-\input lecnotes.tex\r
-\r
-\prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, \r
-%J. Volec,\r
-J. Záloha)}\r
-\r
-\noindent\r
-Pøedstavíme si nový algoritmus pro hledání toku v síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako\r
-{\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í.\r
-\r
-\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$ \r
-je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), t.¾. $ \forall e \in E : f(e) \leq c(e) \wedge $ pro \r
-$ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $.\r
-\r
-\s{Poznámka:} Funkce $f^{\Delta}(v)$ vrací pøebytek ve vrcholu \r
-$v$ : $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$\r
-Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $.\r
-\r
-\noindent r(v,u)\r
-V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em \r
-vrcholùm vý¹ky pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.\r
-\r
-\s{Operace:} pro $ (u,v) \in E$\r
-\r
-\algo\r
-\:{\I Pøevedení pøebytku} \r
-\r
-Pokud platí:\r
-\itemize\ibull\r
- \: $u : f^{\Delta}(v) > 0$\r
- \: $v : h(u) > h(v)$\r
- \: $r(u,v)>0$ \r
-\endlist\r
- pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$ $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ .\r
-\r
-Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$. \r
-Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$\r
-budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}.\r
-\r
-\:{\I Zvednutí vrcholu} $u$ \r
-\r
-Pokud v algoritmu narazíme na pøebytek, kterého se nelze pøevést, zvedneme vrchol $h(u):=h(u)+1$. \r
-\endalgo\r
-\r
-\s{Algoritmus:} (Goldberg)\r
-\r
-\algo\r
-\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$.\r
-\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$.\r
-\:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$: \r
-\:Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v).\r
-\:Jinak zvedneme $u$.\r
-\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek.\r
-\endalgo\r
-\r
-\s{Poznámka:} Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je tam pøidáme s nulovou kapacitou\r
-\r
-\noindent\r
-Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného\r
-agoritmu.\r
-\r
-\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ vrácená algoritmem je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a\r
-$h(z)=N, h(s)=0$.\r
-\r
-\proof\r
-Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme\r
-záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku\r
-algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku. \r
-\qed\r
-\r
-\s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou.\r
-\r
-\proof\r
-Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h()$, ale to nejde.\r
-\qed \r
-\r
-\s{Lemma K (o korektnosti)} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maxinální tok.\r
-\r
-\proof\r
-Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit v tìchto pøípadech:\r
-\itemize\ibull\r
-\:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok.\r
-\:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $N$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S.\r
-\endlist\r
-\qed\r
-\r
-\s{Invarinat C (cesta domù, do zdroje)} Je-li $v \in V(G), v \neq z,s, f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$.\r
-\r
-\proof\r
-Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$.\r
-Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$.\r
-Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$.\r
-\r
-\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$, Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$ se tedy jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí:\r
-$$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$\r
-Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo\9d obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek.\r
-\qed\r
-\s{Invariant V (vý¹ka)} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)<=2N$.\r
-\r
-\proof\r
-Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $N-1$.\r
-Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2N$, musel by být zvednut alespoò 2N-krát. To ale znamená, ¾e by po $2N-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu $\acute{v}$, musí platit $h(v)<=h(\acute{v})$ a tedy $v$ bude zvednut po 2N. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=N$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S.\r
-\qed\r
-\r
-\s{Lemma Z (poèet zvednutí)} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2N^{2}$.\r
-\r
-\proof\r
-Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì 2N-krát a vrcholù je N.\r
-\qed\r
-%\r
-%\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena.\r
-%\r
-%\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu.\r
-\r
-\s{Lemma SY (sytá pøevedení)} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$.\r
-\r
-\proof\r
-Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)<h(u)$ a zároveò $r(u, v)=0$. Aby se rezerva této hrany zmìnila, musel by ji nìkdo odsytit. Ale nutná podmínka pro odsycení hrany je, ¾e se otoèí nerovnost mezi vý¹kami koncových vrcholù. Tedy $h(v)>h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v)<h(u)$. Mezi dvìma nasyceními hrany $(u,v)$ probìhly minimálnì dvì zvednutí vrcholu $u$. Algoritmus nikdy vý¹ku vrcholu nesni¾uje, a tedy poèet v¹ech sytých pøevedení je skuteènì $NM$.\r
-\qed\r
-\r
-\r
-\r
-\end\r
+%version 1.8
+
+\input lecnotes.tex
+
+\prednaska{4}{Goldbergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec,
+J. Volec,
+J. Záloha)}
+
+\noindent
+Pøedstavíme si nový algoritmus pro~hledání maximálního toku v~síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako {\I Dinicùv algoritmus} ($\O(MN^{2})$) a po~nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í.
