\input lecnotes.tex

\prednaska{9}{Geometrické algoritmy}{(B. Maslowski, J. Návrat, M. Sta¹a)}

\>Budeme se teï bavit o geometrických problémech v~rovinì. Vìt¹ina algoritmù, které zde uvedeme má své obdoby sice i pro prostory vy¹¹í nebo ni¾¹í dimenze. Jednorozmìrné pøípady ale bývají triviální a vícerozmìrné jsou zase vìt¹inou moc slo¾ité.
Budeme se tedy zabývat tím, jak tyto problémy øe¹it v~dimenzi dva (v~Euklidovské rovinì).


\h{Hledání konvexního obalu}
Ptáte se o co pùjde? Zkusme si to pøiblí¾it na problému ledních medvìdù :)
{\I Lední medvìdi si po dlouhé dobì zmapovaly vody severního moøe a zjistili pøesnì místa, kde se nacházejí jejich oblíbené ryby. No a proto¾e to jsou medvìdi chytøí tak se rozhodli v¹echny tyto rybky pochytat najednou do jedné veliké sítì. A problém, který tady mají je takovýto: Jaký nejmen¹í obvod mù¾e mít taková sí», aby se dovnitø ve¹ly je¹tì v¹echny rybky?!}

Neboli budeme øe¹it, jak nìjakou zadanou mno¾inu bodù v~rovinì obalit co nejkrat¹í uzavøenou køivkou, do které by se je¹tì v¹echny body ve¹ly.

Intuice nám napovídá ¾e výsledek bude nìjaký konvexní\foot{Mno¾ina bodù v~rovinì je konvexní útvar, pokud platí ¾e pro ka¾dé dva body této mno¾iny je úseèka spojující tyto dva body také celá v~této mno¾inì} mnohouhelník, který bude mít vrcholy v~nìkterých uvedených bodech. Ostatní vrcholy pak budou buï nìkde na hranách mnohouhelníku, nebo uvnitø.

\>Mo¾ná by se teï hodilo pøedvést názornì jak vypadají nejmen¹í konvexní obaly:

\itemize\ibull
\:konvexní obal prázdné mno¾iny je prázdná mno¾ina
\:konvexní obal 1 bodu je bod samotný
\:konvexní obal 2 bodù je úseèka spojující tyto body
\:konvexní obal 3 bodù je trojuhleník s vrcholy v~tìchto bodech
\:konvexní obal 4 bodù \dots to u¾ je slo¾itìj¹í
\endlist
Konvexní obaly 4 a více bodù, jak si mù¾em v¹imnout, u¾ nejsou jednoznaèné. Pro $N$-prvkovou mno¾inu bude konvexní obal mnohouhelník se tøema a¾ $N$ vrcholy.

Jeden dobrý zpùsob jak tento konvexní obal sestrojit se nazývá {\I Zametání roviny.}

Algoritmus funguje tak ¾e si v~rovinì zvolíme nìjaký smìr, a v~tomto smìru zaèneme posouvat pøímku.
Budeme takto potkávat body které le¾í v~na¹í mno¾inì.
v~ka¾dém okam¾iku budeme chtít, aby v~té èásti kterou jsme ji¾ zametli, jsme u¾ mìli spoèítaný konvexní obal. V¾dycky kdy¾ pak zametací pøímkou narazíme na  nový bod, tak si u¾ jen rozmyslíme jak ho do toho konvexního obalu pøidat.

BÚNO tady v¹ude bereme body v~obecné poloze, tedy takové, ¾e ¾ádné tøi nele¾í na jedné pøímce. Dál taky budem pøedpokládat ¾e budeme zametat ve smìru $X$-ové osy a ¾e v¹echny body mají rùznou $X$-ovou souøadnici.

Jde také vidìt ¾e bod s nejmen¹í a nejvìt¹í $X$-ovou souøadnicí bude le¾et v~konvexním obalu.

