\input lecnotes.tex
-\prednaska{7}{Geometrické algoritmy}{(P. Klavík)}
+\prednaska{7}{Geometrické algoritmy}{(sepsal Pavel Klavík)}
\>Uká¾eme si nìkolik základních algoritmù na øe¹ení geometrický problémù v~rovinì. Proè zrovna v~rovinì? Inu, jednorozmìrné problémy bývají triviální
a naopak pro vy¹¹í dimenze jsou velice komplikované. Rovina je proto rozumným kompromisem mezi obtí¾ností a zajímavostí.
Rozebereme si èasovou slo¾itost algoritmu. Setøídit body podle $x$-ové souøadnice doká¾eme v~èase $\O(n \log n)$. Pøidání dal¹ího bodu do obálek
trvá lineárnì vzhledem k~poètu odebraných bodù. Zde vyu¾ijeme obvyklý postup: Ka¾dý bod je odebrán nejvý¹e jednou, a tedy v¹echna odebrání trvají
-dohromady $\O(n)$. Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$, a pokud bychom mìli seznam bodù ji¾ utøídený, doká¾eme to dokonce $\O(n)$.
+dohromady $\O(n)$. Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$, a pokud bychom mìli seznam bodù ji¾ utøídený, doká¾eme to dokonce v
+$\O(n)$.
\s{Algebraický dodatek:} Existuje jednoduchý postup, jak zjistit orientaci úhlu? Uká¾eme si jeden zalo¾ený na lineární algebøe. Budou se hodit
-vlastnosti determinantu. Absolutní hodnota determinantu je objem pøíslu¹ného rovnobì¾nostìnu tvoøeného øádkovými vektory matice. Dùle¾itìj¹í v¹ak je,
-¾e znaménko determinantu urèuje \uv{orientaci} vektorù, zda je levotoèivá èi pravotoèivá. Proto¾e ná¹ problém je rovinný, budeme uva¾ovat determinanty
-matic $2 \times 2$.
+vlastnosti determinantu. Absolutní hodnota determinantu je objem rovnobì¾nostìnu urèeného øádkovými vektory matice. Dùle¾itìj¹í v¹ak je, ¾e znaménko
+determinantu urèuje \uv{orientaci} vektorù, zda je levotoèivá èi pravotoèivá. Proto¾e ná¹ problém je rovinný, budeme uva¾ovat determinanty matic $2
+\times 2$.
Uva¾me souøadnicový systém v~rovinì, kde $x$-ová souøadnice roste smìrem doprava a~$y$-ová smìrem nahoru. Chceme zjistit orientaci úhlu $h_{k-1} h_k
b$. Polo¾me $\vec u = (x_1, y_1)$ jako rozdíl souøadnic $h_k$ a~$h_{k-1}$ a podobnì $\vec v = (x_2, y_2)$ je rozdíl souøadnic $b$ a~$h_k$. Matice $M$
\figure{7-geom4_determinant.eps}{Jak vypadají determinanty rùzných znamének v~rovinì.}{4.6in}
-\s{©lo by to vyøe¹it rychleji?} Také vám vrtá hlavou, zda existují rychlej¹í algoritmy? Nejrychlej¹í známý algoritmus, jeho¾ autorem je T.~Chan,
-funguje v~èase $\O(n \log h)$, kde $h$ je poèet bodù le¾ících na konvexním obalu, a pøitom je pøekvapivì jednoduchý. Zde si naznaèíme, jak tento
-algoritmus funguje.
+\s{©lo by to vyøe¹it rychleji?} Také vám vrtá hlavou, zda existují rychlej¹í algoritmy? Na závìr si uká¾eme nìco, co na pøedná¹ce nebylo.\foot{A také
+se nebude zkou¹et.} Nejrychlej¹í známý algoritmus, jeho¾ autorem je T.~Chan, funguje v~èase $\O(n \log h)$, kde $h$ je poèet bodù le¾ících na
+konvexním obalu, a pøitom je pøekvapivì jednoduchý. Zde si naznaèíme, jak tento algoritmus funguje.
Algoritmus pøichází s~následující my¹lenkou. Pøedpokládejme, ¾e bychom znali velikost konvexního obalu $h$. Rozdìlíme body libovolnì do $\lceil {n
\over h} \rceil$ mno¾in $Q_1, \ldots, Q_k$ tak, ¾e $\vert Q_i \vert \le h$. Pro ka¾dou z~tìchto mno¾in nalezneme konvexní obal pomocí vý¹e popsaného
do konvexního obalu patøí. Po $h$ krocích dostaneme zpìt k nejlevìj¹ímu bodu a výpoèet ukonèíme. V ka¾dém kroku potøebujeme projít v¹echny body a
vybrat následníka, co¾ doká¾eme v èase $\O(n)$. Celková slo¾itost algoritmu je tedy $\O(n \cdot h)$.
-\twofigures{7-geom6_provazkovy_algoritmus.eps}{Provázkový algoritmus.}{1.25in}
- {7-geom7_naslednik_pres_konvexni_obal.eps}{Hledání kandidáta v pøedpoèítaném obalu}{2.5in}
+\twofigures{7-geom6_provazkovy_algoritmus.eps}{Provázkový algoritmus.}{1.25in}{7-geom7_naslednik_pres_konvexni_obal.eps}{Hledání kandidáta v pøedpoèítaném obalu}{2.5in}
Provázkový algoritmus funguje, ale má jednu obrovskou nevýhodu -- je toti¾ ukrutnì pomalý. Ký¾eného zrychlení dosáhneme, pokud pou¾ijeme pøedpoèítané
konvexní obaly. Ty umo¾ní rychleji hledat následníka. Pro ka¾dou z mno¾in $Q_i$ najdeme zvlá¹» kandidáta a poté z nich vybereme toho nejlep¹ího.
projects / ads2.git / blobdiff