Na~minulé pøedná¹ce jsme si~ukázali Fordùv-Fulkersonùv algoritmus. Tento algoritmus hledal maximální tok tak, ¾e zaèal s~tokem nulovým a~postupnì ho zvìt¹oval. Pro~ka¾dé zvìt¹ení potøeboval v~síti najít cestu, na~které mají v¹echny hrany kladnou rezervu (po takovéto cestì mù¾eme poslat více, ne¾ po~ní aktuálnì teèe). Ukázali jsme, ¾e pokud takováto cesta existuje, jde tok vylep¹it (zvìt¹it). Zároveò pokud tok jde vylep¹it, pak takováto cesta existuje. Dokázali jsme, ¾e pro~racionální kapacity je algoritmus koneèný a~najde maximální tok.
-Forudùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus, který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù\dots Budeme k~tomi potøebovat sí» rezerv.
+Fordùv-Fulkersonùv algoritmus má ov¹em znaèné nevýhody. Funguje pouze pro~racionální kapacity a~je pomìrnì pomalý. Nyní si~uká¾eme jiný algoritmus, který nevylep¹uje tok pomocí cest, ale pomocí tokù\dots Budeme k~tomu potøebovat sí» rezerv.
-\s{Definice:} Sí» rezerv k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R=(S,f)=(V,E,z,s,r)$, kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ v~toku~$f$.
+\s{Definice:} {\I Sí» rezerv} k~toku~$f$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ je sí» $R=(S,f)=(V,E,z,s,r)$, kde~$r(e)$ je rezerva hrany~$e$ v~toku~$f$.
\s{Konvence:} Pro~hranu~$e$ znaèí~$\overleftarrow{e}$ hranu opaènou. Napø. pokud $e=uv$, tak $\overleftarrow{e}=vu$.
-Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv je závislá jak na~pùvodní síti~$S$, tak na~nìjakém toku~$f$ v~síti~$S$. Sí» rezerv~$R$ se~pak od sítì~$S$ li¹í pouze kapacitami -- sí»~$R$ má jako kapacitu hrany rezervu hrany. Pro~pøipomenutí: rezervu hrany~$e$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ s~tokem~$f$ jsme si~definovali jako $r(e)=c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$.
+Je dùle¾ité si~uvìdomit, ¾e sí» rezerv je závislá jak na~pùvodní síti~$S$, tak na~nìjakém toku~$f$ v~síti~$S$. Sí» rezerv~$R$ se~pak od sítì~$S$ li¹í pouze kapacitami -- sí»~$R$ má jako kapacitu hrany rezervu hrany v pùvodní síti. Pro~pøipomenutí: rezervu hrany~$e$ v~síti $S=(V,E,z,s,c)$ s~tokem~$f$ jsme si~definovali jako $r(e)=c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$.
-Ne¾ si~uká¾eme samotný algoritmus, doká¾eme si~následující lemma.
+Ne¾ si~uká¾eme samotný algoritmus, doká¾eme si~následující lemma.
\s{Lemma:} Pro~ka¾dý tok~$f$ v~síti~$S$ a~pro~ka¾dý tok~$g$ v~síti $R=(S,f)$ lze v~èase $\O(m)$ nalézt tok~$f'$ v~síti~$S$ takový, ¾e $\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$.
\>{\it 1. konstrukce~$f'$}
-Pro ka¾dou dvojici hran~$e, \overleftarrow{e}$ urèíme~$f'(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e})$.
+\noindent
+Pro ka¾dou dvojici hran~$e, \overleftarrow{e}$ urèíme~$f'(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e})$ následovnì:
\itemize\ibull
-\:Pokud~$g(e) = g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak nastavme
+\:Pokud~$g(e) = g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak nastavme:
\itemize\ibull
- \:$f'(e) := f(e)$
+ \:$f'(e) := f(e)$,
\:$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e})$.
\endlist
-\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak polo¾me
+\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) = 0$, pak polo¾me:
\itemize\ibull
- \:$\varepsilon := \min (g(e), f(\overleftarrow{e}))$
- \:$f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$
+ \:$\varepsilon := \min (g(e), f(\overleftarrow{e}))$,
+ \:$f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$,
\:$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon$.
