\input lecnotes.tex

\prednaska{8}{Pøevody problémù a NP-úplnost}{}

\def\prob#1{\h{Problém #1}}
\def\inp{\s{Vstup problému:} }
\def\outp{\s{Výstup problému:} }

V¹echny úlohy, které jsme zatím potkali, jsme umìli vyøe¹it algoritmem
s~polynomiální èasovou slo¾itostí. V~prvním pøiblí¾ení mù¾eme øíci, ¾e
polynomialita docela dobøe vystihuje praktickou pou¾itelnost algoritmu.%
\foot{Jistì vás napadne spousta protipøíkladù, jako tøeba algoritmus se
slo¾itostí $\O(1.001^n)$, který nejspí¹ je pou¾itelný, aèkoliv není polynomiální,
a~jiný se slo¾itostí $\O(n^{100})$, u~kterého je tomu naopak. Ukazuje se,
¾e tyto pøípady jsou velmi øídké, tak¾e u~vìt¹iny problémù ná¹ zjednodu¹ený
pohled funguje pøekvapivì dobøe.}

Existují tedy polynomiální algoritmy pro v¹echny úlohy? Zajisté ne,
jsou dokonce i takové úlohy, je¾ ¾ádným algoritmem vyøe¹it nelze.
Ale i mezi tìmi algoritmicky øe¹itelnými potkáme spoustu úloh,
pro které zatím ¾ádný polynomiální algoritmus není známý (ale ani neumíme
dokázat, ¾e neexistuje). Takové úlohy jsou pøekvapivì èasté, proto se
na této pøedná¹ce podíváme na nìkolik typických pøíkladù.

Navíc uvidíme, ¾e aèkoliv tyto úlohy neumíme efektivnì øe¹it, jde mezi
nimi nalézt zajímavé vztahy a pomocí tìchto vztahù obtí¾nost problémù
vzájemnì porovnávat. Z~tìchto úvah vyrùstá i skuteèná teorie slo¾itosti
se svými hierarchiemi slo¾itostních tøíd. Mù¾ete tedy následující kapitolu
pova¾ovat za malou ochutnávku toho, jak lze k~tøídám problémù pøistupovat.

\h{Rozhodovací problémy a pøevody mezi nimi}

Aby se nám teorie pøíli¹ nerozko¹atila, omezíme své úvahy na rozhodovací
problémy. To jsou úlohy, jejich¾ výstupem je jediný bit -- máme tedy rozhodnout,
zda vstup má èi nemá urèenou vlastnost. Vstup pøitom budeme reprezentovat øetìzcem
nul a jednièek -- libovolnou jinou \uv{rozumnou} reprezentaci doká¾eme na tyto
øetìzce pøevést v~polynomiálním èase. Formálnìji:

\s{Definice:} {\I Rozhodovací problém} (zkrácenì {\I problém}) je funkce z~mno¾iny $\{0,1\}^*$ v¹ech
øetìzcù nad binární abecedou do mno¾iny $\{0,1\}$.%
\foot{Ekvivalentnì bychom se na~problém mohli také dívat jako na nìjakou
mno¾inu $A\subseteq \{0,1\}^*$ vstupù, na nì¾ je odpovìï~1. Tento pøístup
mají rádi v~teorii automatù.}

\s{Pøíklad problému:} {\I Bipartitní párování} -- je dán bipartitní graf
a èíslo $k \in {\bb N}$. Zapí¹eme je pomocí øetìzce bitù: graf tøeba maticí
sousednosti, èíslo dvojkovì (detaily kódování budeme nadále vynechávat). Máme
odpovìdìt, zda v~zadaném grafu existuje párování, které obsahuje alespoò $k$
hran.

(Otázka, zda existuje párování o~právì~$k$ hranách, je ekvivalentní,
proto¾e mù¾eme libovolnou hranu z~párování vypustit a bude to stále párování.)

\s{Odboèka:} Èasto nás samozøejmì nejen zajímá, zda párování existuje, ale také
chceme nìjaké konkrétní najít. I~to jde pomocí rozhodovací verze problému snadno
zaøídit. Podobný postup funguje pro mnoho dal¹ích problémù.

Mìjme èernou skøíòku (fungující v polynomiálním èase), která odpoví, zda daný
graf má nebo nemá párování o~$k$ hranách. Odebereme z~grafu libovolnou hranu
a zeptáme se, jestli i tento nový graf má párovaní velikosti~$k$. Kdy¾ má, pak tato
hrana nebyla pro existenci párování potøebná, a~tak ji odstraníme. Kdy¾ naopak
nemá (hrana patøí do ka¾dého párování po¾adované velikosti), tak si danou hranu
poznamenáme a odebereme nejen ji a její vrcholy, ale také hrany, které do tìchto
vrcholù vedly. Toto je korektní krok, proto¾e v pùvodním grafu tyto vrcholy
byly navzájem spárované, a tedy nemohou být spárované s~¾ádnými jinými vrcholy.
Na~nový graf aplikujeme znovu tentý¾ postup. Výsledkem je mno¾ina hran, které patøí
do hledaného párování. Hran, a tedy i iterací na¹eho algoritmu, je polynomiálnì
mnoho a skøíòka funguje v polynomiálním èase, tak¾e celý algoritmus je polynomiální.%
\foot{Zde se skrývá hlavní dùvod, proè informatici mají tak rádi polynomiální
algoritmy. Tøída v¹ech polynomù je toti¾ nejmen¹í tøídou funkcí, která obsahuje
v¹echny \uv{základní} funkce (konstanty, $n$, $n^2$, \dots) a je uzavøená na sèítání,
odèítání, násobení i skládání funkcí.}

\s{Zpìt z~odboèky:} Jak párovací problém vyøe¹it? Vìrni matfyzáckým vtipùm,
pøevedeme ho na nìjaký, který u¾ vyøe¹it umíme. To u¾ ostatnì umíme -- na~toky
v~sítích. Poka¾dé, kdy¾ se ptáme na existenci párování velikosti alespoò~$k$
v~nìjakém bipartitním grafu, umíme efektivnì sestrojit nìjakou sí» a zeptat se,
zda v~této síti existuje tok velikosti alespoò~$k$. Chceme tedy pøelo¾it vstup
jednoho problému na vstup jiného problému tak, aby odpovìï zùstala stejná.

Takovéto pøevody mezi problémy mù¾eme definovat i~obecnìji:

\s{Definice:} Jsou-li $A$, $B$ rozhodovací problémy, øíkáme, ¾e $A$ lze {\I
pøevést} (neboli {\I redukovat}) na~$B$ (pí¹eme $A \rightarrow B$) právì tehdy,
kdy¾ existuje funkce $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ taková, ¾e pro v¹echna
$x\in \{0,1\}^*$ platí $A(x) = B(f(x))$, a~navíc lze funkci~$f$ spoèítat v~polynomiálním
èase.

