\input lecnotes.tex
\prednaska{9}{Aproximaèní algoritmy}{}

\>Na~minulých pøedná¹kách jsme se zabývali rùznými tì¾kými rozhodovacími
problémy. Tato se zabývá postupy, jak se v~praxi vypoøádat s~øe¹ením tìchto
problémù.

\h{Co dìlat, kdy¾ potkáme NP-úplný problém}
\algo
\:Nepanikaøit.
\:Spokojit se s~málem.
\:Rozmyslet, jestli opravdu potøebujeme obecný algoritmus. Mnohdy potøebujeme pouze
speciálnìj¹í pøípady, které mohou být øe¹itelné v~polynomiálním èase.
\:Spokojit se s~pøibli¾ným øe¹ením, (pou¾ít aproximaèní algoritmus).
\:Pou¾ít heuristiku -- napøíklad genetické algoritmy nebo randomizované algoritmy.
Velmi pomoci mù¾e i jen výhodnìj¹í poøadí pøi~prohledávání èi oøezávání nìkterých
napohled nesmyslných vìtví výpoètu.
\endalgo

\h{První zpùsob: Speciální pøípad}

\>Èasto si vystaèíme s~vyøe¹ením speciálního pøípadu NP-úplného problému, který
le¾í v~$P$. Napøíklad pøi øe¹ení grafové úlohy nám mù¾e staèit øe¹ení
pro~speciální druh grafù (stromy, bipartitní grafy, \dots). Barvení grafu je lehké
napø. pro~dvì barvy èi pro intervalové grafy. 2-SAT, jako speciální pøípad SATu,
se dá øe¹it v~lineárním èase.

\>Uká¾eme si dva takové pøípady (budeme øe¹ení hledat, nejen rozhodovat, zda existuje)

\s{Problém: Maximální nezávislá mno¾ina ve~stromì (ne rozhodovací)}

\>{\I Vstup:} Zakoøenìný strom~$T$.

\>{\I Výstup:} Maximální (co do~poètu vrcholù) nezávislá mno¾ina vrcholù~$M$~v~$T$.

\>BÚNO mù¾eme pøedpokládat, ¾e v~$M$ jsou v¹echny listy $T$. Pokud by nìkterý
list $l$ v~$M$ nebyl, tak se podíváme na~jeho otce:
\itemize\ibull
\:Pokud otec není v~$M$, tak list $l$ pøidáme do~$M$, èím¾ se nezávislost
mno¾iny zachovala a velikost stoupla o~1.
\:Pokud tam otec je, tak ho z~$M$ vyjmeme a na~místo nìho vlo¾íme $l$.
Nezávislost ani velikost $M$ se nezmìnily.
\endlist
\>Nyní listy spolu s~jejich otci z~$T$ odebereme a postup opakujeme. $T$ se
mù¾e rozpadnout na~les, ale to nevadí $\to$ tentý¾ postup aplikujeme na~v¹echny stromy v~lese.

\s{Algoritmus:}
\>MaxNz$(T)$
\algo
\:Polo¾íme $L$:=$\{$listy stromu $T\}$.
\:Polo¾íme $O$:=$\{$otcové vrcholù z~$L\}$.
\:Vrátíme $L \cup$ MaxNz$(T\setminus(O \cup L))$.
\endalgo
\>{\I Poznámka:} Toto doká¾eme naprogramovat v~$\O(n)$ (udr¾ujeme si frontu listù).

\s{Problém: Batoh}

\>Je daná mno¾ina $n$~pøedmìtù s~hmotnostmi $h_1,\ldots,h_n$
a cenami $c_1,\ldots,c_n$ a~batoh, který unese hmostnost~$H$. Najdìte takovou
podmno¾inu pøedmìtù, jejich¾ celková hmotnost je maximálnì $H$ a celková cena
je maximální mo¾ná.

\>Tento problém je zobecnìním problému batohu z~minulé pøedná¹ky dvìma smìry:
Jednak místo rozhodovacího problému øe¹íme optimalizaèní, jednak pøedmìty
mají ceny (pøedchozí verze odpovídala tomu, ¾e ceny jsou rovny hmotnostem).
Uká¾eme si algoritmus pro øe¹ení tohoto obecného problému, jeho¾ èasová
slo¾itost bude polynomiální v~poètu pøedmìtù~$n$ a souètu v¹ech cen~$C=\sum_i
c_i$.

