\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}
-\h{Motivaèní úlohy:}
+\s{Motivaèní úlohy:}
\itemize\ibull
\:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z~Moskvy a spotøebovat na Frontì?
\endlist
-\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:\break E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$.
+\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je
+orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou nìjaké dva jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je
+{\I kapacita hran,} kterou pøedstavuje funkce $c:E(G)\to{\bb
+R}_{0}^{+}$.
\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}
\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
-\:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
+\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
\endlist
\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (jako source a~target).
-\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku a kapacity.}{4in}
+\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}
-\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$w(f):=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
+\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$\vert f\vert:=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
+
+\>Budeme tedy chtít najít v~zadané síti tok, jeho¾ velikost je maximální. Musí v¾dycky existovat?
\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.
\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s~tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá (dokonce lineární).
+Dobrá, maximální tok v¾dy existuje. Ale kdy¾ nám ho nìkdo uká¾e, umíme poznat,
+¾e je skuteènì maximální? K~tomu se budou hodit øezy:
+
\par\noindent {\sl Intuice:} Øez v~grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.
-\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e neexistuje cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
+\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e
+neexistuje orientovaná cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.
-\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme sí» $S$. Platí: $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}.$$
-
-\proof
-Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.
-
-\>Pomocné znaèení: Jako {\I separátor} $S(A,B)$ znaèíme orientované hrany $uv$, $u\in A$, $v\in B$. $f(A,B)=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{f(uv)}.$
+Nìkdy je lep¹í se na~øezy dívat takto:
-{\narrower
-\par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.
+\s{Definice:} Pro dvì disjunktní mno¾iny vrcholù $A,B$, kde $z\in A$ a $s\in B$ zavedeme
+{\I separátor} $S(A,B)$, co¾ bude mno¾ina hran vedoucích z~$A$ do~$B$. Pokud je $g$ funkce
+definovaná na~hranách (tøeba tok nebo kapacita), definujeme $g(A,B):=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{g(uv)}.$
-\s{Lemma:} $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A).$$
+\s{Pozorování:} Ka¾dý separátor je øezem (libovolná orientovaná cesta ze~$z$ do~$s$ musí
+nìkdy opustit mno¾inu~$A$, a to jde pouze po~hranì patøící do~separátoru). Opaènì to sice
+platit nemusí, ale platí, ¾e ke~ka¾dému øezu existuje separátor takový, ¾e souèet kapacit
+jeho hran je nejvý¹e kapacita daného øezu. Staèí si zvolit mno¾inu $A$ jako vrcholy dosa¾itelné
+ze~zdroje po~hranách nele¾icích v~øezu a do~$B$ dát v¹echny ostatní vrcholy. Separátor
+$S(A,B)$ pak bude tvoøen výhradnì hranami øezu (ne~nutnì v¹emi) a sám bude øezem.
-\proof
-Dùkaz provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
-$$\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0\quad\forall u\in A \setminus \{z,s\}.$$
-$$\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=w(f)}.$$
-
-\>Rovnice seèteme:
-$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=w(f).$$
+\s{Definice:} Pro libovolnou mno¾inu vrcholù $A$ zavedeme její {\I doplnìk} $\overline A:=V(G)\setminus A$.
-\s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z~$A$ do $A$ jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany, které vedou dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran $A$ se \uv{po¾erou}.
+Nyní si v¹imneme, ¾e velikost toku mù¾eme mìøit pøes libovolný separátor: je to mno¾ství
+tekutiny, které teèe pøes separátor z~$A$ do~$B$ minus to, které se vrací zpátky
+(zatím jsme velikost mìøili u~zdroje, vlastnì na~triviálním separátoru $A=\{z\}$, $B=\overline A).$
-\>Z toho plyne:
-$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=w(f).$$
+\s{Lemma:} Nech» $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A$ a $f$ je libovolný tok. Potom platí,
+¾e: $$\vert f\vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A).$$
+\proof
+provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
+$$\hbox{Pro ka¾dý vrchol~$u\ne z,s$ platí:~~} \sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0,$$
+$$\hbox{pro zdroj pak:~~} \sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=\vert f\vert}.$$
+Rovnice seèteme:
+$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=\vert f\vert.$$
+V¹imneme si, ¾e hrany, jeji¾ oba koncové vrcholy le¾í v~mno¾inì~$A$, pøispívají
+k~této sumì jednou kladnì a jednou zápornì, hrany, její¾ ani jeden vrchol nele¾í v~$A$,
+nepøispívají vùbec, a koneènì hrany vedoucí z~$A$ do~$B$, resp. opaènì pøispìjí jen jednou
+(kladnì, resp. zápornì). Tedy:
+$$f(A,\overline A)-f(\overline A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=\vert f \vert.$$
\qed
-\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí: $w(f)\le c(R)$.