+
+\noindent
+Tento algoritmus narozdíl od~Dinicova algoritmu zaèíná s~pøebytky v~sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevádìní. Pokud bychom toto pøevádìní dìlali \uv{tupým zpùsobem}, mohl by se algoritmus zacyklit. Proto pro~ka¾dý vrchol budeme definovat vý¹ku, a jak uvidíme, s~její pomocí se vyhneme zacyklení.
+
+\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow {\bb R}_{0}^{+}$
+je {\I vlna} v~síti~$(V, E, z, s, c)$ tehdy, kdy¾ $ \forall uv \in E : f(uv) \leq c(uv) $, kde $c(uv)$ je kapacita hrany~$uv$, a $ \forall v \ne z, s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. Funkcí $f^{\Delta}(v)$ pro libovolný vrchol~$v$ rozumíme {\I pøebytek} v~tomto vrcholu, co¾ je souèet v¹eho, co do~vrcholu~$v$ pøiteèe, minus souèet v¹eho, co z~$v$ odteèe. To mù¾eme zapsat jako:
+ $$f^{\Delta}(v):=\sum_{uv \in E}{f(uv)} - \sum_{vu \in E}{f(vu)}.$$
+Ka¾dý tok je vlna, kde $\forall v \ne z,s: f^{\Delta}(v) = 0$.
+
+\noindent
+Algoritmus pou¾ívá sít rezerv, kterou jsme nadefinovali ji¾ v~pøedchozí kapitole vìnované Dinicovi.
+
+\noindent
+Dále budeme provádìt následující dvì operace na~vrcholech sítì. K~tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em vrcholùm vý¹ku pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.
+
+\s{Operace:} Pro~hranu~$uv \in E$ definujme {\I pøevedení pøebytku}:
+
+\noindent
+Pokud platí, ¾e:
+\numlist \ndotted
+ \:ve~vrcholu~$u$ je nenulový pøebytek, tj. $f^{\Delta}(u) > 0$,
+ \:vrchol~$u$ je vý¹ ne¾ vrchol~$v$, tj. $h(u) > h(v)$, a
+ \:hrana $uv$ má nenulovou rezervu, tj. $r(uv)>0$,
+\endlist
+\noindent pøevedeme tok o~velikosti $\delta:=\min(f^{\Delta}(u),r(uv))$ z~$u$ do~$v$ tímto zpùsobem:
+\numlist \ndotted
+ \:$f^{\Delta}(u) \leftarrow f^{\Delta}(u)-\delta$ a $f^{\Delta}(v) \leftarrow f^{\Delta}(v)+\delta$,
+ \:$r(uv) \leftarrow r(uv)-\delta$ a $r(vu) \leftarrow r(vu)+\delta$.
+\endlist
+
+\s{Definice:} Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po~pøevodu rezerva na~hranì $uv$ nulová, tedy $r(uv)=0$.
+Naopak pøevedení je {\I nenasycené}, pokud po~pøevodu $f^{\Delta}(u) = 0$. Pokud $r(uv)=0$ a $f^{\Delta}(u) = 0$,
+budeme pøevedení pova¾ovat za~{\I nasycené}.
+
+\s{Operace:} Pro~vrchol~$u \in V$ definujme {\I zvednutí vrcholu}:
+Pokud bìhem výpoètu narazíme ve~vrcholu~$u$ na~pøebytek, který nelze nikam pøevést, zvìt¹íme vý¹ku vrcholu~$u$ o~jednièku, tj. $h(u) \leftarrow h(u)+1$.
+
+\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Goldberg)}
+
+\algo
+\:$\forall v \in V: h(v)\leftarrow 0$ (v¹em vrcholùm nastavíme poèáteèní vý¹ku nula).
