\h{Gomory-Hu Tree}
-\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný ohodnocený graf $G=(V,E)$
+\s{Definice:} {\I Gomory-Hu Tree} (dále jen \GHT) pro neorientovaný nezápornì ohodnocený graf $G=(V,E)$
je strom $T=(V,F)$ takový, ¾e pro ka¾dou hranu $st\in F$ platí: Oznaèíme-li $K_1$ a $K_2$
komponenty lesa $T\setminus st$, je $\d(K_1)=\d(K_2)$ minimální \st-øez.
[Pozor, $F$ nemusí být podmno¾ina pùvodních hran $E$.]
Nejprve v¹ak budeme potøebovat jedno u¾iteèné lemma s~hnusnì technickým dùkazem:
\s{Hnusnì technické lemma (HTL):} Buïte¾ $s,t$ vrcholy grafu $(V,E)$, $\d(U)$ minimální \st-øez a $u\ne v$ dva rùzné
-vrcholy z~$U$. Pak existuje mno¾ina vrcholù $W \subseteq U$ taková, ¾e $\d(W)$ je minimální $uv$-øez.
-[To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.]
+vrcholy z~$U$. Pak existuje mno¾ina vrcholù $W \subseteq U$ taková, ¾e $\d(W)$ je minimální $uv$-øez.
+\foot{To dùle¾ité a netriviální je, ¾e celá $W$ le¾í v~$U$.}
\fig{4-ght-htl.eps}{\epsfxsize}
BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e $s\in U$ a $t\not\in U$, $u\in X$ a $v\not\in X$ a $s\in X$.
Pokud by tomu tak nebylo, mù¾eme vrcholy pøeznaèit nebo nìkterou z~mno¾in nahradit jejím doplòkem.
-Nyní mohou nastat dva pøípady:\numlist\nalpha
-\vbox to 0pt{\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-{\advance\hsize by -14em
+\checkroom{40pt}
+
+Nyní mohou nastat následující dva pøípady:\numlist\nalpha
+\vbox to 0pt{\vskip 10pt\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-a.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
\:$t\not\in X$. Tehdy si v¹imneme, ¾e platí:
+\hangindent=-14em\hangafter=-100
$$\eqalignno{
d(U \cup X) &\ge d(U),&(1) \cr
d(U \cap X) + d(U \cup X) &\le d(U) + d(X)&(2)}$$
První nerovnost plyne z toho, ¾e $\d(U \cup X)$ je nìjaký \st-øez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-øez.
Druhou doká¾eme rozborem pøípadù.
-}
-
Mno¾inu vrcholù si disjunktnì rozdìlíme na $X\setminus U$, $X \cap U$, $U \setminus X$ a $\<ostatní>$.
Ka¾dý z~øezù vystupujících v~nerovnosti $(2)$ mù¾eme zapsat jako sjednocení hran mezi nìkterými
z~tìchto skupin vrcholù.
Nyní staèí nerovnosti $(2)$ a $(1)$ odeèíst, èím¾ získáme: $$d(U \cap X) \le d(X),$$
co¾ spolu s~obrázkem dokazuje, ¾e $\d(U \cap X)$ je také minimální $uv$-øez.
-\vbox to 0pt{\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-b.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
-{\advance\hsize by -14em\itemcount=1
+\vbox to 0pt{\vskip 20pt\rightline{\epsfysize=2.5cm\epsfbox{4-ght-htl-b.eps}}\vss}\vskip-\baselineskip
\:$t\in X$. Postupovat budeme obdobnì jako v~pøedchozím pøípadì. Tentokrát se budou
hodit tyto nerovnosti:
+\hangindent=-14em\hangafter=-100
$$\eqalignno{d(X \setminus U) &\ge d(U)&(3)\cr
d(U \setminus X) + d(X \setminus U) &\le d(U) + d(X)&(4)}$$
První platí proto, ¾e $\d(X \setminus U)$ je nìjaký \st-øez, zatímco $\d(U)$ je minimální \st-øez, druhou
doká¾eme opìt dùkladným rozborem pøípadù.
-}
-
Oznaème $L_1=\d(U \setminus X), L_2=\d(X \setminus U), P_1=\d(U)$ a $P_2=\d(X)$ a vytvoøme tabulku:
$$\matrix{&X\setminus U&X \cap U&U \setminus X&\<ostatní>\cr\noalign{\smallskip}
X\setminus U&\hbox{---}&L_2,P_1&L_1,L_2,P_1,P_2&L_2,P_2\cr
\endlist
-\s{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
+\s{Vìta (o~existenci \PGHT{}):} Buï $(V,E)$ neorientovaný nezápornì ohodnocený graf. Pro ka¾dou podmno¾inu vrcholù $R$
existuje \PGHT{}.
\proof Doká¾eme indukcí podle velikosti mno¾iny $R$.\itemize\ibull
\fig{4-ght-g1g2-before.eps}{0.45\hsize}
\fig{4-ght-g1g2-after.eps}{0.9\hsize}
+\finalfix{\bigskip}
Dále vytvoøíme mno¾iny vrcholù $R_1=R \cap \overline W$ a $R_2=R \cap W$. Dle indukèního
pøedpokladu ($R_1$ i $R_2$ jsou men¹í ne¾ $R$) existuje \PGHT{} $T_1=((R_1,F_1),C_1)$