+\s{Lemma N (Nenasycená pøevedení):} Poèet v¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2M)$.
+
+\proof
+Dùkaz provedeme pomocí potenciálu -- nadefinujme si následující funkci jako potenciál:
+ $$ \psi := \sum_{\scriptstyle{v: f^{\Delta}(v) > 0} \atop \scriptstyle{v \ne z,s}} h(v). $$
+Nyní se podívejme, jak se ná¹ potenciál bìhem algoritmu vyvíjí a jaké má vlastnosti:
+\itemize\ibull
+\:Bìhem celého algoritmu je $ \psi \ge 0 $, nebo» je souètem nezáporných èlenù.
+\:Na poèátku je $ \psi = 0 $.
+\:Zvednutí vrcholu zvý¹í $\psi$ o~jednièku. Ji¾ víme, ¾e za~celý prùbìh algoritmu je v¹ech zvednutí maximálnì $2N^2$, proto zvedáním vrcholù zvý¹íme potenciál dohromady nejvý¹e o~$2N^2$.
+\:Nasycené pøevedení zvý¹í $\psi$ nejvý¹e o~$2N$, proto¾e buï po~pøevodu hranou $uv$ v~$u$ zùstal nìjaký pøebytek, tak¾e se mohl potenciál zvý¹it a¾ o~$2N$, nebo je pøebytek v~$u$ po~pøevodu nulový a potenciál se dokonce o~jedna sní¾il. Za~celý prùbìh tak dojde k~maximálnì $NM$ takovýmto pøevedením, díky nim¾ se potenciál zvý¹í maximálnì o~$2N^2M$.
+\:Koneènì kdy¾ pøevádíme po~hranì $uv$ nenasycenì, tak od~potenciálu urèitì odeèteme vý¹ku vrcholu~$u$ a mo¾ná pøièteme vý¹ku vrcholu~$v$. Jen¾e $h(v) = h(u) - 1$, a proto nenasycené pøevedení potenciál v¾dy sní¾í alespoò o~jedna.
+\endlist
+
+\>Z~tohoto rozboru chování potenciálu $\psi$ v~prùbìhu algoritmu získáváme, ¾e poèet v¹ech nenasycených pøevedení mù¾e být nejvý¹e $2N^2 + 2N^2M$, co¾ je $\O(N^2M)$.
+\qed
+
+\s{Implementace:}
+Budeme si pamatovat seznam $P$ v¹ech vrcholù $v \ne z,s$ takových, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. Kdy¾ mìníme pøebytek nìjakého vrcholu, mù¾eme ná¹ seznam v~konstantním èase aktualizovat (napø. tak, ¾e si ka¾dý vrchol pamatuje pozici, na~které v~seznamu je). A v~konstantním èase také umíme odpovìdìt, zda existuje nìjaký vrchol s~pøebytkem. Dále si $\forall u \in V$ budeme pamatovat $L(u) := $ seznam $uv \in E$ takových, ¾e $r(uv) > 0$ a $h(v) < h(u)$. Díky tomu mù¾eme pøistupovat k~patøièným sousedùm $u$ v~èase $\O(1)$, stejnì jako provádìt operace pøidání do~$L(u)$, resp. smazání v~nìm. Ka¾dé pøevedení po~hranì $uv$ nás stojí konstantní èas na~aktualizaci rezerv hran $uv$ a $vu$, stejnì tak i na aktualizaci pøebytkù ve~vrcholech $u$ a $v$. V~pøípadì, ¾e se jedná o~nasycené pøevedení, musíme je¹tì odstranit hranu~$uv$ z~$L(u)$, co¾ také stihneme v~èase $\O(1)$. A koneènì zvedání vrcholu~$v$ nám zabere èas $\O(N)$, proto¾e musíme obejít v¹echny hrany~$uv$, kterých je $\O(N)$, porovnat vý¹ky a pøípadnì odebrat $uv$ z~seznamu $L(u)$ resp. pøidat do $L(v)$. Abychom pro odebrání hrany~$uv$ ze~seznamu $L(u)$ nemuseli procházet celý seznam, budeme si $\forall v \in V$ pamatovat je¹tì $L^{-1}(v) := $ seznam ukazatelù na~hrany~$uv$ v~seznamech $L(u)$.
+
+\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(N^2M)$.
+
+\proof
+Z~lemmatu~Z vyplývá, ¾e celkový poèet zvednutí je maximálnì $2N^2$, pøièem¾ ka¾dé zvednutí jsme schopni provést v~èase $\O(N)$. Tak¾e dohromady pro~zvedání spotøebujeme èas $\O(N^3)$, co¾ je pro souvislé sítì urèitì $\O(N^2M)$. Z~lemmatu~S pro~zmìnu vyplývá, ¾e nasycená pøevedení nás stojí $\O(NM)$, a na~závìr z~lemmatu~N dostáváme èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro~pøevedení nenasycená. Proto celková slo¾itost algoritmu je $\O(N^2M)$.
+\qed %todo ? pro zmìnu vs. prozmenu ?
+
+Dokázali jsme, ¾e algoritmus má èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro libovolnou posloupnost zvedání a pøevádìní. Nabízí se otázka, zda není mo¾né vhodným výbìrem tìchto operací výpoèet zrychlit. Uká¾eme, ¾e pokud v~$5.$ kroku algoritmu budeme v¾dy brát vrchol~$u$ takový, ¾e $h(u)$ je maximální, poèet nenasycených pøevedení se sní¾í.
+
+\s{Lemma N':} Poèet nenasycených pøevedení v~upravené verzi Goldbergova algoritmu je $\O(N^2\sqrt{M})$, co¾ je maximálnì $\O(N^3)$. Díky tomu je i slo¾itost celého algoritmu $\O(N^3)$.
+
+\proof
+Viz pøí¹tí pøedná¹ku.