\input lecnotes.tex

\prednaska{10}{Pøevody problémù}{\vbox{\hbox{(zapsali Martin Chytil, Vladimír Kudelas,}\hbox{ Michal Kozák, Vojta Tùma)}}}

\>Na této pøedná¹ce se budeme zabývat rozhodovacími problémy a jejich obtí¾ností.
Za jednoduché budeme trochu zjednodu¹enì pova¾ovat ty problémy, na~nì¾ známe algoritmus
pracující v~polynomiálním èase.

\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} je takový problém, jeho¾ výstupem je v¾dy {\sc ano}, nebo {\sc ne}.
[Formálnì bychom se na~nìj mohli dívat jako na~mno¾inu $L$ vstupù, na~které je odpovìï {\sc ano},
a místo $L(x)=\hbox{\sc ano}$ psát prostì $x\in L$.]

Vstupy mìjme zakódované jen pomocí nul a jednièek (obecnì je jedno, jaký základ pro soustavu
kódování zvolíme, pøevody mezi soustavami o nìjakém základu $\neq$ 1 jsou co do velikosti
zápisu polynomiální). Rozhodovací problém je tedy
$f:\ \{0,1\}^{\ast} \to \{0,1\}$, to jest funkce z mno¾iny v¹ech øetìzcù jednièek a nul
do mno¾iny $\{1,0\}$, kde 1 na výstupu znamená {\sc ano}, 0 {\sc ne}.

\s{Pøíklad:} Je dán bipartitní graf $G$ a $k \in {\bb N}$. Existuje v $G$
párování, které obsahuje alespoò $k$ hran?

To, co bychom ve~vìt¹inì pøípadù chtìli, je samozøejmì nejen zjistit, zda takové párování
existuje, ale také nìjaké konkrétní najít. V¹imnìme si ale, ¾e kdy¾ umíme rozhodovat
existenci párování v~polynomiálním èase, mù¾eme ho polynomiálnì rychle i najít:

Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný
graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu
a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato
hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak
nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu
poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto
vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy
byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí
do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì
mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.

A~jak ná¹ rozhodovací problém øe¹it? Nejsnáze tak, ¾e ho pøevedeme
na~{jiný,\footnote{${}^{\dag}$}{vìrni matfyzáckým vtipùm}} který
u¾ vyøe¹it umíme. Tento postup jsme (právì u~hledání párování) u¾ pou¾ili
v~kapitole o~Dinicovì algoritmu. Vytvoøili jsme vhodnou sí», pro kterou
platilo, ¾e v~ní existuje tok velikosti~$k$ právì tehdy, kdy¾
v~pùvodním grafu existuje párování velikosti~$k$.

Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat obecnì:

\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, pak øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
redukovat} (neboli {\it pøevést}) na $B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
kdy¾ existuje funkce $f$ spoèitatelná v polynomiálním èase taková, ¾e pro $\forall
x: A(x) = B(f(x))$. V¹imnìme si, ¾e $f$ pracující v polynomiálním èase vstup
zvìt¹í nejvíce polynomiálnì.

\s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký
jako problém~$A$ (tím myslíme, ¾e pokud lze $B$ øe¹it v~polynomiálním èase,
lze tak øe¹it i~$A$): Nech» problém~$B$ umíme øe¹it v~èase $\O(b^k)$, kde
$b$ je délka jeho vstupu. Nech» dále funkce $f$ pøevádìjící $A$ na $B$ pracuje
v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Spustíme-li tedy $B(f(x))$ na~nìjaký
vstup~$x$ problému~$A$, bude mít $f(x)$ délku $\O(a^\ell)$, kde $a=|q|$; tak¾e
$B(f(x))$ pobì¾í v~èase $\O(a^\ell + (a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$, co¾ je
polynomiální v~délce vstupu~$a$.


\s{Pozorování:} Pøevoditelnost je
\itemize\ibull
\:reflexivní (úlohu mù¾eme pøevést na tu stejnou identickým zobrazením): $A \rightarrow A$,
\:tranzitivní: Je-li $A \rightarrow B$ funkcí $f$, $B \rightarrow C$ funkcí $g$,
pak $A \rightarrow C$ slo¾enou funkcí $g \circ f$
(slo¾ení dvou polynomiálních funkcí je zase polynomiální funkce, jak u¾ jsme zpozorovali
v~pøedchozím odstavci).
\endlist
\>Takovýmto relacím øíkáme kvaziuspoøádání -- nesplòují obecnì antisymetrii, tedy mù¾e nastat
$A\rightarrow B$ a $B\rightarrow A$. Omezíme-li se v¹ak na tøídy navzájem pøevoditelných
problémù, dostáváme ji¾ (èásteèné) uspoøádání. Existují i navzájem nepøevoditelné problémy --
napøíklad problém v¾dy odpovídající 1 a problém v¾dy odpovídající 0.
Nyní se ji¾ podíváme na nìjaké zajímavé problémy. Obecnì to budou problémy, na které
polynomiální algoritmus není znám, a vzájemnými pøevody zjistíme ¾e jsou stejnì tì¾ké.

