\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{zapsali Jiøí Peinlich, Michal Kùrka}
-\h{Maximální párování v $k$-regulárním bipartitním grafu}
-
-\s{Operace Degree Split} provádí rozdìlení sudì-regulárního grafu na dva
-podgrafy s polovièní regularitou. Operaci Degree Split definujme na
-sudì-regulárním grafu takto: V grafu najdeme eulerovský tah. Sestrojíme dva
-grafy, které budou mít oba stejnou mno¾inu vrcholù jako graf pùvodní a ka¾dý
-bude mít polovinu jeho hran. Mno¾inu hran prvního grafu budou tvoøit sudé hrany
-z nalezeného eulerovského tahu, mno¾inu hran druhého grafu pak hrany liché. Tuto
-operaci lze jistì provést v lineárním èase (v lineárním èase najdeme eulerovský
-tah i rozklad na sudé a liché hrany).
-
-Dále budeme pracovat s $2^d$-regulárními grafy. Operací Degree Split tedy získáme dva grafy, které budou $2^{d-1}$-regulární.
-
-Provedeme-li operaci Degree Split $\log k = d$ krát (polovinu hran v¾dy
-zahodíme), získáme 1-regulární podgraf a tedy párování pro zadaný graf (ve
-skuteènosti mù¾eme graf rozkládat na párování a vyrobit si 1-faktorizaci
-grafu). Slo¾itost nalezení párování bude tedy pro $2^d$ regulární grafy $\O(2^d n
-d)$.
-
-Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární budeme muset pøidat hrany tak, aby nový
-graf tuto vlastnost mìl. Operaci Degree Split pak budeme provádìt tak, abychom
-se k párování blí¾ili.
-
-Místo toho, abychom do grafu hrany jen pøidávali, budeme v pøípadech, kdy je to
-mo¾né, pouze zvìt¹ovat násobnost hrany. U ka¾dé hrany si tedy budeme pamatovat
-její násobnost.
-
-\s{Degree Split s~násobnostmi:} Pro sudì-regulární grafy s násobnostmi zavedeme operaci Degree Split takto:
-Graf $G=(V,E)$ rozdìlíme na dva grafy $G_1$ a $G_2$, bude platit $V(G_1) = V(G_2) = V$. Hrany nyní pøidìlíme následujícím zpùsobem:
-\algo
-\:Pokud $e\in E$ v $G$ má sudou násobnost (znaèíme $n(e)$), umístíme ji do $E_1$ i do $E_2$ s násobností ${n(e) \over 2}$, v opaèném pøípadì pøidáme do obou grafù hranu s násobností $\lfloor {n(e) \over 2} \rfloor$.
-\:Graf se zbylých hran má v¹echny stupnì sudé a je bez multiplicit. Provedeme na nìj pùvodní operaci Degree Split a rozdìlené mno¾iny hran pøidáme do $G_1$ a $G_2$.
-\endalgo
+\>V~minulé kapitole jsme se zabývali aplikacemi tokù na~hledání maximálního párování
+a minimálního øezu. V~této si pøedvedeme dva algoritmy pro podobné problémy,
+které se obejdou bez tokù.
+
+\h{Maximální párování v regulárním bipartitním grafu}
+
+Nejprve si nadefinujme operaci {\I Degree Split,} která dostane jako vstup libovolný
+$2k$-regulární graf $G=(V,E)$ a rozdìlí ho na~podgrafy $G_1=(V,E_1)$ a $G_2=(V,E_2)$, které budou
+oba $k$-regulární. Tuto operaci mù¾eme snadno provést v~lineárním èase tak, ¾e si graf
+rozdìlíme na~komponenty, v~ka¾dé nalezneme eulerovský tah a jeho sudé hrany dáme do~$G_1$
+a liché do~$G_2$.
+
+To nám pomù¾e ke~snadnému algoritmu pro nalezení maximálního párování ve~$2^d$-regulárním
+bipartitním grafu.\foot{V¹imnìte si, ¾e takové párování bude v¾dy perfektní (viz Hallova vìta).}
+Staèí provést Degree Split na~dva $2^{d-1}$-regulární grafy, na~libovolný jeden z~nich
+aplikovat dal¹í Degree Split atd., a¾ se dostaneme k~$1$-regulárnímu grafu, který
+je perfektním párováním v~$G$. To v¹e jsme schopni stihnout v~lineárním èase,
+jeliko¾ velikosti grafù, které splitujeme, exponenciálnì klesají. Také bychom
+mohli rekurzivnì zpracovávat obì komponenty a tak se v~èase $\O(m\log n)$ dobrat
+ke~kompletní 1-faktorizaci zadaného grafu.\foot{To je rozklad hran grafu na~disjunktní
+perfektní párování a má ho ka¾dý regulární bipartitní graf.}
+
+Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární, pomù¾eme si tím, ¾e ho novými hranami
+doplníme na $2^d$-regulární a pak si pøi splitech budeme vybírat ten podgraf,
+do~kterého padlo ménì nových hran, a uká¾eme, ¾e nakonec v¹echny zmizí.
