\prednaska{7}{Vyhledávání v textu}{(zapsali J. Kunèar, M. Demin a J. Chludil)}
-\h{Zopakujeme si základní znaèení}
-\itemize\ibull
-\:$\iota_1 \ldots \iota_k$ -- jehly
-\:$\sigma$ text (seno)
-\endlist
+Na minulých predná¹kách jsme si ukázali, jak se v~textu (senì) vyhledává slovo (jehlu). Teï si ov¹em úlohu zobecníme a uká¾eme si, jak v kupce sena hledat souèasnì více ne¾ jednu jehlu.
\h{Hledání výskytu v¹ech slov}
+
\itemize\ibull
-\:Chceme najít v¹echny $(i,j)$ takové ¾e $\iota_i=\sigma[j:j+\vert\iota_i\vert]$
-\:Postavíme vyhledávací automat
+\:$\iota_1, \ldots, \iota_k$ -- vyhledávaná slova (jehly) délek $ J_i= \vert\iota_i\vert $
+\:$\sigma$ -- text (seno) délky $ S= \vert\sigma\vert $
\endlist
+Nejprve si øekneme, jak chceme, aby vypadal výstup. Výstupem pro nás budou v¹echny uspoøádané dvojice $(i,j)$ ($i$ je index jehly, kterou jsme nalezli, a $j$ je poèáteèní pozice v senì, kde se jehla nachází) takové, ¾e $$\iota_i=\sigma[j:j+J_i].$$ Postavme si proto vyhledávací automat podobný tomu, který jsme vidìli na minulé pøedná¹ce. Tento automat nám v¹echny takové uspoøádané dvojice najde.
+
-\h{Vyhledávací automat}
-Teï si popí¹eme, jak se takovýto vyhledávací automat vytváøí. Vyhledávací automat je vlastnì obecný $n$-ární strom, do kterého jsou pøidány zpìtné hrany.
+\h{Vyhledávací automat}
+Vyhledávací automat je strom\foot{http://en.wikipedia.org/wiki/Trie}, kde ka¾dý vrchol mù¾e mít stupeò a¾ do velikosti abecedy a kde jednotlivé hrany odpovídají písmenùm této abecedy. Vrcholy, ve kterých konèí slovo, jsou oznaèené (na obrazcích èernì). Dále si èasem do tohoto vyhledávacího stromu pøidáme zpìtné hrany a \uv{zkratky}.
-\s{Zpìtná hrana z$(\alpha)$ }:= nejdel¹í vlastní sufix slova $\alpha$, který je stavem.
+\s{\I{Stavy}} automatu jsou urèeny vrcholy stromu, pro které platí rovnì¾ stejný {\I{invariant}} z pøedchozí pøedná¹ky.\par
+\s{\I{Zpìtná hrana}} $z$($\alpha$) := nejdel¹í vlastní suffix\foot{definováno na minulé pøedná¹ce} slova $\alpha$, který je stavem.\par
\figure{vyhl_automat_dopr.eps}{Vyhledávací automat}{1in}
-\h{Hledání jehel v kupì sena}
-Konkrétní algoritmus vyhledávání by se dal popsat takto:
+\h{Výstup z automatu}
+Pøi vypisování výsledkù mu¾eme narazit na urèité problémy, které jsou dobøe vidìt na následujícím obrázku. První problém urèitì nastane, proto¾e v automatu není pøesnì øeèeno, které slovo konèí v jakém vrcholu.
+Napøíklad ve stavu, kde konèí slovo BARBARA, konèí také slovo ARA, ale o tom nevíme.
+Druhý problém nastává, kdy¾ v automatu není informace o~konci slova. Pøíkladem je seno BARAB (jednoduché k~nahlédnutí, viz obrázek).
+Teï nám nezbývá nic jiného, ne¾ najít øe¹ení tìchto záludných problémù. Øe¹e¹í se nám naskýtá hned nìkolik:
+\itemize\ibull
+\:Projdeme v¹echy zpìtné hrany a vypí¹eme slova, je¾ v daných stavech konèí. Toto øe¹ení funguje, ale je pomalé, proto¾e poka¾dé procházíme v¹echny zpìtné hrany.
+%\:Pøedpoèítání mno¾in slov. Najdeme mno¾inu slov tak, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární. Funkèní, ale konstrukce je pomalá.