\s{Pozorování:} $A\rightarrow B$ také znamená, ¾e problém~$B$ je alespoò tak tì¾ký
jako problém~$A$. Tím myslíme, ¾e kdykoliv umíme vyøe¹it~$B$, je vyøe¹it~$A$ nejvý¹e
polynomiálnì obtí¾nìj¹í. Speciálnì platí:

\s{Lemma:} Pokud $A\rightarrow B$ a $B$~lze øe¹it v~polynomiálním èase,
pak i~$A$ lze øe¹it v~polynomiálním èase.

\proof
Nech» existuje algoritmus øe¹ící problém~$B$ v~èase $\O(b^k)$, kde $b$~je
délka vstupu tohoto problému a $k$~konstanta. Mìjme dále funkci~$f$ pøevádìjící
$A$ na~$B$ v~èase $\O(a^\ell)$ pro vstup délky~$a$. Chceme-li nyní spoèítat
$A(x)$ pro nìjaký vstup~$x$ délky~$a$, spoèítáme nejprve $f(x)$. To bude trvat
$\O(a^\ell)$ a vyjde výstup délky takté¾ $\O(a^\ell)$ -- del¹í bychom v~daném èase
ani nestihli vypsat. Tento vstup pak pøedáme algoritmu pro problém~$B$,
který nad ním stráví èas $\O((a^\ell)^k) = \O(a^{k\ell})$. Celkový èas výpoètu
tedy èiní $\O(a^\ell + a^{k\ell})$, co¾ je polynom v~délce pùvodního vstupu.
\qed

Relace pøevoditelnosti jistým zpùsobem porovnává problémy podle obtí¾nosti.
Nabízí se pøedstava, ¾e se jedná o~uspoøádání na mno¾inì v¹ech problémù. Je tomu
doopravdy tak?

\s{Pozorování:} O~relaci \uv{$\rightarrow$} platí:
\itemize\ibull
\:{\I Je reflexivní} ($A\rightarrow A$) -- úlohu mù¾eme pøevést na tuté¾ identickým zobrazením.
\:{\I Je tranzitivní} ($A\rightarrow B \land B\rightarrow C \Rightarrow A\rightarrow C$) --
pokud funkce~$f$ pøevádí $A$ na~$B$ a funkce~$g$ pøevádí $B$ na~$C$, pak funkce $g\circ f$
pøevádí $A$ na~$C$. Slo¾ení dvou polynomiálnì vyèíslitelných funkcí je zase polynomiálnì
vyèíslitelná funkce, jak u¾ jsme zpozorovali v~dùkazu pøedchozího lemmatu.
\:{\I Není antisymetrická} -- napøíklad problémy \uv{na vstupu je øetìzec zaèínající nulou}
a \uv{na vstupu je øetìzec konèící nulou} lze mezi sebou pøevádìt obìma smìry.
\:Existují {\I navzájem nepøevoditelné problémy} -- tøeba mezi problémy \uv{na ka¾dý vstup
odpovìz~0} a \uv{na ka¾dý vstup odpovìz~1} nemù¾e existovat pøevod ani jedním smìrem.
\endlist

\>Relacím, které jsou reflexivní a tranzitivní, ale obecnì nesplòují antisymetrii,
se øíká {\I kvaziuspoøádání}. Pøevoditelnost je tedy èásteèné kvaziuspoøádání na mno¾inì
v¹ech problémù.\foot{Kdybychom z~nìj chtìli vyrobit opravdové (by» èásteèné) uspoøádání,
mohli bychom definovat ekvivalenci $A\sim B \equiv A\rightarrow B \land B\rightarrow A$
a relaci pøevoditelnosti zavést jen na tøídách této ekvivalence. Taková pøevoditelnost
by u¾ byla slabì antisymetrická. To je v~matematice dost bì¾ný trik, øíká se mu {\I faktorizace} kvaziuspoøádání.}

Nyní se ji¾ podíváme na pøíklady nìkolika problémù, které se obecnì pova¾ují
za tì¾ké. Uvidíme, ¾e ka¾dý z~nich je mo¾né pøevést na v¹echny ostatní, tak¾e
z~na¹eho \uv{polynomiálního} pohledu jsou stejnì obtí¾né.

\prob{SAT -- splnitelnost (satisfiability) logických formulí v~CNF}

Mìjme nìjakou logickou formuli s~promìnnými a logickými spojkami. Zajímá
nás, je-li tato formule {\I splnitelná,} tedy zda lze za promìnné dosadit
0 a~1 tak, aby formule dala výsledek~1 (byla {\I splnìna}).

Zamìøíme se na formule ve~speciálním tvaru, v~takzvané {\I konjunktivní normální
formì (CNF):}

\itemize\ibull
\:{\I formule} je slo¾ena z~jednotlivých {\I klauzulí} oddìlených spojkou~$\land$,
\:ka¾dá {\I klauzule} je slo¾ená z {\I literálù} oddìlených $\lor$,
\:ka¾dý {\I literál} je buïto promìnná nebo její negace.
\endlist

\inp Formule $\psi$ v konjunktivní normální formì.

\outp Existuje-li dosazení 0 a~1 za promìnné tak, aby $\psi(\ldots) = 1$.

\s{Pøíklad:} Formule $(x\lor y\lor z) \land (\lnot x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor z) \land (x \lor y \lor \lnot z)$
je splnitelná, staèí nastavit napøíklad $x=y=z=1$ (jaká jsou ostatní splòující
ohodnocení?). Naproti tomu formule $(x\lor y) \land (x\lor \lnot y)
\land \lnot x$ splnitelná není, co¾ snadno ovìøíme tøeba vyzkou¹ením v¹ech
ètyø mo¾ných ohodnocení.

\s{Poznámka:} Co kdybychom chtìli zjistit, zda je splnitelná nìjaká formule,
která není v~CNF? V~logice se dokazuje, ¾e ke~ka¾dé formuli lze najít ekvivalentní
formuli v~CNF, ale pøi tom se bohu¾el formule mù¾e a¾ exponenciálnì prodlou¾it.
Pozdìji uká¾eme, ¾e pro ka¾dou formuli~$\chi$ existuje nìjaká formule $\chi'$ v~CNF,
která je splnitelná právì tehdy, kdy¾ je $\chi$ splnitelná. Formule $\chi'$ pøitom
bude dlouhá $\O(\vert\chi\vert)$, ale budou v~ní nìjaké nové promìnné.

