-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% lecture 04-04-2006 %
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-
\input ../sgr.tex
\prednaska{5}{Minimální kostry}{zapsali Martin Kruli¹ \& Petr Su¹il }
-\h{Minimální kostry a základní vìty okolo nich}
+\def\symdiff{\mathop{\Delta}}
-\s{Definice:}
-Kostru pro nesouvislý graf definujeme jako sjednocení koster komponent grafu.
+\h{Minimální kostry a základní vìty okolo nich}
-\s{Definice:}
-Nech» $G$ je neorientovaný graf. Váhy (ohodnocení) hran budi¾ zobrazení $w : E \to R$. Pro podgraf $H \subseteq G$ definujeme váhu $w(H)=\sum_{e \in E} {w(e)}$.
+\todo{Chybí zde obrázky, znaènì by hutný text projasnily.}
-\s{Poznámka:}
-V dal¹ím textu nebudeme rozli¹ovat mezi podgrafy a podmno¾inami hran. Pro na¹e úèely jde o toté¾. Kostry jednovrcholových komponent nám slo¾itost nepokazí.
+\>V~této kapitole se budeme zabývat výhradnì neorientovanými grafy, jejich¾ hrany
+budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
\s{Definice:}
-Minimální kostra (alias MST) je taková kostra $T$, která má $w(T)$ minimální.
+\itemize\ibull
+\:{\I Podgrafem} budeme v~této kapitole mínit libovolnou podmno¾inu hran, vrcholy
+v¾dy zùstanou zachovány.
+\:{\I Pøidání a odebrání hrany} budeme znaèit $T+e:=T\cup \{e\}$, $T-e:=T\setminus \{e\}$.
+\:{\I Kostra} (Spanning Tree) souvislého grafu $G$ je libovolný jeho podgraf, který je strom.
+Kostru nesouvislého grafu definujeme jako sjednocení koster jednotlivých komponent.
+[Alternativnì: kostra je minimální podgraf, který má komponenty s~tými¾ vrcholy
+jako komponenty~$G$.]
+\:{\I Váha} podgrafu $F\subseteq E$ je $w(F) := \sum_{e\in F} w(e)$.
+\:{\I Minimální kostra} (Minimum Spanning Tree, mezi pøáteli té¾ MST) budeme øíkat
+ka¾dé kostøe, její¾ váha je mezi v¹emi kostrami daného grafu minimální.
+\endlist
\s{Poznámka:}
-Taková definice MST je ne¹ikovná. Vy¾aduje toti¾ existenci sèítání, pøesto¾e postaèuje pouze lineární uspoøádání.
+Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
+aby bylo váhy mo¾né sèítat. Za~chvíli si uká¾eme, ¾e to není potøeba.
\s{Definice:}
-Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak
+Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak:
\itemize\ibull
-\:$T[x,y] := $ cesta mezi $x,y$, její¾ hrany le¾í v $T$
-\:Hrana $e=(x,y) \in E \setminus T$ je {\I lehká} vzhledem ke~kostøe $ \equiv \exists e' \in T[x,y]:w(e)<w(e')$.
+\:$T[x,y]$ bude znaèit cestu v~$T$, která spojuje $x$ a $y$. (Cestou opìt míníme mno¾inu hran.)
+\:$T[e]:=T[x,y]$ pro hranu $e=xy$. Této cestì budeme øíkat {\I cesta pokrytá hranou~$e$.}
+\:Hrana $e\in E \setminus T$ je {\I lehká vzhledem k~$T$} $\equiv \exists e^\prime \in T[e]: w(e)<w(e^\prime)$.
+ Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
+\endlist
-\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{01.eps}}
+\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
-\:Hrana je {\I tì¾ká} $\equiv$ není lehká.
-\endlist
+Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
+pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
+k~jejímu dùkazu, prozkoumejme nejdøíve, jak se dá mezi jednotlivými kostrami pøecházet.