+\:Pro následující øe¹ení, jen¾ spoèívá v nalezení zkratek ve stromì, si zavedeme toto znaèení:\par
+\s{\<slovo>($s$)} = index slova $\iota$, které konèí ve stavu $s$, nebo $\emptyset$ \par
+\s{\<out>($s$)} = nejbli¾¹í vrchol, do kterého se lze z $s$ dostat po zpìtných hranách a \<slovo(v)> $\ne 0$ (konèí tam slovo)
+\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat se zpìtnými hranami}{1.3in}
+\endlist
+
+\>Podle posledního bodu vytvoøíme algoritmus na vyhledávání \uv{jehel v senì}.
\algo
-\:$s \leftarrow koren$ (zaèínáme v koøeni)
-\:$\forall$ c písmenka $\sigma$
-\::$s \leftarrow krok(s,c)$
-\::je-li \<slovo(s)> $\ne 0 \Rightarrow$ \<vypi¹(slovo(s))>
-\::$v \leftarrow out(s)$
-\::dokud $v \ne 0 $
-\:::vypi¹ \<slovo(v)>
-\:::$v \leftarrow$ \<out(v)>
+\:$s \leftarrow$ \<koøen> ($s$ bude aktuální stav vyhledávacího automatu).
+\:Procházíme v¹echny písmena $c$ v senì $\sigma$:
+\::$s \leftarrow krok(s,c)$.
+\::Je-li $\<slovo>(s) \ne 0$, vypí¹eme $\<slovo>(s)$.
+\::$v \leftarrow \<out>(s)$.
+\::Dokud $v \ne 0$:
+\:::Vypí¹eme $\<slovo>(v)$.
+\:::$v \leftarrow \<out>(v)$.
\endalgo
-\s{\<krok(s,c)>}:= jeden \<krok> vytváøení vyhledávacího algoritmu
-
+\s{\<krok(s,c)>}:= jeden \<krok> vyhledávacího automatu:
\algo
-\:dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ koøen: $s \leftarrow$ \<z(s)>
-\:pokud $\exists$ \<f(s,c)>: $s \leftarrow$ \<f(s,c)>
-\:vrátíme s
+\:Dokud $\not\exists f(s,c) \wedge s \ne$ \<koøen>: $s \leftarrow z(s)$.
+\:Pokud $\exists f(s,c)$: $s \leftarrow f(s,c)$.
+\:Vrátíme $s$.
\endalgo
-\s{Výstup z automatu}
-\itemize\ibull
-
-\:\s{BARBARA} - konèí \s{BARBARA} ale taky \s{ARA}, ale o tom nevíme.
-\:Slovo mù¾e konèit i tehdy, pokud v automatu není zaznaèen konec.
-\endlist
-\>Øeknìme si nìkolik návrhù na vypisování nalezených slov a¾ se dostaneme k tomu nejlep¹ímu.
-
-\s{Vypisování nalezených slov}
-\itemize\ibull
-\:slovo, které v daném stavu konèí -- nefunguje
-\:projít v¹echy zpìtné hrany -- funguje, ale pomalé
-\:pøepoèítat mno¾iny - najít mno¾inu slov, aby celková velikost slov byla vìt¹í ne¾ lineární -- nestihneme konstrukci
-\:\<slovo(s)> = index $\iota_i$, která konèí ve stavu S, nebo $\emptyset$
-\par $out(s)$ = nejbli¾¹í vrchol , do kterého se dá z s dostat po zpìtných hranách a \<slovo(v)> $\ne 0$ (konèí tam slovo)
-\figure{Graphic2.eps}{Vyhledávací automat -- se zpìtnými hranami}{1.3in}
-\endlist
+\h{Reprezentace v pamìti}
+První mo¾nost, jak reprezentovat vyhledávací automat, je jednorozmìrné pole vrcholù stromu, v nìm¾ ukládáme seznam synù pro ka¾dý vrchol. Je to jednoduchá varianta, ale má nevýhodu pro velké abecedy, proto¾e procházení seznamu synù mù¾e trvat neúmìrnì dlouho. Proto se nabízí druhá mo¾nost a to hashovací tabulka $(\<stav>,\<znak>) \rightarrow f(\<stav>,\<znak>)$, kde se \uv{ztratí} pou¾ívání hashovací funkce.
\h{Slo¾itost}
\itemize\ibull
-\:kroky 2.-5. mají èasouvou slo¾itost \<O(s)>, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu - kroku nahoru $ \leq $ kroku dolu $= max(\vert \sigma \vert) $
-\:kroky 6.-8. mají èasovou slo¾itost \<O(poèet výskytù)>, co¾ je celkem logické, proto¾e rychleji opravdu nejdou vèechny výskyty vypsat
+\:Kroky 2.--5. mají èasovou slo¾itost $\O(\vert \sigma \vert)$, kterou jednodu¹e doká¾eme pomocí potenciálu -- poèet krokù nahoru je men¹í nebo roven poètu krokù dolù. A to je maximálnì $S$.
