\input ../sgr.tex

\prednaska{9}{Suffixové stromy}{}

V~této kapitole popí¹eme jednu datovou strukturu, pomocí ní¾ doká¾eme problémy týkající
se øetìzcù pøevádìt na grafové problémy a tak je øe¹it v~lineárním èase.

\h{Øetìzce, trie a suffixové stromy}

\s{Definice:}

\nointerlineskip
\halign{\qquad#\dotfill&~#\hfil\cr
\hbox to 0.3\hsize{}\cr
$\Sigma$					& koneèná abeceda (mno¾ina znakù, budeme je znaèit latinskými písmeny)\cr
$\Sigma^*$					& mno¾ina v¹ech slov nad $\Sigma$ (slova budeme znaèit øeckými písmeny)\cr
$\varepsilon$					& prázdné slovo\cr
$\vert\alpha\vert$				& délka slova $\alpha$\cr
$\alpha\beta$					& zøetìzení slov $\alpha$ a $\beta$ ($\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha$)\cr
$\alpha^R$					& slovo $\alpha$ napsané pozpátku\cr
$\alpha$ je {\I prefixem} $\beta$		& $\exists\gamma: \beta=\alpha\gamma$ ($\beta$ zaèíná na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I suffixem} $\beta$		& $\exists\gamma: \beta=\gamma\alpha$ ($\beta$ konèí na~$\alpha$)\cr
$\alpha$ je {\I podslovem} $\beta$		& $\exists\gamma,\delta: \beta=\gamma\alpha\delta$ (znaèíme $\alpha \subset \beta$)\cr
$\alpha$ je {\I vlastním prefixem} $\beta$	& je prefixem a $\alpha\ne\beta$ (analogicky vlastní suffix a podslovo)\cr
}

\s{Pozorování:} Prázdné slovo je prefixem, suffixem i podslovem ka¾dého slova vèetnì sebe sama.
Podslova jsou právì prefixy suffixù a také suffixy prefixù.

\s{Definice:} {\I Trie ($\Sigma$-strom)} pro koneènou mno¾inu slov $X\subset\Sigma^*$ je orientovaný graf $G=(V,E)$, kde:
\itemize\relax
\:$V = \{\alpha: \alpha\hbox{ je prefixem nìjakého $\beta\in X$} \},$
\:$(\alpha,\beta)\in E \equiv \exists x\in\Sigma: \beta=\alpha x$.
\endlist

\s{Pozorování:} Trie je strom s koøenem $\varepsilon$. Jeho listy jsou slova z $X$, která nejsou vlastními prefixemy jiných slov z~$X$.
Hrany si mù¾eme pøedstavit popsané písmeny, o~nì¾ prefix roz¹iøují, popisky hran na~cestì z~koøene do~vrcholu~$\alpha$ dávají právì slovo~$\alpha$.

\s{Definice:} {\I Komprimovaná trie ($\Sigma^+$-strom)} vznikne z trie nahrazením maximálních nevìtvících se cest hranami. Hrany
jsou tentokrát popsané øetìzci místo jednotlivými písmeny, pøièem¾ popisky v¹ech hran vycházejících z~jednoho vrcholu se li¹í v~prvním
znaku. Vrcholùm \uv{uvnitø hran} (které padly za obì» kompresi) budeme øíkat {\I skryté vrcholy.}

\medskip
\tabskip=0pt plus 1fil
\halign to\hsize{
\hfil#\hfil&\hfil#\hfil&\hfil#\hfil\cr
\epsfbox{trie.eps}&\epsfbox{trie-c.eps}&\epsfbox{trie-cd.eps}\cr
Trie pro $\{\hbox{AULA, AUTO, AUTOBUS, BUS}\}$ & \dots komprimovaná & \dots odolarovaná\cr
}
\medskip

\s{Definice:} {\I Suffixový strom (ST)} pro slovo $\sigma\in\Sigma^*$ je komprimovaná trie pro $X=\{\alpha: \hbox{$\alpha$ je suffixem $\sigma$}\}$.

