\s{Pøíklady:}
Abeceda mù¾e být tvoøena tøeba písmeny |a| a¾~|z| nebo bity |0| a~|1|.
-Potkáme ale i rozlehlej¹í abecedy, napøíklad dnes bì¾ná znaková sada UniCode
-má $2^{16}$ znakù, v~novìj¹ích verzích dokonce $2^{31}$ znakù. Je¹tì extrémnìj¹ím
-zpùsobem pou¾ívají øetìzce lingvisté: na èeský text se nìkdy dívají jako na~slovo
+Potkáme ov¹em i rozlehlej¹í abecedy: napøíklad dnes bì¾ná znaková sada UniCode
+má $2^{16}=65\,536$ znakù, v~novìj¹ích verzích dokonce $2^{31}\approx 2\cdot 10^9$ znakù. Je¹tì extrémnìj¹ím
+zpùsobem pou¾ívají øetìzce lingvisté: na èeský text se nìkdy dívají jako na~øetìzec
nad abecedou, její¾ prvky jsou èeská slova.
Pro na¹e úèely budeme pøedpokládat, ¾e abeceda je \uv{rozumnì malá}, èím¾ myslíme, ¾e
Ka¾dé slovo je také prefixem, suffixem i~podslovem sebe sama. To se ne v¾dy hodí, pak budeme hovoøit
o~{\I vlastním} prefixu, suffixu èi podslovì, èím¾ myslíme, ¾e alespoò jeden znak nebude obsahovat.
+\h{Inkrementální algoritmus}
-\h{XXX}
+Vra»me se tedy zpìt k~pùvodnímu problému hledání podøetìzcù. Nejprve si
+ujasnìme, co má být výstupem algoritmu. Budeme chtít nalézt mno¾inu v¹ech
+indexù~$K$ takových, ¾e $\sigma[K:K+\vert\iota\vert] = \iota$. To je dostateènì
+kompaktní výstup (nejvý¹e lineární s~délkou sena), a~pøitom obsahuje informace
+o~v¹ech výskytech.
+Na hledání podøetìzce pou¾ijeme {\I inkrementální pøístup.} Tím se obecnì myslí,
+¾e chceme umìt roz¹íøit vstup o~dal¹í znak a pøepoèítat výstup. V~na¹em pøípadì
+budeme pøidávat znak na konec sena a zapoèítáme pøípadný nový výskyt jehly, který
+konèí tímto znakem.
-\s{Pøíklad:} Vezmìme si napøíklad staré italské pøízvisko |barbarossa|, které znamená Rudovous. Pøedstavme si, ¾e takovéto slovo hledáme v~nìjakém textu, který zaèíná |barbar|. Víme, ¾e a¾ sem se nám hledaný øetìzec shodoval. Øeknìme, ¾e dal¹í písmenko textu se shodovat pøestane -- místo |o| naèteme napøíklad opìt |b|. {\I Hloupý algoritmus} by velil vrátit se k~|a| a~od~nìj hledat dál. Uvìdomme si ale, ¾e kdy¾ se vracíme z~|barbar| do~|arbar| (tedy øetìzce, který ji¾ známe), mù¾eme si pøedpoèítat, jak dopadne hledání, kdy¾ ho pustíme na~nìj. V~pøedpoèítaném bychom tedy chtìli ukládat, ¾e kdy¾ máme øetìzec |arbar|, tak |ar| a~|r| nám do~hledaného nepasuje a~a¾~|bar| se bude shodovat. Tedy místo toho, abychom spustili nové hledání od~|a|, mù¾eme ho spustit a¾~od~|b|. Co víc, my dokonce víme, jak dopadne to -- pokud toti¾ nastane neshoda po~pøeètení |barbar|, je to stejné, jako kdybychom pøeèetli pouze |bar|, na~které se (pùvodne neshodující se) |b| u¾ navázat dá. Kdyby se nedalo navázat ani tam, tak bychom opìt zkracovali... Nejen, ¾e tedy víme, kam se máme vrátit, ale víme dokonce i~to, co tam najdeme.
+Abychom toho dosáhli, budeme si prùbì¾nì udr¾ovat informaci o~tom, jaký nejdel¹í
+prefix jehly konèí právì pøidaným znakem. Tomu budeme øíkat {\I stav algoritmu.}
+A~jakmile bude tento prefix roven celé jehle, ohlásíme výskyt.
-My¹lenka, ke které míøíme, je pøedpoèítat si nìjakou tabulku, která nám bude øíkat, jak se máme pøi hledání vracet a~jak to dopadne, a~pak u¾ jenom prohlédávat s~pou¾itím této tabulky.
+Pøedstavme si tedy, ¾e jsme pøeèetli øetìzec~$\sigma$, který konèil stavem~$\alpha$.
+Teï vstup roz¹íøíme o~znak~$x$ na~$\sigma x$. V~jakém stavu se nyní máme
+nacházet? Pokud to nebude prázdný øetìzec, musí konèit na~$x$, tedy ho mù¾eme
+napsat ve~tvaru $\alpha'x$.
-Aby se nám o~tìchto algoritmech lépe mluvilo a~pøedev¹ím psalo, pojïme si povìdìt nìkolik definic.
-
-\h{Vyhledávací automat (Knuth, Morris, Pratt)}
-{\I Vyhledávací automat} bude graf, jeho¾ vrcholùm budeme øíkat {\I stavy}. Jejich jména budou prefixy hledaného slova a~hrany budou odpovídat tomu, jak jeden prefix mù¾eme získat z~pøedchozího prefixu pøidáním jednoho písmene. Poèáteèní stav je prázdné slovo $\varepsilon$ a~koncový je celá $\iota$. Dopøedné hrany grafu budou popisovat pøechod mezi stavy ve~smyslu zvìt¹ení délky jména stavu (dopøedná funkce $h(\alpha)$, urèující znak na~dopøedné hranì z~$\alpha$). Zpìtné hrany grafu budou popisovat pøechod (zpìtná funkce $z(\alpha)$) mezi stavem $\alpha$ a~nejdel¹ím vlastním suffixem $\alpha$, který je prefixem $\iota$, kdy¾ nastane neshoda.