\h{1. problém: SAT}
\>Splnitelnost (satisfiability) logických formulí, tj. dosazení 1 èi
0 za promìnné v logické formuli tak, aby formule dala výsledek 1.

\>Zamìøíme se na speciální formu zadání formulí,  {\I konjunktivní normální formu} (CNF),
	které splòují následující podmínky:
\itemize\ibull
\:{\I formule} je zadána pomocí {\I klauzulí}\footnote{${}^{\dag}$}{bez politických konotací} oddìlených $\land$,
\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
\endlist
\>Formule mají tedy tvar:
$$\psi = (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land (\ldots\lor\ldots\lor\ldots\lor\ldots) \land \ldots $$

\>{\I Vstup:} Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.

\>{\I Výstup:} $\exists$ dosazení 1 a 0 za promìnné takové, ¾e hodnota formule $\psi(\ldots) = 1$.



\>Pøevod nìjaké obecné formule $\psi$ na jí ekvivalentní $\chi$ v~CNF mù¾e
zpùsobit, ¾e $\chi$ je exponenciálnì velká vùèi $\psi$.
Pozdìji uká¾eme, ¾e lze podniknout pøevod na takovou formuli $\chi'$ v~CNF, která sice není
ekvivalentní s $\psi$ (pøibydou nám promìnné, a ne ka¾dý roz¹íøený model
$\psi$ je modelem $\chi'$), ale je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je splnitelná $\psi$ -- co¾ nám
pøesnì staèí -- a je lineárnì velká vùèi $\psi$.

\h{2. problém: 3-SAT}
\s{Definice:} 3-SAT je takový SAT, v nìm¾ ka¾dá klauzule obsahuje nejvý¹e tøi literály.

\s{Pøevod 3-SAT na SAT:}
Vstup není potøeba nijak upravovat, 3-SAT splòuje vlastnosti SATu, proto 3-SAT
$\rightarrow$ SAT (SAT je alespoò tak tì¾ký jako 3-SAT)

\s {Pøevod SAT na 3-SAT:}
Musíme formuli pøevést tak, abychom neporu¹ili splnitelnost.

\>Trik pro dlouhé klauzule: Ka¾dou \uv{¹patnou} klauzuli
$$(\alpha \lor \beta) \hbox{, t¾. } \vert\alpha\vert + \vert\beta\vert \ge 4
,\ \vert\alpha\vert \geq 2,\ \vert\beta\vert\geq 2$$
pøepí¹eme na: $$(\alpha \lor x) \land (\beta \lor \lnot x),$$
kde $x$ je nová promìnná (pøi ka¾dém dìlení klauzule {\it jiná}
nová promìnná).
%kterou nastavíme tak, abychom neovlivnili splnitelnost formule.

\>Tento trik opakujeme tak dlouho, dokud je to tøeba -- formuli délky $k+l$
roztrhneme na formule délky $k+1$ a $l+1$. Pokud klauzule pùlíme, dostaneme
polynomiální èas (strom rekurze má logaritmicky pater -- formule délky alespoò 6
se nám pøi rozdìlení zmen¹í na dvì instance velikosti maximálnì $2/3$ pùvodní, krat¹í
formule nás netrápí; na ka¾dém patøe se vykoná tolik co na pøedchozím + $2^{hloubka}$
za pøidané formule). Velikost výsledné formule je tím pádem polynomiální vùèi pùvodní:
v ka¾dém kroku se pøidají jen dva literály, tedy celkem {\it èas na pøevod}$\cdot
2$ nových.

