\input ../sgr.tex
-\prednaska{5}{Minimální kostry}{zapsali Martin Kruli¹ \& Petr Su¹il }
+\prednaska{5}{Minimální kostry}{}
-\def\symdiff{\mathop{\Delta}}
+\def\Tmin{T_{min}}
-\h{Minimální kostry a základní vìty okolo nich}
+\>Tato kapitola uvede problém minimální kostry, základní vìty o~kostrách a klasické
+algoritmy na~hledání minimálních koster. Budeme se inspirovat Tarjanovým pøístupem
+z~knihy~\cite{tarjan:dsna}. V¹echny grafy v~této kapitole budou neorientované multigrafy
+a jejich hrany budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
-\todo{Chybí zde obrázky, znaènì by hutný text projasnily.}
-
-\>V~této kapitole se budeme zabývat výhradnì neorientovanými grafy, jejich¾ hrany
-budou ohodnoceny vahami $w: E \to {\bb R}$.
+\h{Minimální kostry a jejich vlastnosti}
\s{Definice:}
\itemize\ibull
ka¾dé kostøe, její¾ váha je mezi v¹emi kostrami daného grafu minimální.
\endlist
-\s{Poznámka:}
Toto je sice standardní definice MST, ale jinak je dosti ne¹ikovná, proto¾e vy¾aduje,
-aby bylo váhy mo¾né sèítat. Za~chvíli si uká¾eme, ¾e to není potøeba.
+aby bylo váhy mo¾né sèítat. Uká¾eme, ¾e to není potøeba.
\s{Definice:}
Buï $T \subseteq G$ nìjaká kostra grafu~$G$. Pak:
\s{Vìta:} Kostra~$T$ je minimální $\Leftrightarrow$ neexistuje hrana lehká vzhledem k~$T$.
Tato vìta nám dává pìknou alternativní definici MST, která místo sèítání vah váhy
-pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
+pouze porovnává, èili jí místo èísel staèí lineární (kvazi)uspoøádání na~hranách. Ne¾ se dostaneme
k~jejímu dùkazu, prozkoumejme nejdøíve, jak se dá mezi jednotlivými kostrami pøecházet.
-%\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{01.eps}}
-
\s{Definice:} Pro kostru~$T$ a hrany $e, e'$
zaveïme $\<swap>(T,e,e^\prime) := T-e+e'$.
Staèí si uvìdomit, ¾e pøidáním $e^\prime$ do~$T$ vznikne kru¾nice (konkrétnì $T[e^\prime] + e^\prime$)
a vynecháním libovolné hrany z~této kru¾nice získáme opìt kostru.
+\figure{mst2.eps}{Kostra $T$, cesta $T[e]$ a výsledek operace $\<swap>(T,e,e')$}{\epsfxsize}
+
+\figure{mst1.eps}{Jeden krok dùkazu swapovacího lemmatu}{\epsfxsize}
+
\s{Lemma o~swapování:}
Máme-li libovolné kostry $T$ a $T'$, pak lze z~$T$ dostat $T'$ koneèným poètem operací \<swap>.
-\s{Dùkaz:}
-Jeliko¾ $\vert T \vert = \vert T' \vert$, musí existovat $e' \in T'\setminus T$.
+\proof
+Pokud $T \ne T'$, musí existovat hrana $e' \in T'\setminus T$, proto¾e $\vert T \vert = \vert T' \vert$.
Kru¾nice $T[e']+e'$ nemù¾e být celá obsa¾ena v~$T$, tak¾e existuje hrana
$e\in T[e']\setminus T'$ a $\check{T} := \<swap>(T,e,e')$ je kostra,
pro kterou $\vert \check{T} \symdiff T' \vert = \vert T \symdiff T' \vert -2$.
\qed
\s{Monotónní lemma o~swapování:}
-Jsou-li $T$ a $T'$ kostry bez lehkých hran, pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností
-swapù, pøi které váha kostry neklesá. (Od~$T'$ k~$T$ tedy také, tak¾e $w(T)=w(T')$.)
+Je-li $T$ kostra, k~ní¾ neexistují ¾ádné lehké hrany, a~$T'$ libovolná kostra,
+pak lze od~$T$ k~$T'$ pøejít posloupností swapù, pøi které váha kostry neklesá.