\s{Pozorování:} Vrcholy suffixového stromu (vèetnì skrytých) odpovídají prefixùm suffixù slova~$\sigma$,
tedy v¹em jeho podslovùm. Listy stromu jsou suffixy, které se v~$\sigma$ ji¾ nikde jinde nevyskytují
(takovým suffixùm budeme øíkat {\I nevnoøené}). Vnitøní vrcholy odpovídají {\I vìtvícím podslovùm,}
tedy podslovùm $\alpha\subset\sigma$ takovým, ¾e $\alpha a\subset\sigma$ i $\alpha b\subset\sigma$
pro nìjaké dva rùzné znaky~$a$,~$b$.

Nìkdy mù¾e být nepraktické, ¾e nìkteré suffixy neodpovídají listùm (proto¾e jsou vnoøené), ale
s~tím se mù¾eme snadno vypoøádat: pøidáme na~konec slova~$\sigma$ nìjaký znak~$\$$, který se nikde
jinde nevyskytuje. Neprázdné suffixy slova $\sigma\$$ odpovídají suffixùm slova~$\sigma$
a ¾ádný z~nich nemù¾e být vnoøený. Takový suffixový strom budeme znaèit ST\$.

\figure{st-barbara.eps}{Suffixový strom pro slovo BARBARA}{0pt}

\s{Lemma:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ je reprezentovatelný v~prostoru $\O(n)$.

\proof Strom má $\O(n)$ listù a ka¾dý vnitøní vrchol má alespoò $2$ syny, tak¾e vnitøních
vrcholù je také $\O(n)$. Hran je rovnì¾ lineárnì. Nálepky na~hranách si staèí reprezentovat
poèáteèní a koncovou pozicí v~$\sigma$.
\qed

\s{Vìta:} Suffixový strom pro slovo $\sigma$ délky $n$ lze sestrojit v~èase $\O(n)$.

\proof Ve~zbytku této kapitoly pøedvedeme dvì rùzné konstrukce v~lineárním èase.
\qed

\s{Aplikace:} (co v¹e doká¾eme v~lineárním èase, kdy¾ umíme lineárnì konstruovat ST)

\numlist\ndotted
\:{\I Inverzní vyhledávání} (tj. pøedzpracujeme si v~lineárním èase text a pak umíme pro libovolné
slovo~$\alpha$ v~èase $\O(\vert\alpha\vert)$ rozhodnout, zda se v~textu vyskytuje)\foot{Èili pøesný
opak toho, co~umí vyhledávací automat -- ten si pøedzpracovává dotaz.} -- staèí sestrojit~ST
a pak jej procházet od~koøene. Také umíme najít v¹echny výskyty (odpovídají suffixùm, které mají
jako prefix hledané slovo, tak¾e staèí vytvoøit ST\$ a vypsat v¹echny listy pod
nalezeným vrcholem) nebo pøímo vrátit jejich poèet (pøedpoèítáme si pomocí DFS pro ka¾dý vrchol,
kolik pod ním le¾í listù).

\:{\I Nejdel¹í opakující se podslovo} -- takové podslovo je v~ST\$ nutnì vìtvící, tak¾e staèí
najít vnitøní vrchol s~nejvìt¹í {\I písmenkovou hloubkou} (tj. hloubkou mìøenou ve~znacích
místo ve~hranách).

\:{\I Histogram èetností podslov délky~$k$} -- rozøízneme ST v~písmenkové hloubce~$k$ a spoèítáme,
kolik pùvodních listù je pod ka¾dým novým.

\:{\I Nejdel¹í spoleèné podslovo} slov~$\alpha$ a $\beta$ -- postavíme ST pro slovo $\alpha\$_1\beta\$_2$,
jeho listy odpovídají suffixùm slov $\alpha$ a $\beta$. Tak¾e staèí pomocí DFS najít nejhlub¹í vnitøní
vrchol, pod kterým se vyskytují listy pro~$\alpha$ i $\beta$. Podobnì mù¾eme sestrojit ST\$ pro libovolnou
mno¾inu slov.\foot{Jen si musíme dát pozor, abychom si moc nezvìt¹ili abecedu, ale to bude jasné,
a¾ pøedvedeme konkrétní konstrukce.}

