\input ../sgr.tex
\prednaska{5}{Minimální kostry}{}
-\def\symdiff{\mathop{\Delta}}
+\def\Tmin{T_{min}}
\>Tato kapitola uvede problém minimální kostry, základní vìty o~kostrách a klasické
algoritmy na~hledání minimálních koster. Budeme se inspirovat Tarjanovým pøístupem
z~knihy~\cite{tarjan:dsna}. V¹echny grafy v~této kapitole budou neorientované multigrafy
a jejich hrany budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
-\todo{Chybí zde obrázky, znaènì by hutný text projasnily.}
-
\h{Minimální kostry a jejich vlastnosti}
\s{Definice:}
\endlist
Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
-aby bylo váhy mo¾né sèítat. Za~chvíli si uká¾eme, ¾e to není potøeba.
+aby bylo váhy mo¾né sèítat. Uká¾eme, ¾e to není potøeba.
\s{Definice:}
Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak:
Ostatním hranám nele¾ícím v~kostøe budeme øíkat {\I tì¾ké.}
\endlist
+\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e,e')$}{\epsfxsize}
+
\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
-pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
+pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí lineární (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
k~jejímu dùkazu, prozkoumejme nejdøíve, jak se dá mezi jednotlivými kostrami pøecházet.
-%\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{01.eps}}
-
\s{Definice:} Pro kostru~$T$ a hrany $e, e'$
zaveïme $\<swap>(T,e,e^\prime) := T-e+e'$.
Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
\proof
-Jeliko¾ $\vert T \vert = \vert T' \vert$, musí existovat $e' \in T'\setminus T$.
+Pokud $T \ne T'$, musí existovat hrana $e' \in T'\setminus T$, proto¾e $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T$, tak¾e existuje hrana
$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
pro kterou $\vert \check{T} \symdiff T' \vert = \vert T \symdiff T' \vert -2$.
Po~koneèném poètu tìchto krokù tedy musíme dojít k~$T'$.
\qed
+\figure{mst1.eps}{Jeden krok dùkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
+
\s{Monotónní lemma o~swapování:}
Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
\s{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
-\:$\Rightarrow$ Chceme dokázat, ¾e $\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
+\:$\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
-Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z def. lehké hrany).
+Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z~definice lehké hrany).
Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je lehèí ne¾~$T$.
\medskip
-\:$\Leftarrow$ Pokud k~$T$ neexistuje lehká hrana, je $T$ minimální.
+\:K~$T$ neexistuje lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ je minimální.
-Uva¾me nìjakou minimální kostru $T_{min}$ a pou¾ijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$. Z~nìj plyne $w(T)\le w(T_{min})$,
-a~tedy $w(T)=w(T_{min})$.
+Uva¾me nìjakou minimální kostru $\Tmin$ a pou¾ijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $\Tmin$. Z~nìj plyne $w(T)\le w(\Tmin)$,
+a~tedy $w(T)=w(\Tmin)$.
\qeditem
\endlist
\:Modøe obarvené hrany tvoøí minimální kostru.
\endalgo
-\s{Modré lemma:} Je-li hrana~$e$ kdykoliv algoritmem obarvena na~modro, pak $e\in T_{min}$.
+\proof
+Nejdøíve si doká¾eme nìkolik lemmat. Jeliko¾ hrany mají navzájem rùzné váhy,
+mù¾eme pøedpokládat, ¾e algoritmus má sestrojit jednu konkrétní minimální kostru~$\Tmin$.
-\proof Minimální kostra $T_{min}$ je urèena jednoznaènì (váhy jsou rùzné).
-Hrana~$e$ byla omodøena jako nejlehèí hrana nìjakého øezu~$C$.
-Pokud by existovala nìjaká jiná $e' \in C \cap T_{min}[e]$, mù¾eme provést
-$\<swap>(T_{min},e',e)$ a tím z~$T_{min}$ vytvoøit je¹tì lehèí kostru,
-co¾ je spor.
+\s{Modré lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~modro, pak $e\in \Tmin$.
+
+\proof Sporem: Hrana~$e$ byla omodøena jako nejlehèí hrana nìjakého øezu~$C$.