+\:Kroky 6.--8. mají èasovou slo¾itost $\O(\<poèet výskytù>)$, proto¾e rychleji doopravdy nelze v¹echny výskyty vypsat.
\endlist
-\s{Konstrukce automatu} (Aho, Coracisková)
+\s{Konstrukce automatu} (Aho, Corasicková)
\algo
-\:postavíme strom dopøedných hran r $\leftarrow$ koøen
-\:spoèteme \<slovo>$(\ast)$
-\:spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:]) \{\beta[1:]$ slovo $\beta$ bez prvního písmene$\}$
-\itemize\ibull
-\:$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ - v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin
-\:\<z(v) = krok(z(u),c)>
-\endlist
-\figure{Graphic100.eps}{z(v)=Krok(z(u),c)}{0.7in}
-\:$z(r) \leftarrow 0, Q \leftarrow \{$ \<synové(r)> $\}, \forall v \in Q : z(v) \leftarrow r$
-\:dokud $ Q \ne 0$
-\::$u\leftarrow$ vyber z $Q$ (7-9 ¹ipka)
-\::pro syny $v$ vrcholu $u$:
-\:::$z \leftarrow$ \<krok(z(u)>, znak $n \geq uv)$
-\:::$z(v)\leftarrow R$
-
-\figure{Graphic101.eps}{}{0.7in}
-\:::je-li $slovo(z) \not= 0 \Rightarrow out(v) \leftarrow z$, jinak $out(v) = out(z)$
-\figure{Graphic102.eps}{}{0.7in}
+\:Postavíme strom dopøedných hran, $r \leftarrow$ koøen stromu.
+\:Spoèteme $\<slovo>(\ast)$ -- oznaèíme si stavy, kde konèí slova.
+\:Spoèteme $z(\ast)$: $z(\beta)=\alpha(\beta[1:])$:
+ {\parindent=6em \itemize\ibull
+ \:\>\>\>$z(\beta) = \alpha(\beta[1:])$ -- v¹echny zpìtné hrany vedou do vy¹¹ích hladin
+ \:$z(v) = \<krok>(z(u),c)$
+ \endlist}
+\figure{Graphic100.eps}{$z(v) = \<krok>(z(u),c)$}{0.7in}
+\:$z(r) \leftarrow 0$, do fronty $Q$ pøiøadíme v¹echny syny $r$, pro v¹echny $v$ prvky $Q: z(v) \leftarrow r$.
+\:Dokud fronta $Q$ není prázdná:
+\::$u\leftarrow$ vybereme z~$Q$.
+\::Pro syny $v$ vrcholu $u$:
+\:::$R \leftarrow \<krok>(z(u))$ [znak na hranì \<uv>].
+\:::$z(v)\leftarrow R$.
+
+\figure{Graphic101.eps}{$z(v) = R$}{0.7in}
+\:::Je-li $slovo(R) \not= 0 \Rightarrow \<out>(v) \leftarrow R$, jinak $\<out>(v) \leftarrow \<out>(R)$.
+\figure{Graphic102.eps}{Nastavení $\<out>(v)$}{0.7in}
\endalgo
\figure{vyhl_automat_full.eps}{Vyhledávací automat -- kompletní}{1in}
\s{Vìta:}
-Algoritmus A-C najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve slove $\sigma$ v èase $$O(\Sigma \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \# výskytù)$$
-
-\s{Reprezentace v pamìti}
-\itemize\ibull
-\:pole se seznamem synù
-\:hashovací tabulka \<(stav-znak)> $\rightarrow$ \<f(stav-znak)> -- pro velké abecedy
-\endlist
+Algoritmus Aho-Corasicková najde v¹echny výskyty slov $\iota_1, \ldots, \iota_k$ ve~slovì $\sigma$ v~èase $\O(\sum_i \vert \iota_i \vert + \vert \sigma \vert + \<poèet výskytù>)$.
\h{Polynomy a násobení}
-Mìjme dva polynomy definované jako
-$$P(x) = \sum_{j=0}^{n-1} p_j x^j$$
-$$Q(x) = \sum_{j=0}^{n-1} q_j x^j$$
-Provedení operace $R=P*R$ je ekvivalentní s $R = \sum_{j,k} p_j q_k k^{j+k}$. Pøièem¾ na vypoèítání èlenu $r_l = \sum_{j=0}^l p_j q_{l-j}$ pou¾ijeme $\theta(n^2)$ operací.
