-\input ../lecnotes.tex
+\input lecnotes.tex
-\def\og{$\buildrel \rightarrow \over G$}
-\def\ogm{\buildrel \rightarrow \over G}
+\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali J. Machálek a K. Vandas)}
-\prednaska{2}{Toky v sítích}{(pøedná¹el T. Valla, zapsali K. Vandas a J. Machálek)}
-
-\h{Motivaèní úlohy:}
+\s{Motivaèní úlohy:}
\itemize\ibull
\:Mìjme orientovaný graf se speciálními vrcholy ®elivka a Kanál pøedstavující pra¾ské vodovody. V tomto grafu budou vrcholy vodovodními stanicemi a hrany trubkami mezi nimi. Kolik vody proteèe ze ®elivky do Kanálu?
-\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z Moskvy a spotøebovat na Frontì?
+\:Mìjme orientovaný graf pøedstavující ¾eleznièní sí»; graf má význaèné vrcholy Moskva a Fronta, ka¾dá hrana grafu má kapacitu, kterou mù¾e uvézt. Kolik vojákù je schopna sí» pøevézt z~Moskvy a spotøebovat na Frontì?
\endlist
-\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(\ogm,z,s,c)$, kde \og{} je orientovaný graf, z~a~s~jsou jeho vrcholy (z(droj) a s(tok)) a c je kapacita sítì, kterou pøedstavuje funkce $c:E(\ogm)\to R_{0}^{+}$.
-
-\par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou...
+\s{Definice:} {\I Sí»} je uspoøádaná ètveøice $(G,z,s,c)$, kde $G$ je
+orientovaný graf, $z$~a~$s$~jsou nìjaké dva jeho vrcholy ({\I zdroj} a {\I stok}) a $c$ je
+{\I kapacita hran,} kterou pøedstavuje funkce $c:E(G)\to{\bb
+R}_{0}^{+}$.
\figure{sit.eps}{Pøíklad sítì. Èísla pøedstavují kapacity jednotlivých hran.}{3in}
-\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $E(\ogm)\to R$ taková, ¾e
+\par\noindent {\sl Intuice:} Toky v sítích pøedstavují rozvr¾ení, jakým suroviny sítí poteèou.
+
+\s{Definice:} {\I Tok} je funkce $f:E(G)\to{\bb R}_{0}^{+}$ taková, ¾e platí:
\numlist{\ndotted}
-\:Tok ka¾dé hrany je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$
-\:\uv{Kirchhoffùv zákon} - nikde se neztrácejí suroviny: $$\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}\quad \forall u\in V(\ogm), u\ne z, u\ne s$$
+\:Tok po~ka¾dé hranì je omezen její kapacitou: $0\le f(e)\le c(e)$.
+\:Kirchhoffùv zákon -- \uv{sí» tìsní}: $$\sum_{xu \in E}{f(xu)}=\sum_{ux \in E}{f(ux)}\quad\hbox{pro ka¾dé }u\in V(G) \setminus \{z,s\}.$$
\endlist
-\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro z a s, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).
+\s{Poznámka:} Pokud bychom se chtìli v definici toku u bodu 2 vyhnout podmínkám pro $z$ a $s$, mù¾eme zdroj a stok vzájemnì propojit (pak jde o tzv. cirkulaci).
-\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{s} a stok \uv{t} (zkratky source a sink, ov¹em dvì stejná písmena by byla ponìkud nepraktická\dots)
+\s{Poznámka:} V angliètinì se obvykle zdroj znaèí \uv{$s$} a stok \uv{$t$} (jako source a~target).
-\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují ohodnocení funkcí toku (v závorkách jsou kapacity hran).}{4in}
+\figure{tok.eps}{Pøíklad toku. Èísla pøedstavují toky po~hranách, v~závorkách jsou kapacity.}{4in}
-\s{Definice:} {\I Velikost toku} f je: $$w(f)=\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)}$$
+\s{Definice:} {\I Velikost toku} $f$ je: $$\vert f\vert:=\sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)}.$$
-\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok (bez dùkazu).
+\>Budeme tedy chtít najít v~zadané síti tok, jeho¾ velikost je maximální. Musí v¾dycky existovat?
-\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce tokù je spojitá\dots
+\s{Vìta:} Pro ka¾dou sí» existuje maximální tok.
-\>Intuice. Øez grafu je mno¾ina hran oddìlující z(droj) a s(tok).
+\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Doká¾e se pomocí metod matematické analýzy s~tím, ¾e mno¾ina tokù je kompaktní a funkce velikosti toku je spojitá (dokonce lineární).
