\input lecnotes.tex
-\prednaska{12}{Aproximaèné algoritmy}{(F. Ha¹ko, J. Menda, M. Mare¹)}
+\prednaska{12}{Aproximaèní algoritmy}{\vbox{\hbox{(F. Ha¹ko, J. Menda, M. Mare¹,}
+ \hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}
-\>Na~minulých predná¹kach sme sa zaoberali rôzne »a¾kými rozhodovacími problémami. Táto sa zaoberá postupmi ako sa v~praxi vysporiada» s~rie¹ením týchto problémov.
+\>Na~minulých pøedná¹kách jsme se zabývali rùznými tì¾kými rozhodovacími
+problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v~praxi vypoøádat s~øe¹ením tìchto
+problémù.
-\h{Prvý spôsob: ©peciálny prípad}
+\h{Co dìlat, kdy¾ potkáme NP-úplný problém}
+\algo
+\:Nepanikaøit
+\:Spokojit se s~málem
+\:Rozmyslet, jestli opravdu potøebujeme obecný algoritmus. Mnohdy potøebujeme pouze
+speciálnìj¹í pøípady, které mohou být øe¹itelné v~polynomiálním èase.
+\:Spokojit se s~pøibli¾ným øe¹ením, (pou¾ít aproximaèní algoritmus).
+\:Pou¾ít heuristiku -- napøíklad genetické algoritmy nebo randomizované algoritmy.
+Velmi pomoci mù¾e i jen výhodnìj¹í poøadí pøi~prohledávání èi oøezávání nìkterých
+napohled nesmyslných vìtví výpoètu.
+\endalgo
+
+\h{První zpùsob: Speciální pøípad}
-\>Èasto si vystaèíme s~vyrie¹ením ¹peciálneho prípadu NP-úplného problému, ktorý le¾í v~P. Napríklad, ak rie¹ime grafovú úlohu, tak nám mô¾e staèi» rie¹enie pre~¹peciálny druh grafov (strom, bipartitný graf, \dots). Farbenie grafu je µahké pre~nejaký malý poèet farieb. 2SAT, ako ¹peciálny prípad SAT-u, sa dá rie¹i» v~lineárnom èase.
+\>Èasto si vystaèíme s~vyøe¹ením speciálního pøípadu NP-úplného problému, který
+le¾í v~$P$. Napøíklad pøi øe¹ení grafové úlohy nám mù¾e staèit øe¹ení
+pro~speciální druh grafù (stromy, bipartitní grafy, \dots). Barvení grafu je lehké
+napø. pro~dvì barvy èi pro intervalové grafy. 2-SAT, jako speciální pøípad SATu,
+se dá øe¹it v~lineárním èase.
-\s{Problém: Maximálna nezávislá mno¾ina v strome (nie rozhodovacia)}
+\>Uká¾eme si dva takové pøípady (budeme øe¹ení hledat, nejen rozhodovat, zda existuje)
-\>{\I Vstup:} zakorenený strom~$T$
+\s{Problém: Maximální nezávislá mno¾ina ve~stromì (ne rozhodovací)}
-\>{\I Výstup:} Maximálna (èo do poètu vrcholov) nezávislá mno¾ina vrcholov~$M$
+\>{\I Vstup:} Zakoøenìný strom~$T$.
-\>BUNV mô¾eme predpoklada», ¾e v~$M$ sú v¹etky listy~$T$. Ak by nejaký list $l$ nebol v~$M$, tak sa pozrieme na jeho otca:
+\>{\I Výstup:} Maximální (co do~poètu vrcholù) nezávislá mno¾ina vrcholù~$M$~v~$T$.
+
+\>BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e v~$M$ jsou v¹echny listy $T$. Pokud by nìkterý
+list $l$ v~$M$ nebyl, tak se podíváme na~jeho otce:
\itemize\ibull
-\:Ak otec nie je v~$M$, tak vytvoríme novú nezávislú mno¾inu~$M'$ obsahujúcu aj~$l$ (veµkos» nezávislej mno¾iny stúpla o~1).