\prob{3-SAT -- splnitelnost formulí s~krátkými klauzulemi}

Pro SAT zatím není známý ¾ádný polynomiální algoritmus. Co kdybychom zkusili
problém trochu zjednodu¹it a uva¾ovat pouze formule ve~speciálním tvaru?

Povolíme tedy na vstupu pouze takové formule v~CNF, jejich¾ ka¾dá klauzule obsahuje
nejvý¹e tøi literály. Uká¾eme, ¾e tento problém je stejnì tì¾ký jako pùvodní SAT.

\s{Pøevod 3-SATu na SAT:}
Jeliko¾ 3-SAT je speciálním pøípadem SATu, poslou¾í tu jako pøevodní funkce
identické zobrazení.

\s{Pøevod SATu na 3-SAT:}
Nech» se ve~formuli vyskytuje nìjaká \uv{¹patná} klauzule o~$k>3$ literálech.
Mù¾eme ji zapsat ve~tvaru $(\alpha\lor\beta)$, kde $\alpha$ obsahuje 2~literály
a $\beta$ $k-2$ literálù. Poøídíme si novou promìnnou~$x$ a klauzuli nahradíme
dvìma novými $(\alpha\lor x)$ a $(\beta\lor\lnot x)$. První z~nich obsahuje 3~literály,
tedy je dobrá. Druhá má $k-1$ literálù, tak¾e mù¾e být stále ¹patná, ale aspoò je
krat¹í, tak¾e mù¾eme postup opakovat.

Takto postupnì nahradíme v¹echny ¹patné klauzule dobrými, co¾ bude trvat nejvý¹e
polynomiálnì dlouho: klauzuli délky~$k$ rozebereme po $k-3$ krocích, ¹patných
klauzulí je lineárnì s~délkou formule.

Zbývá ukázat, ¾e nová formule je splnitelná právì tehdy, byla-li splnitelná
formule pùvodní. K~tomu staèí ukázat, ¾e ka¾dý jednotlivý krok pøevodu splnitelnost
zachovává.

Pokud pùvodní formule byla splnitelná, uva¾me nìjaké splòující ohodnocení promìnných.
Uká¾eme, ¾e v¾dy mù¾eme novou promìnnou~$x$ nastavit tak, aby vzniklo splòující
ohodnocení nové formule. Víme, ¾e klauzule $(\alpha\lor\beta)$ byla splnìna. Proto
v~daném ohodnocení:
\itemize\ibull
\:Buïto $\alpha=1$. Pak polo¾íme $x=0$, tak¾e $(\alpha\lor x)$ bude splnìna díky~$\alpha$
  a $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$x$.
\:Anebo $\alpha=0$, a~tedy $\beta=1$. Pak polo¾íme $x=1$, èím¾ bude $(\alpha\lor x)$ splnìna díky~$x$,
  zatímco $(\beta\lor\lnot x)$ díky~$\beta$.
\endlist
\>Ostatní klauzule budou stále splnìny.

V~opaèném smìru: pokud dostaneme splòující ohodnocení nové formule, umíme z~nìj získat
splòující ohodnocení formule pùvodní. Uká¾eme, ¾e staèí zapomenout promìnnou~$x$.
V¹echny klauzule, kterých se na¹e transformace netýká, jsou nadále splnìné.
Co klauzule $(\alpha\lor\beta)$?
\itemize\ibull
\:Buïto $x=0$, pak musí být $(\alpha\lor x)$ splnìna díky~$\alpha$, tak¾e
  $(\alpha\lor\beta)$ je také splnìna díky~$\alpha$.
\:Anebo $x=1$, pak musí být $(\beta\lor\lnot x)$ splnìna díky~$\beta$, tak¾e
  i $(\alpha\lor\beta)$ je splnìna.
\endlist

\>Tím je pøevod hotov, SAT a 3-SAT jsou tedy ekvivalentní.

\prob{NzMna -- nezávislá mno¾ina vrcholù v~grafu}

\s{Definice:} Mno¾ina vrcholù grafu je {\I nezávislá,} pokud ¾ádné dva
vrcholy le¾ící v~této mno¾inì nejsou spojeny hranou. (Jinými slovy nezávislá
mno¾ina indukuje podgraf bez hran.)

\figure{nezmna.eps}{Pøíklad nezávislé mno¾iny}{0.7in}

\>Na samotnou existenci nezávislé mno¾iny se nemá smysl ptát -- prázdná mno¾ina
èi libovolný jeden vrchol jsou v¾dy nezávislé. Zajímavé ale je, jestli graf obsahuje
dostateènì velkou nezávislou mno¾inu.

\inp Neorientovaný graf $G$ a èíslo $k \in {\bb N}$.

\outp Zda existuje nezávislá mno¾ina $A \subseteq V(G)$ velikosti alespoò~$k$.

\s{Pøevod 3-SAT $\rightarrow$ NzMna:}
Dostaneme formuli a máme vytvoøit graf, v~nìm¾ se bude nezávislá mno¾ina
urèené velikosti nacházet právì tehdy, je-li formule splnitelná.
My¹lenka pøevodu bude jednoduchá: z~ka¾dé klauzule budeme chtít vybrat jeden
literál, jeho¾ nastavením klauzuli splníme. Samozøejmì si musíme dát pozor, abychom
v~rùzných klauzulích nevybírali konfliktnì, tj. jednou~$x$ a podruhé~$\lnot x$.

Jak to pøesnì zaøídit:
pro ka¾dou z~$k$~klauzulí zadané formule vytvoøíme trojúhelník a jeho vrcholùm
pøiøadíme literály klauzule. (Pokud by klauzule obsahovala ménì literálù,
prostì nìkteré vrcholy trojúhelníka sma¾eme.) Navíc spojíme hranami v¹echny
dvojice konfliktních literálù ($x$ a~$\lnot x$) z~rùzných trojúhelníkù.

V~tomto grafu se budeme ptát po nezávislé mno¾inì velikosti alespoò~$k$.
Jeliko¾ z~ka¾dého trojúhelníka mù¾eme do~nezávislé mno¾iny vybrat nejvý¹e jeden vrchol,
jediná mo¾nost, jak dosáhnout po¾adované velikosti, je vybrat z~ka¾dého právì jeden
vrchol. Uká¾eme, ¾e taková nezávislá mno¾ina existuje právì tehdy, je-li formule splnitelná.

Máme-li splòující ohodnocení formule, mù¾eme z~ka¾dé klauzule vybrat jeden splnìný
literál. Do nezávislé mno¾iny umístíme vrcholy odpovídající tìmto literálùm. Je jich
právì~$k$. Jeliko¾ ka¾dé dva vybrané vrcholy le¾í v~rùzných trojúhelnících a nikdy
nemù¾e být splnìný souèasnì literál a jeho negace, mno¾ina je opravdu nezávislá.