+V¹imneme si, ¾e $\alpha'$ musí být suffixem slova~$\alpha$: Jeliko¾ $\alpha' x$
+je prefix jehly, je $\alpha'$ také prefix jehly. A~proto¾e $\alpha'x$ je suffixem~$\sigma x$,
+musí $\alpha'$ být suffixem~$\sigma$. Tedy jak $\alpha$, tak $\alpha'$ jsou suffixy slova~$\alpha$,
+které jsou souèasnì prefixy jehly. Ov¹em stav~$\alpha$ jsme vybrali jako nejdel¹í slovo
+s~touto vlastností, tak¾e $\alpha'$~musí být nejvý¹e tak dlouhé, a~tudí¾ je prefixem~$\alpha$.
-\figure{barb.eps}{Vyhledávací automat.}{4.1in}
+Staèilo by tedy probrat v¹echny suffixy slova~$\alpha$, které jsou prefixem jehly,
+a~vybrat z~nich nejdel¹í, který po roz¹íøení o~znak~$x$ je stále prefixem jehly.
-\s{Hledej($\sigma$):}
-\algo
-\:$\alpha \leftarrow \varepsilon$.
-\:Pro $x\in\sigma$ postupnì:
-\:$\indent$Dokud $h(\alpha) \neq x~\&~\alpha \neq \varepsilon : \alpha \leftarrow z(\alpha)$.
-\:$\indent$Pokud $h(\alpha) = x: \alpha \leftarrow \alpha x$.
-\:$\indent$Pokud $\alpha = \iota$, ohlásíme výskyt.
-\endalgo
-
-\>Vstupem je $\iota$, hledané slovo (jehla) délky $J=\vert \iota \vert$ a~$\sigma$, text (seno) délky $S=\vert \sigma \vert$.
-\>Výstupem jsou v¹echny výskyty hledaného slova $\iota$ v~textu $\sigma$, tedy mno¾ina $\left\{ k \mid \sigma[k:k+J]=\iota \right\}$
+Abychom ale nemuseli suffixy procházet v¹echny, pøedpoèítáme {\I zpìtnou funkci~$z$.}
+Ta nám pro ka¾dý prefix jehly øekne, jaký je jeho nejdel¹í vlastní suffix,
+který je opìt prefixem jehly. To nám umo¾ní procházet rovnou kandidáty na nový stav:
+staèí probrat øetìzce $\alpha$, $z(\alpha)$, $z(z(\alpha))$, \dots{} a pou¾ít první,
+který lze roz¹íøit o~znak~$x$. Pokud nepùjde roz¹íøit ani jeden z~tìchto kandidátù,
+novým stavem bude prázdný øetìzec.
-Pojïme nyní dokázat, ¾e tento algoritmus správnì ohlásí v¹echny výskyty.
+Na~této my¹lence je zalo¾en následující algoritmus.
-\s{Definice}: $\alpha(\tau) := $ stav automatu po~pøeètení $\tau$
+\h{Knuthùv-Morrisùv-Prattùv algoritmus (KMP)}
-\s{Invariant:} Pokud algoritmus pøeète nìjaký vstup, nachází se ve~stavu, který je nejdel¹ím suffixem pøeèteného vstupu, který je nìjakým stavem.
-$\alpha(\tau) =$ nejdel¹í stav (nejdel¹í prefix jehly), který je suffixem $\tau$ (pøeèteného vstupu).
+Algoritmus se opírá o~{\I vyhledávací automat.} To je orientovaný graf, jeho¾
+vrcholy ({\I stavy} automatu) odpovídají prefixùm jehly. Vrcholy jsou spojeny
+hranami dvou druhù: {\I dopøedné} popisují roz¹íøení prefixu pøidáním jednoho písmene,
+{\I zpìtné} vedou podle zpìtné funkce, tedy z~ka¾dého stavu do jeho nejdel¹ího
+vlastního suffixu, který je opìt stavem.
-Pojïme si rozmyslet, ¾e z~tohoto invariantu ihned plyne, ¾e algoritmus najde to, co má. Kdykoli toti¾ ohlásí nìjaký výskyt, tak tam tento výskyt opravdu je. Kdykoli pak má nìjaký výskyt ohlásit, tak se v~této situaci jako suffix toho právì pøeèteného textu vyskytuje hledané slovo, pøièem¾ hledané slovo je urèitì stav a~zároveò nejdel¹í ze v¹ech existujících stavù. Tak¾e invariant opravdu øíká, ¾e jsme právì v~koncovém stavu a~algoritmus nám tedy ohlásí výskyt.
+\figure{barb.eps}{Vyhledávací automat pro slovo |barbarossa|}{4.1in}
-\proof {\I (invariantu)}
-Indukcí podle kroku algoritmu. Na~zaèátku pro prázdný naètený vstup invariant triviálnì platí, tedy prázdný suffix $\tau$ je prefixem $\iota$. V~kroku $n$ máme naètený vstup $\tau$ a~k~nìmu pøipojíme znak $x$. Invariant nám øíká, ¾e nejdel¹í stav, který je suffixem, je nejdel¹í suffix, který je stavem. Nyní se ptáme, jaký je nejdel¹í stav, který se dá \uv{napasovat} na~konec øetìzce $\tau x$. Kdykoli v¹ak takovýto suffix máme, tak z~nìj mù¾eme $x$ na~konci odebrat, èím¾ dostaneme suffix slova $\tau$.
+Reprezentace automatu bude pøímoèará: stavy oèíslujeme od~0 do~$J$, dopøedná hrana
+povede v¾dy ze stavu~$S$ do~$S+1$ a bude odpovídat roz¹íøení prefixu o~pøíslu¹ný
+znak jehly, tedy $\iota[S]$. Zpìtné hrany si budeme pamatovat v~poli~$Z$, tedy
+$Z[S]$ bude øíkat èíslo stavu, do~nìj¾ vede zpìtná hrana ze~stavu~$S$, pøípadnì
+bude nedefinované, pokud taková hrana neexistuje.
