\input ../sgr.tex
-\prednaska{6}{Rychlej¹í algoritmy na~minimální kostry}{}
+\prednaska{6}{Rychlej¹í algoritmy na minimální kostry}{}
V~této kapitole popí¹eme nìkolik pokroèilej¹ích algoritmù pro problém minimální
kostry. Vesmìs to budou rùzná vylep¹ení klasických algoritmù z~minulé kapitoly.
Pokud je $\cal C$ minorovì uzavøená tøída grafù, existuje koneèná mno¾ina grafù $Z$ taková,
¾e pro ka¾dý graf $G$ platí:
$$G \not\in {\cal C} \iff \exists H \in Z: H \preceq G.$$
-
Jinými slovy, ka¾dou minorovì uzavøenou tøídu lze charakterizovat {\I koneèným} poètem zakázaných minorù.
To není samo sebou, dokazuje se to dosti obtí¾nì (a~je to jedna z~nejslavnìj¹ích kombinatorických
vìt za~posledních mnoho let), ale plyne z~toho spousta zajímavých dùsledkù.
\algo
\:Zaèneme libovolným vrcholem $v_0$, $T\leftarrow \{v_0\}$.
\:Do~haldy $H$ umístíme v¹echny hrany vedoucí z~$v_0$.
-\:Opakuji dokud $H\neq\emptyset$:
+\:Opakujeme, dokud $H\neq\emptyset$:
\::$vw\leftarrow \<DeleteMin>(H)$, pøièem¾ $v\not\in T, w\in T$.
\::$T\leftarrow T\cup\{vw\}$
-\::Pro v¹echny sousedy $u$ vrcholu $v$, které dosud nejsou v~$T$, upravíme haldu:
+\::Pro v¹echny sousedy $u$ vrcholu $v$, kteøí dosud nejsou v~$T$, upravíme haldu:
\:::Pokud je¹tì v~$H$ není hrana incidentní s~$u$, pøidáme hranu~$uv$.
\:::Pokud u¾ tam nìjaká taková hrana je a je-li tì¾¹í ne¾ $uv$, nahradíme ji
hranou~$uv$ a provedeme \<DecreaseKey>.
\endalgo
\s{Pozorování:}
-Pokud algoritmus je¹tì neskonèil, je ka¾dá z~nalezených podkoster v~$T$ incidentní s~alespoò $k$ hranami.
+Pokud algoritmus je¹tì neskonèil, je ka¾dá z~nalezených podkoster v~$T$ incidentní s~alespoò $k$ hranami
+(do toho poèítáme i vnitøní hrany vedoucí mezi vrcholy podkostry).
Jak to vypadá pro jednotlivá ukonèení:
\numlist\ndotted
\itemcount=\algcnt
\cite{pettie:optimal}.
Jeliko¾ ka¾dý deterministický algoritmus zalo¾ený na~porovnávání vah lze popsat rozhodovacím stromem,
je tento algoritmus zaruèenì optimální. Jen bohu¾el nevíme, jak optimální stromy vypadají, tak¾e
- je stále otevøeno, zda lze MST nalézt v~lineárním èase. Nicménì jeliko¾ tento algoritmus
+ je stále otevøeno, zda lze MST nalézt v~lineárním èase. Nicménì tento algoritmus
pracuje i na~Pointer Machine, proèe¾ víme, ¾e pokud je lineární slo¾itosti mo¾né dosáhnout, není k~tomu
potøeba výpoèetní síla RAMu.\foot{O výpoèetních modelech viz pøí¹tí kapitola.}
\:$\O(m)$ pro grafy s~celoèíselnými vahami (na~RAMu) \cite{fw90trans} -- uká¾eme v~jedné
z~následujících kapitol.
\:$\O(m)$, pokud u¾ máme hrany setøídìné podle vah: jeliko¾ víme, ¾e zále¾í jen na~uspoøádání,
- mù¾eme váhy pøeèíslovat na~$1\ldots n$ a pou¾ít pøedchozí algoritmus.
-\:$\O(m)$ randomizovanì v~prùmìrném pøípadì \cite{karger:randomized}.
+ mù¾eme váhy pøeèíslovat na~$1\ldots m$ a pou¾ít pøedchozí algoritmus.
+\:$\O(m)$ prùmìrnì: randomizovaný algoritmus, který pro libovolný vstupní graf dobìhne v~oèekávaném
+ lineárním èase~\cite{karger:randomized}.
\:Na~zji¹tìní, zda je zadaná kostra minimální, staèí $\O(m)$ porovnání \cite{komlos:verify} a dokonce
lze v~lineárním èase zjistit, která to jsou \cite{king:verify}. Z~toho ostatnì vychází pøedchozí
randomizovaný algoritmus.