\>Pou¾ijeme dynamické programování. Pøedstavme si problém omezený na~prvních~$k$
pøedmìtù. Oznaème si $A_k(c)$ (kde $0\le c\le C$) minimální hmotnost
podmno¾iny, její¾ cena je právì~$c$. Tato $A_k$ spoèteme indukcí podle~$k$:
Pro $k=0$ je urèitì $A_0(0)=0$, $A_0(c)=infty$ pro $c>0$. Pokud ji¾ známe
$A_{k-1}$, spoèítáme $A_k$ následovnì: $A_k(c)$ odpovídá nìjaké podmno¾inì
pøedmìtù z~$1,\ldots,k$. V~této podmno¾inì jsme buïto $k$-tý pøedmìt nepou¾ili
(a pak je $A_k(c)=A_{k-1}(c)$), nebo pou¾ili a tehdy bude $A_k(c) =
A_{k-1}(c-c_k) + h_k$ (to samozøejmì jen pokud $c\ge c_k$). Z~tìchto dvou
mo¾ností si vybereme tu, která dává mno¾inu s~men¹í hmotností. Tedy:
$$
A_k(c) = \min (A_{k-1}(c), A_{k-1}(c-c_k) + h_k).
$$
Tímto zpùsobem v~èase $\O(C)$ spoèteme $A_k(c)$ pro fixní $k$ a v¹echna $c$,
v~èase $\O(nC)$ pak v¹echny $A_k(c)$.

\>Podle $A_n$ snadno nalezneme maximální cenu mno¾iny, která se vejde do~batohu.
To bude nejvìt¹í~$c^*$, pro nì¾ je $A_n(c^*) \le H$. Jeho nalezení nás stojí
èas $\O(C)$.

\>A~jak zjistit, které pøedmìty do~nalezené mno¾iny patøí? Upravíme algoritmus,
aby si pro ka¾dé $A_k(c)$ pamatoval $B_k(c)$, co¾ bude index posledního pøedmìtu,
který jsme do~pøíslu¹né mno¾iny pøidali. Pro nalezené $c^*$ tedy bude $i=B_n(c^*)$
poslední pøedmìt v~nalezené mno¾inì, $i'=B_{i-1}(c^*-c_i)$ ten pøedposlední
a tak dále. Takto v~èase $\O(n)$ rekonstruujeme celou mno¾inu od~posledního
prvku k~prvnímu.

\>Ukázali jsme tedy algoritmus s~èasovou slo¾itostí $\O(nC)$, který vyøe¹í
problém batohu. Jeho slo¾itost není polynomem ve~velikosti vstupu ($C$~mù¾e
být a¾ exponenciálnì velké vzhledem k~velikosti vstupu), ale pouze ve~velikosti
èísel na~vstupu. Takovým algoritmùm se øíká {\I pseudopolynomiální.} Ani takové
algoritmy ale nejsou k dispozici pro v¹echny problémy (napø. u problému obchodního
cestujícího nám vùbec nepomù¾e, ¾e váhy hran budou malá èísla).

\s{Verze bez cen:} Na verzi s~cenami rovnými hmotnostem se dá pou¾ít
i jiný algoritmus zalo¾ený na~dynamickém programování: poèítáme mno¾iny
$Z_k$ obsahující v¹echny hmotnosti men¹í ne¾~$H$, kterých nabývá
nìjaká podmno¾ina prvních~$k$ prvkù. Pøitom $Z_0=\{0\}$, $Z_k$
spoèteme ze~$Z_{k-1}$ --- udr¾ujme si $Z_{k-1}$ jako setøídìný spojový seznam,
výpoèet dal¹ího seznamu udìláme slitím dvou seznamù $Z_{k-1}$ a $Z_{k-1}$ se
v¹emi prvky zvý¹enými o hmotnost $k$ zahazujíce duplicitní a pøíli¹ velké hodnoty ---
a ze~$Z_n$ vyèteme výsledek. V¹echny tyto mno¾iny
mají nejvý¹e $H$ prvkù, tak¾e celková èasová slo¾itost algoritmu je~$\O(nH)$.

\h{Druhý zpùsob: Aproximace}

\>V pøedcházejících problémech jsme se zamìøili na~speciální pøípady. Obèas v¹ak
takové ¹tìstí nemáme a musíme vyøe¹it celý NP-úplný problém. Mù¾eme si v¹ak
pomoct tím, ¾e se ho nebudeme sna¾it vyøe¹it optimálnì -- namísto optimálního
øe¹ení najdeme nìjaké, které je nejvý¹e $c$-krát hor¹í pro nìjakou konstantu $c$.

\s{Problém: Obchodní cestující}

\>{\I Vstup:} Neorientovaný graf~$G$, ka¾dá hrana
je ohodnocená funkcí $w: E(G)\rightarrow {\bb R }^+_0$.

