2$ bodù. Tímto konèí malá algebraická vsuvka.
+\>Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a $B$ stupnì $n$ a body $x_{0}, \ldots, x_{k}$, pak platí $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots, n.$ Toto èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení. Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty a ne hodnotami v bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algorimtus (tj. rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému algoritmu) na pøevod polynomu z jedné reprezentace do druhé a zase zpìt.
+
+Dále bychom si mìli uvìdomit, ¾e stupeò na¹eho výsledného polynomu $C$ bude $\leq 2n$ (kde $n$ je stupeò výchozích polynomù). To snad netøeba nijak vysvìtlovat, ka¾dý si to snadno ovìøí, jen dodáme, ¾e pokud chceme polynom $C$ reprezentovat pomocí jeho hodnot v bodech, musíme vzít alespoò $2n$ bodù. Tímto konèí malá algebraická vsuvka.
\s{Idea, jak by mìl algoritmus pracovat:}
\algo
-\:Vybereme $2n + 2$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{2n+1}$.
-\:V~tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a $B$.
+\:Vybereme $2n$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{2n}$.
+\:V tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a $B$.
\:Nyní ji¾ v lineárním èase získáme polynom $C$ (viz vý¹e).
-\:Inverznì pøevedeme hodnoty polynomu $C$ v $2n+2$ bodech na jeho koeficienty.
+\:Inverznì pøevedeme hodnoty polynomu $C$ v $2n$ bodech na jeho koeficienty.
\endalgo
-\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v~lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n+2$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n+1$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n+2$ násobení).
-
-Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o~komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o~trochu struènìji.
+\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n$ násobení).
-\ss{Vyhodnocení polynomu metodou rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
-Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{i}$ shodují s~druhými mocninami $-x_{i}$.
+Celý trik spoèívá v chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o trochu struènìji.
-Polynom $P$ rozlo¾íme na dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty, druhá s~lichými:
+\ss{ Vyhodnocení polynomu metodou Rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
+Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{j}$ shodují s druhými mocninami $-x_{j}$.
+Polynom $P$ rozlo¾íme na dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty, druhá s lichými:
$P(x) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n-2}x^{n-2} + p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n-1}x^{n-1}$
$S(x^{2}) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n - 2}x^{n - 2}$,
$L(x^{2}) = p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n - 1}x^{n - 1}$
\>Tak¾e obecnì $P(x) = S(x^{2}) + xL(x^{2})$ a $P(-x) = S(x^{2}) - xL(x^{2})$.
-Jinak øeèeno, vyhodnocování $P(x)$ v $n$ bodech se nám smrskne na vyhodnocení $S(x)$ a $L(x)$ (oba mají polovièní stupeò ne¾ $P(x)$) v $n/2$ bodech (proto¾e $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).
+Jinak øeèeno, vyhodnocování $P$ v $n$ bodech se nám smrskne na vyhodnocení $S(x)$ a $L(x)$ (oba jsou polynomy stupnì $n/2$ a vyhodcujeme je nyní v $x^{2}$) v $n/2$ bodech (proto¾e $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).
\s{Pøíklad:}
$3 + 4x + 6x^{2} + 2x^{3} + x^{4} + 10x^{5} = (3 + 6x^{2} + x^{4}) + x(4 + 2x^{2} + 10x^{4})$.
-Teï nám ov¹em vyvstane problém s oním párováním -- druhá mocina pøece nemù¾e být záporná a tím pádem u¾ v~druhé úrovni rekurze body spárované nebudou. Z~tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti mohou. Jako $x_{0}, \ldots , x_{n-1} $ si zvolíme $n$-tou komplexní odmocninu z~jedné. Máme $n$ $n$-tých odmocnin z jednièky, rovnomìrnì rozesetých po jednotkové kru¾nici, BÚNO $n=2^{k}, k \in N$ (jinak viz slajdy Martina Mare¹e). Jednotlivé odmociny vypadají takto: $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1} $, kde $\omega = e^{2 \pi i/ n}$.
