\s{Definice:} Random Access Machine ({\sc Ram})
-{\sc Ram} poèítá jen s èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
+{\sc Ram} poèítá jen s celými èísly -- znaky, stringy a podobnì reprezentujeme
èísly, jejich posloupnostmi atd. Pamì» je tvoøena buòkami, které obsahují
èísla. Pamì»ové buòky jsou adresované takté¾ èísly. A program samotný je
koneèná posloupnost instrukcí následujících druhù:
\itemize\ibull
\:Aritmetické a logické:
-$X \leftarrow Y \oplus Z, \oplus\in\{+, -, \times, \div,\mod, \&\&, \|, <<,
->>\}$
-\:Skoky: goto LABEL
-\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít
-if~$X~<~Y~\Rightarrow$~instrukce
-\:Øídící: goto, halt.
+$X$ |<-| $Y \oplus Z, \oplus\in\{|+|, |-|, |*|, |div|, |mod|, \&,
+{\tt\char124}, |<<|, |>>|\}$
+\:Øídící: |goto| \<label>, |halt|
+\:Podmínky: pro libovolnou nepodmínìnou instrukci mù¾u pou¾ít \hfil \break
+if~$X$~|<|~$Y$~|==>|~instrukce % Tady to prosím je¹tì zkontroluj. Myslím, ¾e
+% zápis je správný, ale sází se to divnì a vidím èerný obdélníèek na konci
+% øádku. Díky.
\endlist
\s{Poznámka} (operandy):
\itemize\ibull
-\:Konstanty (1,2,\dots)
-\:Adresované pøímo - M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena A-Z jako aliasy pro
-registry -1 a¾ -26
-(tedy A=M[-1])
-\:Adresované nepøímo -- M[M[konst.]] - budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
+\:Konstanty (1, 2, \dots)
+\:Adresované pøímo -- M[konst.] -- budeme pou¾ívat písmena {\tt A-Z} jako aliasy
+pro
+buòky pamìti $-1$ a¾ $-26$, které nazýváme registry.
+(tedy A={\tt M[-1]})
+\:Adresované nepøímo -- {\tt M[M[konst.]]} -- budeme pou¾ívat zkratku [[konst.]]
\endlist
Samotný výpoèet probíhá takto:
\h{Slo¾itost}
-Jak dobøe popsat slo¾itost?
+\> Jak dobøe popsat slo¾itost?
\numlist\ndotted
-\:{\sc Ram} s jednotkovou cenou: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor $\approx$
+\:{\I {\sc Ram} s jednotkovou cenou}: èas $\approx$ \#instrukcí, prostor
+$\approx$
maximální èíslo buòky minus minimální èíslo buòky pou¾ité pøi výpoètu.
Toto není moc dobrý nápad, proto¾e není nijak penalizována napøíklad práce s
velmi dlouhými èísly -- poøád je to jedna instrukce, tak¾e cena je stejná, ale
poèítaèe se tak pøece nechovají. Velikost èísel ale omezit nesmíme, proto¾e
bychom omezili pamì» (èísly ji adresujeme).
-\:{\sc Ram} s logaritmickou cenou: èas $\approx$ \#bitù zpracovávaných èísel,
+\:{\I{\sc Ram} s logaritmickou cenou}: cena instrukce $\approx$ \#bitù
+zpracovávaných èísel,
prostor $\approx$ \# bitù v¹ech pou¾itých bunìk. To je teoreticky pøesné, ale
dost nepraktické (ve v¹ech slo¾itostech by byly logaritmy).
-\:{\sc Ram} s omezenými èísly: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme na
-$\leq P(n)$, $P(n)$ je polynom. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale mù¾eme
-adresovat jen polynomiální prostor (to nám obvykle nevadí).
+\:{\I{\sc Ram} s omezenými èísly}: jednotková cena instrukcí, ale èísla omezíme
+nìjakým polynomem $P(n)$. Tím zmizí paradoxy prvního modelu, ale
+mù¾eme adresovat jen polynomiální prostor (to nám ov¹em obvykle nevadí).
\endlist
+Nadále tedy budeme pøedpokládat tøetí zmínìný model.
+
% Z minulých zápiskù.
\s{Definice:}
\itemize\ibull
-\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako poèet
-elementárních operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
+\:{\I Èas bìhu algoritmu} $t(x)$ pro vstup~$x$ mìøíme jako sumu èasù provedených
+operací, které program provedl pøi zpracování vstupu
$x$.