\>{\I Výstup:} Hamiltonovská kru¾nice (obsahující v¹echny vrcholy grafu), a~to ta nejkrat¹í
(podle ohodnocení).

\>Tento problém je hned na~první pohled nároèný -- u¾ sama existence
hamiltonovské kru¾nice je NP-úplná. Najdeme aproximaèní algoritmus nejprve za pøedpokladu,
¾e vrcholy splòují trojúhelníkovou nerovnost (tj. $\forall x,y,z \in V: w(xz)\le
w(xy)+w(yz)$), potom uká¾eme, ¾e v úplnì obecném pøípadé by samotná existence
aproximaèního algoritmu implikovala ${\rm P=NP }$.

\>{\I a) trojúhelníková nerovnost:}

Existuje pìkný algoritmus, který najde hamiltonovskou kru¾nici o délce $\leq
2\cdot opt$, kde $opt$ je délka nejkrat¹í hamiltonovské kru¾nice.
Vedle pøedpokladu trojúhelníkové
nerovnosti budeme potøebovat, aby ná¹ graf byl úplný. Souhrnnì mù¾eme
pøedpokládat, ¾e úlohu øe¹íme v nìjakém metrickém protoru, ve kterém jsou obì
podmínky podle definice splnìny.

Najdeme nejmen¹í kostru grafu a obchodnímu cestujícímu poradíme, a» jde po~ní -- kostru
zakoøeníme a projdeme jako strom do hloubky, pøièem¾ se zastavíme a¾ v koøeni po projití
v¹ech vrcholù. Problém v¹ak je, ¾e prùchod po kostøe obsahuje
nìkteré vrcholy i hrany vícekrát, a proto musíme nahradit nepovolené vracení se.
Máme-li na nìjaký vrchol vstoupit podruhé, prostì ho ignorujeme a pøesuneme se
rovnou na dal¹í nenav¹tívený -- dovolit si to mù¾eme, graf je úplný a obsahuje
hrany mezi v¹emi dvojicemi vrcholù
(jinak øeèeno, poøadí vrcholù kru¾nice bude preorder výpis prùchodem do hloubky).
Pokud platí trojúhelníková nerovnost, tak si tìmito zkratkami neu¹kodíme.
Nech» minimální kostra má váhu~$T$. Pokud bychom pro¹li celou kostru, bude mít
sled váhu~$2T$ (ka¾dou hranou kostry jsme ¹li tam a zpátky), a pøeskakování
vrcholù celkovou váhu nezvìt¹uje (pøi pøeskoku
nahradíme cestu $xyz$ jedinou hranou $xz$, pøièem¾ z trojúhelníkové nerovnosti
máme $xz \leq xy + xz$), tak¾e váha nalezené
hamiltonovské kru¾nice bude také nanejvý¹ $2T$.

Kdy¾ máme hamiltonovskou kru¾nici $C$ a z~ní vy¹krtneme hranu, dostaneme kostru
grafu~$G$ s~váhou men¹í ne¾ $C$ -- ale ka¾dá kostra je alespoò tak tì¾ká
jako minimální kostra $T$. Tedy optimální hamiltonovská kru¾nice je urèitì tì¾¹í
ne¾ minimální kostra $T$. Kdy¾ tyto dvì nerovnosti slo¾íme
dohromady, algoritmus nám vrátí hamiltonovskou kru¾nici $T'$ s~váhou nanejvý¹
dvojnásobnou vzhledem k optimální hamiltonovské kru¾nici ($T' \leq 2T < 2C$). Takovéto
algoritmy se nazývají {\I 2-aproximaèní}, kdy¾ øe¹ení je maximálnì dvojnásobné
od~optimálního.\foot{Hezkým trikem se v obecných metrických prostorech umí
$1{,}5$-aproximace. Ve~nìkterých metrických prostorech (tøeba v euklidovské
rovinì) se aproximaèní pomìr dá dokonce srazit na
libovolnì blízko k 1. Zaplatíme ale na èase -- èím pøesnìj¹í výsledek
po algoritmu chceme, tím déle to bude trvat.}

\>{\I b) bez~trojúhelníkové nerovnosti:}

Zde se budeme naopak sna¾it ukázat, ¾e ¾ádný polynomiální aproximaèní
algoritmus neexistuje.

\s{Vìta:} Pokud pro~libovolné~$\varepsilon>0$ existuje polynomiální
$(1+\varepsilon)$-aproximaèní algoritmus pro~problém obchodního cestujícího bez~trojúhelníkové nerovnosti, tak ${\rm P = NP }$.