-\s{Definice:} {\I Øez} R v síti $(\ogm,z,s,c)$ je $R\subseteq E(\ogm)$ taková, ¾e $\not\kern -.5ex\exists$ cesta ze z do s v grafu $(V(\ogm),E(\ogm)\setminus R)$.
+Dobrá, maximální tok v¾dy existuje. Ale kdy¾ nám ho nìkdo uká¾e, umíme poznat,
+¾e je skuteènì maximální? K~tomu se budou hodit øezy:
-\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{(u,v\in R)}{c(u,v)}.$
+\par\noindent {\sl Intuice:} Øez v~grafu je mno¾ina hran oddìlující zdroj a stok.
-\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Mìjme S sí». $$\max_{f\hbox{ tok}}{w(f)=\min_{R\hbox{ øez}}{c(R)}}$$
+\s{Definice:} {\I Øez} $R$ v síti $(G,z,s,c)$ je mno¾ina hran $R$ taková, ¾e
+neexistuje orientovaná cesta ze $z$~do $s$~v~grafu $(V(G),E(G)\setminus R)$.
-\par\noindent {\sl Intuice:} Uvá¾íme-li mno¾inu kapacit v¹ech øezù, je zdola omezená mno¾inou hodnot tokù.
+\s{Definice:} {\I Kapacita øezu} $c(R)=\sum_{uv \in R}{c(uv)}$.
-\par\noindent {\sl Idea dùkazu:} Dùkaz provedeme pomocí dokázání dvou neostrých nerovností.
+Nìkdy je lep¹í se na~øezy dívat takto:
-\proof
+\s{Definice:} Pro dvì disjunktní mno¾iny vrcholù $A,B$, kde $z\in A$ a $s\in B$ zavedeme
+{\I separátor} $S(A,B)$, co¾ bude mno¾ina hran vedoucích z~$A$ do~$B$. Pokud je $g$ funkce
+definovaná na~hranách (tøeba tok nebo kapacita), definujeme $g(A,B):=\sum_{uv \in E,u\in A,v\in B}{g(uv)}.$
-\>Pomocné znaèení: Zaveïme konvenci, ¾e existují-li orientované hrany (u,v), $u\in A$, $v\in B$, znaèíme je S(A,B) (separátor). $f(A,B)=\sum_{(u,v)\in E,u\in A,v\in B}{f(u,v)}.$
+\s{Pozorování:} Ka¾dý separátor je øezem (libovolná orientovaná cesta ze~$z$ do~$s$ musí
+nìkdy opustit mno¾inu~$A$, a to jde pouze po~hranì patøící do~separátoru). Opaènì to sice
+platit nemusí, ale platí, ¾e ke~ka¾dému øezu existuje separátor takový, ¾e souèet kapacit
+jeho hran je nejvý¹e kapacita daného øezu. Staèí si zvolit mno¾inu $A$ jako vrcholy dosa¾itelné
+ze~zdroje po~hranách nele¾icích v~øezu a do~$B$ dát v¹echny ostatní vrcholy. Separátor
+$S(A,B)$ pak bude tvoøen výhradnì hranami øezu (ne~nutnì v¹emi) a sám bude øezem.
-{\narrower
-\s{Lemma:} $A\subseteq V(\ogm),z\in A,s\not\in A,f\hbox{ je tok}$. Potom platí, ¾e $$w(f)=f(A,V\setminus~A)-f(V\setminus~A,A)$$
+\s{Definice:} Pro libovolnou mno¾inu vrcholù $A$ zavedeme její {\I doplnìk} $\overline A:=V(G)\setminus A$.
-\proof
-Dùkaz provedeme pomocí \uv{Kirchhoffova zákonu} a definice velikosti toku:
-$$\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}=0\quad \forall u\in A,u\neq z,u\neq s$$
-$$\sum_{(z,x)\in E}{f(z,x)}-\sum_{(x,z)\in E}{f(x,z)=w(f)}$$
+Nyní si v¹imneme, ¾e velikost toku mù¾eme mìøit pøes libovolný separátor: je to mno¾ství
+tekutiny, které teèe pøes separátor z~$A$ do~$B$ minus to, které se vrací zpátky
+(zatím jsme velikost mìøili u~zdroje, vlastnì na~triviálním separátoru $A=\{z\}$, $B=\overline A).$
-\>Rovnice seèteme:
-$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{(u,x)\in E}{f(u,x)}-\sum_{(x,u)\in E}{f(x,u)}\right)}=w(f)$$
-
-\s{Poznámka:} Tato rovnice neznamená nic jiného, ne¾ ¾e se hrany vedoucí z A do A jednou pøiètou a jednou odeètou. Projeví se pouze hrany vedoucí dovnitø a ven z $V\setminus A$, tak¾e toky vnitøních hran A se \uv{po¾erou}.