-\>Tedy: pokud $\beta$ je neprázdným suffixem slova $\tau x$, pak $\beta = \gamma x$, kde $\gamma$ je suffix $\tau$.
+Kdybychom takový automat mìli, mohli bychom pomocí nìj inkrementální algoritmus
+z~pøedchozí sekce popsat následovnì:
-Suffix, který máme sestrojit, tedy vznikne z~nìjakého suffixu slova $\tau$ pøipsáním~$x$. Chceme najít nejdel¹í suffix slova $\tau x$, který je stavem, tak¾e chceme najít i~nejdel¹í suffix pùvodního slova $\tau$, za který se dá pøidat $x$ tak, aby vy¹lo jméno stavu. Staèí tedy u¾ jen \uv{probírat} suffixy slova $\tau$ od~nejdel¹ího po~nejkrat¹í, zkou¹et k~nim pøidávat $x$ a~a¾ to pùjde, tak jsme na¹li nejdel¹í suffix $\tau x$. Pøesnì toto ov¹em algoritmus dìlá, nebo» zpìtná funkce mu v¾dy øekne nejbli¾¹í krat¹í suffix, který je stavem. Pokud pak nemù¾eme $x$ pøidat ani do~$\varepsilon$, pak je øe¹ením prázdný suffix. Algoritmus tedy funguje. \qed
-
-Nyní pojïmì zkoumat to, jak je ve~skuteènosti ná¹ algoritmus rychlý. K tomu bychom si ale nejdøív mìli øíct, jak pøesnì budeme automat reprezentovat. V~algoritmu vystupují nìjaká porovnávání stavù, pøièem¾ není úplnì jasné, jak zaøídit, aby v¹e trvalo konstantnì dlouho. Vyjde nám to ale docela snadno. K reprezentaci automatu nám toti¾ budou staèit pouze dvì pole.
+\s{Krok($I$, $x$):} \cmt{Jeden krok automatu: jsme ve stavu~$I$, pøeèetli jsme znak~$x$.}
+\algo
+\:Dokud $\iota[I] \neq x~\&~I \neq 0: I \leftarrow Z[I]$.
+\:Pokud $\iota[I] = x$, pak $I \leftarrow I + 1$.
+\:Vrátíme nový stav~$I$.
+\endalgo
-\s{Reprezentace automatu:}
-Oèíslujeme si stavy délkami pøíslu¹ných prefixù, tedy èísly $0 \dots J$. Poté je¹tì potøebujeme nìjakým zpùsobem zakódovat dopøedné a~zpìtné hrany. Vzhledem k~tomu, ¾e z~ka¾dého vrcholu vede v¾dy nejvý¹e jedna dopøedná a~nejvý¹e jedna zpìtná, tak nám evidentnì staèí pamatovat si pro ka¾dý typ hran pouze jedno èíslo na~vrchol. Budeme mít tedy nìjaké pole dopøedných hran, které nám pro ka¾dý stav øekne, jakým písmenkem je nadepsaná dopøedná hrana ze stavu $I$ do~$I+1$. To jsou ale pøesnì písmenka jehly, tak¾e si staèí pamatovat jehlu samotnou. Èili z~$I$ do~$I+1$ vede hrana nadepsaná $\iota [I]$. Pro zpìtné hrany pak budeme potøebovat pole $Z$, které nám pro stav $I$ øekne èíslo stavu, do~kterého vede zpìtná hrana. Tedy $Z[I]$ je cíl zpìtné hrany ze stavu $I$.
-S~touto reprezentací ji¾ doká¾eme na¹i hledací proceduru pøímoèaøe pøepsat tak, aby sahala pouze do~tìchto dvou polí:
+\s{Hledej($\sigma$):}
\algo
\:$I \leftarrow 0$.
-\:Pro znaky $x$ z~textu:
-\:$\indent$Dokud $\iota[I] \neq x~\&~I \neq 0: I \leftarrow Z[I]$.
-\:$\indent$Pokud $\iota[I] = x$, pak $I \leftarrow I + 1$.
-\:$\indent$Pokud $I = J$, ohlásíme výskyt.
+\:Pro znaky $x\in\sigma$ postupnì provádíme:
+\::$I \leftarrow \<Krok>(I,x)$.
+\::Pokud $I = J$, ohlásíme výskyt.
\endalgo
-Zatím se v~algoritmu je¹tì skrývá drobná chyba -- toti¾ algoritmus se obèas zeptá na~dopøednou hranu z~posledního stavu. Pokud jsme právì ohlásili výskyt (jsme tedy v~posledním stavu) a~pøijde nìjaký dal¹í znak, algoritmus se ptá, zda je roven tomu, co je na~dopøedné hranì z~posledního stavu. Ta ale ov¹em neexistuje. Jednodu¹e to ale napravíme tak, ¾e si pøidáme fiktivní hranu, na~které se vyskytuje nìjaké \uv{nepísmenko} -- nìco, co se nerovná ¾ádnému jinému písmenku. Zajistíme tak, ¾e se po~této hranì nikdy nevydáme. Dodefinujeme tedy $\iota[J]$ odli¹nì od~v¹ech znakù.\foot{V jazyce C se toto dodefinování provede vlastnì zadarmo, nebo» ka¾dý øetìzec je v~nìm ukonèen znakem s~kódem nula, který se ve~vstupu nevyskytne\dots Algoritmus bude tedy fungovat i~bez tohoto dodefinování. V jiných jazycích je ale tøeba na~nìj nezapomenout!}
+\s{Invariant:} Stav algoritmu~$I$ v~ka¾dém okam¾iku øíká, jaký nejdel¹í
+prefix jehly je suffixem zatím pøeètené èásti sena. (To u¾ víme z~úvah
+o~inkrementálním algoritmu.)