+Pokud $e\not\in \Tmin$, musí cesta $\Tmin[e]$ obsahovat nìjakou jinou
+hranu~$e'$ øezu~$C$. Jen¾e $e'$ je tì¾¹í ne¾~$e$, tak¾e operací $\<swap>(\Tmin,e',e)$
+získáme je¹tì lehèí kostru, co¾ není mo¾né.
\qed
-\fig{02.eps}{3cm}
+\figure{mst-rb.eps}{Situace v~dùkazu Modrého a Èerveného lemmatu}{\epsfxsize}
-\s{Èervené lemma:} Je-li hrana~$e$ kdykoliv algoritmem obarvena na~èerveno, pak $e\not\in T_{min}$.
+\s{Èervené lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~èerveno,
+pak $e\not\in \Tmin$.
\proof Opìt sporem: Pøedpokládejme, ¾e~$e$ byla obarvena èervenì jako nejtì¾¹í na~nìjaké kru¾nici~$C$
-a ¾e $e\in T_{min}$. Odebráním~$e$ se nam $T_min$ rozpadne na dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
-Nìkteré vrcholy kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$, ostatní do $T_y$.
-Lze jednodu¹e nahlédnout, ¾e musí existovat hrana $e'\ne e$ taková, ¾e $x' \in T_x$ a $y' \in T_y$.
-Hrana~$e$ byla nejtì¾¹í na~kru¾nici, tak¾e $w(e') < w(e)$ a $\<swap>(T_{min},e,e')$ nám dá~lehèí kostru,
-co¾ je spor.
+a ¾e $e\in \Tmin$. Odebráním~$e$ se nám $\Tmin$ rozpadne na~dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
+Nìkteré vrcholy kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$, ostatní do~$T_y$. Na~$C$ ale musí
+existovat nìjaká hrana $e'\ne e$, její¾ krajní vrcholy le¾í v~rùzných komponentách,
+a~jeliko¾ hrana~$e$ byla na~kru¾nici nejtì¾¹í, je $w(e') < w(e)$. Pomocí $\<swap>(\Tmin,e,e')$
+proto získáme lehèí kostru, a~to je spor.
\qed
-\fig{03.eps}{4cm}
-
\s{Bezbarvé lemma:} Pokud existuje nìjaká neobarvená hrana, lze je¹tì pou¾ít nìkteré
z~pravidel.
neexistují ¾ádné lehké hrany, tak¾e hrana $e$ je nejdra¾¹í na~cyklu tvoøeném modrou cestou a~touto hranou
a mohu na ni pou¾ít èervené pravidlo.
-\fig{04.eps}{3cm}
-
-\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany a alespoò jednu, která není
-èervená (konkrétnì hranu~$e$), tak¾e na~tento øez mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
-
-\fig{05.eps}{3cm}
+\figure{mst-bez.eps}{Situace v~dùkazu Bezbarvého lemmatu}{\epsfxsize}
+\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany, tak¾e na~tento øez
+mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
\qeditem
\endlist
\s{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
-\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme, pøibude ka¾dým krokem
- alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus zastaví.
+\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme. Ka¾dým krokem pøibude
+ alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus po~nejvý¹e $m$~krocích zastaví.
\:{\I Obarví v¹e:} Pokud existuje alespoò jedna neobarvená hrana, pak podle bezbarvého lemmatu algoritmus pokraèuje.
-\:{\I Najde modrou MST:} Podle èerveného a modrého lemmatu le¾í v~$T_{min}$ právì modré hrany.
+\:{\I Najde modrou MST:} Podle èerveného a modrého lemmatu le¾í v~$\Tmin$ právì modré hrany.
\qeditem
\endlist
\s{Borùvkùv:}
-Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
+Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
tím nevznikne.
Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~ka¾dém
okam¾iku nalezneme nejlevnìj¹í hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a pøidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
hrany vedoucí uvnitø stromu prùbì¾nì zahazujeme (èervené pravidlo). Kroky opakujeme, dokud se strom nerozroste pøes v¹echny vrcholy.
-Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy má èasovou slo¾itost $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
+Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
\s{Cvièení:}
Naleznìte algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$.
projects / ga.git / blobdiff