\:{\I Nejdel¹í palindromické podslovo} (tj. takové $\beta\subset\alpha$, pro nì¾ je $\beta_R=\beta$)
-- postavíme spoleèný ST\$ pro slova $\alpha$ a $\alpha_R$. Postupnì procházíme pøes v¹echny mo¾né støedy
palindromického podslova a v¹imneme si, ¾e takové slovo je pro ka¾dý støed nejdel¹ím spoleèným
prefixem podslova od~tohoto bodu do~konce a podslova od~tohoto bodu (pozpátku) k~zaèátku,
èili nìjakého suffixu $\alpha$ a nìjakého suffixu $\alpha_R$. Tyto suffixy ov¹em odpovídají
listùm sestrojeného ST a jejich nejdel¹í spoleèný prefix je nejbli¾¹ím spoleèným pøedchùdcem
ve~stromu, tak¾e staèí pro strom vybudovat datovou strukturu pro spoleèné pøedchùdce
a s~její pomocí doká¾eme jeden støed prozkoumat v~konstantním èase.

\:{\I Burrows-Wheelerova Transformace} -- jejím základem je lexikografické setøídìní v¹ech
rotací slova~$\sigma$, co¾ zvládneme sestrojením ST pro slovo~$\sigma\sigma$, jeho
uøíznutím v~písmenkové hloubce~$\vert\sigma\vert$ a následným vypsáním listù v~poøadí dle~DFS.
\endlist

\h{Suffix Array}

\>V~nìkterých pøípadech se hodí místo suffixového stromu pou¾ívat kompaktnìj¹í datové struktury.

\s{Notace:} Pro slovo $\sigma$ bude $\sigma[i:j]$ znaèit podslovo slo¾ené z~$i$-tého a¾ $j$-tého
znaku slova~$\sigma$ (znaky èíslujeme od~$1$). Libovolnou z~mezí mù¾eme vynechat, proto
$\sigma[i:{}]$ bude suffix od~$i$ do~konce a $\sigma[{}:j]$ prefix od~zaèátku do~$j$.
Pokud $j<i$, definujeme $\sigma[i:j]$ jako prázdné slovo, tak¾e prázdný suffix mù¾eme
napøíklad zapsat jako $\sigma[\vert\sigma\vert+1:{}].$

${\rm LCP}(\alpha,\beta)$ bude znaèit délku nejdel¹ího spoleèného prefixu slov $\alpha$ a $\beta$,
èili nejvìt¹í $i\le \vert\alpha\vert,\vert\beta\vert$ takové, ¾e $\alpha[{}:i]=\beta[{}:i]$.

\s{Definice:} {\I Suffix Array} $A_\sigma$ pro slovo $\sigma$ délky~$n$ je posloupnost v¹ech suffixù
slova~$\sigma$ v~lexikografickém poøadí. Mù¾eme ho reprezentovat napøíklad jako permutaci $A$ èísel
$1,\ldots,n+1$, pro ní¾ $\sigma[A[1]:{}] < \sigma[A[2]:{}] < \ldots < \sigma[A[n+1]:]$.

\s{Definice:} {\I Longest Common Prefix Array} $L_\sigma$ pro slovo $\sigma$ je posloupnost,
v~ní¾ $L_\sigma[i]:={\rm LCP}(A_\sigma[i],A_\sigma[i+1])$.

\s{Vìta:} Suffixový strom s~dolarem pro slovo $\sigma$ je lineárnì ekvivalentní s~dvojicí $(A_\sigma,L_\sigma)$.
[Jinými slovy, kdy¾ máme jedno, mù¾eme z~toho v~lineárním èase spoèítat druhé a naopak.]

\proof Kdy¾ projdeme ST($\sigma$) do hloubky, poøadí listù odpovídá $A_\sigma$ a písmenkové hloubky vnitøních
vrcholù v~inorderu odpovídají $L_\sigma$. Naopak ST($\sigma$) získáme tak, ¾e sestrojíme kartézský strom
pro~$L_\sigma$ (to jsou vnitøní vrcholy ST), doplníme do~nìj listy a pøiøadíme jim suffixy podle~$A_\sigma$
a nakonec podle listù rekonstruujeme nálepky hran.