A~opaènì: Kdykoliv dostaneme nezávislou mno¾inu velikosti~$k$, vybereme literály
odpovídající vybraným vrcholùm a pøíslu¹né promìnné nastavíme tak, abychom tyto
literály splnili. Díky hranám mezi konfliktními literály se nikdy nestane, ¾e bychom
potøebovali promìnnou nastavit souèasnì na~0 a na~1. Zbývající promìnné ohodnotíme
libovolnì. Jeliko¾ jsme v~ka¾dé klauzuli splnili alespoò jeden literál, jsou
splnìny v¹echny klauzule, a~tedy i celá formule.

Pøevod je tedy korektní, zbývá rozmyslet, ¾e bì¾í v~polynomiálním èase:
Poèet vrcholù grafu odpovídá poètu literálù ve formuli, poèet hran je maximálnì
kvadratický. Ka¾dý vrchol i hranu pøitom sestrojíme v~polynomiálním èase, tak¾e
celý pøevod je také polynomiální.

\figure{nezmna_graf.eps}{Graf pro formuli $(x \lor y \lor z) \land (x \lor \lnot y \lor \lnot z) \land (\lnot x \lor \lnot y \lor p)$}{3in}

\s{Pøevod NzMna $\rightarrow$ SAT:}
Dostaneme graf a èíslo~$k$, chceme vytvoøit formuli, která je splnitelná právì
tehdy, pokud se v~grafu nachází nezávislá mno¾ina o~alespoò~$k$ vrcholech.
Tuto formuli sestrojíme následovnì.

Vrcholy grafu oèíslujeme od~1 do~$n$ a poøídíme si pro nì promìnné $v_1, \ldots, v_n$,
které budou indikovat, zda byl pøíslu¹ný vrchol vybrán do nezávislé mno¾iny
(pøíslu¹né ohodnocení promìnných tedy bude odpovídat charakteristické funkci nezávislé mno¾iny).

Aby mno¾ina byla opravdu nezávislá, pro ka¾dou hranu $ij \in E(G)$ pøidáme klauzuli
$(\lnot v_i \lor \lnot v_j)$.

Je¹tì potøebujeme zkontrolovat, ¾e mno¾ina je dostateènì velká. To neumíme provést
pøímo, ale pou¾ijeme lest: vyrobíme matici promìnných~$X$ tvaru~$k\times n$, která bude popisovat
oèíslování vrcholù nezávislé mno¾iny èísly od~1 do~$k$. Konkrétnì $x_{ij}$ bude øíkat,
¾e v~poøadí $i$-tý prvek nezávislé mno¾iny je vrchol~$j$. K~tomu potøebujeme zaøídit:

\itemize\ibull
\:Aby v~ka¾dém sloupci byla nejvý¹e jedna jednièka. Na to si poøídíme klauzule
  $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i',j})$ pro $i'\ne i$.
  (Jsou to implikace, ale mù¾eme je zapsat i jako disjunkce, proto¾e $a\Rightarrow b$
  je toté¾ jako $\lnot a \lor b$.)
\:Aby v~ka¾dém øádku le¾ela právì jedna jednièka. Nejprve zajistíme nejvý¹e jednu
  klauzulemi $(x_{i,j} \Rightarrow \lnot x_{i,j'})$ pro $j'\ne j$.
  Pak pøidáme klauzule $(x_{i,1}\lor x_{i,2}\lor \ldots \lor x_{i,n})$,
  které po¾adují alespoò jednu jednièku v~øádku.
\:Vztah mezi oèíslováním a nezávislou mno¾inou: pøidáme klauzule $x_{i,j} \Rightarrow v_j$.
  (V¹imnìte si, ¾e nezávislá mno¾ina mù¾e obsahovat
  i neoèíslované prvky, ale to nám nevadí. Dùle¾ité je, aby jich mìla $k$~oèíslovaných.)
\endlist

Správnost pøevodu je zøejmá, ovìøme je¹tì, ¾e probíhá v~polynomiálním èase.
To plyne z~toho, ¾e vytvoøíme polynomiálnì mnoho klauzulí a ka¾dou z~nich
stihneme vypsat v~lineárním èase.

Dokázali jsme tedy, ¾e testování existence nezávislé mno¾iny je stejnì tì¾ké
jako testování splnitelnosti formule. Pojïme se podívat na dal¹í problémy.

\prob{Klika -- úplný podgraf}

Podobnì jako nezávislou mno¾inu mù¾eme v~grafu hledat i {\I kliku} -- úplný
podgraf dané velikosti.

\inp Graf $G$ a èíslo $k \in N$.

\outp Existuje-li úplný podgraf grafu $G$ na alespoò $k$ vrcholech.

\figure{klika.eps}{Pøíklad kliky}{2in}

Tento problém je ekvivalentní s~hledáním nezávislé mno¾iny. Pokud v~grafu prohodíme
hrany a nehrany, stane se z~ka¾dé kliky nezávislá mno¾ina a naopak. Pøevodní funkce
tedy zneguje hrany a ponechá èíslo~$k$.

\figure{doplnek_nm.eps}{Prohození hran a nehran}{2in}

\prob{3,3-SAT -- splnitelnost s~malým poètem výskytù}

Ne¾ se pustíme do~dal¹ího kombinatorického problému, pøedvedeme je¹tì jednu
speciální variantu SATu, se kterou se nám bude pracovat pøíjemnìji.

Ji¾ jsme ukázali, ¾e SAT zùstane stejnì tì¾ký, omezíme-li se na formule
s~klauzulemi délky nejvý¹e~3. Teï budeme navíc po¾adovat, aby se ka¾dá promìnná
vyskytovala v~maximálnì tøech literálech. Tomuto problému se øíká 3,3-SAT.

\s{Pøevod 3-SATu na 3,3-SAT:}
Pokud se promìnná $x$ vyskytuje v~$k > 3$ literálech, nahradíme její výskyty novými promìnnými $x_1, \ldots , x_k$
a pøidáme klauzule, které zabezpeèí, ¾e tyto promìnné budou v¾dy ohodnoceny stejnì:
$
(x_1 \Rightarrow x_2),
(x_2 \Rightarrow x_3),
(x_3 \Rightarrow x_4),
\ldots,
(x_{k-1} \Rightarrow x_k),
(x_k \Rightarrow x_1).
$

\s{Zesílení:}
Mù¾eme dokonce zaøídit, aby se ka¾dý literál vyskytoval nejvý¹e dvakrát
(tedy ¾e ka¾dá promìnná se vyskytuje alespoò jednou pozitivnì a alespoò jednou negativnì).
Pokud by se nìjaká promìnná objevila ve~tøech stejných literálech, mù¾eme na~ni
také pou¾ít ná¹ trik a nahradit ji tøemi promìnnými. V~nových klauzulích se pak bude
vyskytovat jak pozitivnì, tak negativnì (opìt pøipomínáme, ¾e $a\Rightarrow b$
je jen zkratka za $\lnot a\lor b$).