+
+%\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{01.eps}}
-\s{Definice:} operace {\sl swap(e,e')}
-Nech» $T$ je kostra grafu, $e'=(x,y) \in E \setminus T$ a $T[x,y]$ je cesta mezi $x$ a $y$.
-Pro libovolnou hranu $e = (a,b) \in T[x,y]$ dostaneme provedením operace $swap(e,e')$ na $T$ kostru $T' = T \cup \{e'\} \setminus \{e\}$,
-pro kterou bude zároveò platit, ¾e $e' = (x,y) \in T'[a,b]$.
+\s{Definice:} Pro kostru~$T$ a hrany $e, e'$
+zaveïme $\<swap>(T,e,e^\prime) := T-e+e'$.
\s{Pozorování:}
-Mno¾ina hran $T'$, kterou jsme dostali z $T$ operací $swap(e,e')$, je opravdu kostra. $T'$ dostaneme tak, ¾e z $T$ sebereme hranu $e = (a,b)$
-a následnì pøidáme hranu $e' = (x,y)$. Sebráním $(a,b)$ se nám kostra rozpadne právì na dvì komponenty. Proto¾e ale hrana $(a,b)$ le¾ela na cestì
-mezi $x$ a $y$, budou tyto vrcholy le¾et v rùzných komponentách. Hrana $(x,y)$ pak tyto komponenty opìt spojí a výsledkem bude opìt kostra.
+Pokud $e^\prime \not\in T$ a $e\in T[e^\prime]$, je $\<swap>(T,e,e^\prime)$ opìt kostra.
+Staèí si uvìdomit, ¾e pøidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kru¾nice (konkrétnì $T[e^\prime] + e^\prime$)
+a vynecháním libovolné hrany z~této kru¾nice získáme opìt kostru.
-\s{Lemma:}
-Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z $T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací $swap$.
+\s{Lemma o~swapování:}
+Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
\s{Dùkaz:}
-Oznaème si $D$ mno¾inu hran, které jsou v $T$ a nejsou v $T'$ ($D = T \setminus T'$) a $D'$ mno¾inu hran,
-které naopak jsou v $T'$ a nejsou v $T$ ($D' = T' \setminus T$). Lze jednodu¹e nahlédnout, ¾e $\vert D \vert = \vert D' \vert$,
-proto¾e i $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
-Postupnì budeme generovat kostry $T_1$, $T_2$, ... a¾ vygenerujeme $T_n = T'$
-V ka¾ém kroku (swapu) odebereme z kostry $T_i$ nìjakou hranu z mno¾iny $D$ a nahradíme ji vhodnou hranou z $D'$ tak, aby $T_{i+1}$ byla opìt kostra.
-Pou¾ité hrany z $D$ a $D'$ samozøejmì vylouèíme. Mno¾iny $D$ a $D'$ jsou koneèné, tak¾e budeme potøebovat koneèný poèet swapù.
-Zbývá ukázat, ¾e pro libovolnou hranu z $D$ umíme najít hranu v $D'$.
-Vezmìme libovolnou hranu $e = (a,b) \in D$. $e$ nele¾í v $T'$, tak¾e $T'[a,b] \cup {e}$ tvoøí cyklus. Celý cyklus nemù¾e le¾et v kostøe a $e \in T$,
-tak¾e musí $\exists e' \in T[a,b]$, která zároveò $e' \notin T$ a tedy i $e' \in D'$. Tím jsem na¹el korespondující pár hran $e,e'$ z mno¾in $D,D'$,
-které zároveò splòují potøebné pøedpoklady pro swap ($e' \in T[a,b]$).
+Jeliko¾ $\vert T \vert = \vert T' \vert$, musí existovat $e' \in T'\setminus T$.
+Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T$, tak¾e existuje hrana
+$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
+pro kterou $\vert \check{T} \symdiff T' \vert = \vert T \symdiff T' \vert -2$.