-
-\>Z toho plyne:
-$$f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(u,v)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(u,v)}=w(f)$$
+\s{Lemma:} Nech» $A\subseteq V(G),z\in A,s\not\in A$ a $f$ je libovolný tok. Potom platí,
+¾e: $$\vert f\vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A).$$
+\proof
+provedeme pomocí Kirchhoffova zákona a definice velikosti toku:
+$$\hbox{Pro ka¾dý vrchol~$u\ne z,s$ platí:~~} \sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}=0,$$
+$$\hbox{pro zdroj pak:~~} \sum_{zx \in E}{f(zx)}-\sum_{xz \in E}{f(xz)=\vert f\vert}.$$
+Rovnice seèteme:
+$$\sum_{u\in A}{\left(\sum_{ux \in E}{f(ux)}-\sum_{xu \in E}{f(xu)}\right)}=\vert f\vert.$$
+V¹imneme si, ¾e hrany, jeji¾ oba koncové vrcholy le¾í v~mno¾inì~$A$, pøispívají
+k~této sumì jednou kladnì a jednou zápornì, hrany, její¾ ani jeden vrchol nele¾í v~$A$,
+nepøispívají vùbec, a koneènì hrany vedoucí z~$A$ do~$B$, resp. opaènì pøispìjí jen jednou
+(kladnì, resp. zápornì). Tedy:
+$$f(A,\overline A)-f(\overline A,A)=\sum_{u\in A,v\not\in A}{f(uv)}-\sum_{u\not\in A,v\in A}{f(uv)}=\vert f \vert.$$
\qed
-\s{Dùsledek:} Pokud f je tok, R je øez, pak platí: $w(f)\le c(R)$.
+\s{Dùsledek:} Pokud $f$ je tok, $R$ je øez, pak platí: $\vert f \vert\le c(R)$.
\proof
-$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)\le f(A,V\setminus A)\le c(A,V\setminus A)\le c(R)$
-
+Doká¾eme pro separátory (u¾ víme, ¾e ke~ka¾dému øezu najdeme stejnì velký nebo men¹í separátor):
+$$\vert f \vert=f(A,\overline A)-f(\overline A,A)\le f(A,\overline A)\le c(A,\overline A)\le c(R).$$
\qed
-}
-\s{Redefinice:} {\I Cesta} je odteï posloupnost navazujících hran, u kterých ignorujeme orientaci. Tyto cesty se obvykle nazývají \uv{zs-cesty}.
+Nyní víme, ¾e velikost ka¾dého toku je shora omezena velikostí ka¾dého øezu. Kdybychom tedy
+k~na¹emu toku umìli najít stejnì velký øez, hned víme, ¾e tok je maximální a øez minimální.
+Pøekvapivì platí, ¾e se to povede v¾dy. K~tomu se nám budou hodit zlep¹ující cesty:
+\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} budeme øíkat takové cestì mezi danými dvìma vrcholy,
+která pou¾ívá buïto hrany sítì (hrany orientované po~smìru cesty) nebo hrany k~nim opaèné (v~síti jsou
+tedy proti smìru cesty).
-\figure{cesta.eps}{Pøíklad zs-cesty.}{3in}
+\figure{cesta.eps}{Pøíklad zlep¹ující cesty.}{3in}
-\s{Definice:} {\I Cesta} P ze z do s je {\I nasycená}, pokud
-$$\exists\ e \in P\left\{{f(e)=c(e)\dots \hbox{orientovaná po smìru}}\atop{f(e)=0\dots \hbox{orientovaná proti smìru}}\right.$$
-\>Jinak je cesta nenasycená.
+\s{Definice:} {\I Zlep¹ující cesta} $P$ ze $z$ do $s$ je {\I nasycená}, pokud:
+$$\exists e \in P:\cases{
+ f(e)=c(e) & \hbox{je-li $e$ orientovaná po smìru} \cr
+ f(e)=0 & \hbox{je-li $e$ orientovaná proti smìru} \cr
+}$$
+\>Jinak je zlep¹ující cesta nenasycená.
-\s{Definice:} {\I Tok} je {\I nasycený}, pokud $\forall$ cesta P je nasycená.
+\s{Definice:} {\I Tok je nasycený,} pokud je ka¾dá zlep¹ující cesta $P$ ze $z$ do $s$ nasycená.