\prob{3D-párování}

\inp Tøi mno¾iny, napø. $K$ (kluci), $H$ (holky), $Z$ (zvíøátka) a
mno¾ina $T \subseteq K\times H\times Z$ kompatibilních trojic (tìch, kteøí se
spolu snesou).

\outp Zda existuje perfektní podmno¾ina trojic, tedy taková, v~ní¾ se ka¾dý
prvek mno¾in $K$, $H$ a~$Z$ úèastní právì jedné trojice.

\figure{3d_parovani.eps}{Ukázka 3D-párování}{3in}

\s{Pøevod 3,3-SATu na 3D-párování:}
Uva¾ujme trochu obecnìji. Pokud chceme ukázat, ¾e se na nìjaký problém dá pøevést
SAT, potøebujeme obvykle dvì vìci: Jednak konstrukci, která bude simulovat
promìnné, tedy nìco, co nabývá dvou stavù \<true>/\<false>. Pak také
potøebujeme cosi, co umí zaøídit, aby ka¾dá klauzule byla splnìna alespoò
jednou promìnnou. Jak to provést u~3D-párování?

Uva¾ujme následující konfiguraci:

\fig{3d.eps}{6cm}

\>V~ní se nacházejí 4~zvíøátka ($z_1$ a¾ $z_4$), 2~kluci ($k_1$ a $k_2$),
2~dívky ($d_1$ a $d_2$) a 4~trojice ($A$, $B$, $C$ a~$D$). Zatímco zvíøátka
se budou moci úèastnit i jiných trojic, kluky a dìvèata nikam jinam nezapojíme.

V¹imneme si, ¾e existují právì dvì mo¾nosti, jak tuto konfiguraci spárovat.
Abychom spárovali kluka $k_1$, tak musíme vybrat buï trojici~$A$ nebo~$B$.
Pokud si vybereme~$A$, $k_1$ i $d_2$ u¾ jsou spárovaní, tak¾e si nesmíme vybrat
$B$ ani~$D$. Pak jediná mo¾nost, jak spárovat $d_1$ a~$k_2$, je pou¾ít~$C$.
Naopak zaèneme-li trojicí~$B$, vylouèíme $A$ a~$C$ a pou¾ijeme~$D$ (situace
je symetrická).

V¾dy si tedy musíme vybrat dvì protìj¹í trojice v~obrázku a druhé dvì nechat
nevyu¾ité. Tyto mo¾nosti budeme pou¾ívat k~reprezentaci promìnných. Pro ka¾dou
promìnnou si poøídíme jednu kopii obrázku. Volba $A+C$ bude odpovídat nule
a nespáruje zvíøátka $z_2$ a~$z_4$. Volba $B+D$ reprezentuje jednièku a nespáruje
$z_1$ a~$z_3$. Pøes tato nespárovaná zvíøátka mù¾eme pøedávat informaci o~hodnotì
promìnné do~klauzulí.

Zbývá vymyslet, jak reprezentovat klauzule. Mìjme klauzuli tvaru øeknìme
$(x \lor y \lor \lnot r)$. Potøebujeme zajistit, aby $x$ bylo
nastavené na $1$ nebo $y$ bylo nastavené na~$1$ nebo $r$ na $0$.

\fig{klauzule.eps}{4cm}

Pro takovouto klauzuli si poøídíme novou dvojici kluk a dívka, kteøí budou figurovat
ve~tøech trojicích se tøemi rùznými zvíøátky, co¾ budou volná zvíøátka
z~obrázkù pro pøíslu¹né promìnné. Zvolíme je tak, aby byla volná pøi správném
nastavení promìnné. Doká¾eme pøitom zaøídit, ¾e ka¾dé zvíøátko bude pou¾ité
v~maximálnì jedné klauzuli, nebo» ka¾dý literál se vyskytuje nejvý¹e dvakrát
a máme pro nìj dvì volná zvíøátka.

Je¹tì nám urèitì zbude $2p-k$ zvíøátek, kde $p$ je poèet promìnných a $k$
poèet klauzulí. Ka¾dá promìnná toti¾ dodá 2~volná zvíøátka a ka¾dá klauzule
pou¾ije jedno z~nich. Pøidáme proto je¹tì $2p-k$ párù lidí, kteøí milují úplnì
v¹echna zvíøátka; ti vytvoøí zbývající trojice.

Snadno ovìøíme, ¾e celý pøevod pracuje v~polynomiálním èase, rozmysleme si je¹tì,
¾e je korektní.

Pokud formule byla splnitelná, z~ka¾dého splòujícího ohodnocení mù¾eme vyrobit
párování v~na¹í konstrukcí. Obrázek pro ka¾dou promìnnou spárujeme podle
ohodnocení (buï $A+C$ nebo $B+D$). Pro ka¾dou klauzuli si vybereme trojici,
která odpovídá nìkterému z~literálù, jimi¾ je klauzule splnìna.

A~opaènì: Kdy¾ nám nìkdo dá párovaní v~na¹í konstrukci, doká¾eme z~nìj
vyrobit splòující ohodnocení dané formule. Podíváme se, v~jakém stavu je
promìnná, a~to je v¹echno. Z~toho, ¾e jsou správnì spárované klauzule, u¾
okam¾itì víme, ¾e jsou v¹echny splnìné.

Ukázali jsme tedy, ¾e na 3D-párování lze pøevést 3,3-SAT, a~tedy i obecný SAT.
Pøevod v~opaèném smìru ponecháme jako cvièení, mù¾ete ho provést podobnì,
jako jsme na SAT pøevádìli nezávislou mno¾inu.

Jak je vidìt z~následujícího schématu, ukázali jsme, ¾e v¹echny problémy,
které jsme zkoumali, jsou navzájem pøevoditelné.

\figure{prevody.eps}{Problémy a pøevody mezi nimi}{3in}

\h{NP-úplné problémy}

V¹echny problémy, které jsme zatím zkoumali, mìly jednu spoleènou vlastnost.
©lo v~nich toti¾ o~to, zda existuje nìjaký objekt. Napøíklad splòující ohodnocení
formule nebo klika v~grafu. Kdykoliv nám pøitom nìkdo takový objekt uká¾e,
umíme snadno ovìøit, ¾e má po¾adovanou vlastnost. Ov¹em najít ho u¾ tak
snadné není. Podobnì se chovají i mnohé dal¹í \uv{vyhledávací problémy},
pojïme se na nì tedy podívat obecnìji.