\s{Algoritmus:}
\algo
\:Setøídíme body podle jejich $X$-ové souøadnice.
\:Vezmem první tøi body a sestojíme jejich konvexní obal.
\:Opakuj: Najdeme dal¹í bod a podíváme se jestli ho mù¾eme do konvexního obalu rovnou pøidat:
\::Pokud jej mù¾eme rovnou pøidat, tak jej pøidáme.
\::Pokud jej pøidat rovnou nemù¾eme, pak je potøeba nejdøív~nìjaké body odzadu odebrat a pak teprv~pøipojit ná¹ nový bod .
\endalgo

Ka¾dá iterace tedy bude probíhat tak, ¾e nìjaké body z pùvodního konvexního obalu pozapomínáme a pøidáme ná¹ nový bod.
Aby se to lépe popisovalo, tak celý konvexní obal rozdìlíme na {\I horní obálku} a {\I dolní obálku.}

:: Obrazek obalek ::

Vidíme teï, ¾e dolní obálka je nìjaká lomená èára, která zatáèí doleva. Horní obálka zatáèí doprava.
v~na¹em algoritmu si budeme obálky pamatovat jako seznamy vrcholù. Kdy¾ narazíme na nový vrchol tak

\s{Algoritmus:}
\algo
\:Setøídíme body podle souøadnice $x$, dostaneme mno¾inu bodù $b_1~-~b_n$.
\:Spoèítáme konvexní obal ${b_1, b_2, b_3}$, z toho získáme horní a dolní obálku.
\:Pro $b$ postupnì zpracováváme $b_3 - b_n$:
\::Pøepoèítáme Horní obálku:
\:::Dokud $(\vert H\vert \geq 2)$ a úhel $(H[-2], H[-1], b)$ je orientovaný doleva:
\::::Odebereme poslední prvek z obálky.
\:::Pøidáme do obálky nový vrchol.
\::Pøepoèítáme dolní obálku:
\:::Dokud $(\vert D\vert \geq 2)$ a úhel $(D[-2], D[-1], b)$ je orientovaný doprava:
\::::Odebereme poslední prvek z obálky.
\:::Pøidáme do obálky nový vrchol.
\endalgo

Setøídit body podle $X$-ové souøadnice a sestrojit konvexní obal prvních tøech bodù stihneme v~èase $\O(n \log n)$. Zbytek pak u¾ udìláme dokonce v~èase lineárním $\O(n)$. Tedy

\s{Vìta:} Konvexní obal doká¾eme sestrojit v~èase $\O(n \log n)$.

\h{Voroného diagramy}

Pøed tím, ne¾ vás vystra¹ím nìjakou definicí, si øekneme, co jsi pod tímto, na první pohled ne zøejmým pojmem, pøedstavit. Mìjme mno¾inu teèek T rozmístìných náhodnì po papíru. Ke ka¾dému bodu nakreslíme okraje tak, aby vniklá plo¹ka obsahovala body, které jsou nejblí¾e právì té na¹í vybrané teèce. Samozøejmì "sousední" teèky budou mít tyto hranice spoleèné. Výsledkem na¹eho dlouhého sna¾ení pak bude právì Voroného diagram. V dal¹ích odstavcích se budeme zajímat o to, jak takový útvar správnì popsat, jak ho sestrojit a jaké datové struktury k tomu pou¾ít.

\s{Definice:} Voronoi diagram pro koneènou mno¾inu $M = \{m_1, \dots, m_n\} \in {\bb R}^2$ míst je systém mno¾in $1..M_n$ takových, ¾e pro v¹echny $i$ a $j$ a pro v¹echny $x \in M_i$ je vzdálenost $x$ a $m_i$ men¹í nebo rovna vzdálenosti $x$ a $m_j$ a zároveò sjednocení $M_i$ pøes v¹echna $i$ je celý prostor ${\bb R}^2$, neboli:

$$d(x,m_i) \leq d(x,m_j) \wedge {\bigcup}_i M_i = {\bb R}^2.$$

Voroného diagram se tedy skládá z nìjakých bodù, oblastí a hran, které ty oblasti oddìlují.

\s{Pozorování:}
\itemize\ibull
\:Pro v¹echny $i$ je $M_i$ ohranièena konvexní lomenou èarou, tak¾e oblasti mají tvar konvexních mnohoúhelníkù, ale je mo¾né, ¾e jsou oteveøené do nekneèna.
\:Pro ka¾dou hranu $h$ ve Voroného diagramu existuje $i$ a $j$ takové, ¾e kdy¾ $x \in H$, pak vzdálenost $d(x,m_i) = d(x,m_j)$.