\h{Rekurzivní konstrukce}

\>Tento algoritmus konstruuje pro slovo $\sigma$ délky~$n$ pole $A_\sigma$ a $L_\sigma$ v~èase $\O(n+{\rm Sort}(n,\Sigma))$,
kde ${\rm Sort}(\ldots)$ je èas potøebný pro setøídìní $n$ symbolù z~abecedy~$\Sigma$. V~kombinaci s~pøedchozími
výsledky nám tedy dává lineární konstrukci ST($\sigma$) pro libovolnou fixní abecedu.

\s{Algoritmus:} (Konstrukce $A$ a $L$ podle Kärkkäinena a Sanderse \cite{karkkainen03simple})

\algo
\:Redukujeme abecedu na~$1\ldots n$: ve~vstupním slovu je nejvý¹e $n$ rùzných znakù,
tak¾e je staèí setøídit a pøeèíslovat.

\:Definujeme slova $\sigma_0$, $\sigma_1$, $\sigma_2$ následovnì:
$$\eqalign{
\sigma_0[i] &:= \left<\sigma[3i],\sigma[3i+1],\sigma[3i+2]\right>\cr
\sigma_1[i] &:= \left<\sigma[3i+1],\sigma[3i+2],\sigma[3i+3]\right>\cr
\sigma_2[i] &:= \left<\sigma[3i+2],\sigma[3i+3],\sigma[3i+4]\right>\cr
}$$
Slova $\sigma_k$ jsou slova délky $\approx n/3$ nad~abecedou velikosti $n^3$. Dovolíme
si mírnì zneu¾ívat notaci a pou¾ívat symbol $\sigma_k$ i jejich pøepis do~abecedy pùvodní.

\:Zavoláme algoritmus rekurzivnì na slovo $\sigma_0\sigma_1$, èím¾ získáme $A_{01}$ a $L_{01}$.

\:Z~$A_{01}$ a $L_{01}$ vydìlíme $A_0=A_{\sigma_0}$, $A_1$, $L_0$ a $L_1$ a spoèítáme permutace inverzní k~$A_0$ a $A_1$.

\:Dopoèítáme $A_2$: Jeliko¾ $\sigma_2[i:{}] = \sigma[3i+2:{}] = \sigma[3i+2]\sigma[3i+3:{}] = \sigma[3i+2]\sigma_0[i+1:{}]$
a v¹echna $\sigma_0[i:{}]$ u¾ máme setøídìná, mù¾eme v¹echna $\sigma_2[i:{}]$ setøídit dvìma prùchody pøihrádkového tøídìní.

\:Dopoèítáme $L_2$: Stejným trikem jako $A_2$ -- pokud jsou první písmena rùzná, je spoleèný prefix prázdný, jinak
má délku $1+{\rm LCP}(\sigma_0[i+1:{}],\sigma_0[j+1:{}]) = 1+\min_{i+1\le k< j+1} L_0[k]$. Minimum zvládneme pro ka¾dou
dvojici $i,j$ spoèítat v~konstantním èase pomocí datové struktury pro intervalová minima.
\todo{Ta je a¾ v~následující kapitole.}

\:$A_0,A_1,A_2\buildrel merge\over\longrightarrow A$ -- sléváme tøi setøídìné posloupnosti,
tak¾e staèí umìt prvky libovolných dvou posloupností v~konstantním èase porovnat:
$$\eqalign{
\sigma_0[i:{}] < \sigma_1[j:{}] &\equiv A_{01}^{-1}[i] < A_{01}^{-1}[\vert\sigma_0\vert+j]\cr
\sigma_0[i:{}] < \sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3i]\,\sigma_1[i:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma_0[k+1:{}]\cr
&\Leftrightarrow (\sigma[3i] < \sigma[3k+2]) \vee (\sigma[3i] = \sigma[3k+2] \wedge \sigma_1[i:{}] < \sigma_0[k+1:{}])\cr
\sigma_1[j:{}]<\sigma_2[k:{}] &\equiv \sigma[3j+1]\,\sigma[3j+2]\,\sigma_0[j+1:{}] < \sigma[3k+2]\,\sigma[3k+3]\,\sigma_1[k+1:{}]
}$$