-\s{Lemma:} Funkce {\I Hledej} bì¾í v~èase $\O(S)$.
+\s{Dùsledek:} Algoritmus ohlásí v¹echny výskyty. Pokud jsme toti¾ právì
+pøeèetli poslední znak nìjakého výskytu, je celá jehla suffixem zatím
+pøeètené èásti sena, tak¾e se musíme nacházet v~posledním stavu.
-\proof
-Funkce {\I Hledej} chodí po~dopøedných a~zpìtných hranách. Dopøedných hran projdeme urèitì maximálnì tolik, kolik je délka sena. Pro ka¾dý znak pøeètený ze sena toti¾ jdeme nejvý¹e jednou po~dopøedné hranì. Se zpìtnými hranami se to má tak, ¾e na~jeden pøeètený znak z~textu se mù¾eme po~zpìtné hranì vracet maximálnì $J$-krát. Z~tohoto by nám v¹ak vy¹la slo¾itost $\O(JS)$, èím¾ bychom si nepomohli. Zachrání nás ale pøímoèarý potenciál. Uvìdomme si, ¾e chùze po~dopøedné hranì zvý¹í $I$ o~jedna a~chùze po~zpìtné hranì $I$ sní¾í alespoò o~jedna. Vzhledem k~tomu, ¾e $I$ není nikdy záporné a~na~zaèátku je nulové, zjistíme, ¾e krokù zpìt mù¾e být maximálnì tolik, kolik krokù dopøedu. Èasová slo¾itost hledání je tedy lineární vzhledem k~délce sena. \qed
-
-Nyní nám zbývá na~první pohled malièkost -- toti¾ zkonstruovat automat. Zkonstruovat dopøedné hrany zvládneme zjevnì snadno, jsou toti¾ explicitnì popsané hledaným slovem. Tì¾¹í u¾ to bude pro hrany zpìtné. Vyu¾ijeme k~tomu následující pozorování:
-
-\s{Pozorování:}
-Pøedstavme si, ¾e automat u¾ máme hotový a~tím, ¾e budeme sledovat jeho chování, chceme zjistit, jak v~nìm vedou zpìtné hrany.
-Vezmìme si nìjaký stav~$\beta$. To, kam z~nìj vede zpìtná hrana zjistíme tak, ¾e spustíme automat na~øetìzec $\beta$~bez prvního písmenka a~stav, ve~kterém se automat zastaví, je pøesnì ten, kam má vést i~zpìtná hrana z~$\beta$. Jinými slovy víme, ¾e $z(\beta) = \alpha (\beta[1:])$.
-Proè takováto vìc funguje? V¹imìme si, ¾e definice $z$ a~to, co nám o~$\alpha$ øíká invariant, je témìø toto¾né -- $z(\beta)$ je nejdel¹í vlastní suffix $\beta$, který je stavem, $\alpha(\beta)$ je nejdel¹í suffix $\beta$, který je stavem. Jediná odli¹nost je v~tom, ¾e definice $z$ narozdíl od~definice $\alpha$ zakazuje nevlastní suffixy. Jak nyní vylouèit suffix $\beta$, který by byl roven $\beta$ samotné? Zkrátíme $\beta$ o~první znak. Tím pádem v¹echny suffixy $\beta$ bez prvního znaku jsou stejné jako v¹echny vlastní suffixy $\beta$.
-
-K èemu je toto pozorování dobré? Rozmysleme si, ¾e pomocí nìj u¾ doká¾eme zkonstruovat zpìtné hrany. Není to ale trochu divné, kdy¾ pøi simulování automatu na~øetìzec bez prvního znaku u¾ zpìtné hrany potøebujeme? Není. Za chvíli zjistíme, ¾e takto mù¾eme zji¹»ovat zpìtné hrany postupnì -- a~to tak, ¾e pou¾íváme v¾dy jenom ty, které jsme u¾ sestrojili.
-
-Takovémuhle pøístupu, kdy pøi konstruování chtìného u¾ pou¾íváme to, co chceme sestrojit, ale pouze ten kousek, který ji¾ máme hotový, se v~angliètinì øíká {\I bootstrapping}\foot{Z~tohoto slova vzniklo i~{\I bootování} poèítaèù, kdy operaèní systém v~podstatì zavádí sám sebe. Bootstrap znamená èesky ¹truple -- tedy oèko na~konci boty, které slou¾í k~usnadnìní nazouvání. A~jak souvisí ¹truple s~algoritmem? To se zase musíme vrátit k~pøíbìhùm o~baronu Prá¹ilovi, mezi nimi¾ je i~ten, ve~kterém baron Prá¹il vypráví o~tom, jak sám sebe vytáhl z~ba¾iny za ¹truple. Stejnì tak i~my budeme algoritmus konstruovat tím, ¾e se budeme sami vytahovat za ¹truple, tedy bootstrappovat.}.
-V¹imnìme si, ¾e pøi výpoètu se vstupem $\beta$ projde automat jenom prvních $\vert \beta \vert$ stavù. Automat se evidentnì nemù¾e dostat dál, proto¾e na~ka¾dý krok dopøedu (doprava) spotøebuje písmenko $\beta$. Tak¾e krokù doprava je maximálnì tolik, kolik je $\vert \beta \vert$. Jinými slovy kdybychom ji¾ mìli zkonstruované zpìtné hrany pro prvních $\vert \beta \vert$ stavù (tedy $0 \dots \vert \beta \vert - 1$), tak pøi tomto výpoètu, který potøebujeme na~zkonstruování zpìtné hrany z~$\beta$, je¹tì tuto zpìtnou hranu nemù¾eme potøebovat. Vystaèíme si s~tìmi, které ji¾ máme zkonstruované.