\endlist
-
-\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) > 0$, pak polo¾me
+
+\:Pøípad~$g(e) = 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) > 0$ vyøe¹íme obdobnì.
+
+\:Pokud~$g(e) > 0$ a~$g(\overleftarrow{e}) > 0$, pak odeèteme od toku~$g$ cirkulaci po cyklu tvoøeném hranami~$e$ a $\overleftarrow{e}$:
\itemize\ibull
- \:$\delta := \min (g(e),g(\overleftarrow{e}))$
- \:$g'(e) := g(e) - \delta$
+ \:$\delta := \min (g(e),g(\overleftarrow{e}))$,
+ \:$g'(e) := g(e) - \delta$,
\:$g'(\overleftarrow{e}) := g(\overleftarrow{e}) - \delta$.
\endlist
- A tímto jsme to pøevedli na~pøedchozí pøípad, který u¾ umíme vyøe¹it.
+ A tímto jsme to pøevedli na~nìkterý z~pøedchozích pøípadù, které u¾ umíme vyøe¹it.
\endlist
\numlist{\ndotted}
-\:Nejdøíve ovìøme první podmínku: $\forall e \in E: 0 \leq f(e) \leq c(e)$. Vezmìme lib. hranu~$e \in E$. Podle toho, co teèe po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ v~toku~$g$ jsme rozdìlili konstrukci toku na~tøi pøípady:
+\:Nejdøíve ovìøme první podmínku: $\forall e \in E: 0 \leq f(e) \leq c(e)$. Vezmìme libovolnou hranu~$e \in E$. Podle toho, co teèe po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ v~toku~$g$, jsme rozdìlili konstrukci toku na~tøi pøípady:
\numlist{\ndotted}
- \:Pokud po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ netekl ¾ádný tok~$g$, pak jsme nastavili $f'(e) := f(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e})$. Tedy pokud~$f$ dodr¾oval kapacity, tak pro~$f'$ musí platit to samé.
+ \:Pokud po~hranách~$e$ a~$\overleftarrow{e}$ netekl ¾ádný tok~$g$, pak jsme nastavili $f'(e) := f(e)$ a~$f'(\overleftarrow{e}) := f(\overleftarrow{e})$. Tedy pokud~$f$ dodr¾oval kapacity, tak pro~$f'$ musí platit to samé.
- \:Pokud po~hranì~$e$ tekl tok~$g$ nenulový a~po opaèné nulový, tak jsme zvolili: $f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$. Víme, ¾e jsme si~$\varepsilon$ vybrali tak, ¾e $\varepsilon \leq g(e)$. Proto $f'(e) \geq 0$.
+ \:Pokud po~hranì~$e$ tekl tok~$g$ nenulový a~po opaèné nulový, tak jsme zvolili: $f'(e) := f(e) + g(e) - \varepsilon$. Víme, ¾e jsme si~$\varepsilon$ vybrali tak, ¾e $\varepsilon \leq g(e)$. Proto $f'(e) \geq 0$.
- Teï ovìøme, ¾e $f'(e) \leq c(e)$. V~pøípadì, ¾e $\varepsilon = g(e)$, tak $f'(e) = f(e) \leq c(e)$. V~opaèném pøípadì platí, ¾e $\varepsilon = f(\overleftarrow{e})$. Pak ov¹em $$f'(e) = f(e) + g(e) - f(\overleftarrow{e}) \leq f(e) + \left[ c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e}) \right] - f(\overleftarrow{e}) = c(e).$$ Vyu¾ili jsme, ¾e~$g$ je tok v~síti rezerv, tedy $g(e) \leq c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$.
+ Teï ovìøme, ¾e $f'(e) \leq c(e)$. V~pøípadì, ¾e $\varepsilon = g(e)$, tak $f'(e) = f(e) \leq c(e)$. V~opaèném pøípadì platí, ¾e $\varepsilon = f(\overleftarrow{e})$. Pak ov¹em
+ $$f'(e) = f(e) + g(e) - f(\overleftarrow{e}) \leq $$
+ $$\leq f(e) + \left[ c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e}) \right] - f(\overleftarrow{e}) = c(e).$$
+ Vyu¾ili jsme, ¾e~$g$ je tok v~síti rezerv, tedy $g(e) \leq c(e) - f(e) + f(\overleftarrow{e})$.