+\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí: $\vert f \vert\le c(R)$.
\proof
-$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R).$$
-
+Doká¾eme pro separátory (u¾ víme, ¾e ke~ka¾dému øezu najdeme stejnì velký nebo men¹í separátor):
+$$\vert f \vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A)\le f(A,\overline A)\le c(A,\overline A)\le c(R).$$
\qed
-\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} je posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci.
+Nyní víme, ¾e velikost ka¾dého toku je shora omezena velikostí ka¾dého øezu. Kdybychom tedy
+k~na¹emu toku umìli najít stejnì velký øez, hned víme, ¾e tok je maximální a øez minimální.
+Pøekvapivì platí, ¾e se to povede v¾dy. K~tomu se nám budou hodit zlep¹ující cesty:
+\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} budeme øíkat takové cestì mezi danými dvìma vrcholy,
+která pou¾ívá buïto hrany sítì (hrany orientované po~smìru cesty) nebo hrany k~nim opaèné (v~síti jsou
+tedy proti smìru cesty).
-\figure{cesta.eps}{Pøíklad zplep¹ující cesty.}{3in}
+\figure{cesta.eps}{Pøíklad zlep¹ující cesty.}{3in}
\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud:
-$$\exists\ e \in P\left\{{f(e)=c(e)\dots \hbox{orientovaná po smìru}}\atop{f(e)=0\dots \hbox{orientovaná proti smìru}}\right.$$
+$$\exists e \in P:\cases{
+ f(e)=c(e) & \hbox{je-li $e$ orientovaná po smìru} \cr
+ f(e)=0 & \hbox{je-li $e$ orientovaná proti smìru} \cr
+}$$
\>Jinak je zlep¹ující cesta nenasycená.
-\s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud je ka¾dá zple¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.
+\s{Definice:} {\I Tok je nasycený,} pokud je ka¾dá zlep¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.
-\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$, ¾e $w(f)=c(R)$.
+\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$ takový, ¾e $\vert f \vert=c(R)$.
\proof
-\>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok $f$ maximální a nenasycený. Existuje tedy nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Tuto cestu $P$ budeme vylep¹ovat.
-\>Zvolíme:
-$$\varepsilon_1:=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}},$$
-$$\varepsilon_2:=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}},$$
-$$\varepsilon:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0.$$
-\>Poslední ostrá nerovnost vyplývá z definice nenasycené cesty. Nyní vylep¹íme tok $f$ o $\varepsilon$: $f\to f^{'}$:
-$$f^{'}(e)=\left\{{\displaystyle f(e)+\varepsilon \dots e\in P\hbox{ po smìru}\hfill}\atop{{\displaystyle f(e)-\varepsilon \dots e\in P\hbox{ proti smìru}\hfill}\atop{\displaystyle f(e) \dots e\not\in P\hfill}}\right.$$
+\>\uv{$\Leftarrow$} doká¾eme nepøímo -- uká¾eme, ¾e pokud nìjaký tok není nasycený, tak ho
+je¹tì lze zlep¹it, proèe¾ nemù¾e být maximální. Mìjme nìjaký nenasycený tok~$f$. Existuje tedy
+nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Podél této cesty budeme tok vylep¹ovat.