\:Dopoèítáme $L$ -- pokud sousedí suffix ze~$\sigma_{0,1}$ se suffixem ze~$\sigma_{0,1}$,
vyèteme výsledek pøímo z~$L_{01}$. Pokud sousedí $\sigma_2$ se $\sigma_2$, staèí pou¾ít
u¾ spoèítané $L_2$. Pokud sousedí $\sigma_{0,1}$ se $\sigma_2$, odebereme první jeden
nebo dva znaky, ty porovnáme samostatnì a v~pøípadì shody zbude suffix ze~$\sigma_0$
a suffix ze~$\sigma_1$ (stejnì jako pøi slévání) a pro ty doká¾eme $L$ dopoèítat
pomocí struktury pro intervalová minima v~$L_{01}$.

\endalgo

\s{Analýza èasové slo¾itosti:} Tøídìní v~prvním volání trvá ${\rm Sort}(n,\Sigma)$, ve~v¹ech
ostatních voláních je lineární (trojice èísel velikosti $\O(n)$ mù¾eme tøídit tøíprùchodovým
pøihrádkovým tøídìním s~$\O(n)$ pøihrádkami). Z~toho dostáváme:
$$T(n) = T(2/3\cdot n) + \O(n),~\hbox{a tedy}~T(n)=\O(n).$$
\qed

\h{Ukkonenova inkrementální konstrukce}

\>Ukkonenùv algoritmus \cite{ukkonen95line} konstruuje suffixový strom bez dolarù inkrementálnì: zaène se stromem
pro prázdné slovo (ten má jediný vrchol, a to koøen) a postupnì pøidává dal¹í znaky na~konec
slova. To zvládne v~èase $\O(1)$ amortizovanì na~pøidání jednoho znaku.
Pro slovo~$\sigma$ tedy doká¾e sestrojit ST v~èase $\O(\vert\sigma\vert)$.

Budeme pøedpokládat, ¾e hrany vedoucí z~jednoho vrcholu je mo¾né indexovat jejich
prvními písmeny -- to bezpeènì platí, pokud je abeceda pevná; není-li, mù¾eme
si pomoci hashováním.

\s{Pozorování:} Kdy¾ slovo~$\sigma$ roz¹íøíme na~$\sigma a$, ST se zmìní následovnì:

\numlist\ndotted
\:Pokud $\beta$ byl nevnoøený suffix slova~$\sigma$, je i $\beta a$ nevnoøený suffix~$\sigma a$. Z~toho víme, ¾e listy
zùstanou listy, pouze jim potøebujeme prodlou¾it nálepky. Pomù¾eme si snadno: zavedeme
{\I otevøené hrany,} jejich¾ nálepka je \uv{od~pozice~$i$ do konce}. Listy se tak
o~sebe postarají samy.
\:Pokud $\beta$ bylo vìtvící slovo, zùstane nadále vìtvící -- tedy vnitøní vrcholy ve~stromu zùstanou.
\:Pokud $\beta$ byl vnoøený suffix (tj. vnitøní èi skrytý vrchol), pak se $\beta a$ buïto
vyskytuje v~$\sigma$ a tím pádem je to vnoøený suffix nového slova a strom není nutné
upravovat, nebo se v~$\sigma$ nevyskytuje a tehdy pro nìj musíme zalo¾it novou odboèku
a nový list s~otevøenou hranou.
\endlist

Víme tedy, co v¹echno musí algoritmus ve~stromu pøí roz¹íøení slova upravit, zbývá
vyøe¹it, jak to udìlat efektivnì. K~tomu se hodí pár definic a lemmat:

\s{Definice:} {\I Aktivní suffix} $\alpha(\sigma)$ øíkáme nejdel¹ímu vnoøenému suffixu slova~$\sigma$.

