\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano}, nebo {\sc ne}.
-\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$, $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$ hran?
+\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$ párování, které obsahuje alespoò $k$ hran?
\s{Pøíklad:} Daný problém pøevedeme na jiný: Párování $\rightarrow$ hledání maximálního toku (¹ipka znamená \uv{lze pøevést}).
-Tzn. existuje v síti $G$ tok velikosti alespoò $k$?
+Tzn. existuje v nìjaké síti $G'$ tok velikosti alespoò $k$?
-\s{Obecnì se dá øici:} Pokud daný pro problém umíme rozhodnout, zda platí $\Rightarrow$ umíme najít øe¹ení problému.
+\s{Obecnì se dá øici:} Pokud daný pro rozhodovací problém umíme rozhodnout, zda platí, pak umíme také najít øe¹ení tohoto problému. Proto¾e jak jinak bychom o daném problému mohli tvrdit, ¾e zaruèenì platí, kdy¾ bychom ho neumìli vyøe¹it.
\s{Pøíklad:} Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný graf má nebo nemá perfektní párování. Odebereme hranu a zeptáme se, jestli i tento nový graf má pefektní párovaní. Kdy¾ má, tak tato hrana nebyla potøebná pro párování, vyhodíme ji, proto¾e ji nepotøebujeme.
-Kdy¾ nemá (hrana patøí do párování), tak si danou hranu poznamenáme a odebereme ji i její vrcholy a také hrany, které vedly do tìchto vrcholù. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
-Takto iterujeme, dokud to jde. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí do maximálního párování. Tím jsme dané párování nalezli.
+Kdy¾ nemá (hrana patøí do ka¾dého párování), tak si danou hranu poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy ale také hrany, které do tìchto vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
+Takto iterujeme, dokud to jde. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí do perfektního párování. Tím jsme dané párování nalezli.
Hran je polynomiálnì mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e algoritmus je polynomiální.
-\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze redukovat na $B$ ($A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall x: A(x) = B(f(x))$.
+\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I redukovat} (pøevést) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) $\Leftrightarrow$ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall x: A(x) = B(f(x))$.
-\s{Pøíklad:} Bipartitní graf $\rightarrow$ Tok v síti.
-Funkce $f$ je funkce, která vezme bipartitní graf a vyrobí z~nìj regulerní sí» (pøidá zdroj, stok, hrany a ohodnocení).
+\s{Pøíklad:} Hledání maximálního párování v bipartitním grafu $\rightarrow$ Hledání maximálního toku v síti.
+Funkce $f$ je funkce, která vezme bipartitní graf a vyrobí z~nìj sí» (jak správnì vyrobit sí» pro tento pøíklad viz 3.pøedná¹ka - Dinicùv algoritmus).
\s{Nìco málo o slo¾itosti:}
-Kdy¾ $A$ lze redukovat na $B$ a $B$ umíme vyøe¹it v èase $\O(\vert $vstup$ \vert^l) = \O(\vert f(x)\vert^l)$
- pro vstup $x: \vert x \vert = n$
-$ \vert f(x)\vert = \O(n^k)$ pro nìjaké $k$,
-$A$ poèítá v~èase $\O(n^{kl})$,
-$f$ poèítá v polynomiálním èase $\rightarrow$ mù¾e vydat maximálnì polynomiální výstup.
+Kdy¾ $A$ lze redukovat na $B$ funkcí $f$ a vstup $A$ je $x$, t¾. $\vert x \vert = n$ a funkce $f$ je spoèitatelná v polynomiálním èase, t¾. $\vert f(x) \vert = \O(n^k)$ pro nìjaké $k$, pak B umíme vyøe¹it v èase $\O(\vert f(x)^l \vert) = \O(n^{kl})$, $f$ poèítá v polynomiálním èase $\rightarrow$ mù¾e vydat maximálnì polynomiální výstup.
-\s{Pozorování:} Funkce $f$ je:
+$A \rightarrow B$ znamená, ¾e $B$ je alespoò tak tì¾ké jako $A$.
+
+\s{Pozorování:} Pøevoditelnost je:
\itemize\ibull
\:reflexivní (úlohu mù¾eme identicky pøevést na tu stejnou), $A \rightarrow A$,
\:tranzitivní, $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$, $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $(g \circ f)$.
\endlist
\h{1. problém: SAT}
-\>Splnitelnost logických formulí, tj. dosazení $0$ èi $1$ do logické formule tak, aby formule platila.
+\>Splnitelnost logických formulí, tj. dosazení $true$ èi $false$ za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek $true$.
-\>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí, {\I konjunktivní normální formu} (CNF):
+\>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí, {\I konjunktivní normální formu} (CNF).
$$(\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$
-\>{\I Vstup:} Formule v konjunktivní normální formì.
-
-\>{\I Výstup} $\exists$ dosazení $0$ a $1$ za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\phi(\ldots) = 1$.
+\>{\I Vstup:} Formule $\phi$ v konjunktivní normální formì.
-$$ \phi(x, y, \ldots) = (x \lor \lnot y \lor \ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$
+\>{\I Výstup} $\exists$ dosazení $true$ a $false$ za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\phi(\ldots) = true$.