-\s{Dùkaz:}
-Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
-Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e]\setminus T'$, musí
+\proof
+Podobnì jako u~pøedchozího lemmatu budeme postupovat indukcí podle $\vert T \symdiff T' \vert$.
+Pokud zvolíme libovolnì hranu $e'\in T'\setminus T$ a k~ní $e\in T[e']\setminus T'$, musí
$\check{T}:=\<swap>(T,e,e')$ být kostra bli¾¹í k~$T'$ a $w(\check{T})\ge w(T)$,
jeliko¾ $e'$ nemù¾e být lehká vzhledem k~$T$, tak¾e speciálnì $w(e')\ge w(e)$.
-Je¹tì ale potøebujeme dokázat, ¾e ani k~nové kostøe nemohou existovat lehké hrany,
-co¾ pøi libovolné volbì~$e'$ nemusí být pravda. Proto si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$
-vybereme tu s~nejmen¹í vahou. Uva¾me nyní hranu~$f$ nele¾ící v~nové kostøe~$\check{T}$.
-Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
-nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e$. První pøípad je triviální,
-ve~druhém staèí zkontrolovat, ¾e $w(f)\ge w(e')$, jeliko¾ $e'$ je nejtì¾¹í hrana na~$C$.
-
-Pokud je $f\in T'$, je to pravda, jeliko¾ jsme si $e'$ vybrali jako nejlehèí.
-Pokud $f\not\in T'$, nemù¾e být vzhledem k~$T'$ lehká a $T'[f]$ obsahuje alespoò
-jednu hranu~$g'$, která není v~$T$, tak¾e $w(f)\ge w(g')\ge w(e')$.
+Aby mohla indukce pokraèovat, potøebujeme je¹tì dokázat, ¾e ani k~nové kostøe neexistují
+lehké hrany v~$T'\setminus \check{T}$. K~tomu nám pomù¾e zvolit si ze~v¹ech mo¾ných hran~$e'$ tu s~nejmen¹í vahou.
+Uva¾me nyní hranu~$f\in T'\setminus \check{T}$.
+Cesta $\check{T}[f]$ pokrytá touto hranou v~nové kostøe je buïto pùvodní $T[f]$ (to pokud $e\not\in T[f]$)
+nebo $T[f] \symdiff C$, kde $C$ je kru¾nice $T[e']+e'$. První pøípad je triviální,
+ve~druhém si staèí uvìdomit, ¾e $w(f)\ge w(e')$ a ostatní hrany na~$C$ jsou lehèí
+ne¾~$e'$.
\qed
\s{Dùkaz vìty:}
\itemize\ibull
-\:$\Rightarrow$ Chceme dokázat, ¾e $\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
+\:$\exists$ lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ není minimální.
-Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z def. lehké hrany).
+Nech» $\exists e$ lehká. Najdeme $e' \in T[e] : w(e) < w(e')$ (ta musí existovat z~definice lehké hrany).
Kostra $T' := \<swap>(T,e,e')$ je lehèí ne¾~$T$.
\medskip
-\:$\Leftarrow$ Pokud k~$T$ neexistuje lehká hrana, je $T$ minimální.
-
-Uva¾me minimální kostru $T_{min}$. Podle právì dokázané implikace k~ní neexistují lehké hrany,
-tak¾e mù¾eme pou¾ít monotónní swapovací lemma na~$T$ a $T_{min}$ a z~nìj plyne $w(T)=w(T_{min})$.
+\:K~$T$ neexistuje lehká hrana $\Rightarrow$ $T$ je minimální.
+Uva¾me nìjakou minimální kostru $\Tmin$ a pou¾ijme monotónní swapovací lemma na~$T$ a $\Tmin$. Z~nìj plyne $w(T)\le w(\Tmin)$,
+a~tedy $w(T)=w(\Tmin)$.
+\qeditem
\endlist
-\qed
\s{Vìta:}
Jsou-li v¹echny váhy hran navzájem rùzné, je MST urèena jednoznaènì.
-\s{Dùkaz:}
+\proof
Máme-li dvì MST $T_1$ a $T_2$, neobsahují podle pøedchozí vìty lehké hrany, tak¾e podle monotónního
lemmatu mezi nimi lze pøeswapovat bez poklesu váhy. Pokud jsou ale váhy rùzné, musí ka¾dé swapnutí
ostøe zvý¹it váhu, a~proto k~¾ádnému nemohlo dojít.