+Po~koneèném poètu tìchto krokù tedy musíme dojít k~$T'$.
\qed
-\s{Vìta:}
-Kostra $T$ je minimální
-$\Leftrightarrow$ $\forall e \in E \setminus T$ je $e$ tì¾ká vzhledem k $T$.
+\s{Monotónní lemma o~swapování:}
+Jsou-li $T$ a $T'$ kostry bez lehkých hran, pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností
+swapù, pøi které váha kostry neklesá. (Od~$T'$ k~$T$ tedy také, tak¾e $w(T)=w(T')$.)
\s{Dùkaz:}
-%%% proof start
-\itemize\ibull
-\:$\Rightarrow$ Sna¾íme se dokázat, ¾e $\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ není minimální.
+Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
+Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e]\setminus T'$, musí
+$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bli¾¹í k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
+jeliko¾ $e'$ nemù¾e být lehká vzhledem k~$T$, tak¾e speciálnì $w(e')\ge w(e)$.
+
+Je¹tì ale potøebujeme dokázat, ¾e ani k~nové kostøe nemohou existovat lehké hrany,
+co¾ pøi libovolné volbì~$e'$ nemusí být pravda. Proto si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$
+vybereme tu s~nejmen¹í vahou. Uva¾me nyní hranu~$f$ nele¾ící v~nové kostøe~$\check{T}$.
+Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
+nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e$. První pøípad je triviální,
+ve~druhém staèí zkontrolovat, ¾e $w(f)\ge w(e')$, jeliko¾ $e'$ je nejtì¾¹í hrana na~$C$.
+
+Pokud je $f\in T'$, je to pravda, jeliko¾ jsme si $e'$ vybrali jako nejlehèí.
+Pokud $f\not\in T'$, nemù¾e být vzhledem k~$T'$ lehká a $T'[f]$ obsahuje alespoò
+jednu hranu~$g'$, která není v~$T$, tak¾e $w(f)\ge w(g')\ge w(e')$.
+\qed
-Nech» $\exists e = (x,y)$ lehká. Najdeme $e' \in T[x,y] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z def. lehké hrany).
-Na kostru $T$ provedeme operaci $swap(e,e')$ a dostanu novou kostru $T'$. Proto¾e $w(e) < w(e')$,
-musí být i $w(T') < w(T)$ a kostra $T$ tedy nebyla minimální.
+\s{Dùkaz vìty:}
+\itemize\ibull
+\:$\Rightarrow$ Chceme dokázat, ¾e $\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
-\bigskip
-\:$\Leftarrow$
+Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z def. lehké hrany).
+Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je lehèí ne¾~$T$.
-Mìjme kostru $T$ bez lehkých hran a minimální kostru $T_{min}$. Doká¾eme, ¾e lze z $T$ dostat $T_{min}$ opakovaným pou¾itím operace $swap$.
-Z dùsledku definice operace $swap$ víme, ¾e kostry lze mezi sebou libovolnì pøeswapovat. Zbývá nám dokázat, ¾e $w(T) = w(T_{min})$.
-Postupným swapováním budu dostávat vzájemnì rùzné kostry $T$, $T_1$, $T_2$, ... $T_{min}$ tak,
-¾e ka¾dá následující kostra je výsledkem operace $swap$ na pøedchozí. Podíváme se nejprve na $T$ a $T_1$.
+\medskip
-Nech» $T_1 = swap(e,e') T$ tj. $e = (a,b) \in T$ a $e' = (x,y) \in T_1$. Hrana $e'$ musí z definice swapu le¾et na $T[a,b]$.
-Ke kostøe $T$ neexistují ¾adné lehké hrany, tak¾e $\forall f \in T[a,b]$ je $w(f) \ge w(e)$ tedy i $w(e') \ge w(e)$ a $w(T) \le w(T_1)$.
+\:$\Leftarrow$ Pokud k~$T$ neexistuje lehká hrana, je $T$ minimální.
