\input lecnotes.tex
-\prednaska{10}{Problém minimálni kostry}{(zapsali K. Ka¹èák a M. Vachna)}
+\prednaska{12}{Problém minimální kostry}{(zapsali K. Ka¹èák a M. Vachna)}
-Pro zaèátek si definujme, co budeme dìlat, v jakých grafech budeme minimálni kostru hledat.
+\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s~ohodnocením hran {\I váhami} $w: E(G) \rightarrow \bb R$,
+chceme najít kostru $T$ s minimálním ohodnocením $w(T)=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.
-\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s ohodnocením hran $w: E(G) \rightarrow R$,
-chceme najít kostru $T$ s minimálnim ohodnocením $w(T)=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.
-
-\s{Pøedpoklady úlohy:}
+\s{Navíc pøedpokládáme:} (bez újmy na~obecnosti)
\itemize\ibull
-\:BÚNO graf $G$ je souvislý
-\:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$
+\:Graf $G$ je souvislý (jinak ho nejprve rozlo¾íme na komponenty).
+\:$\forall e,f \in E(G$) : $e\neq f \Rightarrow w(e)\neq w(f)$.
\endlist
-Nyní si uká¾eme tøi algoritmy øe¹íci zadanú úlohu, konkrétne se jedná o Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv
-algoritmus.
+Nyní si uká¾eme tøi algoritmy pro hledání minimální kostry, konkrétnì se jedná
+o~Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv algoritmus.
-\s{Algoritmus:} (Jarníkùv)
+\h{Jarníkùv algoritmus}
-\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}
+\s{Algoritmus:}
\algo
-\:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$, $T=(\left\{v_0\right\},\emptyset)$.
-\:Dokud $\vert V(T) \vert \neq n$ :
-\: vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$, min $w(uv)$
-\: $T\leftarrow T+uv$
+\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
+\:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$.
+\:$T\leftarrow(\left\{v_0\right\},\emptyset)$ (zatím jednovrcholový strom)
+\:Dokud $\vert V(T) \vert \neq n$:
+\::Vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$ tak, aby $w(uv)$ byla minimálni.
+\::$T\leftarrow T+uv$.
+\algout Minimální kostra~$T$.
\endalgo
-\s{Vìta:} Jarníkùv algorimtus se zastaví po maximálne $n$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.
+\s{Vìta:} Jarníkùv algoritmus se zastaví po maximálnì $n$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
\proof
-Koneènost - pøi ka¾dé iteraci se pøidá jeden vrchol $\Rightarrow$ po maximálne $n$ iteracích se zastaví.
-Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidáva list k ji¾ existujícimu stromu. Vydaný graf má $n$
-vrcholù $\Rightarrow$ vydaný graf je kostra. Ostáva nám u¾ jen dokázat, ¾e kostra je minimálni. To
-dokazuje nesledujíci Lemma.
-\qed
+Pøi ka¾dé iteraci algoritmus pøidá jeden vrchol do~$T$, a~proto se po~maximálnì $n$ iteracích zastaví.
+Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidává list k ji¾ existujícímu stromu, a~jeliko¾ má $n$~vrcholù,
+je to kostra. Zbývá nám u¾ jen dokázat, ¾e nalezená kostra je minimální. K~tomu pomu¾e následující lemma:
-Proto aby jsme byli schopni sformulovat i dokázat Lemma, je nutná je¹tì vysvìtlit pojem øez v grafu.
+{\narrower
-\s{Definice:} Øez v grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists U\subset V$ :
-$F=\left\{uv\in E \vert u\in U, v\notin U \right\}$.
+\s{Definice:} {\I Øez} v~grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists U\subset V$ :
+$F=\left\{uv\in E:u\in U, v\notin U \right\}$.
\s{Lemma:} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v grafu $G$ a $f$ je nejlehèí hrana v øezu
-$F$, pak pro ka¾dou minimálni kostru $G$ je $f\in E(T)$.
+$F$, pak pro ka¾dou minimální kostru $T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.
\proof
-Buï $T$ kostra a $f\notin E(T)$, pak $\exists$ cesta $P\subseteq T$ spojujíci $u$ a $v$ (vrcholy hrany $f$).