\h{Èervenomodrý meta-algoritmus}
-\s{Meta-algoritmus:} (pøedpokládáme, ¾e v¹echny váhy jsou rùzné)
+V¹echny tradièní algoritmy na~hledání MST lze popsat jako speciální pøípady následujícího
+meta-algoritmu. Rozeberme si tedy rovnou ten. Formulujeme ho pro pøípad, kdy jsou v¹echny
+váhy hran navzájem rùzné.
+
+\s{Meta-algoritmus:}
\algo
-\:na poèátku v¹echny hrany bezbarvé
-\:dokud lze opakujeme: zvol modré nebo èervené pravidlo, proveï pravidlo
+\:Na poèátku jsou v¹echny hrany bezbarvé.
+\:Dokud to lze, pou¾ijeme jedno z~následujících pravidel:
+\::{\I Modré pravidlo:} Vyber øez takový, ¾e jeho nejlehèí hrana není modrá,\foot{Za
+touto podmínkou nehledejte ¾ádná kouzla, je tu pouze proto, aby se algoritmus nemohl
+zacyklit neustálým provádìním pravidel, která nic nezmìní.} a obarvi ji na~modro.
+\::{\I Èervené pravidlo:} Vyber cyklus takový, ¾e jeho nejtì¾¹í hrana není èervená, a obarvi ji na~èerveno.
\endalgo
-\itemize\ibull %%% pravidla
-\:Modré pravidlo
-
-vezmìme øez v G takový, ¾e jeho nejlehèí hrana není modrá (prevence zacyklení) a obarvíme ji modøe
-
-\:Èervené pravidlo
-
-vezmìme kru¾nici v G takovou, ¾e její nejtì¾¹í hrana není èervená (prevence zacyklení) a obarvíme ji èervenì
-
-\endlist %%%pravidla
\s{Vìta:}
-Pro Èervenomodrý meta-algoritmus platí:
+Pro Èervenomodrý meta-algoritmus spu¹tìný na~libovolném grafu s~hranami lineárnì uspoøádanými
+podle vah platí:
\algo
-\:zastaví se
-\:po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené
-\:modøe obarvené hrany tvoøí kostru
+\:V¾dy se zastaví.
+\:Po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené.
+\:Modøe obarvené hrany tvoøí minimální kostru.
\endalgo
+\proof
+Nejdøíve si doká¾eme nìkolik lemmat. Jeliko¾ hrany mají navzájem rùzné váhy,
+mù¾eme pøedpokládat, ¾e algoritmus má sestrojit jednu konkrétní minimální kostru~$\Tmin$.
-\s{Lemma 1:} Modrá hrana $\in$ MST.
+\s{Modré lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~modro, pak $e\in \Tmin$.
-\s{Dùkaz:} Minimální kostra $T_{min}$ je urèena jednoznaènì (váhy jsou rùzné).
-Mìjme øez $C$ a minimální kostru $T_{min}$. Podle modrého pravidla je hrana $e = (x,y)$ nejlehèí v øezu $C$.
-Pokud $\exists e' \ne e \in C \cap T_{min}[x,y]$ (tj. jiná hrana z øezu $C$ patøí do min. kostry) mù¾eme provést $swap(e',e)$.
-Hrana $e$ byla nejlehèí, tak¾e $w(e) < w(e')$. Tím jsme si sní¾ili váhu kostry a $T_{min}$ nemohla být minimální $\Rightarrow$ spor.
+\proof Sporem: Hrana~$e$ byla omodøena jako nejlehèí hrana nìjakého øezu~$C$.
+Pokud $e\not\in \Tmin$, musí cesta $\Tmin[e]$ obsahovat nìjakou jinou
+hranu~$e'$ øezu~$C$. Jen¾e $e'$ je tì¾¹í ne¾~$e$, tak¾e operací $\<swap>(\Tmin,e',e)$
+získáme je¹tì lehèí kostru, co¾ není mo¾né.
\qed
-\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{02.eps}}
+\figure{mst-rb.eps}{Situace v~dùkazu Modrého a Èerveného lemmatu}{\epsfxsize}
+\s{Èervené lemma:} Je-li libovolná hrana~$e$ algoritmem kdykoliv obarvena na~èerveno,
+pak $e\not\in \Tmin$.