+Jen musíme opravit drobnou chybu -- tìsnì poté, co ohlásíme výskyt, se
+algoritmus zeptá na~dopøednou hranu z~posledního stavu. Ta ale
+neexistuje. Napravíme to jednodu¹e: pøidáme fiktivní dopøednou hranu,
+na~ní¾ je napsán znak odli¹ný od~v¹ech skuteèných znakù. Tím zajistíme,
+¾e se po této hranì nikdy nevydáme. Staèí tedy vhodnì dodefinovat $\iota[i]$.%
+\foot{V jazyce C mù¾eme zneu¾ít toho, ¾e ka¾dý øetìzec je ukonèen znakem
+s~nulovým kódem.}
-Nabízí se tedy zaèít zpìtnou hranou z~prvního znaku (která vede evidentnì do~$\varepsilon$), pak postupnì brát dal¹í stavy a~pro ka¾dý z~nich si spoèítat, kdy spustíme automat na~jméno stavu bez prvního znaku a~tím získáme dal¹í zpìtnou hranu. Toto funguje, ale je to kvadratické \dots. Máme toti¾ $J$ stavù a~pro ka¾dý z~nich nám automat bì¾í v~èase a¾ lineárním s~$J$. Jak z~toho ven?
+\s{Lemma:} Funkce \<Hledej> bì¾í v~èase $\O(S)$.
-Z~prvního stavu povede zpìtná funkce do~$\varepsilon$. Pro dal¹í stavy chceme spoèítat zpìtnou funkci. Z~druhého stavu $\iota[0:2]$ tedy automat spustíme na~$\iota[1:2]$, dále pak na~$\iota[1:3]$, $\iota[1:4]$, atd. Ty øetìzce, pro které potøebujeme spo¹tìt automat, abychom dostali zpìtné hrany, jsou tedy ve~skuteènosti takové, ¾e ka¾dý dal¹í dostaneme roz¹íøením pøedchozího o~jeden znak. To jsou ale pøesnì ty stavy, kterými projde automat pøi zpracovávání øetìzce $\iota$ od~prvního znaku dál. Jedním prùchodem automatu nad jehlou bez prvního písmenka se tím pádem rovnou dozvíme v¹echny údaje, které potøebujeme.
-Z~pøedchozího pozorování plyne, ¾e nikdy nebudeme potøebovat zpìtnou hranu, kterou jsme je¹tì nezkonstruovali a~jeliko¾ víme, ¾e jedno prohledání trvá lineárnì s~délkou toho, v~èem hledáme, tak toto celé pobì¾í v~lineárním èase. Dostaneme tedy následující algoritmus:
+\proof
+Výpoèet funkce mù¾eme rozdìlit na prùchody dopøednými a zpìtnými hranami.
+S~dopøednými je to snadné -- za~ka¾dý z~$S$ znakù sena projdeme po nejvý¹e
+jedné dopøedné hranì. To o~zpìtných hranách neplatí, ale pomù¾e nám, ¾e ka¾dá
+dopøedná hrana vede o~právì~1 stav doprava a ka¾dá zpìtná o~aspoò~1 stav
+doleva. Proto je v¹ech prùchodù po~zpìtných hranách nejvý¹e tolik, kolik
+jsme pro¹li dopøedných hran, tak¾e také nejvý¹e~$S$.
+\qed
-\s{Konstrukce zpìtné funkce:}
+\s{Konstrukce automatu:}
+Algoritmus je tedy lineární, ale potøebuje, aby mu nìkdo zkonstruoval
+automat. Dopøedné hrany vytvoøíme snadno, ale jak si poøídit ty zpìtné?
+
+Podnikneme my¹lenkový pokus: Pøedstavme si, ¾e automat u¾ máme hotový, ale nevidíme,
+jak vypadá uvnitø. Chtìli bychom zjistit, jak v~nìm vedou zpìtné hrany, ov¹em jediné,
+co umíme, je spustit automat na nìjaký øetìzec a zjistit, v~jakém stavu skonèil.
+
+Tvrdíme, ¾e pro zji¹tìní zpìtné hrany ze~stavu~$\alpha$ staèí automatu pøedlo¾it
+øetìzec $\alpha[1:{}]$. Definice zpìtné funkce je toti¾ nápadnì podobná invariantu,
+který jsme o~funkci \<Hledej> dokázali. Obojí hovoøí o~nejdel¹ím suffixu daného
+slova, který je prefixem jehly. Jediný rozdíl je v~tom, ¾e v~pøípadì zpìtné funkce
+uva¾ujeme pouze vlastní suffixy, zatímco invariant pøipou¹tí i nevlastní. To ov¹em
+snadno vyøe¹íme \uv{ukousnutím} prvního znaku jména stavu.
+
+Pokud chceme objevit v¹echny zpìtné hrany, staèí automat spou¹tìt postupnì
+na øetìzce $\iota[1:1]$, $\iota[1:2]$, $\iota[1:3]$, atd. Jeliko¾ funkce \<Hledej>
+je lineární, stálo by nás to dohromady $\O(J^2)$. Pokud si ale v¹imneme, ¾e ka¾dý
+ze~zmínìných øetìzcù je prefixem toho následujícího, je jasné, ¾e staèí spustit
+automat jen jednou na øetìzec $\iota[1:{}]$ a jen zaznamenávat, kterými stavy
+jsme pro¹li.
+
+To je zajímavé pozorování, øeknete si, ale jak nám pomù¾e ke~konstrukci automatu,
+kdy¾ samo u¾ hotový automat potøebuje? Pomù¾e pìkný trik: pokud hledáme zpìtnou
+hranu z~$I$-tého stavu, spou¹tíme automat na slovo délky~$I-1$, tak¾e se mù¾eme
+dostat pouze do prvních~$I-1$ stavù a vùbec nám nevadí, ¾e v~tom $I$-tém je¹tì
+není zpìtná hrana hotova.%
+\foot{Konstruovat nìjaký objekt pomocí tého¾ objektu je osvìdèený postup, který
+si u¾ vyslou¾il i svùj vlastní název. V~angliètinì se mu øíká {\I bootstrapping}
+a z~tohoto názvu vzniklo i bootování poèítaèù, proto¾e pøi nìm operaèní systém
+vlastnì do pamìti zavádí sám sebe. Kde se toto slovo vzalo? Bootstrap znamená èesky
+{\I ¹truple} -- to je takové to oèko na patì boty, které usnadòuje nazouvání.
