\input slidemac.tex

\language=\czech
\chyph

\def\i{{\rm i}}
\def\bb{\fam\bbfam}
\advance\parskip by 10pt

\slide{Komplexní èísla: Slo¾kový tvar}

Definice: ${\bb C} = \{ a+b\i \mid a,b\in {\bb R} \}$.

Sèítání: $(a+b\i)\pm(p+q\i) = (a\pm p) + (b\pm q)\i$.

Násobení: $(a+b\i)\cdot(p+q\i) = ap + (aq+bp)\i + bq\i^2 = (ap-bq)+(aq+bp)\i$.

\noindent\qquad Pro $\alpha\in{\bb R}$ je $\alpha(a+b\i) = \alpha a + \alpha b\i$.

Komplexní sdru¾ení: $\overline{a+b\i} = a-b\i$.

\noindent\qquad $\overline{\overline x} = x$, $\overline{x\pm y} = \overline{x} \pm \overline{y}$, $\overline{x\cdot y} = \overline x \cdot \overline y$, $x\cdot \overline x \in {\bb R}$.

Absolutní hodnota: $\vert x \vert = \sqrt{x\cdot\overline{x}}$, tak¾e $\vert a+b\i \vert = \sqrt{a^2+b^2}$.

\noindent\qquad Také $\vert \alpha x \vert = \vert \alpha\vert \cdot \vert x \vert$.

Dìlení: $x/y = (x\cdot \overline{y}) / (y \cdot \overline{y})$.

\endslide

\slide{Komplexní èísla: Gau{\ss}ova rovina a goniometrický tvar}

Komplexním èíslùm pøiøadíme body v~${\bb R}^2$: $a+b\i \leftrightarrow (a,b)$.

$\vert x\vert$ je vzdálenost od~bodu $(0,0)$.

$\vert x\vert = 1$ pro èísla le¾ící na~jednotkové kru¾nici ({\sit komplexní jednotky\/}).

\noindent\qquad Pak platí $x=\cos\varphi + \i\sin\varphi$ pro nìjaké $\varphi\in\left[ 0,2\pi \right)$.

Pro libovolné $x\in{\bb C}$: $x=\vert x \vert \cdot (\cos\varphi(x) + \i\sin\varphi(x))$.

\noindent\qquad Èíslu $\varphi(x)\in\left[ 0,2\pi \right)$ øíkáme {\sit argument\/} èísla~$x$, nìkdy znaèíme $\mathop{\rm arg} x$.

Navíc $\varphi({\overline{x}}) = -\varphi(x)$.

\endslide

\slide{Komplexní èísla: Exponenciální tvar}

Eulerova formule: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + \i\sin\varphi$.

Ka¾dé $x\in{\bb C}$ lze tedy zapsat jako $\vert x\vert \cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}$.

Násobení: $xy = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right) \cdot \left(\vert y\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(y)}\right) =
\vert x\vert \cdot \vert y\vert \cdot e^{\i\cdot(\varphi(x) + \varphi(y))}$.

\noindent\qquad (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sèítají)

Umocòování: $x^\alpha = \left(\vert x\vert\cdot e^{\i\cdot\varphi(x)}\right)^n = {\vert x\vert}^n\cdot e^{\i n \varphi(x)}$.

Odmocòování: $\root n\of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\cdot \varphi(x)/n}$.

\noindent\qquad \dots\ pozor, odmocnina není jednoznaèná: $1^4=(-1)^4=\i^4=(-\i)^4=1$.

\endslide

\slide{Komplexní èísla: Odmocniny z~jednièky}

Je-li nìjaké $x\in{\bb C}$ $n$-tou odmocninou z~jednièky, musí platit:

\noindent\qquad $\vert x \vert = 1$, tak¾e $x=e^{\i\varphi}$ pro nìjaké~$\varphi$,

\noindent\qquad $e^{\i\varphi n} = \cos{\varphi n} + \i\sin\varphi n = 1$, proèe¾ $\varphi n = 2k\pi$ pro nìjaké $k\in{\bb Z}$.

Z~toho plyne: $\varphi = 2k\pi/n$

\noindent\qquad (pro $k=0,\ldots,n-1$ dostáváme rùzné $n$-té odmocniny).

Obecné odmocòování: $\root n \of x = {\vert x\vert}^{1/n} \cdot e^{\i\varphi(x)/n} \cdot u$, kde $u=\root n\of 1$.

\endslide

\end