-\s{Lemma 2:} Èervená hrana $\notin$ MST.
-
-\s{Dùkaz:} Sporem: Pøedpokládejme, ¾e máme kru¾nici a na ní èervenou hranu $e = (x,y) \in T_{min}$.
-Odebráním èervené hrany se nam $T_min$ rozpadne na dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
-Nìkteré vrcholy z kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$ a ostatní do $T_y$.
-Lze jednodu¹e nahlédnout, ¾e musí existovat hrana $e' = (x',y')$ taková,
-¾e $x' \in T_x$ a $y' \in T_y$. Hrana $e$ byla nejtì¾¹í na kruønici, tak¾e $w(e') < w(e)$.
-Z toho vyplývá, ¾e provedením $swap(e,e')$ na $T_{min}$ dostaneme lehèí kostru a $T_{min}$ tedy není minimální $\Rightarrow$ spor.
+\proof Opìt sporem: Pøedpokládejme, ¾e~$e$ byla obarvena èervenì jako nejtì¾¹í na~nìjaké kru¾nici~$C$
+a ¾e $e\in \Tmin$. Odebráním~$e$ se nám $\Tmin$ rozpadne na~dvì komponenty $T_x$ a $T_y$.
+Nìkteré vrcholy kru¾nice pøipadnou do komponenty $T_x$, ostatní do~$T_y$. Na~$C$ ale musí
+existovat nìjaká hrana $e'\ne e$, její¾ krajní vrcholy le¾í v~rùzných komponentách,
+a~jeliko¾ hrana~$e$ byla na~kru¾nici nejtì¾¹í, je $w(e') < w(e)$. Pomocí $\<swap>(\Tmin,e,e')$
+proto získáme lehèí kostru, a~to je spor.
\qed
-\centerline{\epsfysize=4cm\epsfbox{03.eps}}
-
-\s{Lemma 3:} Po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené.
+\s{Bezbarvé lemma:} Pokud existuje nìjaká neobarvená hrana, lze je¹tì pou¾ít nìkteré
+z~pravidel.
-\s{Dùkaz:} Opìt sporem: Nech» existuje hrana $e = (x,y)$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si mno¾inu vrcholù
-$M_x := \{v \in V \vert \exists$ modrá cesta x $\to$ v $\}$. Nyní mohou nastat dvì mo¾nosti:
+\proof Nech» existuje hrana~$e=xy$, která je stále bezbarvá. Oznaèíme si $M$ mno¾inu vrcholù,
+do~nich¾ se lze z~$x$ dostat po~modrých hranách. Nyní mohou nastat dvì mo¾nosti:
\itemize\ibull
-\:$y \in M_x$ (tj. modrá cesta vede z $x$ a¾ do $y$)
-
-Modrá cesta je v minimální kostøe a minimální kostra nemá ¾ádné lehké hrany $\Rightarrow$ hrana $e$ je tì¾ká a mù¾u na ní pou¾ít èervené pravidlo.
-
-\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{04.eps}}
-
-\:$y \notin M_x$
-
-V tom pøípadì existuje øez $\delta(M_x)$, takový, ¾e hrana $e$ patøí do øezu a zároveò $\delta(M_x)$ neobsahuje modré hrany
-$\Rightarrow$ mù¾u pou¾ít modré pravidlo.
+\:$y \in M$ (tj. existuje modrá cesta z~$x$ do~$y$): Modrá cesta je v~minimální kostøe a k~minimální kostøe
+neexistují ¾ádné lehké hrany, tak¾e hrana $e$ je nejdra¾¹í na~cyklu tvoøeném modrou cestou a~touto hranou
+a mohu na ni pou¾ít èervené pravidlo.
-\centerline{\epsfysize=3cm\epsfbox{05.eps}}
+\figure{mst-bez.eps}{Situace v~dùkazu Bezbarvého lemmatu}{\epsfxsize}
+\:$y \notin M$: Tehdy øez $\delta(M)$ neobsahuje ¾ádné modré hrany, tak¾e na~tento øez
+mù¾eme pou¾ít modré pravidlo.
+\qeditem
\endlist
-\algo
-
-\s{Dùkaz vìty:}
-\:zastaví se
-
-V algoritmu nikdy nepøebarvujeme a v ka¾dém kroku obarvíme právì jednu hranu (a» u¾ èerveným, nebo modrým pravidlem).