\s{Definice:} $\P$ je tøída\foot{Formálnì vzato je to mno¾ina, ale v~teorii slo¾itosti
se pro mno¾iny problémù v¾il název {\I tøídy.}}
rozhodovacích problémù, které jsou øe¹itelné v~polynomiálním èase. Jinak øeèeno, problém~$L$
le¾í v~$\P$ právì tehdy, kdy¾ existuje nìjaký algoritmus~$A$ a polynom~$f$
takové, ¾e pro ka¾dý vstup~$x$ algoritmus~$A$ dobìhne v~èase nejvý¹e $f(\vert x\vert)$
a vydá výsledek $A(x)=L(x)$.

Tøída $\P$ tedy zachycuje na¹i pøedstavu o~efektivnì øe¹itelných problémech.
Nyní definujeme tøídu~$\NP$, která bude odpovídat na¹i pøedstavì vyhledávacích
problémù.

\s{Definice:} $\NP$ je tøída rozhodovacích problémù, v~ní¾ problém~$L$ le¾í právì
tehdy, pokud existuje nìjaký problém~$K\in\P$ a polynom~$g$, pøièem¾ pro ka¾dý
vstup~$x$ je $L(x)=1$ právì tehdy, pokud pro nìjaký øetìzec~$y$ délky nejvý¹e
$g(\vert x\vert)$ platí $K(x,y)=1$.%
\foot{Rozhodovací problémy mají na vstupu øetìzec bitù. Tak jaképak $x,y$?
Máme samozøejmì na~mysli nìjaké binární kódování této dvojice.}

Co to znamená? Algoritmus~$K$ øe¹í problém~$L$, ale kromì vstupu~$x$ má k~dispozici
je¹tì polynomiálnì dlouhou {\I nápovìdu~$y$.} Pøitom má platit, ¾e je-li $L(x)=1$,
musí existovat alespoò jedna nápovìda, kterou algoritmus~$K$ schválí. Pokud ov¹em
$L(x)=0$, nesmí ho pøesvìdèit ¾ádná nápovìda.

Jinými slovy~$y$ je jakýsi {\I certifikát,} který stvrzuje kladnou odpovìï,
a problém~$K$ má za úkol certifikáty kontrolovat. Pro kladnou odpovìï musí
existovat alespoò jeden schválený certifikát, pro zápornou musí být v¹echny
certifikáty odmítnuty.

\s{Pozorování:} Splnitelnost logických formulí je v~$\NP$. Staèí si toti¾ nechat napovìdìt, jak
ohodnotit jednotlivé promìnné, a pak ovìøit, je-li formule splnìna. Nápovìda je polynomiálnì
velká (dokonce lineárnì), splnìní zkontrolujeme také v~lineárním èase. Podobnì to mù¾eme to
dokázat i o~ostatních rozhodovacích problémech, se kterými jsme se zatím potkali.

\s{Pozorování:} Tøída $\P$ le¾í uvnitø $\NP$.
Pokud toti¾ problém umíme øe¹it v~polynomiálním èase bez nápovìdy, tak to zvládneme
v~polynomiálním èase i s~nápovìdou. Algoritmus~$K$ tedy bude ignorovat nápovìdy
a odpovìï spoèítá pøímo ze~vstupu.

\s{Otázka:} Jsou tøídy $\P$ a~$\NP$ rùzné? Na to se teoretiètí informatici sna¾í
odpovìdìt u¾ od 70. let minulého století a postupnì se z~toto stal asi vùbec nejslavnìj¹í
otevøený problém informatiky.

Napøíklad o~¾ádném z~na¹ich problémù nevíme, zda se nachází v~$\P$.
Brzy uvidíme, ¾e to jsou v~jistém smyslu nejtì¾¹í problémy v~$\NP$.

\s{Definice:} Problém $L$ nazveme $\NP$-{\I tì¾ký}, je-li na~nìj pøevoditelný
ka¾dý problém z~$\NP$. Pokud navíc $L\in\NP$, budeme øíkat, ¾e je $\NP$-{\I úplný.}

NP-úplné problémy jsou tedy nejtì¾¹ími problémy v~$\NP$, aspoò v~na¹em uspoøádání
pøevoditelností.

\s{Lemma:} Pokud nìjaký $\NP$-tì¾ký problém~$L$ le¾í v~$\P$, pak $\P=\NP$.

\proof
Ji¾ víme, ¾e $\P\subseteq\NP$, tak¾e staèí dokázat opaènou nerovnost. Vezmìme
libovolný problém~$A\in\NP$. Z~úplnosti problému~$L$ víme, ¾e $A$ lze pøevést
na~$L$. Ov¹em problémy pøevoditelné na nìco z~$\P$ jsou samy také v~$\P$.
\qed

Z~definice $\NP$-úplnosti ale vùbec není jasné, ¾e nìjaký $\NP$-úplný problém doopravdy
existuje. Odpovìï je pøekvapivá:

\s{Vìta (Cookova):} SAT je $\NP$-úplný.

Dùkaz této vìty je znaènì technický a alespoò v~hrubých rysech ho pøedvedeme
v~závìru teto kapitoly. Jakmile ale máme jeden $\NP$-úplný problém, mù¾eme velice
snadno dokazovat i $\NP$-úplnost dal¹ích:

\s{Lemma:} Mìjme dva problémy $L,M\in\NP$. Pokud $L$ je $\NP$-úplný a $L\rightarrow M$,
pak $M$ je také $\NP$-úplný.

\proof
Jeliko¾ $M$ le¾í v~$\NP$, staèí o~nìm dokázat, ¾e je $\NP$-tì¾ký, tedy ¾e na nìj
lze pøevést libovolný problém z~$\NP$.
Uva¾me tedy nìjaký problém $Q\in\NP$. Jeliko¾ $L$ je~$\NP$-úplný, musí platit
$Q\rightarrow L$. Pøevoditelnost je ov¹em tranzitivní, tak¾e z~$Q\rightarrow L$
a $L\rightarrow M$ plyne $Q\rightarrow M$.
\qed

\s{Dùsledek:} Cokoliv, na co jsme umìli pøevést SAT, je také NP-úplné.
Napøíklad nezávislá mno¾ina, rùzné varianty SATu, klika v~grafu~\dots

\s{Dva mo¾né svìty:} Jestli je $\P=\NP$ nevíme a nejspí¹ je¹tì dlouho nebudeme
vìdìt. Nechme se ale na~chvíli uná¹et fantazií a zkusme si pøedstavit, jak by
vypadaly svìty, v~nich¾ platí jedna nebo druhá mo¾nost:

