\documentclass{beamer}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{palatino}
\usepackage{amssymb}
\usetheme{Warsaw}
\title{Opakování komplexních čísel}
\author{Martin Mareš}
\date{2011}
\begin{document}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\def\e{{\rm e}}
\def\I{\,{\bf i}}
\def\bb{\mathbb}
\def\sk{\medskip}

\begin{frame}{Komplexní čísla: Složkový tvar}

{\bf Definice:} ${\bb C} = \{ a+b\I \mid a,b\in {\bb R} \}$.

\sk

{\bf Sčítání:} $(a+b\I)\pm(p+q\I) = (a\pm p) + (b\pm q)\I$.

\sk

{\bf Násobení:} $(a+b\I)\cdot(p+q\I) = ap + (aq+bp)\I + bq\I^2 =$

$ =(ap-bq)+(aq+bp)\I$.

\sk

\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$: $\alpha(a+b\I) = \alpha a + \alpha b\I$.

\sk

{\bf Komplexní sdružení:} $\overline{a+b\I} = a-b\I$.

\sk

\qquad Vlastnosti: $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y}
= \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot
\overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.

\sk

{\bf Absolutní hodnota:} $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, takže $\vert a+b\I \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.

\sk

\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}: \vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.

\sk

{\bf Dělení:} $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.

\end{frame}

\begin{frame}{Komplexní čísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}

{\bf Geometrický pohled na $\bb C$:}

\begin{itemize}
\item Číslům přiřadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\I \leftrightarrow (a,b)$.
\item $\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.
\item $\vert x\vert = 1$ pro čísla ležící na~jednotkové kružnici \\
      ({\it komplexní jednotky\/}).
\end{itemize}

{\bf Goniometrický tvar:}

\begin{itemize}
\item Pro komplexní jednotky: $x=\cos\varphi + \I\sin\varphi$ pro nějaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.
\item Obecně: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \I\sin\varphi(x))$.
\end{itemize}

\sk

Číslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ říkáme {\it argument\/} čísla~$x$ (značí se $\mathop{\rm arg} x$).

\sk

Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.

\end{frame}

\begin{frame}{Komplexní čísla: Exponenciální tvar}

{\bf Eulerova formule:} $\e^{i\varphi} = \cos\varphi + \I\sin\varphi$.

\sk

Každé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}$.

\sk

{\bf Násobení:} $xy = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(y)}\right) =
\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot \e^{\I\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.

\smallskip

{\it (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sčítají)}

\sk

{\bf Umocňování:} $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot \e^{\I\cdot\varphi(x)}\right)^\alpha = {\vert x\vert}^\alpha\cdot \e^{\I \alpha \varphi(x)}$.

\sk

{\bf Odmocňování:} $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\cdot \varphi(x)/n}$.

\smallskip

Odmocnina není jednoznačná: $1^4=(-1)^4=\I^4=(-\I)^4=1$.

\end{frame}

\begin{frame}{Komplexní čísla: Odmocniny z~jedničky}

Je-li nějaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jedničky, musí platit:

\begin{itemize}
\item $\vert x \vert = 1$, takže $x=\e^{\I\varphi}$ pro nějaké~$\varphi$,
\item $\e^{\I\varphi n} = \cos{\varphi n} + \I\sin\varphi n = 1$, \\ což nastane, kdykoliv $\varphi n = 2k\pi$ pro $k\in{\bb Z}$.
\item Dostáváme $n$ různých $n$-tých odmocnin: \\ $2k\pi/n$ pro $k=0,\ldots,n-1$.
\end{itemize}

\sk

Obecné odmocňování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot \e^{\I\varphi(x)/n} \cdot \root n\of 1$.

\end{frame}

\end{document}