\s{Lemma:} Suffix $\beta$ slova $\sigma$ je vnoøený $\Leftrightarrow$ $\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert.$

\proof Ka¾dý suffix vnoøeného suffixu je opìt vnoøený. \qed

\s{Lemma:} Pro ka¾dé $\sigma$, $a$ platí: $\alpha(\sigma a)$ je suffixem $\alpha(\sigma)a.$

\proof $\alpha(\sigma a)$ i $\alpha(\sigma)a$ jsou suffixy slova $\sigma a$, a~proto staèí porovnat jejich délky.
Slovo $\beta := \hbox{\uv{$\alpha(\sigma a)$ bez koncového~$a$}}$ je vnoøeným suffixem v~$\sigma$, tak¾e
$\vert\beta\vert \le \vert\alpha(\sigma)\vert$, a~tedy také $\vert\alpha(\sigma a)\vert = \vert\beta a\vert \le \vert\alpha(\sigma)a\vert$.
\qed

\s{Definice:} Suffix $\beta a$ je {\I zralý} $\equiv$ $\beta$ je vnoøený suffix~$\sigma$, ale $\beta a$ není podslovem~$\sigma$
(tedy musíme pro~nìj pøi pøidávání znaku~$a$ k~aktuálnímu slovu~$\sigma$ zakládat nový vrchol).

\s{Lemma:} Suffix $\beta$ je zralý $\Leftrightarrow$ $\vert\alpha(\sigma)a\vert \ge \vert\beta a\vert > \vert\alpha(\sigma a)\vert$.

\proof Jeliko¾ $\beta$ je vnoøeným suffixem $\sigma$, musí platit první nerovnost. Aby byl zralý,
musí také nebýt vnoøeným suffixem $\sigma a$, èemu¾ odpovídá druhá nerovnost.
\qed

\s{Idea Algoritmu:} Udr¾uji si $\alpha=\alpha(\sigma)$ a pøi pøidání znaku $a$ zkontroluji, zda $\alpha a$ je
stále vnoøený suffix. Pokud ano, nic se nemìní, pokud ne, pøidám vnitøní vrchol, $\alpha$ zkrátím
zleva o~znak a testuji dál.

\s{Analýza:} Úprav stromu provedu $\O(1)$ amortizovanì (ka¾dá úprava slovo $\alpha$ zkrátí,
ka¾dé pøidání znaku ho~prodlou¾í o~znak, tak¾e v¹ech zkrácení je $\O(\vert\sigma\vert)$). Staèí
tedy ukázat, jak provést úpravu v~(amortizovanì) konstantním èase, k~èemu¾ se nám bude hodit:

\s{Definice:} {\I Referenèní pár} je dvojice $(\pi,\tau)$, v~ní¾ $\pi$ je vrchol
stromu a $\tau$ libovolné slovo. Tento pár popisuje slovo $\pi\tau$. Referenèní
pár je {\I kanonický,} pokud neexistuje hrana vedoucí z~vrcholu $\pi$ s~nálepkou,
která by byla prefixem slova~$\tau$.

\s{Pozorování:} Ke~ka¾dému slovu existuje právì jeden kanonický referenèní pár,
který ho popisuje. V¹imnìte si, ¾e je to ze~v¹ech referenèních párù pro toto slovo
ten s~nejdel¹ím~$\pi$ (nejhlub¹ím vrcholem).

\s{Definice:} Zpìtná hrana $\<back>[\pi]$ vede z~vrcholu $\pi$ do~vrcholu,
který je ze~v¹ech vrcholù nejdel¹ím vlastním suffixem slova~$\pi$.

\s{Pozorování:} Zpìtné hrany jsme sice zavedli stejnì obecnì, jako se to dìlá
pøi konstrukci vyhledávacích automatù podle Aha a McCorasickové, ale v~na¹em
pøípadì se \<back> pro vnitøní vrcholy chová daleko jednodu¹eji (a~na ¾ádné
jiné ho potøebovat nebudeme): pokud je $\pi$ vnitøní vrchol, musí to být
vìtvící podslovo, a~tím pádem ka¾dé jeho zkrácení zleva musí být také vìtvící
podslovo. Tedy $\<back>(\pi)$ dá~$\pi$ bez prvního znaku, co¾ se nám
bude hodit pøi zkracování suffixù.

\s{Algoritmus podrobnìji:} (Doplnili jsme detaily do~pøedchozího algoritmu.)