\itemize\ibull
\:$\P=\NP$ -- to je na první pohled idylický svìt, v~nìm¾ jde ka¾dý vyhledávací
  problém vyøe¹it v~polynomiálním èase, nejspí¹ tedy i prakticky efektivnì.
  Má to i své stinné stránky: napøíklad jsme pøi¹li o~ve¹keré efektivní ¹ifrování
  -- rozmyslete si, ¾e pokud umíme vypoèítat nìjakou funkci v~polynomiálním èase,
  umíme efektivnì spoèítat i její inverzi.
\:$\P\ne\NP$ -- tehdy jsou $\P$ a $\NP$-úplné dvì disjunktní tøídy.
  SAT a ostatní $\NP$-úplné problémy nejsou øe¹itelné v~polynomiálním
  èase. Je ale stále mo¾né, ¾e aspoò na nìkteré z~nich existují prakticky pou¾itelné algoritmy,
  tøeba o~slo¾itosti $\Theta((1+\varepsilon)^n)$ nebo $\Theta(n^{\log n/100})$.
  Ví se, ¾e tøída $\NP$ by pak obsahovala i problémy, které le¾í \uv{mezi}
  $\P$ a $\NP$-úplnými.
\endlist

\h{Katalog NP-úplných problémù}

Pokud se setkáme s~problémem, který neumíme zaøadit do~$\P$, hodí se vyzkou¹et,
zda je $\NP$-úplný. K~tomu se hodí mít alespoò základní zásobu \uv{uèebnicových}
$\NP$-úplných problémù, abychom si mohli vybrat, z~èeho pøevádìt. Uká¾eme tedy
katalog nìkolika nejbì¾nìj¹ích $\NP$-úplných problémù. O~nìkterých jsme to
dokázali bìhem této kapitoly, u~ostatních alespoò naznaèíme, jak na nì.

\s{Standardní NP-úplné problémy:}
\itemize\ibull
\:{\I Logické:}
  \itemize\ibull
    \:SAT (splnitelnost logických formulí v~CNF)
    \:3-SAT (ka¾dá klauzule obsahuje max.~3 literály)
    \:3,3-SAT (a navíc ka¾dá promìnná se vyskytuje nejvý¹e~$3\times$)
    \:SAT pro obecné formule (nejen CNF; uká¾eme ní¾e)
    \:Obvodový SAT (místo formule booleovský obvod; viz ní¾e)
  \endlist
\:{\I Grafové:}
  \itemize\ibull
    \:Nezávislá mno¾ina (existuje mno¾ina alespoò~$k$ vrcholù taková, ¾e ¾ádné dva nejsou propojeny hranou?)
    \:Klika (existuje úplný podgraf na~$k$ vrcholech?)
    \:3D-párování (tøi mno¾iny se zadanými trojicemi, existuje taková mno¾ina disjunktních trojic, ve~které jsou v¹echny prvky právì jednou?)
    \:Barvení grafu (lze obarvit vrcholy $k$~barvami tak, aby vrcholy stejné barvy nebyly nikdy spojeny hranou? $\NP$-úplné u¾ pro~$k=3$)
    \:Hamiltonovská cesta (cesta obsahující v¹echny vrcholy)
    \:Hamiltonovská kru¾nice (opìt obsahuje v¹echny vrcholy)
  \endlist
\:{\I Èíselné:}
  \itemize\ibull
    \:Batoh (nejjednodu¹¹í verze: má daná mno¾ina èísel podmno¾inu s~daným souètem?)
    \:Batoh -- optimalizace (podobnì jako u pøedchozího problému, ale místo mno¾iny èísel máme mno¾inu
		pøedmìtù s~vahami a cenami, chceme co nejdra¾¹í podmno¾inu, její¾ váha nepøesáhne zadanou kapacitu
		batohu)
    \:Dva loupe¾níci (lze rozdìlit danou mno¾inu èísel na~dvì podmno¾iny se stejným souètem?)
    \:${\bf Ax}={\bf b}$ (soustava celoèíselných lineárních rovnic; je dána matice~${\bf A}\in\{0,1\}^{m\times n}$
		a vektor~${\bf b}\in\{0,1\}^m$, existuje vektor~${\bf x}\in\{0,1\}^n$ takový, ¾e ${\bf Ax}={\bf b}$?)
  \endlist
\endlist

\h{Náznak dùkazu Cookovy vìty}

Zbývá dokázat Cookovu vìtu. Technické detaily si odpustíme, ale aspoò naèrtneme
základní my¹lenku dùkazu.

Potøebujeme tedy dokázat, ¾e SAT je $\NP$-úplný, a to z~definice. Uká¾eme to
ale nejprve pro jiný problém, pro takzvaný {\I obvodový SAT.} V~nìm máme na
vstupu booleovský obvod (hradlovou sí») s~jedním výstupem a ptáme se, zda
jí mù¾eme pøivést na vstupy takové hodnoty, aby vydala výsledek~1.

To je obecnìj¹í ne¾ SAT pro formule (dokonce i neomezíme-li formule na CNF),
proto¾e ka¾dou formuli mù¾eme pøelo¾it na lineárnì velký obvod. (Platí i opaènì,
¾e ka¾dému obvodu s~jedním výstupem mù¾eme pøiøadit ekvivalentní formuli,
ale ta mù¾e být a¾ exponenciálnì velká.)

Nejprve tedy doká¾eme $\NP$-úplnost obvodového SATu a~pak ho pøevedeme na
obyèejný SAT v~CNF. Tím bude dùkaz Cookovy vìty hotový. Zaènìme lemmatem,
v~nìm¾ bude koncentrováno v¹e technické.

\s{Lemma:} Nech» $L$ je problém le¾ící v~$\P$. Potom existuje polynom~$p$ a algoritmus,
který pro ka¾dé~$n$ sestrojí v~èase $p(n)$ hradlovou sí» $B_n$ s~$n$~vstupy
a jedním výstupem, která øe¹í~$L$. Tedy pro v¹echny øetìzce~$x$ musí platit
$B_n(x)=L(x)$.

\proof
Náznakem. Na základì zku¹eností z Principù poèítaèù intuitivnì chápeme poèítaèe
jako nìjaké slo¾ité booleovské obvody, jejich¾ stav se mìní v~èase. Uva¾me tedy
nìjaký problém $L \in \P$ a polynomiální algoritmus, který ho øe¹í. Pro vstup
velikosti~$n$ algoritmus dobìhne v~èase~$T$ polynomiálním v~$n$ a spotøebuje $\O(T)$ bunìk pamìti.
Staèí nám tedy \uv{poèítaè s~pamìtí velkou $\O(T)$}, co¾ je nìjaký booleovský obvod
velikosti polynomiální v~$T$, a~tedy i v~$n$. Vývoj v~èase o¹etøíme tak, ¾e sestrojíme~$T$
kopií tohoto obvodu, ka¾dá z~nich bude odpovídat jednomu kroku výpoètu a bude
propojena s~\uv{minulou} a \uv{budoucí} kopií. Tím sestrojíme booleovský obvod,
který bude øe¹it problém~$L$ pro vstupy velikosti~$n$ a bude polynomiálnì velký
vzhledem k~$n$.