+Abychom graf pøíli¹ nezvìt¹ili, budeme sna¾it místo pøidávání úplnì nových
+hran pouze zvy¹ovat násobnost hran existujících. Pro ka¾dou hranu $e$ si tedy
+budeme pamatovat její násobnost $n(e)$.
+
+{\I Degree Split grafu s~násobnostmi} pak budeme provádìt následovnì: hranu~$e$ s~násobností $n(e)$ umístíme do~$G_1$
+i~do~$G_2$ s~násobností $\lfloor n(e)/2 \rfloor$ a pokud bylo $n(e)$ liché, pøidáme hranu do~pomocného grafu
+$G^\prime$. V¹imnìte si, ¾e $G^\prime$ bude sudì-regulární graf bez násobností, tak¾e na~nìj mù¾eme aplikovat pùvodní
+Degree Split a $G^\prime_i$ pøiøadit ke~$G_i$. To~v¹e zvládneme v~èase $\O(m)$.
+
+Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
+Zvolme dále parametry
+$\alpha := \lfloor 2^t/k \rfloor$ a
+$\beta := 2^t \bmod k$.
+Ka¾dé pùvodní hranì nastavíme násobnost~$\alpha$ a pøidáme triviální párování~$F$
+($i$-tý vrchol vlevo se spojí s~$i$-tým vrcholem vpravo) s~násobností~$\beta$.
+V¹imnìte si, ¾e $\beta<k$, a~proto hran v~$F$ (vèetnì násobností) bude ménì ne¾ $2^t$.
-Celý proces lze stihnout v èase $\O(m)$ ($m$ je poèet hran $G$), nebo» v první èásti u ka¾dé hrany pouze zjistíme, zda má sudou násobnost, pøidáme nové hrany v konstantním èase (upravíme násobnosti), a v druhé èásti se provede Split, který má té¾ lineární slo¾itost. Operace Degree Split má tedy slo¾itost $\O(m)$ i v grafu s násobnostmi.
+Takto získáme $2^t$-regulární graf, jeho¾ reprezentace bude lineárnì velká. Na tento graf budeme aplikovat operaci
+Degree Split a budeme si vybírat v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z~$F$. Po~$t$ iteracích dospìjeme k~párování
+a jeliko¾ se~v~ka¾dém kroku zbavíme alespoò poloviny hran z~$F$, nebude toto párování obsahovat ¾ádnou a navíc
+nebude ani obsahovat násobné hrany, tak¾e opravdu bude podgrafem zadaného grafu.
-Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
-Zvolme dále
-$\alpha := \lfloor {2^t \over k} \rfloor$ a
-$\beta := 2^t \bmod k$.
-Do grafu pøidáme hrany a upravíme násobnosti hran tak, aby byl $2^t$ regulární. Dále pøidáme triviální párování ($i$-tý vrchol vlevo se spojí s $i$-tým vrcholem vpravo) s násobností $\beta$. Tuto mno¾inu hran oznaème $F$. Platí $\beta < k \Rightarrow \vert F \vert < 2^t$.
+Slo¾itost algoritmu je $\O(m \log n)$, jeliko¾ provádíme inicializaci v~$\O(m)$ a celkem $\log_2 kn=\O(\log n)$ iterací po~$\O(m)$.
-Takto získáme $2^t$-regulární graf. Na tento graf budeme aplikovat operaci Degree Split a vybereme si v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z $F$. Tímto zpùsobem budem graf dìlit dokud budou stupnì vrcholù vìt¹í ne¾ jedna. Tedy $t$-krát. Poslední takto získaný graf bude 1-regulární (párování). V ka¾dém kroku se zbavíme alespoò poloviny hran z $F$. Provedeme to ceklem $t$-krát a tedy výsledné párování bude perfektní párování zadaného grafu.
+\h{Stupeò souvislosti grafu}
-Slo¾itost algoritmu je $\O(kn \log n)$, proto¾e inicializace algoritmu se dá provést v lineárním èase, provede se $\log (kn)$ iterací po $\O(m)$.
+Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
+který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
+Pokud chceme najít minimum pøes v¹echny dvojice, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
+To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù (tøeba $s$) lze zvolit
+pevnì: pokud vezmeme libovolný øez $C$, pak jistì najdeme alespoò jedno~$t$, které padne
+do~jiné komponenty ne¾ pevnì zvolené~$s$, tak¾e minimální $st$-øez bude nejvý¹e tak velký jako~$C$.
+Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
+Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.