\proof Uká¾eme, ¾e v~takovém pøípadì doká¾eme v~polynomiálním èase zjistit,
zda v grafu existuje hamiltonovská kru¾nice.

\>Dostali jsme graf~$G$, ve~kterém hledáme hamiltonovskou kru¾nici. Doplníme
$G$ na~úplný graf~$G'$ a~váhy hran~$G'$ nastavíme takto:
\itemize\ibull
\: $w(e) = 1$, kdy¾ $e \in E(G)$
\: $w(e) = c \gg 1$, kdy¾ $e \not\in E(G)$
\endlist
\>Konstantu $c$ potøebujeme zvolit tak velkou, abychom jasnì poznali, jestli
je ka¾dá hrana z nalezené hamiltonovské kru¾nice hranou grafu $G$ (pokud by
nebyla, bude kru¾nice obsahovat aspoò jednu hranu s váhou $c$, která vy¾ene
souèet poznatelnì vysoko). Pokud existuje hamiltonovská kru¾nice v~$G'$ slo¾ená jen
z~hran, které byly
pùvodnì v~$G$, pak optimální øe¹ení bude mít váhu~$n$, jinak bude urèitì
minimálnì $n-1+c$. Kdy¾ máme aproximaèní algoritmus s~pomìrem~$1+\varepsilon$,
musí tedy být
$$
\eqalign{
(1+\varepsilon)\cdot n &< n-1+c \cr
\varepsilon n+1 &< c
}
$$
\>Kdyby takový algoritmus existoval, máme polynomiální algoritmus
na~hamiltonovskou kru¾nici.
\qed

\s{Poznámka:} O existenci pseudopolynomiálního algoritmu
platí analogická vìta, a doká¾e se analogicky -- existující hrany budou
mít váhu 1, neexistující váhu 2.

\h{Aproximaèní schéma pro problém batohu}

Ji¾ víme, jak optimalizaèní verzi problému batohu vyøe¹it v~èase $\O(nC)$,
pokud jsou hmotnosti i ceny na~vstupu pøirozená èísla a $C$ je souèet v¹ech cen.
Jak si poradit, pokud je~$C$ obrovské? Kdybychom mìli ¹tìstí a v¹echny
ceny byly dìlitelné nìjakým èíslem~$p$, mohli bychom je tímto èíslem
vydìlit. Tím bychom dostali zadání s~men¹ími èísly, jeho¾ øe¹ením by byla
stejná mno¾ina pøedmìtù jako u~zadání pùvodního.

Kdy¾ nám ¹tìstí pøát nebude, mù¾eme pøesto zkusit ceny vydìlit a výsledky
nìjak zaokrouhlit. Øe¹ení nové úlohy pak sice nebude pøesnì odpovídat optimálnímu
øe¹ení té pùvodní, ale kdy¾ nastavíme parametry správnì, bude alespoò jeho dobrou aproximací.

\s{Základní my¹lenka:}

Oznaèíme si $c_{max}$ maximum z~cen~$c_i$. Zvolíme si nìjaké pøirozené èíslo~$M < c_{max}$
a zobrazíme interval cen $[0, c_{max}]$ na $[0,M]$ (tedy ka¾dou cenu znásobíme
$M/c_{max}$).
Jak jsme tím zkreslili výsledek? V¹imnìme si, ¾e efekt je stejný, jako kdybychom jednotlivé
ceny zaokrouhlili na~násobky èísla $c_{max}/M$ (prvky z intervalu
$[i\cdot c_{max}/M,(i+1)\cdot c_{max}/M)$ se zobrazí na stejný prvek). Ka¾dé $c_i$ jsme tím
tedy zmìnili o~nejvý¹e $c_{max}/M$, celkovou cenu libovolné podmno¾iny pøedmìtù pak
nejvý¹e o~$n\cdot c_{max}/M$. Teï si je¹tì v¹imnìme, ¾e pokud ze~zadání odstraníme
pøedmìty, které se samy nevejdou do~batohu, má optimální øe¹ení pùvodní úlohy cenu $OPT\ge c_{max}$,
tak¾e chyba v~souètu je nejvý¹e $n\cdot OPT/M$. Má-li tato chyba být shora omezena
$\varepsilon\cdot OPT$, musíme zvolit $M\ge n/\varepsilon$.\foot{Pøipomìòme, ¾e toto je¹tì není dùkaz, nebo» velkoryse pøehlí¾íme chyby dané zaokrouhlováním. Dùkaz provedeme ní¾e.}