\algo
\:Vstup: $\alpha=\alpha(\sigma)$ reprezentovaný jako kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma$ a jeho funkce \<back>, nový znak~$a$.
\:Zjistíme, jestli $\alpha a$ je pøítomen ve~stromu, a pøípadnì ho zalo¾íme:
\::Pokud $\tau=\varepsilon$: ($\alpha=\pi$ je vnitøní vrchol)
\:::Vede-li z~vrcholu $\pi$ hrana s~nálepkou zaèínající znakem $a$, pak je pøítomen.
\:::Nevede-li, není pøítomen, a~tak pøidáme novou otevøenou hranu vedoucí z~$\pi$ do~nového listu.
\::Pokud $\tau\ne\varepsilon$: ($\alpha$ je skrytý vrchol)
\:::Najdeme hranu, po~ní¾ z~$\pi$ pokraèuje slovo $\tau$ (která to je, poznáme podle prvního znaku slova~$\tau$).
\:::Pokud v~popisce této hrany po~$\tau$ následuje znak~$a$, pak je $\alpha a$ pøítomen.
\:::Pokud nenásleduje, tak nebyl pøítomen, èili tuto hranu rozdìlíme: pøidáme na~ni nový vnitøní vrchol,
    do~nìj¾ povede hrana s~popiskou~$\tau$ a z~nìj zbytek pùvodní hrany a otevøená hrana do~nového listu.
\:Pokud $\alpha a$ byl pøítomen, tak $\alpha$ zkrátíme a test opakujeme:
\::Je-li $\pi\ne\varepsilon$, nastavíme $\pi := \<back>(\pi)$. V~opaèném pøípadì (jsme v~koøeni) zkrátíme $\tau$ o~znak zleva.
\::Pár $(\pi,\tau)$ u¾ popisuje zkrácené slovo, ale nemusí být kanonický, tak¾e to je¹tì napravíme:
\:::Dokud existuje hrana vedoucí z~$\pi$, její¾ popiska je prefixem slova $\tau$, tak se
    po~této hranì posuneme, èili prodlou¾íme $\pi$ o~tuto popisku a zkrátíme o~ni~$\tau$.
\::Zpìt na~krok 2.
\:Pokud $\alpha a$ u¾ je pøítomen, zbývá pøidat $a$ k~$\alpha$ a zastavit se:
\::$\tau := \tau a$.
\::Kanonikalizace stejnì jako v~bodech 12--13.\foot{Dokonce jednodu¹¹í, proto¾e projdeme nejvý¹e jednu hranu.}
\:Výstup: $\alpha=\alpha(\sigma a)$ coby kanonický referenèní pár $(\pi,\tau)$, $T$ suffixový strom pro~$\sigma a$
  a jeho funkce \<back>.
\endalgo

\s{Èasová slo¾itost:}

Kanonikalizace pracuje v~amortizovanì konstantním èase, proto¾e ka¾dá její iterace
zkrátí~$\tau$ a za~celou dobu bìhu algoritmu se~$\tau$ prodlou¾í jen jednou, a~to o~jeden znak.

Prùchodù hlavním cyklem je, jak u¾ víme, amortizovanì konstantní poèet a ka¾dý prùchod
zvládneme v~konstantním èase.

Je¹tì jsme ale zapomnìli nastavovat novým vrcholùm jejich \<back>. To potøebujeme
jen pro vnitøní vrcholy (na~zpìtné hrany z~listù se algoritmus nikdy neodkazuje)
a v¹imneme si, ¾e pokud jsme zalo¾ili vrchol, odpovídá tento vrchol v¾dy souèasnému~$\alpha$
a zpìtná hrana z~nìj povede do~zkrácení slova~$\alpha$ o~znak zleva, co¾ je
pøesnì vrchol, který zalo¾íme (nebo zjistíme, ¾e u¾ existuje) v~pøí¹tí iteraci
hlavního cyklu. V~dal¹í iteraci urèitì je¹tì nebudeme tuto hranu potøebovat,
proto¾e $\pi$ v¾dy jen zkracujeme, a~tak mù¾eme vznik zpìtné hrany o~iteraci
zpozdit a zvládnout to tak také v~èase $\O(1)$.

Celkovì je tedy èasová slo¾itost inkrementálního udr¾ování suffixového
stromu amortizovanì konstantní.
\qed

\references
\bye