-Analogicky lze postupovat, a¾ dostaneme nerovnost $w(T) \le w(T_1) \le w(T_2) \le ... \le w(T_{min})$.
-$T_{min}$ je minimální kostra, tak¾e $w(T) = w(T_{min})$ a $T$ je tedy také minimální.
+Uva¾me minimální kostru $T_{min}$. Podle právì dokázané implikace k~ní neexistují lehké hrany,
+tak¾e mù¾eme pou¾ít monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$ a z~nìj plyne $w(T)=w(T_{min})$.
\endlist
\qed
-\s{Poznámka:}
-Ji¾ víme, ¾e pro definici minimální kostry nám staèí lineární uspoøádání.
-Pokud bude $\forall e,e':e \neq e' \Rightarrow w(e) \neq w(e')$, pak pro $T_1, T_2$ minimální kostry, $T_1$ mù¾u pøeswapovat na $T_2$, proto¾e jsou ale váhy rùzné $\#swapù = 0$.
-
-\s{Poznámka:}
-Pokud dostaneme kvaziuspoøádání, mù¾eme douspoøádat ekvivalentní váhy napø. lexikograficky.
+\s{Vìta:}
+Jsou-li v¹echny váhy hran navzájem rùzné, je MST urèena jednoznaènì.
-\s{Dùsledek:}
-Jsou-li v¹echny váhy rùzné, pak je MST urèen jednoznaènì. Tj.
-$\forall e_1,e_2 \in E(G)$ $w(e_1) \neq w(e_2)$ $\Rightarrow$ $\exists ! MST(G)$
-\vfill\eject
\s{Dùkaz:}
-mám MST $T_1$ a $T_2$ a zkusím mezi nimi pøeswapovat. Pøi pøeswapovávání se ale zmìní váhy, nebo» v¹echny váhy jsou rùzné. Tedy jedna z koster nemù¾e být minimální.
+Máme-li dvì MST $T_1$ a $T_2$, neobsahují podle pøedchozí vìty lehké hrany, tak¾e podle monotónního
+lemmatu mezi nimi lze pøeswapovat bez poklesu váhy. Pokud jsou ale váhy rùzné, musí ka¾dé swapnutí
+ostøe zvý¹it váhu, a~proto k~¾ádnému nemohlo dojít.
+\qed
+\s{Poznámka:} Èasto se nám bude hodit, aby kostra, kterou hledáme, byla urèena jednoznaènì.
+Tehdy mù¾eme vyu¾ít pøedchozí vìty a váhy zmìnit o~vhodné epsilony, respektive kvaziuspoøádání
+roz¹íøit na~lineární uspoøádání.
\h{Èervenomodrý meta-algoritmus}
\s{Lemma 2:} Èervená hrana $\notin$ MST.
-\s{Dùkaz:} Sporem: Pøedpokládejme, ¾e máme kru¾nici a na ní èervenou hranu $e = (x,y) \in T_{min}$.
+\s{Dùkaz:} Sporem: Pøedpokládejme, ¾e máme kru¾nici a na ní èervenou hranu $e = (x,y) \in T_{min}$.
Odebráním èervené hrany se nam $T_min$ rozpadne na dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
Nìkteré vrcholy z kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$ a ostatní do $T_y$.
Lze jednodu¹e nahlédnout, ¾e musí existovat hrana $e' = (x',y')$ taková,
\s{Lemma 3:} Po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené.
-\s{Dùkaz:} Opìt sporem: Nech» existuje hrana $e = (x,y)$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si mno¾inu vrcholù
+\s{Dùkaz:} Opìt sporem: Nech» existuje hrana $e = (x,y)$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si mno¾inu vrcholù
$M_x := \{v \in V \vert \exists$ modrá cesta x $\to$ v $\}$. Nyní mohou nastat dvì mo¾nosti:
\itemize\ibull
projects / ga.git / blobdiff