-\:Ak tam otec je, tak ho z~$M$ vyjmeme a~namiesto neho vlo¾íme~$l$ (veµkos» nezávislej mno¾iny sa nezmen¹ila).
+\:Pokud otec není v~$M$, tak list $l$ pøidáme do~$M$, èím¾ se nezávislost
+mno¾iny zachovala a velikost stoupla o~1.
+\:Pokud tam otec je, tak ho z~$M$ vyjmeme a na~místo nìho vlo¾íme $l$.
+Nezávislost ani velikost $M$ se nezmìnily.
\endlist
-\>Tieto listy aj ich otcov z~$T$ odstránime a~postup opakujeme. $T$~sa mô¾e rozpadnú» na~les; potom tento postup aplikujeme na~v¹etky stromy v~lese.
+\>Nyní listy spolu s~jejich otci z~$T$ odebereme a postup opakujeme. $T$ se
+mù¾e rozpadnout na~les, ale to nevadí $\to$ tentý¾ postup aplikujeme na~v¹echny stromy v~lese.
\s{Algoritmus:}
+\>MaxNz$(T)$
\algo
-\:Polo¾íme $M_1$:=$\{$listy stromu $T\}$.
-\:Polo¾íme $M_2$:=$\{$otcovia vrcholov z~$M_1\}$.
-\:Vrátime $M_1 \cup$ MaxNz$(T\setminus(M_1 \cup M_2)$.
+\:Polo¾íme $L$:=$\{$listy stromu $T\}$.
+\:Polo¾íme $O$:=$\{$otcové vrcholù z~$L\}$.
+\:Vrátíme $L \cup$ MaxNz$(T\setminus(O \cup L))$.
\endalgo
-\>{\I Poznámka:} Toto doká¾eme naprogramova» v $\O(n)$ (vrcholy máme vo fronte a prechádzame).
+\>{\I Poznámka:} Toto doká¾eme naprogramovat v~$\O(n)$ (udr¾ujeme si frontu listù).
\s{Problém: Batoh}
-\>Je daná mno¾ina $n$~predmetov s~hmotnos»ami $h_1,\ldots,h_n$
-a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, ktorý unesie hmotnos»~$H$. Nájdite takú
-podmno¾inu predmetov, ktorých celková hmotnos» je najviac~$H$ a~celková cena je
-maximálna mo¾ná.
+\>Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$
+a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, který unese hmostnost~$H$. Najdìte takovou
+podmno¾inu pøedmìtù, jejich¾ celková hmotnost je maximálnì $H$ a celková cena
+je maximální mo¾ná.
\>Tento problém je zobecnìním problému batohu z~minulé pøedná¹ky dvìma smìry:
Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
-slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i c_i$.
+slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
+c_i$.
\>Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost
Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=\infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
$A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
-(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) = A_{k-1}(c-c_k) + h_k$
-(to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou mo¾ností si vybereme tu,
-která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
+(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
+A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
+mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
$$
A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
$$
-Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme jednu mno¾inu, v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny.
+Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
+v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.
-\>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do batohu. To bude
-nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí èas $\O(C)$.
+\>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
+To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) < \infty$. Jeho nalezení nás stojí
+èas $\O(C)$.
\>A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu,
prvku k~prvnímu.
\>Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
-problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ( $C$~mu¾e být a¾ exponenciálnì
-velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti èísel na~vstupu.
-Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.}
+problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
+být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
+èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
+algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
+cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).
\s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
-spoèteme ze~$Z_{k-1}$ a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
+spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
+výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
+v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
+a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.
-\h{Druhý spôsob: Aproximácia}
-
-\>V predchádzajúcich problémoch sme sa zamerali na ¹peciálne prípady. Obèas v¹ak také ¹tastie nemáme a~musíme vyrie¹i» celý NP-úplný problém. Mo¾eme si v¹ak pomôc» tým, ¾e sa nebudeme sna¾i» vyrie¹i» ho optimálne -- iba v nejakom pomere k~optimálnosti ({\I aproximácia}), t.j. budeme vedie», o~koµko maximálne je na¹e rie¹enie hor¹ie ako optimálne.