+Teï nám ov¹em vyvstane problém s oním párováním -- druhá mocina pøece nemù¾e být záporná a tím pádem u¾ v druhé úrovni rekurze body spárované nebudou. Z tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti mohou. Jako $x_{0}, \ldots , x_{n-1} $ si zvolíme $n$-tou primitvní odmocninu z jedné (oznaèíme si ji jako $\omega$). Máme $n$ $n$-tých primitivních odmocnin z jednièky, rovnomìrnì rozesetých po jednotkové kru¾nici, BÚNO $n=2^{k}, k \in N$ (jinak viz slajdy Martina Mare¹e). Jednotlivé odmociny vypadají takto: $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1} $, kde $\omega = e^{2 \pi i/ n}$.
\s{Dvì poznámky:}
\itemize\ibull
-\:$n$-té odmocniny z~jednièky jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$,
-\:umocníme-li v¹echny na druhou, vznikne nám $n/2$ $n/2$-tých odmocnin z~jedné, které jsou i nadále spárované.
+\:primitivní $n$-té odmocniny z jednièky jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$,
+\:umocníme-li v¹echny na druhou, vznikne nám $n/2$ $n/2$-tých odmocnin z jedné, které jsou i nadále spárované.
\endlist
\ss{Tak a teï koneènì ten slavný algoritmus:}
\>FFT($P$, $ \omega$)
-\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$, a $\omega$, $n-$tá odmocina z~jedné.
+\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$, a $\omega$, $n-$tá odmocina z jedné.
\>{\sl Výstup:} Hodnoty polynomu v~bodech $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1}$, èili èísla $P(1), P(\omega), P(\omega^{2}),$ $\ldots , P(\omega^{n - 1})$.
\algo
\:Pokud $n = 1$, vra» $P_{0}$ a konec.
-\:Jinak rozdìl $P$ na sudé a liché koeficienty a zarekurzi se do FFT($S$, $\omega^{2}$) a FFT($L$, $\omega^{2}$).
+\:Jinak rozdìl $P$ na sudé a liché koeficienty rekurzivnì zavolej FFT($S$, $\omega^{2}$) a FFT($L$, $\omega^{2}$).
\:Pro $j = 0, \ldots , n - 1$ spoèítej: $P(\omega^{j}) = S(\omega^{2j}) + \omega^{j} \cdot L(\omega^{2j})$.
\endalgo
\s{Èasová slo¾itost:}
-\>$T(n)=2T({n \over 2} ) + \O(n) \Rightarrow$ slo¾itost $\O(n \log n)$, stejnì jako MergeSort.
+\>$T(n)=2T(n/2) + \O(n) \Rightarrow$ slo¾itost $\O(n \log n)$, stejnì jako MergeSort.
-Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v~námi zadaných bodech. Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu. Tedy nìjaký inverzní algoitmus.
-Definujeme si algoritmus DFT, která vyu¾ívá maticovou reprezentaci a s~jeho¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
+Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v rùzných bodech .
+Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu.
+Tedy nìjaký inverzní algoritmus. Definujeme si DFT - diskrétní Fourierovu transformaci, která vyu¾ívá
+ maticovou reprezentaci a s její¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.
\s{Definice:}
-\>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
-je funkce $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $y=f(x) \equiv \forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{jk}$.
+>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
+je funkce $f: { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde $y=f(x) \equiv \forall j \ y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{k}$.
\s{Poznámka:}
-Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì $\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega x ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
+Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì
+$\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow {f}$ je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme napsat $f(x) = \Omega . x ,\ \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.
\s{Jak najít inverzní matici?} Víme, ¾e $\Omega =\Omega ^{T}$ proto¾e $\omega ^{jk} = \omega ^{kj}$.
\ss{Lemma:}
+\quad $\Omega _{j} \cdot \Omega _{k} = \left\{
+{\displaystyle 0 \ldots j\neq k}\atop
+{\displaystyle 1 \ldots j=k}
+\right.$.
+
+\s{Dùkaz:}
\proof Souèin
-$$\Omega _{j} \Omega _{k} = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} \Omega _{jl} \overline{\Omega _{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \overline{\omega ^{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \omega ^{-kl} = \sum \limits _{l} \omega ^{(j-k)l } = \sum \limits ^{n-1}_{l} (\omega^{j-k}) ^{l}, $$
+$$\Omega _{j} \Omega _{k} = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} \Omega _{jl} \overline{\Omega _{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \overline{\omega ^{kl}} = \sum \limits _{l} \omega ^{jl} \omega ^{-kl} = \sum \limits _{l} \omega ^{(j-k)l } = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} (\omega^{j-k}) ^{l}, $$
proto¾e $ \overline{\omega^{kl}} = \overline{\omega} ^{kl} = {({1 \over \omega} )}^{kl} = \omega ^{-kl}$.