+A~v~jednom z~pøíbìhù o~baronu Prá¹ilovi sly¹íme barona vyprávìt, jak se uvíznuv
+v~ba¾inì zachránil tím, ¾e se vytáhl za ¹truple. Krásný popis bootování, není-li¾
+pravda?}
+
+Konstrukce automatu tedy bude vypadat tak, ¾e nejdøíve sestrojíme pouze dopøedné
+hrany, pak rozpracovaný automat spustíme na øetìzec $\iota[1:{}]$ a podle toho,
+jakými stavy prochází, doplòujeme zpìtné hrany. A~jeliko¾ vyhledávání je lineární,
+celá konstrukce trvá $\O(J)$.
+
+Hotový algoritmus mù¾eme zapsat následovnì:
+
+\s{Konstrukce zpìtných hran:}
\algo
\:$Z[0] \leftarrow ?$, $Z[1] \leftarrow 0$.
\:$I \leftarrow 0$.
-\:Pro $k = 2 \dots J$:
-\::$I \leftarrow \<Krok>( I , \iota [k])$.
-\::$Z[k] \leftarrow I$.
+\:Pro $K = 2, \ldots, J-1$:
+\::$I \leftarrow \<Krok>(I, \iota[K])$.
+\::$Z[K] \leftarrow I$.
\endalgo
-Zaèínáme tím, ¾e nastavíme zpìtnou hranu z~prvních dvou stavù, pøièem¾ $z[0]$ je nedefinované, proto¾e tuto zpìtnou hranu nikdy nepou¾íváme. Dále postupnì simulujeme výpoèet automatu nad slovem bez prvního znaku a~po ka¾dém kroku se dozvíme novou zpìtnou hranu. {\I Krokem} automatu pak není nic jiného ne¾ vnitøek (3. a~4. bod) na¹í hledací procedury. To, kam jsme se dostali, pak zaznamenáme jako zpìtnou funkci z~$k$.
-Èili pou¹tíme automat na~jehlu bez prvního písmenka, provedeme v¾dy jeden krok automatu (pøes dal¹í písmenko jehly) a~zapamatujeme si, jakou zpìtnou funkci jsme zrovna dostali. Díky pozorováním navíc víme, ¾e zpìtné hrany konstruujeme správnì, nikdy nepou¾ijeme zpìtnou hranu, kterou jsme je¹tì nesestrojili a~víme i~to, ¾e celou konstrukci zvládneme v~lineárním èase s~délkou jehly.
+A~jsme hotovi výsledky shrnout do následující vìty:
\s{Vìta:} Algoritmus KMP najde v¹echny výskyty v~èase $O(J+S)$.
\proof
-Lineární èas s~délkou jehly potøebujeme na~postavení automatu, lineární èas s~délkou sena pak potøebujeme na~samotné vyhledání.
-
-\h{Rabinùv-Karpùv algoritmus}
-
-Nyní si uká¾eme je¹tì jeden algoritmus na~hledání jedné jehly, který nebude mít v~nejhor¹ím pøípadì lineární slo¾itost, ale bude ji mít prùmìrnì. Bude daleko jednodu¹¹í a~uká¾e se, ¾e je v~praxi daleko rychlej¹í. Bude to algoritmus zalo¾ený na~hashování.
-
-
-Pøedstavme si, ¾e máme seno délky $S$ a~jehlu délky $J$, a~vezmìme si nìjakou hashovací funkci, které dáme na~vstup $J$-tici znakù (tedy podslova dlouhá jako jehla). Tato hashovací funkce nám je pak zobrazí do~mno¾iny $\{0,\ldots,N-1\}$ pro nìjaké dost velké~$N$. Jak nám toto pomù¾e pøi hledání jehly? Vezmeme si libovolné \uv{okénko} délky $J$ a~ne¾ budeme zji¹»ovat, zda se v~nìm jehla vyskytuje, tak si spoèítáme hashovací funkci a~porovnáme ji s~hashem jehly. Èili ptáme se, jestli je hash ze sena od~nìjaké pozice $I$ do~pozice $I+J$ roven hashi jehly -- formálnì: $h(\sigma [I: I+J ]) = h(\iota)$. Teprve tehdy, kdy¾ zjistíme, ¾e se hodnota hashovací fce shoduje, zaèneme doopravdy porovnávat øetìzce.
-
-Není to ale nìjaká hloupost? Mù¾e nám vùbec takováto konstrukce pomoci? Není to tak, ¾e na~spoèítání hashovací funkce z~$J$ znakù, potøebujeme tìch $J$ znakù pøeèíst, co¾ je stejnì rychlé, jako rovnou øetìzce porovnávat? Pou¾ijeme trik, který bude spoèívat v~tom, ¾e si zvolíme ¹ikovnou hashovací funkci. Udìláme to tak, abychom ji mohli pøi posunutí \uv {okénka} o~jeden znak doprava v~konstantním èase pøepoèítat. Chceme umìt z~$h(x_1 \dots x_j)$ spoèítat $h(x_2 \dots x_{j+1})$.
-Na~zaèátku si tedy spoèítáme hash jehly a~první $J$-tice znakù sena. Pak ji¾ jenom posouváme \uv {okénko} o~jedna, pøepoèítáme hashovací funkci a~kdy¾ se shoduje s~hashem jehly, tak porovnáme. Budeme pøitom vìøit tomu, ¾e pokud se tam jehla nevyskytuje, pak máme hashovací funkci natolik rovnomìrnou, ¾e pravdìpodobnost toho, ¾e se pøesto strefíme do~hashe jehly, je $1/N$. Jinými slovy jenom v~jednom z~øádovì $N$ pøípadù budeme porovnávat fale¹nì -- tedy provedeme porovnání a~vyjde nám, ¾e výsledek je neshoda. V~prùmìrném pøípadì tedy mù¾eme stlaèit slo¾itost a¾ témìø k~lineární.