\:{\I Prostor bìhu algoritmu} $s(x)$ je analogicky poèet pamì»ových
bunìk spotøebovaných pøi výpoètu se vstupem~$x$.
\endlist
Nyní zkusíme zanalyzovat nìjaký konkrétní algoritmus. Vezmìme napøíklad øazení
-pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme v registru N poèet
-èísel, v buòkách 1\dots n je nesetøídìná posloupnost èísel. Ty pak tøídíme
-následujícím algoritmem zapsaném v pseudokódu:
+pomocí pøímeho výbìru (selection sort). Na vstupu dostaneme poèet èísel $n$ (v
+registru {\tt N}), v buòkách $1,\dots, n$ je nesetøídìná posloupnost èísel. Ta
+pak
+tøídíme následujícím algoritmem zapsaným v pseudokódu:
\algo
\:Pro $i=1$ do $n$:
\::$j\leftarrow i$
\::Pro $k=i$ do $n$:
\:::Je-li $[k]<[j]\Rightarrow j\leftarrow k$
-\::$[i]\leftrightarrow[j]$
+\::$[i]$ prohodíme s $[j]$.
\endalgo
Jak by takový algoritmus vypadal zapsaný v instrukcích {\sc Ram}? Budeme muset
pou¾ít návì¹tí a goto místo cyklù, jména registrù místo promìnných a
-tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
-
-%Tady vá¾nì nevím jak formátovat, aby to bylo hezké. Nejvíce by se mi líbil
-% verbatim, ale jak v nìm udìlat rozumnì ¹ipeèky? Tøeba => a <- ?
+tøeba prohození musíme provést pøes tøetí promìnnou. Nìjak takto:
+% Co tady chybí?
\verbatim{
I <- 1
LOOP: J <- I
IF I<=N ==> GOTO LOOP
}
-
Pojïme se podívat, jaká je èasová slo¾itost jednotlivých èástí algoritmu.
-Cyklus MIN provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu MIN je v LOOP je¹tì 7
-instrukcí, tedy celý LOOP provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí. Celkovì se
-dostáváme k souètu
+Cyklus |MIN| provede $3\cdot (N-I+1)$ instrukcí. Mimo cyklu |MIN| je v |LOOP|
+je¹tì 7 instrukcí, tedy celý |LOOP| provede $3\cdot (N-I+1)+7$ instrukcí.
+Celkovì se dostáváme k souètu
$$1+3\cdot N+7+3\cdot (N-1)+7+3\cdot (N-2)+7+3\cdot (N-3)+\dots +3\cdot 1+7 =$$
-$$1+7\dots N+3\dots {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8,5N + 1$$
+$$1+7\cdot N+3\cdot {{N(N+1)}\over{2}} = {{3}\over{2}}N^2 + 8{,}5N + 1$$
Na multiplikativních konstantách ale nezále¾í -- zaprvé se na reálných strojích
ceny jednotlivých (pro nás jednotkových) instrukcí stejnì li¹í, zadruhé
-asymptoticky pomalej¹í funkce stejnì pro velké N v¾dy prohraje, tak¾e nemá cenu
+asymptoticky pomalej¹í funkce nakonec pro velké $N$ v¾dy prohraje, tak¾e nemá
+cenu
(alespoò pøi prvním pøiblí¾ení k problému) multiplikativními konstantami se
zabývat. Tím pádem nezále¾í ani na èlenech ni¾¹í øádù:
-$$1,5N^2 + 8,5N + 1 \leq 1,5N^2 + 8,5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
+$$1{,}5N^2 + 8{,}5N + 1 \leq 1{,}5N^2 + 8{,}5N^2 + N^2 = 11N^2\approx N^2$$
Kdy¾ u¾ toto víme, mù¾eme zanedbávat konstanty prùbì¾nì: $N$ cyklù po
-$\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení tzv.
-{\I asymptotické notace}
+${}\approx~N$~krocích $\Rightarrow~\approx~N^2$ krokù. To nás vede k zavedení
+tzv.
+{\I asymptotické notace:}
\h{Asymptotická notace}
-% Okopírováno z minulých zápiskù, lehké opravy, na konci ukazujeme select sort
-% místo E.A.
