\endlist
Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
-aby bylo váhy mo¾né sèítat. Pojïme ukázat, ¾e to není potøeba.
+aby bylo váhy mo¾né sèítat. Uká¾eme, ¾e to není potøeba.
\s{Definice:}
Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak:
Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
\endlist
-\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e,e')$}{\epsfxsize}
-
\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
Staèí si uvìdomit, ¾e pøidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kru¾nice (konkrétnì $T[e^\prime] + e^\prime$)
a vynecháním libovolné hrany z~této kru¾nice získáme opìt kostru.
+\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e',e)$}{\epsfxsize}
+
+\figure{mst1.eps}{Jeden krok dùkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
+
\s{Lemma o~swapování:}
Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
\proof
Pokud $T \ne T'$, musí existovat hrana $e' \in T'\setminus T$, proto¾e $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
-Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T$, tak¾e existuje hrana
+Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T'$, tak¾e existuje hrana
$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
pro kterou $\vert \check{T} \symdiff T' \vert = \vert T \symdiff T' \vert -2$.
Po~koneèném poètu tìchto krokù tedy musíme dojít k~$T'$.
\qed
-\figure{mst1.eps}{Jeden krok dùkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
-
\s{Monotónní lemma o~swapování:}
Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
lehké hrany v~$T'\setminus \check{T}$. K~tomu nám pomù¾e zvolit si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$ tu s~nejmen¹í vahou.
Uva¾me nyní hranu~$f\in T'\setminus \check{T}$.
Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou v~nové kostøe je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
-nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e$. První pøípad je triviální,
+nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e'$. První pøípad je triviální,
ve~druhém si staèí uvìdomit, ¾e $w(f)\ge w(e')$ a ostatní hrany na~$C$ jsou lehèí
ne¾~$e'$.
\qed
\figure{mst-bez.eps}{Situace v~dùkazu Bezbarvého lemmatu}{\epsfxsize}
-\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany a alespoò jednu, která není
-èervená (konkrétnì hranu~$e$), tak¾e na~tento øez mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
+\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany, tak¾e na~tento øez
+mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
\qeditem
\endlist
-\s{Dùkaz vìty:}
+\ss{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme. Ka¾dým krokem pøibude
alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus po~nejvý¹e $m$~krocích zastaví.
\h{Klasické algoritmy na hledání MST}
-\s{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
+\ss{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
v¹ech ostatních hladových algoritmù, tak mu tu èest pøejme.}}
\algo
je maximální na~nìjakém cyklu tvoøeném touto hranou a nìjakými døíve pøidanými.
Potøebujeme èas $\O(m \log n)$ na~setøídìní hran a dále datovou strukturu pro udr¾ování komponent souvislosti
-(Union-Find Problem), se~kterou provedeme $m$ operací \<Find> a $n$ operací \<Union>. Nejlep¹í známá implementace
+(Union-Find Problem), se~kterou provedeme $m$~operací \<Find> a $n$ operací \<Union>. Nejlep¹í známá implementace
této struktury dává slo¾itost obou operací $\O(\alpha(n))$ amortizovanì, tak¾e celkovì hladový algoritmus
dobìhne v~èase $\O(m \log n + m \alpha(n))$.
-\s{Borùvkùv:}
+\ss{Borùvkùv:}
Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
tím nevznikne.
-Poèet stromeèku klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
+Poèet stromeèkù klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
implementujeme lineárním prùchodem celého grafu, dostaneme slo¾itost $\O(m\log n)$.
Mimo to lze ka¾dou fázi výteènì paralelizovat.
-\s{Jarníkùv:}
+\ss{Jarníkùv:}
Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~ka¾dém
okam¾iku nalezneme nejlevnìj¹í hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a pøidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
\s{Cvièení:}
-Naleznìte algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$.
+Naleznìte jednoduchý algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$
+nebo dokonce~$\O(m+nk)$.
\references
\bye
projects / ga.git / blobdiff