Pro tok $f'(\overleftarrow{e})$ platí, ¾e $\varepsilon \leq f(\overleftarrow{e})$. Proto $f'(\overleftarrow{e}) = f(\overleftarrow{e}) - \varepsilon \geq 0$. Zároveò $f'(\overleftarrow{e}) \leq f'(\overleftarrow{e}) \leq c(\overleftarrow{e})$.
\:Teï musíme je¹tì dokázat, ¾e nový tok neporu¹uje Kirchhoffovy zákony: $$\forall v~\in V \setminus \{z,s\}: f'^\Delta(v)=0.$$
% neboli $$\forall v~\in V \setminus \{z,s\}: \sum_{u: uv \in E}{f'(uv)}=\sum_{u: vu \in E}{f'(vu)}.$$
- Vezmìme si~libovolnou hranu~$e \in E$, ¾e $e=uv$. Uvìdomme si, ¾e pøi~pøechodu z~$f(e)$ na~$f(\overleftarrow{e})$ a~z~$f'(e)$ na~$f'(\overleftarrow{e})$ bylo:
+ Vezmìme si~libovolnou hranu~$e = uv \in E$, ¾e $e=uv$. Uvìdomme si, ¾e pøi~pøechodu z~$f(e)$ na~$f'(e)$ a~z~$f(\overleftarrow{e})$ na~$f'(\overleftarrow{e})$ bylo:
\itemize\idot
\:$f^\Delta(u)$ sní¾eno o~$g(e)$
\:$f^\Delta(v)$ zvý¹eno o~$g(e)$.
\endlist
- Pak platí $$f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + \sum_{u:uv \in E} g(uv) - \sum_{u:vu \in E} g(vu) =$$ $$= f^\Delta(v) + g^+(v) - g^-(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v).$$
+ Seèteme-li úpravy na v¹ech hranách, dostaneme: $$f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + \sum_{u:uv \in E} g(uv) - \sum_{u:vu \in E} g(vu) =$$ $$= f^\Delta(v) + g^+(v) - g^-(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v).$$
- Jeliko¾~$f$ byl tok, tak $f^\Delta(v) = 0$ a~$g$ byl tok, tak¾e $g^\Delta(v) = 0$. Proto $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v) = 0$.
+ Jeliko¾~$f$ byl tok, tak $f^\Delta(v) = 0$ a jeliko¾~$g$ byl tok, tak $g^\Delta(v) = 0$. Proto $f'^\Delta(v) = f^\Delta(v) + g^\Delta(v) = 0$.
\endlist
\>{\it 3. $\vert f' \vert = \vert f \vert + \vert g \vert$}
-$\vert f' \vert = f'^\Delta(s) = f^\Delta(s) + g^\Delta(s) = \vert f \vert + \vert g \vert$.
+Pou¾ijme vztah pro souèet pøebytkù z pøedchozího kroku:
+$$\vert f' \vert = f'^\Delta(s) = f^\Delta(s) + g^\Delta(s) = \vert f \vert + \vert g \vert.$$
\qed
\:Proèistíme sí» $R \rightarrow$ sí»~$C$.
\:$g \leftarrow$ blokující tok v~$C$.
\:Zlep¹íme tok~$f$ pomocí~$g$.
-\:GOTO 2.
+\:GOTO 2.
\endalgo
\s{Pozorování:} Pokud se~algoritmus zastaví, vydá maximální tok.
\algo
\:Rozdìlíme vrcholy do~vrstev podle vzdálenosti od~$z$.
\:Odstraníme vrstvy za~$s$, hrany do~minulých vrstev a~hrany uvnitø vrstev.
-\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^{out}(v) = 0$, a~to opakovanì pomocí fronty. (Nejdøíve zaøadíme do~fronty v¹echny vrcholy s~ $\deg^{out}(v) = 0$. Pak dokud není fronta prázdná, v¾dy vybereme vrchol~$v$ z~fronty, odstraníme~$v$ a~v¹echny hrany~$uv$. Pro~ka¾dý takový vrchol~$u$ zkontrolujeme, zda se~tím nesní¾il výstupní stupeò vrcholu~$u$ na~nulu ( $\deg^{out}(u) = 0$). Pokud sní¾il, tak ho zaøadíme do~fronty.)