-
-\s{Problém: Obchodný cestujúci}
-
-\>{\I Vstup:} neorientovaný graf $G$, popisujúci nejaku krajinu a~ka¾dá hrana je ohodnotená funkciou $w: E(G)\rightarrow {\bb R}^+_0$
-
-\>{\I Vystup:} Hamiltonovská kru¾nica (v¹etky vrcholy grafu), a~to tá najkrat¹ia (podµa ohodnotenia).
-
-\>Tento problém je hneï na~prvý pohµad nároèný -- u¾ problém, èi existuje Hamiltonovská kru¾nica, je NP-úplný. BUNV nech graf~$G$ je úplný (doplnime zvy¹né hrany ohodnotené $max(w)+1$ alebo viac, nie v¹ak nekoneènom, lebo by neplatila trojuholníková nerovnos», ktorú neskôr budeme potrebova»). Vyrie¹me tento problém najprv za~predpokladu, ¾e vrcholy grafu spåòajú trojuholníkovú nerovnos», potom bez nej.
-
-\>{\I a) trojuholníková nerovnos»:} $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le w(xy)+w(yz)$
-
-\>Existuje pekný algoritmus, ktory nájde Hamiltonovsku kru¾nicu, èo je
-maximálne dvakrát tak veµká ako optimálna.
-
-\>Nájdeme najmen¹iu kostru a~obchodnému cestujúcemu poradíme, nech ide po~nej (staèí zakoreni» a~prejs» do~håbky). Problémom v¹ak je, ¾e daný sled obsahuje ka¾dý vrchol viackrát a~preto musíme nahradi» nepovolené vracania sa, t.j.~pre ka¾dý vrchol nájs» e¹te nenav¹tívený vrchol v~na¹om slede a~ís» priamo naò. Keï¾e platí trojuholníková nerovnos», tak si týmito skratkami neu¹kodíme. Nech minimálna kostra má váhu~$T$. Váha obídeného sledu tak bude~$2T$. Skrátenia urèite nezväè¹ujú, tak¾e váha nájdene Hamiltonovskej kru¾nice bude nanajvý¹~$2T$.
-
-\>Ak máme Hamiltonovskú kru¾nicu~$C$ a~z~nej vy¹krtneme hranu, tak máme kostru grafu~$G$ s~váhou najviac~$w(C)$, teda to aspoò takú, aká je váha minimálnej kostry --~$T$. To je optimálny prípad Hamiltonovskej kru¾nice. Ak to teda zlo¾íme dohromady, algoritmus nám vráti Hamiltonovskú kru¾nicu s~váhou najviac dvojnásobnou od~optimálnej Hamiltonovskej kru¾nice. Takéto algoritmy sa nazývajú {\I 2-aproximaèné}, keï¾e rie¹enie je maximálne dvojnásobné od~optimálneho.
-
-\>{\I b) bez~trojuholníkovej nerovnosti:}
-
-\>Tu sa budeme naopak sna¾i» ukáza», ¾e ¾iaden polynomiálny aproximaèný algoritmus neexistuje.
-
-\s{Veta:} Ak existuje polynomiálny $(1+\varepsilon)$-aproximaèný algoritmus pre~algoritmus obchodného cestujúceho bez~trojuholníkovej nerovnosti pre~µubovoµné $\varepsilon>0$, tak potom $P = NP$.
-
-\proof Uká¾eme, ¾e v~tom prípade doká¾eme v~polynomiálnom èase nájs» Hamiltonovskú kru¾nicu.
-
-\>Dostali sme graf $G$, v~ktorom hµadáme Hamiltonovskú kru¾nicu. Doplníme $G$ na~uplný graf~$G'$ a~váhy hrán~$G'$ nastavíme takto:
+\h{Druhý zpùsob: Aproximace}
+
+\>V pøedcházejících problémech jsme se zamìøili na~speciální pøípady. Obèas v¹ak
+takové ¹tìstí nemáme a musíme vyøe¹it celý NP-úplný problém. Mù¾eme si v¹ak
+pomoct tím, ¾e se ho nebudeme sna¾it vyøe¹it optimálnì -- namísto optimálního
+øe¹ení najdeme nìjaké, které je nejvý¹e $c$-krát hor¹í pro nìjakou konstantu $c$.