-
-Podívejme se teï na~prùmìrnou èasovou slo¾itost. Budeme urèitì potøebovat èas na~projití jehly a~sena. Navíc strávíme nìjaký èas nad fale¹nými porovnáními, kterých bude v~prùmìru na~ka¾dý $N$-tý znak sena jedno porovnání s~jehlou -- tedy $SJ / N$, pøièem¾ $N$ mù¾eme zvolit dost velké na~to, abychom tento èlen dostali pod nìjakou rozumnou konstantu... Nakonec budeme potøebovat jedno porovnání na~ka¾dý opravdový výskyt, èemu¾ se nevyhneme. Pøipoèteme tedy je¹tì $J \cdot$ {\I $\sharp$výskytù}. Dostáváme tedy: $ \O(J+S+SJ/N+J \cdot$ {\I $\sharp$výskytù}).
-
-Zbývá malièkost -- toti¾ kde vzít hashovací funkci, která toto v¹e splòuje. Jednu si uká¾eme. Bude to vlastnì takový hezký polynom:
-$$h(x_1 \dots x_j) := \left(\sum_{I=1}^{J} x_I \cdot p^{J-I}\right) \bmod N.$$
-Jinak zapsáno se tedy jedná o:
-$$(x_1 \cdot p^{J-1} + x_2 \cdot p^{J-2} + \dots + x_J \cdot p^0 ) \bmod N.$$
-Po posunutí okénka o~jedna chceme dostat:
-$$(x_2 \cdot p^{J-1} + x_3 \cdot p^{J-2} + \dots + x_J \cdot p^1 + x_{J+1} \cdot p^0 ) \bmod N.$$
-Kdy¾ se ale podíváme na~èleny tìchto dvou polynomù, zjistíme, ¾e se li¹í jen o~málo. Pùvodní polynom staèí pøenásobit~$p$, odeèíst první èlen s~$x_1$ a~naopak pøièíst chybìjící èlen $x_{J+1}$. Dostáváme tedy:
-$$h(x_2 \dots x_{J+1}) = (p \cdot h(x_1 \dots x_J) - x_1 \cdot p^J + x_{J+1}) \bmod N.$$
-Pøepoèítání hashovací funkce tedy není nic jiného, ne¾ pøenásobení té minulé~$p$, odeètení nìjakého násobku toho znaku, který vypadl z~okénka, a~pøiètení toho znaku, o~který se okénko posunulo. Pokud tedy máme k~dispozici aritmetické operace v~konstantním èase, zvládneme konstantnì pøepoèítávat i~hashovací funkci.
-
-Tato hashovací funkce se dokonce nejen hezky poèítá, ale dokonce se i~opravdu \uv{hezky} chová (tedy \uv{rozumnì} náhodnì), pokud zvolíme vhodné~$p$. To bychom mìli zvolit tak, aby bylo rozhodnì nesoudìlné s~$N$ -- tedy $\<NSD>(p, N) = 1$. Aby se nám navíc dobøe projevilo modulo obsa¾ené v~hashovací funkci, mìlo by být~$p$ relativnì velké (lze dopoèítat, ¾e optimum je mezi $2/3 \cdot N$ a~$3/4 \cdot N$). S~takto zvoleným~$p$ se tato hashovací funkce chová velmi pøíznivì a~v~praxi má celý algoritmus takøka lineární èasovou slo¾itost (prùmìrnou).
+Lineární èas s~délkou jehly potøebujeme na~postavení automatu, lineární èas
+s~délkou sena pak potøebujeme na~samotné vyhledání.
+\qed
\h{Hledání více øetìzcù najednou}
Nyní si zahrajeme tuté¾ hru, ov¹em v~trochu slo¾itìj¹ích kulisách. Podíváme se na~algoritmus, který si poradí i~s více ne¾ jednou jehlou.
Je¹tì se na~závìr zamysleme, jak bychom si takový automat ukládali do~pamìti. Urèitì se nám bude hodit si stavy nìjak oèíslovat (tøeba v~poøadí, v~jakém budou vznikat). Potom funkce pro zpìtné a~zkratkové hrany mohou být reprezentované polem indexovaným èíslem stavu. Funkce {\I Slovo}, která øíká, jaké slovo ve~stavu konèí, zase mù¾e být pole indexované stavem, které nám øekne poøadové èíslo slova ve~slovníku. Pro dopøedné hrany v~ka¾dém vrcholu pak mù¾eme mít pole indexované písmenky abecedy, které nám pro ka¾dé písmenko øekne, buï ¾e taková hrana není, nebo nám øekne, kam tato hrana vede. Je vidìt, ¾e takovéto pole se hodí pro pomìrnì malé abecedy. U¾ pro abecedu A-Z~bude velikosti 26 a~z~vìt¹iny bude prázdné, tak¾e bychom plýtvali pamìtí. V praxi se proto èasto pou¾ívá hashovací tabulka. Pøípadnì bychom mohli mít i~jen jednu velkou spoleènou hashovací tabulku, která bude reprezentovat funkci celou, ve~které budou zahashované dvojice (stav, písmenko). Tìchto dvojic je evidentnì tolik, kolik hran stromu, èili lineárnì s~velikostí slovníku, a~je to asi nejkompaktnìj¹í reprezentace.
+\h{Rabinùv-Karpùv algoritmus}
+
+Nyní si uká¾eme je¹tì jeden algoritmus na~hledání jedné jehly, který nebude mít v~nejhor¹ím pøípadì lineární slo¾itost, ale bude ji mít prùmìrnì. Bude daleko jednodu¹¹í a~uká¾e se, ¾e je v~praxi daleko rychlej¹í. Bude to algoritmus zalo¾ený na~hashování.