-Cesta musí øez alespoò jednou projít. $\exists e\in P \cap F$ taková, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
-$T'$ je rovne¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
-hrany $f$ se opìt spojí. $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$
+Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
+Cesta musí øez alespoò jednou pøekroèit. Proto existuje $e\in P \cap F$ a navíc víme, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
+Tento graf je rovnì¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
+hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$.
\qed
-\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením ma pravì 1 minimálni kostru. Minimálni kostra je
-jednoznaène urèená lineárnim uspoøádaním hran.
+}
+
+\>V~dùkazu korektnosti Jarníkova algoritmu toto lemma vyu¾ijeme tak, ¾e si v¹imneme, ¾e hrany mezi
+vrcholy stromu~$T$ a zbytkem grafu tvoøí øez a algoritmus nejlehèí hranu tohoto øezu pøidá
+do~$T$. Podle lemmatu tedy v¹echny hrany~$T$ musí být souèástí ka¾dé minimální kostry a jeliko¾~$T$ je strom,
+musí být minimální kostrou.
+
+\qed
+
+
+\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením má pravì jednu minimální kostru. Minimální kostra je
+jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran.
\s{Implementace:}
\itemize\ibull
-\:Pøímoèaøá - pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$
-\:Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=$min$\left\{uv, u\in T\right\}$. Èasová slo¾itost je $\O(n^2+m)=\O(n^2)$
+\:Pøímoèará: pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$.
+\:Chytøej¹í: Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=\min\left\{w(uv):u\in T\right\}$. Pøi ka¾dém
+prùchodu hlavním cyklem pak procházíme v¹echna~$D(v)$ (to v¾dy trvá $\O(n)$) a pøi pøidání vrcholu do~$T$ kontrolujeme
+okolní~$D(w)$ pro $vw\in E$ a pøípadnì je sni¾ujeme (za~ka¾dou hranu~$\O(1)$). Èasovou slo¾itost tím celkovì
+zlep¹íme na~$\O(n^2+m)=\O(n^2)$.
+\:Také se dá pou¾ít halda pro uchovávání hran nebo hodnot~$D(v)$.
\endlist
-\s{Algoritmus:} (Borùvkùv)
+\h{Borùvkùv algoritmus}
-\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}
+\s{Algoritmus:}
\algo
-\:Les $F=(V(G),\emptyset)$.
-\:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty :
-\: $\forall$ komponentu $T_i$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $t_i$.
-\: V¹echny hrany $t_i$ pøidáme do $F$.
+\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
+\:$F\leftarrow(V(G),\emptyset)$
+\:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty:
+\::Pro ka¾dou komponentu $T_i$ grafu $F$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $t_i$.
+\::V¹echny hrany $t_i$ pøidáme do $F$.
+\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo
-\s{Vìta:} Borùvkùv algorimtus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.
+\s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.
\proof
-Po $k$ iteracích mají v¹echny stromy minimálne $2^k$ vrcholù, $\forall$ i : $\vert T_i\vert \geq 2^k$.
-Indukcí podle $k$: ka¾dá incidentní hrana vede z $T_i$ do $T_j$. Po $k$ iteracích pøidáním incidentní hrany
-spojíme 2 stromy s alespoò $2^k$ vrcholama, tím vznikne strom s $2^{k+1}$ vrcholama.
-Algoritmus vydá kostru, staèí nahlédnout, zda je minimálni. To se lehce uká¾e u¾itím pøedchozí Lemmy.
-V¾dy pøidávame hranu, která je minimálni mezi $T$ a ostatními vrcholy grafu $G$.
+V¹imnìme si nejprve, ¾e po~$k$ iteracích mají v¹echny komponenty grafu~$F$ minimálnì $2^k$ vrcholù
+(na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
+ka¾dá s~alespoò jednou sousední, tak¾e se velikosti komponent minimálnì zdvojnásobí).
+Proto nejpozdìji po~$\left\lceil \log_2 n\right\rceil$ iteracích u¾~velikost komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus
+se zastaví.