-\s{Vìta:} Tok f je nasycený $\Leftrightarrow$ f je maximální. Navíc pro $\forall$ maximální tok f $\exists$ øez R, ¾e $w(f)=c(R).$
+\s{Vìta:} Tok $f$ je nasycený $\Leftrightarrow$ $f$ je maximální. Navíc pro ka¾dý maximální tok $f$ existuje øez $R$ takový, ¾e $\vert f \vert=c(R)$.
\proof
-\>\uv{$\Leftarrow$} sporem: Mìjme tok f maximální a nenasycený $\Rightarrow \exists$ P nenasycená. Tuto cestu P budeme \uv{vylep¹ovat}.
-\>Zvolíme:
-$$\varepsilon_1=\min_{e\in P,\hbox{ po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}$$
-$$\varepsilon_2=\min_{e\in P,\hbox{ proti smìru}}{\{f(e)\}}$$
-$$\varepsilon=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}>0$$
-\>Poslední ostrá nerovnost vyplývá z definice nenasycené cesty. Nyní vylep¹íme tok f o $\varepsilon$: $f\to f^{'}$:
-$$f^{'}(e)=\left\{{\displaystyle f(e)+\varepsilon \dots e\in P\hbox{ po smìru}\hfill}\atop{{\displaystyle f(e)-\varepsilon \dots e\in P\hbox{ proti smìru}\hfill}\atop{\displaystyle f(e) \dots e\not\in P\hfill}}\right.$$
+\>\uv{$\Leftarrow$} doká¾eme nepøímo -- uká¾eme, ¾e pokud nìjaký tok není nasycený, tak ho
+je¹tì lze zlep¹it, proèe¾ nemù¾e být maximální. Mìjme nìjaký nenasycený tok~$f$. Existuje tedy
+nenasycená zlep¹ující cesta $P$. Podél této cesty budeme tok vylep¹ovat.
+Zvolíme:
+$$
+\eqalign{
+\varepsilon_1&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~po smìru}}{\{c(e)-f(e)\}}, \cr
+\varepsilon_2&:=\min_{e\in P\hbox{\sevenrm~proti smìru}}{\{f(e)\}}, \cr
+\varepsilon&:=\min{\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}}. \cr
+}
+$$
+Jeliko¾ cesta byla nenasycená, musí být $\varepsilon>0$. Nyní z~toku~$f$ vytvoøíme
+tok~$f'$ takto:
+$$f'(e):=\cases{
+ f(e)+\varepsilon & \hbox{je-li $e$ po smìru cesty,} \cr
+ f(e)-\varepsilon & \hbox{je-li $e$ proti smìru,} \cr
+ f(e) & \hbox{pokud $e\not\in P$.} \cr
+}
+$$
\>Nyní je potøeba ovìøit, ¾e $f^{'}$ je skuteènì tok:
-$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon $$
+$$0\le f^{'}(e)\le c(e)\dots\hbox{platí stále díky volbì }\varepsilon.$$
-\>Platnost \uv{Kirchhoffova zákonu} ovìøíme rozborem pøípadù:
+\>Platnost Kirchhoffova zákona ovìøíme rozborem pøípadù:
\figure{kirch.eps}{Rozbor pøípadù.}{4in}
-\>$f^{'}$ je tedy tok, ov¹em potom platí:
-$$w(f^{'})=w(f)+\varepsilon\Rightarrow w(f^{'})>w(f)\Rightarrow\hbox{SPOR}$$
+\>Funkce $f'$ je tedy tok. Jeho velikost se ov¹em oproti~$f$ zvý¹ila o~$\varepsilon$, tak¾e~$f$ nebyl maximální.
+
+\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme mno¾inu vrcholù $A\subseteq V(G)$ definovanou tak, ¾e $v\in A$
+právì tehdy, kdy¾ existuje nenasycená cesta ze $z$ do $v$. V¹imnìme si, ¾e $z \in A$ a $s \not\in A$.
+Potom $S(A,\overline A)$ je øez, který je stejnì velký jako tok~$f$. Jak u¾ víme, pokud k~toku
+najdeme stejnì velký øez, je tok maximální.
+\qed
-\>\uv{$\Rightarrow$}: Uvá¾íme $A\subseteq V(\ogm)$, ¾e $\forall\ v\in{} A\ \exists$ nenasycená cesta ze z do v. $z \in A$, $s \not\in A$. $S(A,V\setminus A)$ je hledaný øez R. Podle lemmatu:
-$$w(f)=f(A,V\setminus A)-f(V\setminus A,A)=c(A,V\setminus A)=c(R)$$
-Víme, ¾e $w(f)\le c(R)$. Staèilo uvá¾it nasycený tok f. Pak jsme sestrojili øez R a~výraz pøe¹el v rovnost $c(R)=w(f)$ (a tedy je tok f maximální).