Øekneme, ¾e vrchol je takové místo, kde se potkávají alespoò dvì hrany.

\:Pro ka¾dý vrchol $v$ Voroného diagramu existují alespoò tøi místa le¾ící
na kru¾nici se støedem $v$.
\figure{body.eps}{Body na kru¾nici.}{3in}
\:Poèet vrcholù a hran je lineární.
\:Poèet krajních oblastí je tak velký, jak velký je konvexní obal té zadané mno¾iny. (je to dobré vìdìt, ale asi to nebudeme potøebovat)
\endlist

Pojïme teï vymyslet, jak takový diagram utøídit. Mohli bychom zkonstruovat v¹echny dìlící pøímky a poslepovat je, ale vznikl by nám kvadratický algoritmus a to nám nemù¾e staèit.

Mluvili jsme o zametání roviny a tak bychom tento trik mohli vyu¾ít právì pøi
øe¹ení na¹eho problému. Ov¹em tentokrát má zametání jeden podstatný háèek. Kdy¾
si vezmeme nìjakou zametací pøímku a pojedeme s ní od shora dolù, tak nad ní
máme u¾ nìjakou zkonstruovanou èást diagramu a kdy¾ narazíme na dal¹í bod, tak
se nám mù¾e právì tato èást pomìrnì slo¾itì zmìnit. Pomù¾eme si malým trikem.
Nebudeme pova¾ovat ten diagram za uplnì hotový, ale pro ka¾dý bod nad pøímkou
mno¾inu v¹ech bodù, které mají blí¾e k tomu pøíslu¹nému bodu ne¾ k té pøímce.
To tvoøí nìjakou parabolu. Tak¾e v této oblasti u¾ je bezpeèno, v¹echno co jsme
spoèítali uvnitø této paraboly nám u¾ nikdo nepokazí (ani nevylep¹í). Vezmeme si
tedy dolní obálku tìchto parabol.
\figure{pobrezi.eps}{Pobøe¾ní linie.}{3in}
Pobøe¾í je nìjaká posloupnost parabolických obloukù s tím, ¾e nejlevìj¹í a
nejpravìj¹í jdou do nekoneèna.

Kdykoliv tedy narazíme na nìjaký bod, tak nám mu¾e ovlivnit u¾ jen tu èást diagramu
pod pobøe¾ím. Dostáváme se tedy k tomu, co se dìje, kdy¾ hýbeme zametací pøímkou.
Pakli¾e nenará¾íme na ¾ádné body, tak se v podstatì nedìje nic pøíli¹ zajímavého.
Zajímavá situace nastává a¾ tehdy, narazímeli na dal¹í bod. V tom okam¾iku vzniká
nová parabola. V tuto chvíli je znaènì degenerovaná. Je to toti¾ vlastnì zatím jen
polopøímka kolmá na na¹i  øídící pøímku. S dal¹ím pohybem se zaène parabola rozevírat.
V¹imnìme si, ¾e prùnik té na¹í pøímky a pobøe¾í je vlastnì vrchol ve Voroného diagramu.
Mù¾e nastat je¹tì jeden problém. Nìjaká parabola se mù¾e natolik rozevøít, ¾e pohltí
jiné.

Shrneme-li na¹e úvahy, mù¾ou se dít celkem tøi vìci. Jedna z nich je posun pøímky.
To se vlastnì dìje poøád. Nemìní se nám rif pobøe¾í a prùseèíky parabol nám kreslí
hrany. To mù¾eme poèítat najednou. Navíc nejen ¾e bychom mohli s pøímkou skoèít
o nìjaké epsilon, ale mi dokonce mù¾eme skoèit o poøádný kus a prostì pouze dopoèítat,
jak se nám zmìnilo pobøe¾í a co se nám vykreslilo.