+\>Mìjme dva polynomy definované jako:
+$$P(x) = \sum_{j=0}^{n-1} p_j x^j, \quad Q(x) = \sum_{j=0}^{n-1} q_j x^j.$$
+Násobení dvou polynomù $R=P \cdot Q$ je ekvivalentní s operací $R = \sum_{j,k} p_j q_k x^{j+k}$. Pøièem¾ na vypoèítání èlenu $r_l = \sum_{j=0}^l p_j q_{l-j}$ pou¾ijeme $\Theta(n)$ operací, tedy na spoèítaní celého polynomu $R$ potøebujeme $\Theta(n^2)$ operací.
-\s{Vìta:} Jsou-li $x_0, \ldots, x_k \in R$ navzájem ruzná a $y_0, \ldots, y_k \in R$, pak $\exists !$ polynom P stupnì $\leq k : \forall j: P(x_j) = y_j$
+Podíváme se na jinou mo¾nost, jak tento problém øe¹it. Poslou¾í nám k~tomu následující vìta o jednoznaèné existenci polynomu nejvý¹e $k$-tého stupnì, pokud známe hodnoty
+ve~více ne¾ $k$ bodech.
-\figure{polynom.eps}{Polynom}{2in}
+\s{Vìta:} Jsou-li $x_0, \ldots, x_k \in \bb{R} $ navzájem ruzná a $y_0, \ldots, y_k \in \bb{R}$, pak $\exists !$ polynom $P$ stupnì $\leq k : \forall j: P(x_j) = y_j$.
-\s{Vyhodnocováni polynomu} (metodou rozdìl a panuj)
+\figure{polynom.eps}{Polynom}{2in}
-BÚNO $n=2^m$
-$$P(x_j) = p_0 x^0 + p_1 x^1 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}$$
-$$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + (p_1 x^1 + p_3 x^3 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1})$$
-$$P(x_j) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2})$$
-$$ \vdots $$
-$$P(x) = L(x^2) + xN(x^2)$$
-$$P(-x) = L(x^2) + xN(x^2)$$
+\ss{Plán:}
-\>polynom s $n$ koeficienty v $n$ bodech $\rightarrow$ $2$ polynomy s $n/2$ koeficienty v $n/2$ bodech
-$$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$$
-$$T(n) = O(n \log n)$$
+\>Nech» $k=2^{n-1}$. Zvolíme èísla $x_0, \ldots, x_k$ libovolná, ale rùzná, a spoèteme $P(x_0)$, \dots, $P(x_k)$ a $Q(x_0), \ldots, Q(x_k)$.
+Poté $\forall j: y_j=P(x_j)Q(x_j)$
+musíme najít polynom $R$ stupnì $\leq k: \forall j: R(x_j)=y_j$.
-\bye
+\s{Vyhodnocování polynomù} (metodou Rozdìl a panuj)
+\>BÚNO $n=2^m$. Uva¾me polynom:
+$$P(x) = p_0 x^0 + p_1 x^1 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}.$$
+Tento polynom si mu¾eme rozdìlit na dvì èasti. V levé budeme mít èleny se sudými exponenty a v~pravé budou èleny s~exponenty lichými:
+$$P(x) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + (p_1 x^1 + p_3 x^3 + \ldots + p_{n-1} x^{n-1}).$$
+Z pravé strany mù¾eme vytknout $x$ a dostaneme:
+$$P(x) = (p_0 + p_2 x^2 + \ldots + p_{n-2}x^{n-2}) + x(p_1 + p_3 x^2 + \ldots + p_{n-1} x^{n-2}),$$
+$$ \vdots $$
+$$P(x) = L(x^2) + xN(x^2),$$
+$$P(-x) = L(x^2) - xN(x^2),$$
+kde $L(x)$ a $N(x)$ jsou polynomy stupnì $n/2$. Umocnìním $x^2$ se nám poru¹í párování $x$ a $-x$, proto musíme poèítat v~$\bb{C}$ místo~$\bb{R}$.
+V~tomto pøípadì jsme z~polynomu s~$n$ koeficienty v~$n$ bodech dostali $2$ polynomy s~$n/2$ koeficienty v~$n/2$ bodech. Z~toho vyplývá èasová slo¾itost definována vztahem:
+$$T(n) = 2T(n/2) + \O(n).$$
+Ten mù¾eme vyøe¹it s pou¾itím Master Theoremu z~ADS~I a dostaneme:
+$$T(n) = \O(n \log n).$$
+\bye
projects / ads2.git / blobdiff