+\:$h(z)\leftarrow N$ (zdroj zvedneme do~vý¹ky $N$).
+\:$\forall e \in E: f(e)\leftarrow 0$ (po~hranách na~poèátku nenecháme protékat nic).
+\:$\forall zu \in E : f(zu)\leftarrow c(zu)$ (ze~zdroje pustíme maximální mo¾nou vlnu).
+\:Dokud $\exists u \in V \setminus \{z,s\}, f^{\Delta}(u)>0$:
+\::Pokud $\exists uv \in E, r(uv)>0$ a $h(u)>h(v)$: pøevedeme pøebytek po~hranì $uv$.
+\::V~opaèném pøípadì zvedneme $u$.
+\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek.
+\endalgo
+
+\noindent
+Nyní bude následovat nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ doká¾eme správnost a èasovou slo¾itost vý¹e popsaného algoritmu.
+
+\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ je v~ka¾dém kroku algoritmu vlna, $h(v)$ nikdy neklesá, $h(z)=N$ a $h(s)=0$.
+
+\proof
+Pro~první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a nevytvoøíme záporný pøebytek. Pro~$v \in V \setminus \{z,s\}$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z~podmínky v~pátém kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v~$z$ a $s$ v~podstatì nezajímají, tudí¾ se $h(z)$ a $h(s)$ nemìní.
+\qed
+
+\s{Invariant S (o~Spádu):} Neexistuje hrana se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou, neboli $\forall uv \in E, r(uv)>0 : h(u) \leq h(v)+1$.
+
+\proof %todo pøeformulovat:BEGIN OK
+Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna. Bìhem inicializace k~tomu evidentnì nedojde, proto¾e v¹echny hrany jsou nenasycené nebo mají kapacitu nula, proto je mù¾eme vypustit. Bìhem práce algoritmu k~tomu v¹ak také nedojde, jak uvidíme z~rozebrání následujících pøípadù. Pokud ji¾ existuje vrchol~$v$ s~kladným pøebytkem, dále existuje nenasycená hrana $vu$ a $h(v)=h(u)+1$, vrchol~$v$ algoritmus nezvedne, ale pøebytek po¹le po~této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $uv$ se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e pokud bychom chtìli nìco poslat v protismìru, sna¾ili bychom se o pøelití proti smìru funkce $h$.
+\qed %todo pøeformulovat:END
+
+\s{Lemma K (o~Korektnosti):} Kdy¾ se algoritmus zastaví, je $f$ maximální tok.
+
+\proof
+Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok, a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z~toho, ¾e $f$ je vlna a algoritmus se mù¾e zastavit, jen pokud nastanou oba následující pøípady souèasnì:
+\itemize\ibull
+\:Ve~vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky (mimo $z$ a~$s$), proto¾e jinak by se algoritmus nezastavil a pokraèoval dále ve~výpoètu. Tudí¾ $f$ je tok.
+\:Neexistuje nenasycená cesta ze~zdroje do~stoku, èím¾ z~{\I Ford-Fulkersonovy vìty} okam¾itì vyplývá, ¾e $f$ je tok maximální. A jak tuto neexistenci nahlédneme? Pro~spor pøedpokládejme, ¾e nìjaká nenasycená cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje. Tato cesta mù¾e mít maximálnì $N-1$ hran. O~nich víme, ¾e v¹echny mají kladnou rezervu, a dále víme, ¾e po~celou dobu výpoètu je vý¹ka zdroje $N$ a vý¹ka stoku $0$. Tak¾e celkový spád cesty $P$ je $N$, co¾ ale znamená, ¾e na cestì $P$ existuje hrana s~kladnou rezervou, která má spád alespoò $2$. To je v¹ak v~rozporu s~invariantem~S.
+\qeditem
+\endlist
+
+\s{Invariant C (Cesta domù, do~zdroje):} Je-li $v \in V \setminus \{z,s\}$ a $f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z~$v$ do~$z$.
+
+\proof
+Mìjme nìjaký vrchol~$v \in V$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$.
+Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V : \exists$ nenasycená cesta z~$v$ do~$u \}$.
+Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V \setminus A$ takové, ¾e $ba\in E$. O~nich víme, ¾e $f(ba)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(ab)>0$, a tudí¾ by $b$ patøilo do~mno¾iny $A$.