\>Platí-li:
\itemize\ibull
\:$\alpha \Rightarrow$ zvolíme $x = 0$ (zajistí splnìní druhé poloviny nové formule),
\:$\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 1$ (zajistí splnìní první poloviny nové formule),
\:$\alpha ,\beta / \lnot\alpha ,\lnot\beta \Rightarrow$ zvolíme $x = 0/1$ (je nám to
	jedno, celkové øe¹ení nám to neovlivní).
\endlist

Nabízí se otázka, proè mù¾eme pøidanou promìnnou $x$ nastavovat, jak se nám zlíbí.
Vysvìtlení je prosté -- promìnná $x$ nám pùvodní formuli nijak neovlivní, proto¾e
se v ní nevyskytuje, proto ji mù¾eme nastavit tak, jak chceme.

\s{Poznámka:} U~3-SAT lze vynutit právì tøi literály, pro krátké klauzule
pou¾ijeme stejný trik:
$$(\alpha) \rightarrow (\alpha \vee \alpha) \rightarrow (\alpha \lor x) \land (\alpha \lor \lnot x).$$

\h{3. problém: Hledání nezávislé mno¾iny v grafu}

\>Existuje nezávislá mno¾ina vrcholù z~$G$ velikosti alespoò $k$?

\s{Definice:} {\I Nezávislá mno¾ina} (NzMna) budeme øíkat ka¾dé mno¾inì vrcholù grafu
takové, ¾e mezi nimi nevede ¾ádná hrana.

\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{1in}

\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf $G$, $k \in {\bb N}$.

\>{\I Výstup:} $\exists A \subseteq V(G)$, $\vert A \vert \ge k$: $\forall u,v \in A \Rightarrow uv \not\in E(G)$?

\s{Poznámka:} Ka¾dý graf má minimálnì jednu nezávislou mno¾inu, a tou je prázdná mno¾ina. Proto je potøeba zadat i minimální velikost hledané mno¾iny.

\>Uká¾eme, jak na~tento probém pøevést 3-SAT.

\s{Pøevod 3-SAT na NzMna:} Z ka¾dé klauzule vybereme jeden literál, jeho¾ nastavením se klauzuli
rozhodneme splnit. Samozøejmì tak, abychom v~rùzných klauzulích nevybírali
konfliktnì, tj.~$x$ a~$\lnot x$.

\s{Pøíklad:}
$(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p) $.

\>Pro ka¾dou klauzuli sestrojíme graf (trojúhelník) a pøidáme \uv{konfliktní}
hrany, tj. $x$ a $\lnot x$. Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli,
poèet hran je maximálnì kvadratický a pøevod je tedy polynomiální.

Existuje-li v grafu nezávislá mno¾ina velikosti $k$, pak z~ka¾dého z~$k$ trojúhelníkù
vybere právì jeden vrchol, a pøitom ¾ádné dva vrcholy nebudou odpovídat literálu a
jeho negaci -- tedy dostaneme ohodnocení promìnných splòujících alespoò $k$ klauzulí.
Na druhou stranu, existuje-li ohodnocení $k$ klauzulí, pak pøímo odpovídá nezávislé
mno¾inì velikosti $k$ (v ka¾dém trojúhelníku zvolíme právì jednu z ohodnocených
promìnných, nemù¾e se stát ¾e zvolíme vrcholy konfliktní hrany). Ptáme-li se tedy
na nezávislou mno¾inu velikosti odpovídající
poètu klauzulí, dostaneme odpovìï {\sc ano} právì tehdy, kdy¾ je formule splnitelná.

Jsou-li ve formuli i klauzule krat¹í ne¾ 3, mù¾eme je buïto prodlou¾it metodou vý¹e
popsanou; nebo si v grafu necháme dvoj- a jedno-úhelníky, které ¾ádné z na¹ich úvah
vadit nebudou.