+
+Hrany mezi ka¾dou komponentou a~zbytkem grafu tvoøí øez, tak¾e podle pøedchozího lemmatu v¹echny
+hrany pøidané do~$F$ musí být souèástí (jednoznaènì urèené) minimální kostry. Graf $F\subseteq G$
+je tedy v¾dy les a a¾ se algoritmus zastaví, bude roven minimální kostøe.
\qed
-\s{Implemntace:}
+\s{Implementace:}
\itemize\ibull
-\:Inicializace pøímoèaøá.
-\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. $\forall$ vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
-\:Pro $\forall$ hranu zjistíme, do které komponenty patøí a pro ka¾dou komponentu
-jsi uchováme nejlehèí hranu.
-
-Rozlo¾ení lesa a zji¹tìní, do jaké komponenty patøí ka¾dá hrana má èasovou slo¾itost $\O(m)$. Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n)$
+\:Inicializace pøímoèará.
+\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. Pro ka¾dý vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
+\:Pro ka¾dou hranu zjistíme, do které komponenty patøí, a pro ka¾dou komponentu
+si uchováme nejlehèí hranu.
\endlist
-\s{Algoritmus:} (Kruskalùv èili `hladový`)
+\>Takto doká¾eme ka¾dou iteraci provést v~èase $\O(m)$ a celý algoritmus dobìhne v~$\O(m\log n)$.
+
+\h{Kruskalùv neboli hladový algoritmus}
-\def\concat{\mathop{\hbox{.}}}
+\s{Algoritmus:}
\algo
-\:Zetøídime v¹echny hrany z $E$ : $w(e_1)<...<w(e_m)$.
+\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
+\:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby: $w(e_1)<...<w(e_m)$.
\:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
-\:Pro $i=1$ do $m$ :
-\: pokud $F+e_i$ je acyklický :
-\: $F\leftarrow F+e_i$
+\:Pro $i=1$ do $m$:
+\::Pokud $F+e_i$ je acyklický, provedeme $F\leftarrow F+e_i$.
+\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo
-\s{Vìta:} Kruskalùv `hladový` algorimtus se zastaví po $m$ iteracích a vydá minimálni kostru grafu $G$.
+\s{Vìta:} Kruskalùv algoritmus se zastaví po~$m$ iteracích a vydá minimální kostru.
\proof
-Podle Lemmy strom, který je výstupem algorimtu, je minimálni kostra. Indukcí snadno doká¾eme, ¾e
-stále platí $F\subseteq$ $minimálni$ $kostry$ a v¾dy do $F$ pøidávame hranu $f$, která je minimálni v øezu
-a spojuje dvì komponenty.
-\qed
+Ka¾dá iterace algoritmu zpracovává jednu hranu, tak¾e iterací je~$m$. Indukcí doká¾eme,
+¾e~$F$ je v¾dy podgrafem minimální kostry: prázdné poèáteèní~$F$ je podgrafem èehokoliv,
+ka¾dá hrana, kterou pak pøidáme, je minimální v~øezu oddìlujícím nìjakou
+komponentu~$F$ od~zbytku grafu (ostatní hrany tohoto øezu je¹tì nebyly
+zpracovány, a~tudí¾ jsou tì¾¹í). Naopak ¾ádná hrana, kterou jsme se rozhodli
+do~$F$ nepøidat, nemù¾e být souèástí minimální kostry, jeliko¾ s~hranami,
+o~kterých ji¾ víme, ¾e v~minimální kostøe le¾í, tvoøí kru¾nici. \qed
-\s{Implemntace:}
+\s{Implementace:}
\itemize\ibull
-\:Zotøídení $\O(m\log n)$.
-\:Kdy¾ si pamatuji vrcholy $v$ poli:
-Find(u,v) zistí zda vrcholy $u$ a $v$ le¾í v stejné komponente. Jedna operace má èasovou slo¾itost $\O(1)$. Find
-se provede $m-$krát, proto je èasová slo¾itost celkem $\O(m)$.
-Union(u,v) pøidá hranu a tím spojí dvì komponenty. Jedna operace má èasovou slo¾itost $\O(n)$. Union se provede
-$n-$krát, proto je èasová slo¾itost celkem $\O(n^2)$.
-Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n+m+n^2)=$\O$(n^2+m\log n)$
-
-\:Jinak: $\forall$ komponenta je strom orientovaný smìrem ke koøenu. $\forall$ vrchol si pamatuje
-svého otce, $\forall$ koøen si pamatuje velikost komponenty.
-Find(u,v) najde koøeny a porovná je. Èasová slo¾itost je $\O(hloubka$ $komponenty)$.
-Union(u,v) najde koøeny a pøipojí men¹í komponentu pod vìt¹í (logaritmická hloubka). Èasová slo¾itost je $\O(hloubka$ $komponenty)$.
-Find a Union mají teda èasovou slo¾itost $\O(\log n)$. Výslední èasová slo¾itost je $\O(m\log n)$.
+\:Setøídìní v èase $\O(m\log m)=\O(m\log n)$.
+\:Pak potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
+ urèit, jestli právì zpracovávaná hrana vytvoøí kru¾nici. Potøebujeme tedy strukturu
+ pro udr¾ování komponent souvislosti, které se $m$-krát zeptáme, zda dva vrcholy
+ le¾í v~té¾e komponentì (tomu budeme øíkat operace \<Find>), a~$(n-1)$-krát spojíme
+ dvì komponenty do jedné (\<Union>).
\endlist
+\>Kruskalùv algoritmus tedy pobì¾í v~èase $\O(m\log n + mT_f + nT_u)$, kde~$T_u$ je
+èas na~provedení jedné operace \<Union> a $T_f$ na~operaci \<Find>.
+
+\s{Jednoduchá struktura pro komponenty:}
+Budeme pamatovat v~poli èísla komponent, ve~kterých le¾í jednotlivé vrcholy. \<Find> zvládneme v~èase $\O(1)$,
+ale \<Union> bude stát $\O(n)$. Celý algoritmus pak pobì¾í v~èase $\O(m\log n+ m + n^2) = \O(m\log n+n^2)$.
+
+\s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentou si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
+-- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje velikost komponenty.
+Operace \<Find> vystoupá z~obou vrcholù ke~koøeni a koøeny porovná. \<Union> rovnì¾ najde
+koøeny a pøipojí koøen men¹í komponenty pod koøen té vìt¹í. Obojí zvládneme v~èase lineárním
+v~hloubce stromu a jak si uká¾eme, tato hloubka je v¾dy nejvý¹e logaritmická, a proto celý Kruskalùv
+algoritmus pobì¾í v~èase $\O(m\log n + m\log n + n\log n) = \O(m\log n)$.\foot{%
+Drobnou úpravou bychom mohli dosáhnout daleko efektivnìj¹í struktury, ale tu bychom neupotøebili,
+jeliko¾ by nás stejnì brzdilo tøídìní, a analýza slo¾itosti by byla \dots\ inu, slo¾itìj¹í.}
+
\s{Lemma:} Strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.
\proof
-Pokud Union spojí stromy jeden s hloubkou $h$ a druhý s hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledního
-stromu zústava $h$. Pokud spojuje dva stromy hloubky $h$, pak vyslední strom má hloubku $h+1$. Jak ji¾
-víme, strom hloubky $h$ má minimálne $2^h$, proto výslednej strom hloubky $h+1$ má $2^{h+1}$ vrcholù.
-\qed
+Indukcí: Pokud \<Union> spojí strom s~hloubkou $h$ s jiným s~hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledného
+stromu zùstává~$h$. Pokud spojuje dva stromy stejné hloubky~$h$, pak má výsledný strom hloubku $h+1$.
+Z~indukèního pøedpokladu víme, ¾e strom hloubky $h$ má minimálnì $2^h$ vrcholù,
+a~tedy výsledný strom hloubky $h+1$ má alespoò $2^{h+1}$ vrcholù. \qed
\h{Èerveno-èerné stromy}
-\s{Definice:} Èerveno-èerný strom je binárny vyhledávaci strom s barevnými(èervenými a èernými) vrcholy a
-externými vrcholy. Kdy¾ vrchol nemá nìkterého ze synú, na jeho míste je externý vrchol.