Pokud tedy narazíme na bod, tak musíme najít místo, kde to na¹e pobøe¾í rozetnou
a kam vklínit dal¹í výbì¾ek (parabolu). Takovéto události budeme øíkat místní událost.
Pokud se pohybujeme v obecné poloze, tak se nám nestane, ¾e bychom narazili na prùseèík.
\figure{mistni.eps}{Místní událost.}{3in}

Poslední situace, která tedy mù¾e nastat je, ¾e nám nìjaký parabola schová za jiné.
Kouknìme se na obrázek, fialový bod le¾í na ka¾dé parabole. Speciálnì tedy ta tøi
ohniska parabol jsou vzdálena stejnì a le¾í na kru¾nici. Stane se nám to pravì tehdy,
kdy¾ se nám zametací pøímka dotkne kru¾nice, která je urèena právì tìmito tøemi
ohnisky. Tuto událost nazveme kru¾nicová. Pojïme si to ukázat lépe na následujících
dvou obrázcích. První pøedstavuje situaci pøed kru¾nicovou událostí, druhý je pak
právì ona záhadná kru¾nicová událost.
\figure{kruznicova.eps}{Pøed kru¾nicovou událostí.}{3in}
\figure{kruznicovakonec.eps}{Kru¾nicová událost.}{3in}


\s{Datové struktury}

Budeme potøebovat haldu událostí (místních i kru¾nicových dohromady), ta nám
zabere $\O(\log n)$ pamìti.

Dále bude zapotøebí si udr¾ovat na¹i pobøe¾ní linii neboli posloupnost míst
v~ohniscích parabolických obloukù. Zde je potøeba si definovat operace
{\I Insert,Delete} a {\I FindX.} Navíc budeme potøebovat vyhledávací strom nad
prùseèíky s implicitní reprezentací. Zdá se, ¾e je toho hodnì, ale v¹echno to
zvládneme s pamìtí $\O(\log n).$

Poslední datovou strukturou bude samotný diagram, reprezentovaný grafem se
souøadnicemi a vazbami hran na prùseèík.


\s{Fortunùv~algoritmus}
\algo
\:Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.
\:Pøipravíme pobøe¾ní linii $P \leftarrow 0$.
\:Dokud existuje $h \leftarrow DeleteMin(H)$:
\::Je-li na øadì místní událost:
\:::Najdeme prùseèík s $P(FindX(P))$.
\:::Vlo¾íme do $P$ novou parabolu.
\:::Poznamenáme do $D$ vznik hran.
\:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.
\::Je-li na øadì kru¾nicová událost:
\:::Sma¾eme oblouk z $P$.
\:::Poznamenáme vznik a zánik do $D$.
\:::Pøepoèítáme kru¾nicové události.
\endalgo


\s{Slo¾itost:}
Poèet místních událostí je roven $n$ a poèet kru¾nicových událostí není vìt¹í ne¾
$n$ (s ka¾dou místní událostí zanikne kru¾nicová), neboli velikost $P$ není vìt¹í
ne¾ $2n$ a tedy je v¾dy lineární. Zároveò velikost $H$ není vìt¹í ne¾ $2n$,
proto¾e aèkoliv~poèet místních událostí je $n$, tak v~$H$ je záznam pro ka¾dou
trojici a tedy v~$H$ je maximálnì $2n$ událostí najednou. Zbývá nám tedy zjistit
velikost diagramu $D$, ale ten se urèitì vejde do $\O(n)$ pamìti.

Pokud tedy shrneme v¹echny na¹e odhady, pak èasová slo¾itost algoritmu je
$\O(n \log n)$ a prostorová $\O(n)$.


\bye


-------------------

1) Pøipravíme si haldu $H$ a vlo¾íme do ní v¹echny místní události.
2) pøipravíme pobøe¾ní linii P <- 0                               } O(n*log n)
3) pøipraváme reprezentaci diagramu D                            /
4) dokud existuje h <- DeleteMin(H)
5)    je-li na øadì místní událost:                         ----
        a) najdeme prùseèík s P(FindX(P))   \
        b) vlo¾íme do P novou parabolu       \
        c) poznamenáme do D vznik hran        } O(log n)
        d) pøepoèítáme kru¾nicové události   /                   } <= 2n
6)    je-li na øadì kru¾nicová událost:
        a) sma¾eme oblouk z P              \
        b) poznamenáme vznik a zánik do D   } O(log n)
        c) pøepoèítáme kru¾nicové události /                ----




\bye