+\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení $V(G)$ na mno¾inu $A$ a $\overline A$ v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
+\>To, co jsme o~tocích zjistili, mù¾eme shrnout do~následující \uv{minimaxové} vìty:
+
+\s{Vìta (Hlavní vìta o tocích, Ford-Fulkerson):} Pro ka¾dou sí» platí: $$\max_{f\hbox{\sevenrm~tok}}{\vert f \vert=\min_{R\hbox{\sevenrm~øez}}{c(R)}}.$$
+
+\proof
+Nerovnost \uv{$\le$} je ná¹ Dùsledek lemmatu o~tocích a øezech, rovnost
+platí proto, ¾e k~maximálnímu toku existuje podle pøedcházející vìty stejnì
+velký øez.
\qed
-\figure{nenasyc.eps}{Rozdìlení V(\og) na mno¾inu A a V$\setminus$A v dùkazu hlavní vìty o tocích.}{2.5in}
+\>Zlep¹ování tokù pomocí zlep¹ujících cest není jen pìkný dùkazový prostøedek,
+dá se pomocí nìj také formulovat elegantní algoritmus na~hledání maximálního toku:
-\s{Algoritmus:} (Ford-Fulkerson algoritmus hledání maximálního toku)
+\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Ford-Fulkerson)}
\algo
-\:$f(e) := 0\ \forall e \in E$
-\:while $\exists$ zlep¹ující cesta P, vylep¹i P jako v dùkazu hlavní vìty
-\:f je maximální
+\:$f \leftarrow \hbox{libovolný tok}$, tøeba v¹ude nulový ($\forall e \in E: f(e) \leftarrow 0 $).
+\:Dokud $\exists$ zlep¹ující cesta $P$: vylep¹íme $f$ podél $P$ jako v~dùkazu vìty.
+\:Prohlásíme $f$ za~maximální tok.
\endalgo
\h{Cvièení:}
\itemize\ibull
-\:Je pro pøirozené kapacity F.F. algoritmus koneèný? Ano - v ka¾dém zlep¹ujícím kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o 1. Proto¾e máme horní odhad na maximální tok (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu bìhu algoritmu.
-\:Je F.F. algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano - v¹echny kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad (pro obecné kapacity ov¹em takto definovaný F.F. algoritmus nemusí být koneèný).
-\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby úspì¹nì dobìhl? (2M krokù)
+\:Je pro pøirozené kapacity F-F algoritmus koneèný? Ano -- v ka¾dém zlep¹ujícím
+kroku algoritmu se celkový tok zvìt¹í aspoò o jedna. Proto¾e máme horní odhad
+na velikost maximálního toku (napø. souèet kapacit v¹ech hran), máme i~horní odhad na dobu
+bìhu algoritmu.
+\:Je F-F algoritmus koneèný pro racionální kapacity hran? Ano -- v¹echny
+kapacity vynásobíme spoleèným jmenovatelem a pøevedeme na pøedchozí pøípad.
+Algoritmus se pøitom chová stejnì jako s~pùvodními kapacitami.
+\:A~pro reálné kapacity? Obecnì ne -- zkuste najít sí» s~nìkterými kapacitami
+iracionální, kde se algoritmus pøi ne¹ikovné volbì zlep¹ujících cest nikdy
+nezastaví a dokonce ani nekonverguje k~maximálnímu toku.
+\:Kolik krokù bude muset algoritmus na následující síti maximálnì udìlat, aby
+úspì¹nì dobìhl? ($2M$ krokù)
+\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F-F algoritmus?}{2in}
+\:Pokud bychom v¾dy hledali {\I nejkrat¹í} zlep¹ující cestu, co¾ je snad
+nejpøímoèaøej¹í mo¾ná implementace (prohledávání do ¹íøky), algoritmus by
+se zastavil po~$\O(M^2N)$ krocích (tomu se øíká Edmondsùv-Karpùv algoritmus).
+To si nebudeme dokazovat a místo toho si na~pøí¹tí pøedná¹ce rovnou odvodíme
+efektivnìj¹í Dinicùv algoritmus.
\endlist
-\figure{2M.eps}{Pøíklad sítì. Kolik krokù musí maximálnì udìlat F.F. algoritmus?}{2in}
-
\bye
projects / ads2.git / blobdiff