-\input ../lecnotes.tex
+\input lecnotes.tex
-\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali K. Vandas a J. Machálek)}
+\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}
\h{Motivaèní úlohy:}
\itemize\ibull
\:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
-\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z Moskvy a spotøebovat na Frontì?
+\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z~Moskvy a spotøebovat na Frontì?
\endlist
-\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou jeho vrcholy (zdroj a stok) a $c$ je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:E(G)\to\bb R_{0}^{+}$.
+\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:\break E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$.
\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}
\par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou.
-\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to\bb R$ taková, ¾e platí:
+\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
\:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
-\:Kirchhoffùv zákon -- nikde se neztrácejí suroviny: $$\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}\quad \forall u\in V(G), u\ne z, u\ne s.$$
+\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
\endlist
\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).
-\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (zkratky source a~target).
+\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (jako source a~target).
-\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku (v závorkách jsou kapacity hran).}{4in}
+\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku a kapacity.}{4in}
-\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f)=\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)}.$$
+\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f):=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
-\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok (bez dùkazu).
+\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.
-\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá.
+\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s~tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá (dokonce lineární).
-\par\noindent {\sl Intuice:} Øez grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.
+\par\noindent {\sl Intuice:} Øez v~grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.
-\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je $R\subseteq E(G)$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$ do $s$ v grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
+\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
-\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{(u,v\in R)}{c(u,v)}$.
+\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.
-\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme $S$ sí». Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}$$
+\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme sí» $S$. Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}.$$
\proof
Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.
-\>Pomocné znaèení: Zaveïme konvenci, ¾e existují-li orientované hrany $(u,v)$, $u\in A$, $v\in B$, znaèíme je $S(A,B)$ (separátor). $f(A,B)=\sum_{(u,v)\in E,u\in A,v\in B}{f(u,v)}.$
+\>Pomocné znaèení: Jako {\I separátor} $S(A,B)$ znaèíme orientované hrany $uv$, $u\in A$, $v\in B$. $f(A,B)=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{f(uv)}.$
{\narrower
\par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.
-\s{Lemma:} $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A)$$
+\s{Lemma:} $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A).$$
\proof
-Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákonu a definice velikosti toku:
-$$\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=0\quad\forall u\in A,u\neq z,u\neq s$$
-$$\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)=w(f)}$$
+Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
+$$\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0\quad\forall u\in A \setminus \{z,s\}.$$
+$$\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=w(f)}.$$
\>Rovnice seèteme:
-$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}\right)}=w(f)$$
+$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=w(f).$$
\s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z~$A$ do $A$ jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany, které vedou dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran $A$ se \uv{po¾erou}.
\>Z toho plyne:
-$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(u,v)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(u,v)}=w(f).$$
+$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=w(f).$$
\qed
\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí: $w(f)\le c(R)$.
\proof
-$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R)$
+$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R).$$
\qed
-\s{Definice:} {\I Zs-cesta} je posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci.
+\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} je posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci.
-\figure{cesta.eps}{Pøíklad zs-cesty.}{3in}
+\figure{cesta.eps}{Pøíklad zplep¹ující cesty.}{3in}
-\s{Definice:} {\I Zs-cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud
+\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud:
$$\exists\ e \in P\left\{{f(e)=c(e)\dots \hbox{orientovaná po smìru}}\atop{f(e)=0\dots \hbox{orientovaná proti smìru}}\right.$$
-\>Jinak je zs-cesta nenasycená.
+\>Jinak je zlep¹ující cesta nenasycená.
-\s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud $\forall$ zs-cesta $P$ ze $z$ do $s$ je nasycená.
+\s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud je ka¾dá zple¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.
\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$, ¾e $w(f)=c(R)$.
\proof
-\>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok $f$ maximální a nenasycený. Existuje tedy zs-cesta $P$ nenasycená. Tuto cestu $P$ budeme vylep¹ovat.
+\>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok $f$ maximální a nenasycený. Existuje tedy nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Tuto cestu $P$ budeme vylep¹ovat.
\>Zvolíme:
-$$\varepsilon_1=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}$$
-$$\varepsilon_2=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}}$$
-$$\varepsilon=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0$$
+$$\varepsilon_1:=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}},$$
+$$\varepsilon_2:=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}},$$
+$$\varepsilon:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0.$$
\>Poslední ostrá nerovnost vyplývá z definice nenasycené cesty. Nyní vylep¹íme tok $f$ o $\varepsilon$: $f\to f^{'}$:
$$f^{'}(e)=\left\{{\displaystyle f(e)+\varepsilon \dots e\in P\hbox{ po smìru}\hfill}\atop{{\displaystyle f(e)-\varepsilon \dots e\in P\hbox{ proti smìru}\hfill}\atop{\displaystyle f(e) \dots e\not\in P\hfill}}\right.$$
\>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$
-\>Platnost Kirchhoffova zákonu ovìøíme rozborem pøípadù:
+\>Platnost Kirchhoffova zákona ovìøíme rozborem pøípadù:
\figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}
\>$f^{'}$ je tedy tok, ov¹em potom platí:
$$w(f^{'})=w(f)+\varepsilon\Rightarrow w(f^{'})>w(f)\Rightarrow\hbox{SPOR.}$$
\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme $A\subseteq V(G)$, ¾e $\forall\ v\in{} A$ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. $z \in A$, $s \not\in A$. $S(A,V\setminus A)$ je hledaný øez $R$. Podle lemmatu:
-$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R)$$
+$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R).$$
Víme, ¾e $w(f)\le c(R)$. Staèilo uvá¾it nasycený tok $f$. Pak jsme sestrojili øez $R$ a~výraz pøe¹el v rovnost $c(R)=w(f)$ (a tedy je tok $f$ maximální).
\qed
}
-Poslední vìta spolu s dùsledkem lemmatu dokazuje i hlavní vìtu o tocích. Pro ka¾dou sí» máme maximální tok a k nìmu øez stejné kapacity.
+\>Poslední vìta spolu s dùsledkem lemmatu dokazuje i hlavní vìtu o tocích. Pro ka¾dou sí» máme maximální tok a k nìmu øez stejné kapacity.
\qed
\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $V\setminus A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
-\s{Algoritmus:} (Fordùv-Fulkersonùv algoritmus hledání maximálního toku)
+\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Ford-Fulkerson)}
\algo
-\:$f(e) := 0\ \forall e \in E$
-\:while $\exists$ zlep¹ující cesta $P$, vylep¹i $P$ jako v dùkazu hlavní vìty
-\:f je maximální
+\:Pøiøad $f$ nulový tok ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
+\:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹i $f$ podél $P$ jako v~dùkazu hlavní vìty.
+\:$f$ je maximální.
\endalgo
\h{Cvièení:}
\itemize\ibull
-\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o 1. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
+\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad (pro obecné kapacity ov¹em takto definovaný F-F algoritmus nemusí být koneèný).
-\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? (2M krokù)
+\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
\endlist
\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}
projects / ads2.git / blobdiff