\figure{nezmna_graf.eps}{Ukázka pøevodu 3-SAT na nezávislou mno¾inu}{3in}

\s{Pøevod NzMna na SAT:}

\itemize\ibull
\:Poøídíme si promìnné $v_1, \ldots, v_n$ odpovídající vrcholùm grafu. Promìnná $v_i$ bude
  indikovat, zda se $i$-tý vrchol vyskytuje v~nezávislé mno¾inì (tedy pøíslu¹né ohodnocení
  promìnných bude vlastnì charakteristická funkce nezávislé mno¾iny).
\:Pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli $(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$. Tyto klauzule
  nám ohlídají, ¾e vybraná mno¾ina je vskutku nezávislá.
\:Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e je mno¾ina dostateènì velká, tak¾e si její prvky
  oèíslujeme èísly od~1 do~$k$. Oèíslování popí¹eme maticí promìnných $x_{ij}$, pøièem¾
  $x_{ij}$ bude pravdivá právì tehdy, kdy¾ v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$v_j$
-- pøidáme tedy klauzule, které nám øeknou, ¾e vybrané do nezávislé mno¾iny jsou právì
  ty vrcholy, které jsou touto maticí oèíslované: $\forall i,j$, $x_{ij} \Rightarrow v_j$
  (jen dodejme, ¾e $a\Rightarrow b$ je definované jako $\neg a\vee b$).
\:Je¹tì potøebujeme zajistit, aby byla v~ka¾dém øádku i sloupci nejvý¹e jedna jednièka:
  $\forall j,i,i^{'}, i\ne i^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{i^{'}j}$ a
  $\forall i,j,j^{'}, j\ne j^{'} : x_{ij} \Rightarrow \lnot x_{ij^{'}}$.
\:A~nakonec si ohlídáme, aby v~ka¾dém øádku byla alespoò jedna jednièka, klauzulí $\forall i :
  x_{i1} \lor x_{i2} \lor \ldots \lor x_{in}$.
\endlist
Tímto vynutíme NzMnu $\geq k$, co¾ jsme pøesnì chtìli. Takovýto pøevod je zøejmì polynomiální.

\s{Pøíklad matice:} Jako pøíklad pou¾ijeme nezávislou mno¾inu z ukázky nezávislé mno¾iny.
Nech» jsou vrcholy grafu oèíslované zleva a zeshora. Hledáme nezávislou mno¾inu velikosti $2$.
Matice pak bude vypadat následovnì:
$$ \pmatrix{1&0&0&0&0 \cr 0&0&0&1&0}$$
\s{Vysvìtlení:} Jako první vrchol mno¾iny bude vybrán vrchol $v_1$, proto v prvním
øádku a v prvním sloupci bude $1$. Jako druhý vrchol mno¾iny bude vybrán
vrchol $v_4$, proto na druhém øádku a ve ètvrtém sloupci bude $1$. Na ostatních místech bude $0$.

\h{4. problém: Klika}

\>{\I Vstup:} Graf $G, k \in N$.

\>{\I Výstup:} $\exists$ úplný podgraf grafu $G$ na $k$ vrcholech?
\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{2in}

\s{Pøevod:} Prohodíme v grafu $G$ hrany a nehrany $\Rightarrow$ (hledání nezávislé mno¾iny $\leftrightarrow$ hledání kliky).

\s{Dùvod:} Pokud existuje úplný graf na $k$ vrcholech, tak v~komplementárním grafu tyto vrcholy nejsou spojeny hranou, tj. tvoøí nezávislou mno¾inu,
	a naopak.

\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{2in}


\h{5. problém: 3,3-SAT}
\s{Definice:} 3,3-SAT je speciální pøípad 3-SATu, kde ka¾dá promìnná se vyskytuje v~maximálnì tøech literálech.

\s{Pøevod 3-SAT na 3,3-SAT:}
Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, tak nahradíme výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$ a pøidáme klauzule:
$$
(\lnot x_1 \lor x_2),
(\lnot x_2 \lor x_3),
(\lnot x_3 \lor x_4),
\ldots,
(\lnot x_{k-1} \lor x_k),
(\lnot x_k \lor x_1),
$$

co¾ odpovídá:

$$
(x_1 \Rightarrow x_2),
(x_2 \Rightarrow x_3),
(x_3 \Rightarrow x_4),
\ldots,
(x_{k-1} \Rightarrow x_k),
(x_k \Rightarrow x_1).
$$

Tímto zaruèíme, ¾e v¹echny nové promìnné budou mít stejnou hodnotu.

Mimochodem, mù¾eme rovnou zaøídit, ¾e ka¾dý literál se vyskytuje nejvíce dvakrát (tedy ¾e
ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì). Pokud by
se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni
také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude
vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì.

\h{6. problém: 3D párování (3D matching)}

\>{\I Vstup:} Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a mno¾ina kompatibilních trojic (tìch, kteøí se spolu snesou).

\>{\I Výstup:} Perfektní podmno¾ina trojic -- tj. taková podmno¾ina trojic, která obsahuje v¹echna $K$, $H$ a $Z$.

\>Uká¾eme, jak na tento problém pøevést 3,3-SAT (ov¹em to a¾ na dal¹í pøedná¹ce).

\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D párování}{3in}

\s{Závìr:} Obrázek ukazuje problémy, jimi¾ jsme se dnes zabývali, a vztahy mezi tìmito problémy.
\figure{prevody.eps}{Pøevody mezi problémy}{3in}

\bye