+Ve~zbytku pøedná¹ky se vrátíme k~vyhledávacím stromùm a uká¾eme si je¹tì jeden zpùsob,
+jak udr¾et logaritmickou hloubku stromu.
+
+\s{Definice:} {\I Èerveno-èerný strom} je binární vyhledávací strom, jeho¾ vrcholy jsou
+obarvené (nìkteré èervenì, zbylé èernì), a ke~kterému byly pøidány externí vrcholy v¹ude
+tam, kde pùvodnímu vrcholu chybí nìkterý ze~synù. Listy è-è stromu jsou tedy v¾dy externí.
+Navíc platí následující axiomy:
\s{Axiomy:}
\itemize\ibull
-\:Koøen a externé vrcholy sú èerné.
+\:Koøen a externí vrcholy jsou èerné.
\:Otec èerveného vrcholu je èerný.
-\:Na v¹ech cestách z koøene do externího vrcholu je stejný poèet èerných vrcholù.
+\:Na v¹ech cestách z~koøene do~externího vrcholu je stejný poèet èerných vrcholù.
\endlist
-\s{Vìta:} Èerveno-èerný strom na $n$ vrcholech má hloubku $\O(\log n)$.
-
-K této vìtì nabízime dva dùkazy.
+\s{Vìta:} Èerveno-èerný strom o~$n$ vrcholech má hloubku $\O(\log n)$.
\proof
-1. Skomprimujeme hrany èerný-èervený a èerné vrcholy, které májí dva èervené syny, na vrchol.
-Vznikne $2,4-$strom, který ma hloubku $\log n$, a proto je èerveno-èerný strom maximálne
-2x vìt¹í.
+Zkomprimujeme v¹echny hrany spojující èerný a èervený vrchol, èím¾ v¹echny èervené
+vrcholy \uv{zasuneme} do~jejich èerných otcù. Vznikne $2,4$-strom a ten, jak u¾ víme,
+má hloubku $\O(\log n)$. Pùvodní è-è strom má tedy hloubku nejvý¹e $2\log n$, co¾ je
+asymptoticky taky $\O(\log n)$.
\qed
-\proof
-2. Pøedpokladejme, ¾e $T$ je èerveno-èerný strom, který má na cestì z koøene do listu
-$k$ èerných vrcholù. Pak pre poèet vrcholù stromu $T$ platí $2^k-1\leq n \leq 2^{2k}-1$. Nejmen¹í takový strom má v¹echny vrcholy obarvené èernì a je to úplný
-pravidelný binární strom o hloubce $k-1$, co¾ dáva dolní odhad. Nejvìt¹í takový strom má v¹echny vrcholy v sudých hladinách obarveny èervenì a v lichých hladinách èernì, je to ùplný pravidelný binární strom o hloubce $2k-1$ a tím je dán horní odhad. Tedy $k\leq 1+\log n$. Z vlastností èerveno-èerných stromù plyne, ¾e $k\leq hloubka(T) \leq 2k$.
+\noindent{\sl Alternativní dùkaz:} \foot{\uv{Vy máte protipøíklad? Nevadí, já mám dva dùkazy :)}}
+Pøedpokládejme, ¾e $T$ je èerveno-èerný strom, který má na cestì z koøene do listu
+$k$ èerných vrcholù. Pak pro poèet vrcholù stromu $T$ platí $2^k-1\leq n \leq 2^{2k}-1$. Nejmen¹í takový strom má v¹echny vrcholy obarvené èernì a je to úplný
+pravidelný binární strom o hloubce $k-1$, co¾ dává dolní odhad. Nejvìt¹í takový strom má v¹echny vrcholy v sudých hladinách obarveny èervenì a v lichých hladinách èernì, je to úplný pravidelný binární strom o hloubce $2k-1$ a tím je dán horní odhad. Tedy $k\leq 1+\log n$. Z vlastností èerveno-èerných stromù plyne, ¾e $k\leq \<hloubka>(T) \leq 2k$.
\qed
-Niní si uká¾eme a rozebereme vkládaní do èerveno-èerných stromù.