-Máme koneèný poèet hran $\Rightarrow$ koneèný poèet krokù.
-
-\:po zastavení jsou v¹echny hrany obarvené
-viz. lemma 3
-
-\:modøe obarvené hrany tvoøí kostru
-
-Lemma 1 a 2 øíká, ¾e modré hrany le¾í na kostøe a èervené naopak le¾í mimo kostru. Dále pak z lemmatu 3 víme, ¾e v¹echny hrany jsou obarvené.
-Právì v¹echny modré hrany tvoøí kostru.
-
-\endalgo
-
-\qed
+\ss{Dùkaz vìty:}
+\itemize\ibull
+\:{\I Zastaví se:} Z~èerveného a modrého lemmatu plyne, ¾e ¾ádnou hranu nikdy nepøebarvíme. Ka¾dým krokem pøibude
+ alespoò jedna obarvená hrana, tak¾e se algoritmus po~nejvý¹e $m$~krocích zastaví.
+\:{\I Obarví v¹e:} Pokud existuje alespoò jedna neobarvená hrana, pak podle bezbarvého lemmatu algoritmus pokraèuje.
+\:{\I Najde modrou MST:} Podle èerveného a modrého lemmatu le¾í v~$\Tmin$ právì modré hrany.
+\qeditem
+\endlist
\s{Poznámka:}
-Dualita èerveného a modrého pravidla.
-
-Mezi èervenými a modrými hranami existuje dualita obdobnì jako u rovinných grafù existuje stìnovì-vrcholová dualita nebo jako existuje dualita u grafových matroidù.
-Pro ka¾dý grafový matroid $\exists$ duální matroid. Kostry $\leftrightarrow$ cykly, kostra $\leftrightarrow$ komplement kostry duálního grafu.
+Èervené a modré pravidlo jsou v~jistém smyslu duální. Pro rovinné grafy je na~sebe pøevede obyèejná rovinná
+dualita (staèí si uvìdomit, ¾e kostra duálního grafu je komplement duálu kostry primárního grafu), obecnìji
+je to dualita mezi matroidy, která prohazuje øezy a cykly.
\h{Klasické algoritmy na hledání MST}
-\s{Kruskalùv:} (hladový algoritmus).
+\ss{Kruskalùv neboli Hladový:\foot{\rm Mo¾ná hladový s~malým `h', ale tento algoritmus je pradìdeèkem
+v¹ech ostatních hladových algoritmù, tak mu tu èest pøejme.}}
-\itemize\ibull
-\:setøídíme hrany podle vah (i zde nám staèí uspoøádání na hranách), kostra je na zaèátku prázdná (ka¾dý vrchol je v samostatné komponentì souvislosti)
-\:bereme hrany ve vzestupném poøadí
-\:pro ka¾dou hranu $e$ se podíváme jaké komponenty spojuje - spojuje-li rùzné komponenty, zaøadím hranu do stromu a obì komponenty slouèíme, jinak hranu zahodíme
-\endlist
+\algo
+\:Setøídíme hrany podle vah vzestupnì.
+\:Zaèneme s~prázdnou kostrou (ka¾dý vrchol je v~samostatné komponentì souvislosti).
+\:Bereme hrany ve vzestupném poøadí.
+\::Pro ka¾dou hranu $e$ se podíváme, zda spojuje dvì rùzné komponenty -- pokud ano, pøidáme ji do~kostry,
+ jinak ji zahodíme.
+\endalgo
-Z hlediska na¹eho Èervenomodrého meta-algoritmu se lze na Kruskala dívat tak, ¾e si pìstujeme modrý les, a pokud hrana spojuje dva stromeèky, omodøím ji a
-nechám stromeèky srùst. Naopak spojuje-li hrana $e = (x,y)$ stejné komponenty, znamená to, ¾e mezi $x$ a $y$ vede modrá cesta $T[x,y]$ a $e$ tedy uzavírá cyklus
-na kterém jsou v¹echny hrany modré. Díky pøedchozímu uspoøádání víme, ¾e $e$ bude urèitì tì¾¹í, ne¾ v¹echny hrany na modré cestì a tak ji mù¾eme s klidným svìdomím
-obarvit na èerveno (tj. zahodit).