-\h{Algoritmy na hledání globální k-souvislosti}
-\s{Hranová k-souvislost}
-Problém zji¹tìní stupnì souvislosti grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu v~grafu. Algoritmus pro hledání minimálního øezu lze zkonstruovat napøíklad tak, ¾e pro ka¾dé dva vrcholy $s$, $t$ zjistíme minimální $st$-øez. Algoritmus mù¾eme zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù $s$ nebo $t$ lze zvolit pevnì. Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak $s \rightarrow t$ øezy tak i $t \rightarrow s$ øezy. Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.
+U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
+minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí si
+pamatovat, kolik vrcholù $s$ jsme u¾ pro v¹echny $t$ zkontrolovali a nejmen¹í zatím nalezený separátor. Kdy¾ bude poèet
+vrcholù vìt¹í ne¾ nejmen¹í separátor, tak u¾ jsme jistì na¹li jeden z minimálních øezù. Slo¾itost takového algoritmu pak
+bude $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je stupeò souvislosti $G$, který hledáme.
-U vrcholové $k$-souvislosti to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí si pamatovat, kolik vrcholù $s$ jsme u¾ pro v¹echny $t$ zkontrolovali a nejmen¹í zatím nalezený separátor. Kdy¾ bude poèet vrcholù vìt¹í ne¾ nejmen¹í separátor, tak u¾ jsme jistì na¹li jeden z minimálních øezù. Slo¾itost takového algoritmu pak bude $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je stupeò souvislosti $G$, který hledáme.
+Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje následující rychlej¹í algoritmus:
-Bez tokù se dá ov¹em najít hranová k-souvislost efektivnìji (i v ohodnocených grafech). Uka¾me si, jak na to.
+\h{Globálnì minimální øez (Nagamochi, Ibaraki)}
-\h{Algoritmus pro nalezení minimálního globálního øezu v neorientovaných grafech (Namagochi, Ibaraki)}
+Buï $G$ neorientovaný graf s~ohodnocením na~hranách. Oznaèíme si:
-\noindent Zavedeme znaèení:
+\s{Znaèení:}
\itemize\ibull
-\:{$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu}
-\:{$d(v)$ buï celková kapacita hran vedoucích z $v$}
-\:{$d(U)$ buï kapacita hran vedoucích z mno¾iny $U \subseteq V$, speciálnì $d(U)=d(\overline{U})$}
-\:{$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q$}
+\:$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu,
+\:$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q \subseteq V$,
+\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buï kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
+\:$d(v) = d(\{v\})$ buï kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeò~$v$),
+\:analogicky zavedeme $d(v,w)$ a $d(v,P)$.
\endlist
-\s{Definice}
-{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1, v_2,... ,v_n$ takové, ¾e platí
+\s{Definice:}
+{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1 \ldots v_n$ takové, ¾e platí
$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro $1 \leq i<j\leq n$.
-\s{Lemma} Je-li $v_1 ... v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.
+\s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.
-\s{Dùkaz} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
+\s{Dùkaz:} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:
\algo
\:$u_0 := v_1$
\:$u_i := v_j$ tak, ¾e $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou oddìleny øezem $C$ a $j$ je minimální takové.
\endalgo
-Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo $u_{i-1}$ je $v_i$ pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na opaèné stranì øezu.
-Dostáváme tedy, ¾e $d(\{v_1...v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1...v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_i=u_{i-1}$ a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_i=v_j$, $j>i$ a nerovnost plyne z LU vrcholù $v_i$.
+Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo $u_{i-1}$ je $v_i$ pokud
+jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na opaèné stranì øezu. Dostáváme tedy, ¾e $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
+v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_i=u_{i-1}$, a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_i=v_j$, $j>i$ a
+nerovnost plyne z LU vrcholù $v_i$.
-Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
-Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$.
+Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
+Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:
-$$\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) = \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1..v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 .. v_{i-1}\},u_{i-1}) = $$
-
-$$ = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0.$$
+$$\eqalign{
+\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
+&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
+}$$
\qed
Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez $v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální øez v $G'$. Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.
Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$ a prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.
Zde se hodí datová struktura, která doká¾e rychle hledat maxima a zvy¹ovat hodnoty prvkù,
-napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
+napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.
-Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít balíèkové struktury. Budeme
+Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøíhrádkové struktury. Budeme
si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku znamená pouze podívat se na
první prvek seznamu a z nìj odebrat jeden vrchol, pøípadnì celý prvek ze seznamu
odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
-\<DeleteMax> i \<Increase> pak budou mít slo¾itost $\O(1)$ amortizovanì a celý algoritmus $\O(mn)$.
+\<DeleteMax> i \<Increase> pak budou mít slo¾itost $\O(1)$ a celý algoritmus $\O(mn)$.
\bye
projects / ga.git / blobdiff