\endlist
\qed
-\>A nyní slibované a u¾ i dokázané lemma:
-\s{Lemma:} \quad $\Omega _{j} \cdot \Omega _{k} = \left\{
-{\displaystyle 0 \ldots j\neq k}\atop
-{\displaystyle 1 \ldots j=k}
-\right.$.
\s{Dùsledek:} \quad $\Omega \cdot \overline{\Omega} = nE$.
\>Na¹li jsme inverzi:
-$\Omega({1 \over n} \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot \overline{\Omega} = E$, \quad
-$\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n} {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
+$\Omega({1 \over n} \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot \overline{\Omega} = E$, \quad
+$\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n} {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
kde $\omega^{-1}$ je $\overline{\omega}$.
-\>Ná¹ algoritmus poèítá tedy i inverzní transformaci, pouze místo $\omega_n$ pou¾ijeme $\overline{\omega_n}$ a vydìlíme $n$. Co¾ je skvìlé -- staèí znát pouze jeden algoritmus u~kterého staèí v~jednom pøípadì pou¾ít jinou matici a vydìlit $n$.
+\>Ná¹ algoritmus poèítá tedy i inverzní transformaci, pouze místo $\omega_n$ pou¾ijeme komplexnì zdru¾ené
+ $\overline{\omega_n}$ a matici vynásobíme $(1/n)$. Co¾ je skvìlé --
+ staèí znát pouze jeden algoritmus u~kterého staèí v~jednom pøípadì pou¾ít transformovanou matici a vydìlit $n$.
\s{Vìta:} Pro $n= 2^k$ lze DFT na ${\bb C}^n$ spoèítat v~èase $\O(n \log n)$ a DFT$^{-1}$ takté¾.
\itemize\ibull
\:Zpracování signálu -- rozklad na siny a cosiny o~rùzných frekvencích $\Rightarrow$ spektrální rozklad.
-\:JPEG.
+\:komprese dat -- napøíklad formát JPEG.
\:Násobení dlouhých èísel v èase $\O(n \log n)$.
\endlist
+\s{Hardwareová implementace FFT -- takzvaná motýlková m:}
\figure{img.eps}{Pøíklad prùbìhu algoritmu na vstupu velikosti 8}{3in}
-\>To je schéma zapojení kombinaèního obvodu (tzv. \uv{motýlek}).
+\>Obrázek ukazuje zapojení kombinaèního obvodu pro DFT pro vstup velikosti 8. Èíslo $\log n$ znaèí poèet hladin, tj. u nás $\log 8 = 3$ hladiny.
+
+\>Základem je kombinaèní obvod tzv. motýlek. (Na obrázku znázornìn dvìma èarami, pøekøí¾enými v jejich støedech). Co motýlek dìlá? Podívejme se na následující obrázek.
+
+\figure{img2.eps}{Kombinaèní obvod tzv. motýlek}{3in}
+
+\>vstup jsou komplexní èísla $x_1$ a $x_2$ a výstup komplexní èísla $y_1$ a $y_2$
+\>$y_1 = x_1 + \omega^j \cdot x_2$
+\>$y_2 = x_1 - \omega^j \cdot x_2$
+
+\>kde index $j$ znaèí
+
+\>V¹imìme si poøadí vstupních hodnot(koeficientù). Èísla jsou v binarním tvaru 0-7 pøeètená pozpátku.
\s{Z toho:}
\itemize\ibull
\:Kombinaèní obvod pro DFT
- s~$\O(\log n)$ hladinami
- a $\O(n)$ hradly na hladinì.
+s~$\O(\log n)$ hladinami
+a $\O(n)$ hradly na hladinì.
\:Nerekurzivní algoritmus (postupujeme zleva) v~èase $\O(n \log n)$.
- Èísla vstupu jsou èísla v~binárním tvaru pøeètená pozpátku.
+
\endlist
projects / ads2.git / blobdiff