+Èervenomodrý pohled: pìstujeme modrý les. Pokud hrana spojuje dva stromeèky, je~urèitì minimální v~øezu mezi
+jedním ze~stromeèkù a zbytkem grafu (ostatní hrany tého¾ øezu jsme je¹tì nezpracovali). Pokud nespojuje,
+je maximální na~nìjakém cyklu tvoøeném touto hranou a nìjakými døíve pøidanými.
-Tì¾i¹tì implementace Kruskala spoèívá v efektivním sluèování komponent (tzv. Union-find problem). Pøi efektivní implementaci lze dosáhnou èasové slo¾itosti
-$\O(m \log{n} + m \alpha(n))$
+Potøebujeme èas $\O(m \log n)$ na~setøídìní hran a dále datovou strukturu pro udr¾ování komponent souvislosti
+(Union-Find Problem), se~kterou provedeme $m$~operací \<Find> a $n$ operací \<Union>. Nejlep¹í známá implementace
+této struktury dává slo¾itost obou operací $\O(\alpha(n))$ amortizovanì, tak¾e celkovì hladový algoritmus
+dobìhne v~èase $\O(m \log n + m \alpha(n))$.
-\s{Borùvkùv:}
+\ss{Borùvkùv:}
-Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve fázích. V jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
-a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou).
+Opìt si budeme pìstovat modrý les, av¹ak tentokrát jej budeme roz¹iøovat ve~fázích. V~jedné fázi nalezneme ke ka¾dému stromeèku nejlevnìj¹í incidentní hranu
+a v¹echny tyto nalezené hrany naráz pøidáme (aplikujeme nìkolik modrých pravidel najednou). Pokud jsou v¹echny váhy rùzné, cyklus
+tím nevznikne.
-Poèet stromeèku klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ ka¾dou komponentu (resp. její incidentní hrany) si mohu dovolit prohledávat lineárnì.
-Pokud na udr¾ování incidentních hran pou¾ijeme binomiální haldy, dostaneme èasouvou slo¾itost $\O(m \log{n})$. Vzhledem k povaze algoritmu pùjde ka¾dá
-fáze dobøe paralelizovat.
+Poèet stromeèkù klesá exponenciálnì $\Rightarrow$ fází je celkem $\log n$. Pokud ka¾dou fázi
+implementujeme lineárním prùchodem celého grafu, dostaneme slo¾itost $\O(m\log n)$.
+Mimo to lze ka¾dou fázi výteènì paralelizovat.
-\s{Jarníkùv:}
+\ss{Jarníkùv:}
-Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. To co se v Borùvkovi nazývalo celou fází,
-bude zde obyèejný krok. V ka¾dém kroku vyhledáme nejlevnìj¹í incidentní hranu a pøidáme ji do stromu. Kroky opakujeme, dokud se strom nerozroste pøes v¹echny vrcholy.
-Jarník se sice nedá rozumnì paralelizovat, av¹ak pøi ¹ikovné implementaci slibuje stejnou èasovou slo¾itost jako Borùvka ($\O(m \log{n})$).
+Jarníkùv algoritmus je podobný Borùvkovi, ale s tím rozdílem, ¾e nenecháme rùst celý les, ale jen jeden modrý strom. V~ka¾dém
+okam¾iku nalezneme nejlevnìj¹í hranu vedoucí mezi stromem a zbytkem grafu a pøidáme ji ke~stromu (modré pravidlo);
+hrany vedoucí uvnitø stromu prùbì¾nì zahazujeme (èervené pravidlo). Kroky opakujeme, dokud se strom nerozroste pøes v¹echny vrcholy.
+Pøi ¹ikovné implementaci pomocí haldy dosáhneme èasové slo¾itosti $\O(m\log n)$, v~pøí¹tí kapitole uká¾eme implementaci je¹tì ¹ikovnìj¹í.
-\s{Poznámka:}
-pro celoèíselné váhy hran z rozsahu $\{1,\ldots k\}$, se umí algoritmus se slo¾itostí $\O(m k)$.
+\s{Cvièení:}
+Naleznìte jednoduchý algoritmus pro výpoèet MST v~grafech ohodnocených vahami $\{1,\ldots k\}$ se slo¾itostí $\O(mk)$
+nebo dokonce~$\O(m+nk)$.
+\references
\bye
projects / ga.git / blobdiff