+Nyní si rozebereme vkládaní do èerveno-èerných stromù.
-\s{Insert:} (v èerveno-èernom strome)
-BÚNO nový uzel $t$ bude èervený.
-Vlo¾íme uzel do stromu jako do standartního binárního vyhledávacího stromu.
-Jestli¾e je pøedek èerný, jsme hotovi (viï obr. 1).
-\figure{01.eps}{obr. 1}{2in}
-Jestli¾e nikoliv, mù¾u nastat tøi nasledujíci pøípady:
-\itemize\ibull
-\:Je-li vrchol $t$ èervený a jeho otec je také èervený, pak øekneme, ¾e $t$ je porucha. Je-li $t$ porucha,
-pak ji musíme nìjak opravit. Situace je na obrázku 2 - nejprve zále¾í na tom, jakou barvu má $s$, strýc $t$:
-\figure{02.eps}{obr. 2}{1.5in}
-\algo
-\:$s$ je èervený. Pak pouze pøebarvíme $o$, $d$ a $s$ podle obrázku 3.
-Nyní $d$ mù¾e být porucha, ov¹em posunutá o 2 hladiny vý¹e.
-\figure{03.eps}{obr. 3}{3.5in}
-Pro splnìní poslední podmínky je je je¹tì nutné pøebarvit koøen $d$ na èerno.
-
-\:$s$ je èerný. Pak zále¾í na tom, zda hodnota $t$ le¾í mezi hodnotami $o$ a $d$ nebo ne. Jinými slovy, zda cesta $t-o-d$ obsahuje zatáèku.
-(a) Bez zatáèky: Provedeme rotaci a pøebarvíme podle obrázku 4. Splnìny budou podmínky 1, 2 i 3, tedy máme èervenoèerný strom:
-\figure{04.eps}{obr. 4}{4in}
-(b) Se zatáèkou. Provedeme dvojitou (LR) rotaci a pøebarvíme podle obrázku 5. Splnìny budou podmínky 1, 2 i 3, opìt máme rovnou èervenoèerný strom.
-\figure{05.eps}{obr. 5}{4in}
-\endalgo
-\endlist
+\s{Insert:}
+Vlo¾íme hodnotu do stromu jako do standardního binárního vyhledávacího stromu, tedy jako list,
+a obarvíme èervenì. První ani tøetí axiom jsme neporu¹ili a pokud je pøedek èerný, tak ani
+axiom druhý, èili jsme hotovi:
+\fig{01.eps}{2in}
+Jestli¾e je otec~$o$ na¹eho vrcholu~$t$ také èervený, budeme øíkat, ¾e do¹lo k~{\I poru¹e}
+a budeme se ji sna¾it opravit. Situace musí vypadat následovnì:
+\fig{02.eps}{1.5in}
+Nyní rozli¹íme následující tøi pøípady:
+\itemize\ibull
+\:Pokud strýc~$s$ vrcholu~$t$ je èervený, pak pouze pøebarvíme $o$, $d$ a $s$ podle následujícího obrázku.
+Nyní $d$ mù¾e být porucha, ov¹em posunutá o 2 hladiny vý¹e, tak¾e pøi nejhor¹ím pokraèujeme
+do~koøene a poslední poruchu opravíme pøebarvením koøene na~èerno.
+\fig{03.eps}{3.5in}
+\:Strýc $s$ je èerný. Pak zále¾í na tom, zda hodnota $t$ le¾í mezi hodnotami $o$ a $d$ nebo ne. Jinými slovy, zda cesta $t-o-d$ obsahuje zatáèku.
+ \numlist\nalpha
+ \:Bez zatáèky: Provedeme rotaci a pøebarvíme. Splnìny budou axiomy 1, 2 i 3, tedy máme èervenoèerný strom:
+ \fig{04.eps}{4in}
+ \:Se zatáèkou: Provedeme dvojitou (LR) rotaci a pøebarvíme. Opìt získáme korektní èervenoèerný strom:
+ \fig{05.eps}{4in}
+ \endlist
+\endlist
\bye
projects / ads1.git / blobdiff