+
+\s{Problém: Obchodní cestující}
+
+\>{\I Vstup:} neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
+je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R }^+_0$.
+
+\>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (obsahující v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
+(podle ohodnocení).
+
+\>Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ sama existence
+hamiltonovské kru¾nice je NP-úplná. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
+¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
+w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
+aproximaèního algoritmu implikovala ${\rm P=NP }$.
+
+\>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}
+
+Existuje pìkný algoritmus, který najde hamiltonovskou kru¾nici o délce $\leq
+2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
+Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
+nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnnì mù¾eme
+pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
+podmínky podle definice splnìny.
+
+Najdeme nejmen¹í kostru grafu a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní -- kostru
+zakoøeníme a projdeme jako strom do hloubky, pøièem¾ se zastavíme a¾ v koøeni po projití
+v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
+nìkteré vrcholy i hrany vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se.
+Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
+rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
+hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
+(jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
+Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
+Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
+sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
+vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
+nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
+máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
+hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.
+
+Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
+grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
+jako minimální kostra $T$. Tedy optimální Hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
+ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
+dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
+dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
+algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
+od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
+$1{,}5$-aproximace. Ve~nìkterých metrických prostorech (tøeba v euklidovské
+rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
+libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
+po algoritmu chceme, tím déle to bude trvat.}
+
+\>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}
+
+Zde se budeme naopak sna¾it ukázat, ¾e ¾ádný polynomiální aproximaèní
+algoritmus neexistuje.
+
+\s{Vìta:} Pokud pro~libovolné~$\varepsilon>0$ existuje polynomiální
+$(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~problém obchodního cestujícího bez~trojúhelníkové nerovnosti, tak ${\rm P = NP }$.
+
+\proof Uká¾eme, ¾e v~takovém pøípadì doká¾eme v~polynomiálním èase zjistit,
+zda v grafu existuje hamiltonovská kru¾nice.
+
+\>Dostali jsme graf~$G$, v~kterém hledáme hamiltonovskou kru¾nici. Doplníme
+$G$ na~úplný graf~$G'$ a~váhy hran~$G'$ nastavíme takto:
\itemize\ibull
-\: $w(e) = 1$, ak $e \in E(G)$
-\: $w(e) = c \ll 1$, ak $e \in E(G)$
+\: $w(e) = 1$, kdy¾ $e \in E(G)$
+\: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
\endlist
-\>Ak existuje Hamiltonovská kru¾nica v~$G'$ zlo¾ená iba z~hrán, ktoré boli pôvodne v~$G$, tak optimálné rie¹enie bude ma» váhu $n$, inak bude urèite minimálne $n-1+c$. Ak máme aproximaèný algoritmus s~pomerom $1+\varepsilon$, musí by»
+\>Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
+je ka¾dá hrana z nalezené Hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
+nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou $c$, která vy¾ene
+souèet poznatelnì vysoko). Pokuï existuje hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
+z~hran, které byly
+pùvodnì v~$G$, pak optimální øe¹ení bude mít váhu~$n$, jinak bude urèitì
+minimálnì $n-1+c$. Kdy¾ máme aproximaèní algoritmus s~pomìrem~$1+\varepsilon$,
+musí tedy být
$$
\eqalign{
-(1+\varepsilon).n &< n-1+c \cr
+(1+\varepsilon)\cdot n &< n-1+c \cr
\varepsilon n+1 &< c
}
$$
-\>Ak by taký algoritmus existoval, tak na~neho máme polynomiálny algoritmus
-na~Hamiltonovsku kru¾nicu. Inak neexistuje ani pseudo-polynomialny algoritmus.
+\>Kdyby takový algoritmus existoval, máme polynomiální algoritmus
+na~Hamiltonovsku kru¾nici.
\qed
-\h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
+\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
+platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
+mít hranu 1, neexistující váhu 2.