+
+
+Pøedstavme si, ¾e máme seno délky $S$ a~jehlu délky $J$, a~vezmìme si nìjakou hashovací funkci, které dáme na~vstup $J$-tici znakù (tedy podslova dlouhá jako jehla). Tato hashovací funkce nám je pak zobrazí do~mno¾iny $\{0,\ldots,N-1\}$ pro nìjaké dost velké~$N$. Jak nám toto pomù¾e pøi hledání jehly? Vezmeme si libovolné \uv{okénko} délky $J$ a~ne¾ budeme zji¹»ovat, zda se v~nìm jehla vyskytuje, tak si spoèítáme hashovací funkci a~porovnáme ji s~hashem jehly. Èili ptáme se, jestli je hash ze sena od~nìjaké pozice $I$ do~pozice $I+J$ roven hashi jehly -- formálnì: $h(\sigma [I: I+J ]) = h(\iota)$. Teprve tehdy, kdy¾ zjistíme, ¾e se hodnota hashovací fce shoduje, zaèneme doopravdy porovnávat øetìzce.
+
+Není to ale nìjaká hloupost? Mù¾e nám vùbec takováto konstrukce pomoci? Není to tak, ¾e na~spoèítání hashovací funkce z~$J$ znakù, potøebujeme tìch $J$ znakù pøeèíst, co¾ je stejnì rychlé, jako rovnou øetìzce porovnávat? Pou¾ijeme trik, který bude spoèívat v~tom, ¾e si zvolíme ¹ikovnou hashovací funkci. Udìláme to tak, abychom ji mohli pøi posunutí \uv {okénka} o~jeden znak doprava v~konstantním èase pøepoèítat. Chceme umìt z~$h(x_1 \dots x_j)$ spoèítat $h(x_2 \dots x_{j+1})$.
+Na~zaèátku si tedy spoèítáme hash jehly a~první $J$-tice znakù sena. Pak ji¾ jenom posouváme \uv {okénko} o~jedna, pøepoèítáme hashovací funkci a~kdy¾ se shoduje s~hashem jehly, tak porovnáme. Budeme pøitom vìøit tomu, ¾e pokud se tam jehla nevyskytuje, pak máme hashovací funkci natolik rovnomìrnou, ¾e pravdìpodobnost toho, ¾e se pøesto strefíme do~hashe jehly, je $1/N$. Jinými slovy jenom v~jednom z~øádovì $N$ pøípadù budeme porovnávat fale¹nì -- tedy provedeme porovnání a~vyjde nám, ¾e výsledek je neshoda. V~prùmìrném pøípadì tedy mù¾eme stlaèit slo¾itost a¾ témìø k~lineární.
+
+Podívejme se teï na~prùmìrnou èasovou slo¾itost. Budeme urèitì potøebovat èas na~projití jehly a~sena. Navíc strávíme nìjaký èas nad fale¹nými porovnáními, kterých bude v~prùmìru na~ka¾dý $N$-tý znak sena jedno porovnání s~jehlou -- tedy $SJ / N$, pøièem¾ $N$ mù¾eme zvolit dost velké na~to, abychom tento èlen dostali pod nìjakou rozumnou konstantu... Nakonec budeme potøebovat jedno porovnání na~ka¾dý opravdový výskyt, èemu¾ se nevyhneme. Pøipoèteme tedy je¹tì $J \cdot$ {\I $\sharp$výskytù}. Dostáváme tedy: $ \O(J+S+SJ/N+J \cdot$ {\I $\sharp$výskytù}).
+
+Zbývá malièkost -- toti¾ kde vzít hashovací funkci, která toto v¹e splòuje. Jednu si uká¾eme. Bude to vlastnì takový hezký polynom:
+$$h(x_1 \dots x_j) := \left(\sum_{I=1}^{J} x_I \cdot p^{J-I}\right) \bmod N.$$
+Jinak zapsáno se tedy jedná o:
+$$(x_1 \cdot p^{J-1} + x_2 \cdot p^{J-2} + \dots + x_J \cdot p^0 ) \bmod N.$$
+Po posunutí okénka o~jedna chceme dostat:
+$$(x_2 \cdot p^{J-1} + x_3 \cdot p^{J-2} + \dots + x_J \cdot p^1 + x_{J+1} \cdot p^0 ) \bmod N.$$
+Kdy¾ se ale podíváme na~èleny tìchto dvou polynomù, zjistíme, ¾e se li¹í jen o~málo. Pùvodní polynom staèí pøenásobit~$p$, odeèíst první èlen s~$x_1$ a~naopak pøièíst chybìjící èlen $x_{J+1}$. Dostáváme tedy:
+$$h(x_2 \dots x_{J+1}) = (p \cdot h(x_1 \dots x_J) - x_1 \cdot p^J + x_{J+1}) \bmod N.$$
+Pøepoèítání hashovací funkce tedy není nic jiného, ne¾ pøenásobení té minulé~$p$, odeètení nìjakého násobku toho znaku, který vypadl z~okénka, a~pøiètení toho znaku, o~který se okénko posunulo. Pokud tedy máme k~dispozici aritmetické operace v~konstantním èase, zvládneme konstantnì pøepoèítávat i~hashovací funkci.
+
+Tato hashovací funkce se dokonce nejen hezky poèítá, ale dokonce se i~opravdu \uv{hezky} chová (tedy \uv{rozumnì} náhodnì), pokud zvolíme vhodné~$p$. To bychom mìli zvolit tak, aby bylo rozhodnì nesoudìlné s~$N$ -- tedy $\<NSD>(p, N) = 1$. Aby se nám navíc dobøe projevilo modulo obsa¾ené v~hashovací funkci, mìlo by být~$p$ relativnì velké (lze dopoèítat, ¾e optimum je mezi $2/3 \cdot N$ a~$3/4 \cdot N$). S~takto zvoleným~$p$ se tato hashovací funkce chová velmi pøíznivì a~v~praxi má celý algoritmus takøka lineární èasovou slo¾itost (prùmìrnou).
+
%% Cvièení: velké abecedy
\bye
projects / ads2.git / blobdiff