\s{Algoritmus:}
\algo
\:Odstraníme ze~vstupu v¹echny pøedmìty tì¾¹í ne¾~$H$.
\:Spoèítáme $c_{max}=\max_i c_i$ a zvolíme $M=\lceil n/\varepsilon\rceil$.
\:Kvantujeme ceny: $\forall i: \hat{c}_i \leftarrow \lfloor c_i \cdot M/c_{max} \rfloor$.
\:Vyøe¹íme dynamickým programováním problém batohu pro upravené ceny $\hat{c}_1, \ldots, \hat{c}_n$
a pùvodní hmotnosti i kapacitu batohu.
\:Vybereme stejné pøedmìty, jaké pou¾ilo optimální øe¹ení kvantovaného zadání.
\endalgo

\>Kroky 1--3 a 5 jistì zvládneme v~èase $\O(n)$. Krok~4 øe¹í problém batohu
se souètem cen $\hat{C}\le nM = \O(n^2/\varepsilon)$, co¾ stihne v~èase $\O(n\hat{C})=\O(n^3/\varepsilon)$.
Zbývá dokázat, ¾e výsledek na¹eho algoritmu má opravdu relativní chybu nejvý¹e~$\varepsilon$.

Nejprve si rozmyslíme, jakou cenu budou mít pøedmìty které daly optimální øe¹ení
v pùvodním zadání (tedy mají v pùvodním zadání dohromady cenu $OPT$),
kdy¾ jejich ceny nakvantujeme (mno¾inu indexù tìchto pøedmìtù si oznaèíme~$Y$):
$$
\eqalign{
\widehat{OPT} &= \sum_{i\in Y} \hat{c}_i =
\sum_i \left\lfloor c_i\cdot {M\over c_{max}} \right\rfloor \ge
\sum_i \left( c_i\cdot {M\over c_{max}} - 1 \right) \ge \cr
&\ge
\biggl(\sum_i c_i \cdot {M\over c_{max}}\biggr) - n =
OPT \cdot {M\over c_{max}} - n.
}
$$
Nyní spoèítejme, jak dopadne optimální øe¹ení~$Q$ nakvantovaného problému pøi pøepoètu
na~pùvodní ceny (to je výsledek na¹eho algoritmu):
$$
\eqalign{
ALG &= \sum_{i\in Q} c_i \ge
\sum_i \hat{c}_i \cdot {c_{max}\over M} =
\biggl(\sum_i \hat{c}_i\biggr) \cdot {c_{max}\over M} \ge^*
\widehat{OPT} \cdot {c_{max}\over M}.
}
$$
Nerovnost $\ge^*$ platí proto, ¾e $\sum_{i\in Q} \hat{c}_i$ je optimální øe¹ení
kvantované úlohy, zatímco $\sum_{i\in Y} \hat{c}_i$ je nìjaké dal¹í øe¹ení té¾e úlohy,
které nemù¾e být lep¹í. Teï u¾ staèí slo¾it obì nerovnosti a dosadit za~$M$:
$$
\eqalign{
ALG &\ge \biggl( { OPT \cdot M\over c_{max}} - n\biggr) \cdot {c_{max}\over M} \ge
OPT - {n\cdot c_{max}\over n / \varepsilon} \ge OPT - \varepsilon c_{max} \ge \cr
&\ge OPT - \varepsilon OPT = (1-\varepsilon)\cdot OPT.
}
$$
Algoritmus tedy v¾dy vydá øe¹ení, které je nejvý¹e $(1-\varepsilon)$-krát hor¹í ne¾ optimum,
a~doká¾e to pro libovolné~$\varepsilon$ v~èase polynomiálním v~$n$. Takovému algoritmu øíkáme
{\I polynomiální aproximaèní schéma} (jinak té¾ PTAS\foot{Polynomial-Time Approximation Scheme}).
V~na¹em pøípadì je dokonce slo¾itost polynomiální i v~závislosti na~$1/\varepsilon$, tak¾e
schéma je {\I plnì polynomiální} (øeèené té¾ FPTAS\foot{Fully Polynomial-Time Approximation
Scheme}). U nìkterých problémù se stává, ¾e aproximaèní schéma závisí na
$1/\varepsilon$ exponenciálnì, co¾ tak pøíjemné není. Shròme, co jsme zjistili, do následující vìty:

\s{Vìta:}
Existuje algoritmus, který pro ka¾dé $\varepsilon > 0$ nalezne
{\I $(1 - \varepsilon)$-aproximaci} problému batohu s $n$ pøedmìty v èase
$\O(n^3/\varepsilon)$.

\bye