-\s{POZOR:} Verze algoritmu, kterou jsem øíkal na~pøedná¹ce, obsahovala jednu
-pomìrnì zásadní chybu, které jsem si nev¹iml: Verze se zaokrouhlováním dolù
-mohla produkovat nepøípustná (pøíli¹ tì¾ká) øe¹ení, verze se zaokrouhlováním nahoru pro zmìnu
-nìkdy spoèítala øe¹ení pøíli¹ daleká od~optima. Algoritmus lze opravit (budeme-li
-zvlá¹» zpracovávat lehké a tì¾ké pøedmìty), ale radìji budeme místo hmotností
-kvantovat ceny. Tak dojdeme k~následujícímu aproximaènímu algoritmu. --M.M.
+\h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}
Ji¾ víme, jak optimalizaèní verzi problému batohu vyøe¹it v~èase $\O(nC)$,
pokud jsou hmotnosti i ceny na~vstupu pøirozená èísla a $C$ je souèet v¹ech cen.
stejná mno¾ina pøedmìtù jako u~zadání pùvodního.
Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky
-nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
+nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu
+øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.
\s{Základní my¹lenka:}
-Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M$
-a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$.
+Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < c_{max}$
+a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
+$M/c_{max}$).
Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
-ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$. Ka¾dé $c_i$ jsme tím
-zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù tedy
+ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$ (prvky z intervalu
+$[i\cdot c_{max}/M,(i+1)\cdot c_{max}/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
+tedy zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù pak
nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $OPT\ge c_{max}$,
tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot OPT/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
-$\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.
+$\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.\foot{Pøipomìòme, ¾e toto je¹tì není dùkaz, nebo» velkoryse pøehlí¾íme chyby dané zaokrouhlováním. Dùkaz provedeme ní¾e.}
\s{Algoritmus:}
\algo
\:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
\:Spoèítáme $c_{max}=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
-\:Kvantujeme ceny: $\hat{c}_i = \lfloor c_i \cdot M/c_{max} \rfloor$.
+\:Kvantujeme ceny: $\forall i: \hat{c}_i \leftarrow \lfloor c_i \cdot M/c_{max} \rfloor$.
\:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$
a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu.
\:Vybereme stejné pøedmìty, jaké pou¾ilo optimální øe¹ení kvantovaného zadání.
\endalgo
\>Kroky 1--3 a 5 jistì zvládneme v~èase $\O(n)$. Krok~4 øe¹í problém batohu
-se souètem cen $\hat{C}\le nM \le n^2/\varepsilon$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
+se souètem cen $\hat{C}\le nM = \O(n^2/\varepsilon)$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
Zbývá dokázat, ¾e výsledek na¹eho algoritmu má opravdu relativní chybu nejvý¹e~$\varepsilon$.
-Nejprve si rozmyslíme, jak dopadne optimální øe¹ení $OPT$ pùvodního zadání,
-kdy¾ ceny v~nìm pou¾itých pøedmìtù nakvantujeme (mno¾inu indexù tìchto pøedmìtù si oznaèíme~$Y$):
+Nejprve si rozmyslíme, jakou cenu budou mít pøedmìty které daly optimální øe¹ení
+v pùvodním zadání (tedy mají v pùvodním zadání dohromady cenu $OPT$),
+kdy¾ jejich ceny nakvantujeme (mno¾inu indexù tìchto pøedmìtù si oznaèíme~$Y$):
$$
\eqalign{
\widehat{OPT} &= \sum_{i\in Y} \hat{c}_i =
OPT \cdot {M\over c_{max}} - n.
}
$$
-Nyní naopak spoèítejme, jak dopadne øe¹ení~$Q$ nakvantovaného problému pøi pøepoètu
+Nyní spoèítejme, jak dopadne optimální øe¹ení~$Q$ nakvantovaného problému pøi pøepoètu
na~pùvodní ceny (to je výsledek na¹eho algoritmu):
$$
\eqalign{
a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
{\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
-schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation Scheme}).
+schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
+Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
+$1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není. Shròme, co jsme zjistili, do následující vìty:
+
+\s{Vìta:}
+Existuje algoritmus, který pro ka¾dé $\varepsilon > 0$ nalezne
+{\I $(1 - \varepsilon)$-aproximaci} problému batohu s $n$ pøedmìty v èase
+$\O(n^3/\varepsilon)$.
\bye
projects / ads2.git / blobdiff