+\:Odstraníme \uv{slepé ulièky}, tedy vrcholy s~$\deg^{out}(v) = 0$, a~to opakovanì pomocí fronty. (Nejdøíve zaøadíme do~fronty v¹echny vrcholy s~ $\deg^{out}(v) = 0$. Pak dokud není fronta prázdná, v¾dy vybereme vrchol~$v$ z~fronty, odstraníme~$v$ a~v¹echny hrany~$uv$. Pro~ka¾dý takový vrchol~$u$ zkontrolujeme, zda se~tím nesní¾il výstupní stupeò vrcholu~$u$ na~nulu ($\deg^{out}(u) = 0$). Pokud sní¾il, tak ho zaøadíme do~fronty.)
\endalgo
\figure{dinic-neprocistenasit.eps}{Neproèi¹tìná sí». Obsahuje zpìtné hrany, hrany uvnitø vrstvy a~slepé ulièky.}{0.45\hsize}
Podíváme se~na~prùbìh jednoho prùchodu vnìj¹ím cyklem. Délku aktuálnì nejkrat¹í cesty ze~zdroje do~stoku oznaème~$l$. V¹echny pùvodní cesty délky~$l$ se~bìhem prùchodu zaruèenì nasytí, proto¾e tok~$g$ je blokující. Musíme v¹ak dokázat, ¾e nemohou vzniknout ¾ádné nové cesty délky~$l$ nebo men¹í. V~síti rezerv toti¾ mohou hrany nejen
ubývat, ale i~pøibývat: pokud po¹leme tok po~hranì, po~které je¹tì nic neteklo, tak v~protismìru z~dosud nulové rezervy vyrobíme nenulovou. Rozmysleme si~tedy, jaké hrany mohou pøibývat.
-Hrany mohou pøibývat jen tehdy, kdy¾ jsme po~opaèné hranì nìco poslali. Ale my nìco posíláme po~hranách pouze z~vrstvy do~té následující. Hrany tedy pøibývají do~minulé vrstvy.
+Hrany mohou pøibývat jen tehdy, kdy¾ jsme po~opaèné hranì nìco poslali. Ale my nìco posíláme po~hranách pouze z~vrstvy do~té následující. Hrany tedy pøibývají do~minulé vrstvy..
Vznikem nových hran by proto mohly vzniknout nové cesty ze~zdroje do~stoku, které pou¾ívají zpìtné hrany. Jen¾e cesta ze~zdroje do~stoku, která pou¾ije zpìtnou hranu, musí alespoò jednou skoèit o~vrstvu zpìt a~nikdy nemù¾e skoèit o~více ne¾ jednu vrstvu dopøedu, a~proto je její délka alespoò $l+2$. Pokud cesta novou zpìtnou hranu nepou¾ije má buï délku~$> l$, co¾ je v~poøádku, nebo má délku~$= l$, pak je zablokovaná.
\s{Vìta:} Dinicùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(n^2\cdot m)$.
-\s{Poznámka:} Algoritmus se~chová hezky na~sítích s~malými racionálními èísly, ale kupodivu i~na~rùzných jiných sítích. Èasto se~pou¾ívá, nebo» se~chová efektivnì. A~je mnoho zpùsobù, jak ho je¹tì vylep¹ovat, èi odhadovat ni¾¹í slo¾itost na~speciálních sítích.
+\s{Poznámka:} Algoritmus se~chová hezky na~sítích s~malými celoèíselnými kapacitami, ale kupodivu i~na~rùzných jiných sítích. Èasto se~pou¾ívá, nebo» se~chová efektivnì. A~je mnoho zpùsobù, jak ho je¹tì vylep¹ovat, èi odhadovat ni¾¹í slo¾itost na~speciálních sítích.
\s{Poznámka:} Algoritmus nevy¾aduje racionální kapacity! Dal¹í z~dùvodù, proè maximální tok existuje i~v~síti s~iracionálními kapacitami.
projects / ads2.git / blobdiff