+
+Seètìme pøebytky ve~v¹ech vrcholech mno¾iny $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do~nìj vstupujících minus souèet tokù z~nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v~$A$, se jednou pøiètou a jednou odeètou, platí:
+ $$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{\scriptstyle{ab \in E \cap {\bb A}} \atop \scriptstyle{{\bb A} = \bar{A}\times A}} f(a,b)-\sum_{{\scriptstyle ba \in E \cap {\bb A}} \atop {\scriptstyle {\bb A} = A\times \bar{A}}} f(b,a).$$
+My v¹ak víme, ¾e do~$A$ nic neteèe, a proto $\sum_{v \in A}{f^\Delta(v) \le 0}$. Zároveò v¹ak v~$A$ je vrchol s~kladným pøebytkem, toti¾ $v$, proto v~$A$ musí být také vrchol se záporným pøebytkem a jediný takový je $z$.
+\qed
+\s{Invariant V (Vý¹ka):} $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2N$.
+
+\proof
+Víme, ¾e poèet hran na~cestì ze~$z$ do~$\forall v \in V$ je maximálnì $N-1$. Pokud by existoval vrchol~$v$ s~vý¹kou $h(v)>2N$, museli jsme tento vrchol zvednout alespoò $(2N+1)$-krát. Snadno si uvìdomíme, ¾e $z$ nikdy nezvedáme, a tudí¾ by na cestì ze $z$ do $v$ musela být hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna, co¾ je spor s~invariantem~S.
+\qed
+
+\s{Lemma Z (poèet Zvednutí):} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2N^{2}$.
+
+\proof
+Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol mù¾eme zvednout maximálnì $2N$-krát a vrcholù je $N$.
+\qed
+
+\s{Lemma S (naSycená pøevedení):} Poèet v¹ech nasycených pøevedení je nejvý¹ $NM$.
+
+\proof
+Mìjme hranu~$uv \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)<h(u)$ a zároveò $r(uv)=0$. Aby se rezerva této hrany zmìnila, musel by ji nìkdo odsytit. Pro~odsycení hrany se musí otoèit nerovnost mezi~vý¹kami koncových vrcholù. Tedy $h(v)>h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na~$h(v)<h(u)$. Mezi dvìma nasyceními hranami $uv$ proto probìhla minimálnì dvì zvednutí vrcholu~$u$. Algoritmus nikdy vý¹ku vrcholu nesni¾uje, a tedy poèet v¹ech nasycených pøevedení je skuteènì $NM$.
+\qed
+
+\s{Lemma N (Nenasycená pøevedení):} Poèet v¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2M)$.
+
+\proof
+Dùkaz provedeme pomocí potenciálu -- nadefinujme si následující funkci jako potenciál:
+ $$ \psi := \sum_{\scriptstyle{v: f^{\Delta}(v) > 0} \atop \scriptstyle{v \ne z,s}} h(v). $$
+Nyní se podívejme, jak se ná¹ potenciál bìhem algoritmu vyvíjí a jaké má vlastnosti:
+\itemize\ibull
+\:Bìhem celého algoritmu je $ \psi \ge 0 $, nebo» je souètem nezáporných èlenù.
+\:Na poèátku je $ \psi = 0 $.
+\:Zvednutí vrcholu zvý¹í $\psi$ o~jednièku. Ji¾ víme, ¾e za~celý prùbìh algoritmu je v¹ech zvednutí maximálnì $2N^2$, proto zvedáním vrcholù zvý¹íme potenciál dohromady nejvý¹e o~$2N^2$.
+\:Nasycené pøevedení zvý¹í $\psi$ nejvý¹e o~$2N$, proto¾e buï po~pøevodu hranou $uv$ v~$u$ zùstal nìjaký pøebytek, tak¾e se mohl potenciál zvý¹it a¾ o~$2N$, nebo je pøebytek v~$u$ po~pøevodu nulový a potenciál se dokonce o~jedna sní¾il. Za~celý prùbìh tak dojde k~maximálnì $NM$ takovýmto pøevedením, díky nim¾ se potenciál zvý¹í maximálnì o~$2N^2M$.