+Zvolíme:
+$$
+\eqalign{
+\varepsilon_1&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}, \cr
+\varepsilon_2&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~proti smìru}}{\{f(e)\}}, \cr
+\varepsilon&:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}. \cr
+}
+$$
+Jeliko¾ cesta byla nenasycená, musí být $\varepsilon>0$. Nyní z~toku~$f$ vytvoøíme
+tok~$f'$ takto:
+$$f'(e):=\cases{
+ f(e)+\varepsilon & \hbox{je-li $e$ po smìru cesty,} \cr
+ f(e)-\varepsilon & \hbox{je-li $e$ proti smìru,} \cr
+ f(e) & \hbox{pokud $e\not\in P$.} \cr
+}
+$$
\>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$
\>Platnost Kirchhoffova zákona ovìøíme rozborem pøípadù:
\figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}
-\>$f^{'}$ je tedy tok, ov¹em potom platí:
-$$w(f^{'})=w(f)+\varepsilon\Rightarrow w(f^{'})>w(f)\Rightarrow\hbox{SPOR.}$$
-
-\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme $A\subseteq V(G)$, ¾e $\forall\ v\in{} A$ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. $z \in A$, $s \not\in A$. $S(A,V\setminus A)$ je hledaný øez $R$. Podle lemmatu:
-$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R).$$
-Víme, ¾e $w(f)\le c(R)$. Staèilo uvá¾it nasycený tok $f$. Pak jsme sestrojili øez $R$ a~výraz pøe¹el v rovnost $c(R)=w(f)$ (a tedy je tok $f$ maximální).
+\>Funkce $f'$ je tedy tok. Jeho velikost se ov¹em oproti~$f$ zvý¹ila o~$\varepsilon$, tak¾e~$f$ nebyl maximální.
+\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme mno¾inu vrcholù $A\subseteq V(G)$ definovanou tak, ¾e $v\in A$
+právì tehdy, kdy¾ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. V¹imnìme si, ¾e $z \in A$ a $s \not\in A$.
+Potom $S(A,\overline A)$ je øez, který je stejnì velký jako tok~$f$. Jak u¾ víme, pokud k~toku
+najdeme stejnì velký øez, je tok maximální.
\qed
-}
-\>Poslední vìta spolu s dùsledkem lemmatu dokazuje i hlavní vìtu o tocích. Pro ka¾dou sí» máme maximální tok a k nìmu øez stejné kapacity.
+\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $\overline A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
+
+\>To, co jsme o~tocích zjistili, mù¾eme shrnout do~následující \uv{minimaxové} vìty:
+
+\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Pro ka¾dou sí» platí: $$\max_{f\hbox{\sevenrm~tok}}{\vert f \vert=\min_{R\hbox{\sevenrm~øez}}{c(R)}}.$$
+
+\proof
+Nerovnost \uv{$\le$} je ná¹ Dùsledek lemmatu o~tocích a øezech, rovnost
+platí proto, ¾e k~maximálnímu toku existuje podle pøedcházející vìty stejnì
+velký øez.
\qed
-\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $V\setminus A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
+\>Zlep¹ování tokù pomocí zlep¹ujících cest není jen pìkný dùkazový prostøedek,
+dá se pomocí nìj také formulovat elegantní algoritmus na~hledání maximálního toku:
\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Ford-Fulkerson)}
\algo
-\:Pøiøad $f$ nulový tok ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
-\:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹i $f$ podél $P$ jako v~dùkazu hlavní vìty.
-\:$f$ je maximální.
+\:$f \leftarrow \hbox{libovolný tok}$, tøeba v¹ude nulový ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
+\:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹íme $f$ podél $P$ jako v~dùkazu vìty.
+\:Prohlásíme $f$ za~maximální tok.
\endalgo
\h{Cvièení:}
\itemize\ibull
-\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
-\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad (pro obecné kapacity ov¹em takto definovaný F-F algoritmus nemusí být koneèný).
-\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
-\endlist
-
+\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím
+kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad
+na velikost maximálního toku (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu
+bìhu algoritmu.
+\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny
+kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad.
+Algoritmus se pøitom chová stejnì jako s~pùvodními kapacitami.
+\:A~pro reálné kapacity? Obecnì ne -- zkuste najít sí» s~nìkterými kapacitami
+iracionální, kde se algoritmus pøi ne¹ikovné volbì zlep¹ujících cest nikdy
+nezastaví a dokonce ani nekonverguje k~maximálnímu toku.
+\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby
+úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}
+\:Pokud bychom v¾dy hledali {\I nejkrat¹í} zlep¹ující cestu, co¾ je snad
+nejpøímoèaøej¹í mo¾ná implementace (prohledávání do ¹íøky), algoritmus by
+se zastavil po~$\O(M^2N)$ krocích (tomu se øíká Edmondsùv-Karpùv algoritmus).
+To si nebudeme dokazovat a místo toho si na~pøí¹tí pøedná¹ce rovnou odvodíme
+efektivnìj¹í Dinicùv algoritmus.
+\endlist
\bye
projects / ads2.git / blobdiff