\>Pro formuli platí následující podmínky:
\itemize\ibull
-\:formule je zadána pomocí klauzulí oddìlených $\land$,
-\:ka¾dá klauzule je slo¾ená z literálù oddìlených $\lor$,
-\:ka¾dý literál je buïto promìnná nebo její negace.
+\:{\I formule} je zadána pomocí {\I klauzulí} oddìlených $\land$,
+\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
+\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
\endlist
\>Uká¾eme, ¾e staèí vyøe¹it jednodu¹¹í problém 3-SAT.
\h{2. problém: 3-SAT}
-\s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, kde ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály.
+\s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály.
\s{Pøevod 3-SAT na SAT:}
-Platí identita, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT = SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký jako SAT)
+Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT = SAT (3-SAT je alespoò tak tì¾ký jako SAT)
\s {Pøevod SAT na 3-SAT:}
Musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost.
\:$\alpha \Rightarrow x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule),
\:$\beta \Rightarrow x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule),
\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow x = 0/1$ (je nám to jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní).
-
-Hodnota $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit, jak chceme.
\endlist
\>Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba.
+Nabízí se otázka, proè mù¾eme promìnnou $x$ nastavit, jak se nám zlíbí. Vysvìtlení je prosté, promìnná $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit tak, jak chceme.
+
\s{Poznámka:} U~3-SAT lze vynutit právì tøi literály, pro krátké klauzule pou¾ijeme následující trik:
-$$(a) \rightarrow (a \lor x) \land (a \lor \lnot x).$$
+$$(\alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$
\h{3. problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu}
\>Existuje nezávislá mno¾ina vrcholù z~$G$ velikosti alespoò $k$?
-\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) je tvoøena vrcholy grafu, které spolu nemají spoleènou hranu.
+\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) je tvoøena vrcholy grafu, které nemají ¾ádnou spoleènou hranu.
-\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in N$.
+\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny.}{3in}
-\>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$, $u,v \in A \Rightarrow (uv) \not\in E(G)$?
+\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf G, $k \in {\bb N}$.
-\>Úlohu øe¹íme tak, ¾e problém 3-SAT pøevedeme tuto úlohu.
+\>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$: $\forall u,v \in A \Rightarrow uv \not\in E(G)$?
-\s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina.
+\s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. Proto je potøeba zadat i minimální velikost hledané mno¾iny.
+
+\>Uká¾eme, jak tento probém pøevést na 3-SAT.
-\s{Øe¹ení úlohy:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x$ a $\lnot x$.
+\s{Pøevod:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál tak, abychom v rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. $x$ a $\lnot x$.
\s{Pøíklad:}
$(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $.
Princip je takový, ¾e z~ka¾dé klauzule si vybereme promìnnou, která danou klauzuli splní, a to, aby promìnné, které si vybereme, nekolidovaly, vyøe¹íme hranami mezi promìnnými a jejich negacemi.
+\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu.}{3in}
+
Existuje nezávislá mno¾ina velikosti rovné poètu klauzulí?
Pokud ano, tak dostaneme seznam promìnných, pomocí kterých splníme danou formuli.
-\h{4. problém: Klika}
-
-\>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$.
-
-\>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech?
-
-\s{Øe¹ení:} Prohodíme hrany a nehrany $\rightarrow$ hledání nezávislé mno¾iny.
-
-\s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~\uv{invertovaném} grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu.
-
-\s{Pøíklad:} (Viz obrázky.)
-
\s{Pøevod NzMna na SAT:}
Máme promìnné $v_1, \ldots , v_n$ pro vrcholy.
+\>Nyní uká¾eme, jak pøevést problém hledání nezávislé mno¾iny, na SAT.
+
\itemize\ibull
\:Poøídíme si promìnné $v_1, \ldots, v_n$ odpovídající vrcholùm grafu. Promìnná $v_i$ bude
indikovat, zda se $i$-tý vrchol vyskytuje v~nezávislé mno¾inì.
x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$.
\endlist
+\figure{matice.eps}{Výsledná matice.}{3in}
+
+\h{4. problém: Klika}
+
+\>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$.
+
+\>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech?
+\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky.}{3in}
+
+\s{Pøevod:} Prohodíme v grafu $G$ hrany a nehrany $\Rightarrow$ hledání nezávislé mno¾iny.
+
+\s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~\uv{invertovaném} grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu.
+
+\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran.}{3in}
\h{5. problém: 3D párování (3D matching)}
-\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. K (kluci), H (holky), Z (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou).
+\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou).
+
+\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic - tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$.
-\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic.
+\>Uká¾eme, jak tento problém pøevést na 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce).
-\s{Øe¹ení:} Pøes 3,3-SAT (konkrétnìji, viz dal¹í pøedná¹ku).
+\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování.}{3in}
\h{6. problém: 3,3-SAT}
(x_k \Rightarrow x_1).
$$
-Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu.
+Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny promìnné budou mít stejnou hodnotu. Navíc si lze v¹imnout, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce $2x$.
+
+\s{Závìr:} Obrázek ukazuje problémy, jimi¾ jsme se dnes zabývali, a vztahy mezi tìmito problémy.
+\figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy.}{3in}
\bye
projects / ads2.git / blobdiff