+\:Koneènì kdy¾ pøevádíme po~hranì $uv$ nenasycenì, tak od~potenciálu urèitì odeèteme vý¹ku vrcholu~$u$ a mo¾ná pøièteme vý¹ku vrcholu~$v$. Jen¾e $h(v) = h(u) - 1$, a proto nenasycené pøevedení potenciál v¾dy sní¾í alespoò o~jedna.
+\endlist
+
+\>Z~tohoto rozboru chování potenciálu $\psi$ v~prùbìhu algoritmu získáváme, ¾e poèet v¹ech nenasycených pøevedení mù¾e být nejvý¹e $2N^2 + 2N^2M$, co¾ je $\O(N^2M)$.
+\qed
+
+\s{Implementace:}
+Budeme si pamatovat seznam $P$ v¹ech vrcholù $v \ne z,s$ takových, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. Kdy¾ mìníme pøebytek nìjakého vrcholu, mù¾eme ná¹ seznam v~konstantním èase aktualizovat (napø. tak, ¾e si ka¾dý vrchol pamatuje pozici, na~které v~seznamu je). A v~konstantním èase také umíme odpovìdìt, zda existuje nìjaký vrchol s~pøebytkem. Dále si $\forall u \in V$ budeme pamatovat $L(u) := $ seznam $uv \in E$ takových, ¾e $r(uv) > 0$ a $h(v) < h(u)$. Díky tomu mù¾eme pøistupovat k~patøièným sousedùm $u$ v~èase $\O(1)$, stejnì jako provádìt operace pøidání do~$L(u)$, resp. smazání v~nìm. Ka¾dé pøevedení po~hranì $uv$ nás stojí konstantní èas na~aktualizaci rezerv hran $uv$ a $vu$, stejnì tak i na aktualizaci pøebytkù ve~vrcholech $u$ a $v$. V~pøípadì, ¾e se jedná o~nasycené pøevedení, musíme je¹tì odstranit hranu~$uv$ z~$L(u)$, co¾ také stihneme v~èase $\O(1)$. A koneènì zvedání vrcholu~$v$ nám zabere èas $\O(N)$, proto¾e musíme obejít v¹echny hrany~$uv$, kterých je $\O(N)$, porovnat vý¹ky a pøípadnì odebrat $uv$ z~seznamu $L(u)$ resp. pøidat do $L(v)$. Abychom pro odebrání hrany~$uv$ ze~seznamu $L(u)$ nemuseli procházet celý seznam, budeme si $\forall v \in V$ pamatovat je¹tì $L^{-1}(v) := $ seznam ukazatelù na~hrany~$uv$ v~seznamech $L(u)$.
+
+\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(N^2M)$.
+
+\proof
+Z~lemmatu~Z vyplývá, ¾e celkový poèet zvednutí je maximálnì $2N^2$, pøièem¾ ka¾dé zvednutí jsme schopni provést v~èase $\O(N)$. Tak¾e dohromady pro~zvedání spotøebujeme èas $\O(N^3)$, co¾ je pro souvislé sítì urèitì $\O(N^2M)$. Z~lemmatu~S pro~zmìnu vyplývá, ¾e nasycená pøevedení nás stojí $\O(NM)$, a na~závìr z~lemmatu~N dostáváme èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro~pøevedení nenasycená. Proto celková slo¾itost algoritmu je $\O(N^2M)$.
+\qed %todo ? pro zmìnu vs. prozmenu ?
+
+Dokázali jsme, ¾e algoritmus má èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro libovolnou posloupnost zvedání a pøevádìní. Nabízí se otázka, zda není mo¾né vhodným výbìrem tìchto operací výpoèet zrychlit. Uká¾eme, ¾e pokud v~$5.$ kroku algoritmu budeme v¾dy brát vrchol~$u$ takový, ¾e $h(u)$ je maximální, poèet nenasycených pøevedení se sní¾í.
+
+\s{Lemma N':} Poèet nenasycených pøevedení v~upravené verzi Goldbergova algoritmu je $\O(N^2\sqrt{M})$, co¾ je maximálnì $\O(N^3)$. Díky tomu je i slo¾itost celého algoritmu $\O(N^3)$.
+
+\proof
+Viz pøí¹tí pøedná¹ku.
+\bye
projects / ads2.git / blobdiff