\s{Definice:} Pro funkce $f,g: {\bb N} \rightarrow {\bb R}^+$ øekneme,
¾e $f$ je $\O(g)$ právì tehdy, kdy¾ $\exists c>0: \forall ^{*} n \in {\bb N}:
f(n) \leq c \cdot g(n)$.
funkcí, pro které platí, ¾e se dají shora odhadnout kladným násobkem funkce~$g$,
a~psát tedy~$f\in\O(g)$, ale zvyk je bohu¾el ¾elezná ko¹ile.
-\s{Pøíklady:} $2.5n^{2} = \O(n^{2})$, $2.5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
+\s{Pøíklady:} $2{,}5n^{2} = \O(n^{2})$, $2{,}5n^{2}+30n = \O(n^{2})$.
\>Také platí:
$$
$\Omega$-notace tedy øíká, ¾e hodnota funkce $f$ je v¾dy stejná nebo vy¹¹í ne¾
nìjaký $c$-násobek funkce $g$, a tedy $g=\O(f)$.
-\:$f=\Theta(g) \equiv f=O(g) \wedge f=\Omega(g)$
+\:$f=\Theta(g) \equiv f=\O(g) \wedge f=\Omega(g)$
nebo výøeènìji:
-$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
+$f=\Theta(g) \equiv \exists$ $c_{1},c_{2} > 0: \forall^* n \in {\bb
+N}: c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq
c_{2}\cdot g(n)$ To znamená, ¾e existují nezáporné reálné konstanty
$c_{1},c_{2}$ takové, ¾e se funkce $f(n)$ dá ohranièit $c_{1}$- a
$c_{2}$-násobkem funkce $g(n)$.
$$
\log_k{n}={{\log_c{n}}\over{\log_c{k}}}={{1}\over{\log_c{k}}}\cdot \log_c{n},
$$
-kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$.}
+kde $1/\log_c{k}$ je jen konstanta, tak¾e ji mù¾eme \uv{schovat do~$\O$}.
\s{Pøíklad:} Select sort (rozebraný vý¹e):
Kdy¾ jej pustíme na $n$ èísel, pak èasová slo¾itost je $T(n) = \Theta(n^2)$ a
následující pøíklady lze (i kdy¾ to tak obèas na první pohled nevypadá) øe¹it
nìjakým grafovým algoritmem:
\itemize\ibull
-\:Mám mapku silnièní sítì, v ní oznaèené \uv{Doma} a \uv{©kola}. Dostanu se do
+\:Mám mapku silnièní sítì, v ní místa (vrcholy) oznaèená \uv{Doma} a \uv{©kola}.
+Dostanu se do
¹koly (le¾í ve stejné komponentì souvislosti)? Dostanu se do ¹koly, kdy¾ v zimì
napadne hodnì snìhu a nìkteré cesty budou neprùjezdné? A jaký nejkrat¹í úsek
cest musí silnièáøi prohrnout, aby byla v¹echna místa na mapì dostupná?
-\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ s ètvereèky
+\:Mìjme hlavolam \uv{Lloydova devítka} -- krabièku $3\times3$ se ètvereèky
oznaèenými èísly od jedné do osmi a jednou mezerou, ètvereèky jsou zamíchané a
-na¹ím úkolem je správnì je seøadit. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
+na¹ím úkolem je správnì je seøadit pomocí pøesouvání ètvereèkù sousedících s
+mezerou do této mezery. Jak to udìlat? Kolik nejménì krokù nám na
to staèí? Jde to vùbec se zadáním, které jsme dostali?
\:Jaké je nejkrat¹í (kladné, celé) èíslo v desítkové soustavì zapsané jen
-èíslicemi 1, 0 dìlitelné tøemi? Nakreslíme orientovaný graf s vrcholy 1 a¾ 13
-a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$ (z
-ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici 0).
-Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled z 0 do
-1. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
+èíslicemi 1, 0, které je dìlitelné tøinácti? Nakreslíme orientovaný graf s
+vrcholy 0 a¾ 12
+a hranami $(x,y),$ $y=10\cdot x \mod 13$ a $y=(10\cdot x + 1) \mod 13$
+(z~ka¾dého vrcholu vychází jedna hrana za pøidání èíslice 1 a dal¹í za èíslici
+0). Hledané èíslo existuje právì tehdy, kdy¾ graf obsahuje orientovaný sled
+z~1~do~0. Jakým algoritmem takový sled najdeme?
\endlist
Podobné a dal¹í úlohy budeme øe¹it v následujících kapitolách.
projects / ads1.git / blobdiff