\s{Ekvivalentní definice~$\NP$:}
Pro dùkaz následující vìty si dovolíme drobnou úpravu v~definici tøídy $\NP$.
Budeme chtít, aby nápovìda
mìla pevnou velikost, závislou pouze na~velikosti vstupu (tedy: $\vert y \vert
= g(\vert x \vert)$ namísto $\vert y \vert \le g(\vert x \vert)$). Proè je taková
úprava bez újmy na obecnosti? Staèí pùvodní nápovìdu doplnit na po¾adovanou délku
nìjakými \uv{mezerami}, které budeme pøi ovìøování nápovìdy ignorovat.

\s{Vìta:} Obvodový SAT je $\NP$-úplný.

\proof
Obvodový SAT evidentnì le¾í v~$\NP$ -- staèí si nechat poradit vstup, sí»
topologicky setøídit a v~tomto poøadí poèítat hodnoty hradel.

Mìjme nyní nìjaký problém $L$ z~$\NP$, o~nìm¾ chceme dokázat, ¾e se dá pøevést
na~obvodový SAT. Kdy¾ nám nìkdo pøedlo¾í nìjaký vstup~$x$ délky~$n$,
spoèítáme velikost nápovìdy $g(n)$. Víme, ¾e algoritmus~$K$, který kontroluje,
zda nápovìda je správnì, je v~$\P$. Vyu¾ijeme pøedchozí lemma, abychom získali obvod,
který pro konkrétní velikost vstupu~$n$ poèítá to, co kontrolní algoritmus~$K$.
Vstupem tohoto obvodu bude~$x$ (vstup problému~$L$) a~nápovìda~$y$. Na výstupu se
dozvíme, zda je nápovìda správná. Velikost tohoto obvodu bude èinit $p(g(n))$,
co¾ je také polynom.

\fig{kobvod.eps}{2.3cm}

V tomto obvodu zafixujeme vstup $x$ (na místa vstupu dosadíme konkrétní hodnoty
z $x$). Tím získáme obvod, jeho¾ vstup je jen~$y$, a~chceme zjistit, zda za~$y$
mù¾eme dosadit nìjaké hodnoty tak, aby na výstupu bylo \<true>. Jinými slovy,
ptáme se, zda je tento obvod splnitelný.

Ukázali jsme tedy, ¾e pro libovolný problém z~$\NP$ doká¾eme sestrojit funkci,
která pro ka¾dý vstup~$x$ v~polynomiálním èase vytvoøí obvod, jen¾ je splnitelný
pravì tehdy, kdy¾ odpovìï tohoto problému na vstup~$x$ má být kladná. To je pøesnì
pøevod z~daného problému na obvodový SAT.
\qed

\s{Lemma:} Obvodový SAT se dá pøevést na 3-SAT.

\proof
Budeme postupnì budovat formuli v~konjunktivní normální formì. Ka¾dý booleovský
obvod se dá v~polynomiálním èase pøevést na~ekvivalentní obvod, ve~kterém se
vyskytují jen hradla {\csc and} a {\csc not}, tak¾e staèí najít klauzule
odpovídající tìmto hradlùm. Pro ka¾dé hradlo v~obvodu zavedeme novou promìnnou
popisující jeho výstup. Pøidáme klauzule, které nám kontrolují, ¾e toto hradlo
máme ohodnocené konzistentnì.

{\I Pøevod hradla \csc not}: Na vstupu hradla budeme mít nìjakou promìnnou $x$
(která pøi¹la buïto pøímo ze~vstupu celého obvodu, nebo je to promìnná,
která vznikla na výstupu nìjakého hradla) a na výstupu promìnnou $y$. Pøidáme
klauzule, které nám zaruèí, ¾e jedna promìnná bude negací té druhé:
$$\matrix{ (x \lor y), \cr
  (\neg{x} \lor \neg{y}). \cr }
  \hskip 0.2\hsize
\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{not.eps}}}
$$

{\I Pøevod hradla \csc and}: Hradlo má vstupy $x, y$ a~výstup $z$. Potøebujeme
pøidat klauzule, které nám popisují, jak se má hradlo {\csc and} chovat. Tyto
vztahy pøepí¹eme do~konjunktivní normální formy:
$$
\left. \matrix{
  x\ \&\ y \Rightarrow z \cr
  \neg{x} \Rightarrow \neg{z} \cr
  \neg{y} \Rightarrow \neg{z} \cr
}
\ \quad
 \right\}
\quad
\matrix{
 (z \lor \neg{x} \lor \neg{y}) \cr
 (\neg{z} \lor x)              \cr
 (\neg{z} \lor y)              \cr
 }
 \hskip 0.1\hsize
\vcenter{\hbox{\epsfxsize=0.7cm\epsfbox{and.eps}}}
$$

Tím v~polynomiálním èase vytvoøíme formuli, která je splnitelná právì tehdy,
je-li splnitelný zadaný obvod. Ve~splòujícím ohodnocení formule bude obsa¾eno
jak splòující ohodnocení obvodu, tak výstupy v¹ech hradel obvodu.
\qed

\s{Poznámka:}
Tím jsme také odpovìdìli na otázku, kterou jsme si kladli pøi zavádìní SATu,
tedy zda omezením na CNF o~nìco pøijdeme. Teï u¾ víme, ¾e nepøijdeme -- libovolná
booleovská formule se dá pøímoèaøe pøevést na obvod a ten zase na formuli
v~CNF. Zavádíme sice nové promìnné, ale nová formule je splnitelná právì
tehdy, kdy ta pùvodní.

\exercises

\ex{Vrcholové pokrytí grafu je mno¾ina vrcholù, která obsahuje alespoò jeden
vrchol z~ka¾dé hrany. (Chceme na køi¾ovatky rozmístit strá¾níky tak, aby ka¾dou
ulici alespoò jeden hlídal.) Uka¾te vzájemné pøevody mezi problém nezávislé
mno¾iny a problémem \uv{Existuje vrcholové pokrytí velikosti nejvý¹e~$k$?}.}

\ex{Zesilte ná¹ pøevod SATu na nezávislou mno¾inu tak, aby vytváøel grafy
s~maximálním stupnìm~4.}

\ex{Doka¾te \NP-úplnost problému $\bf Ax=b$ z~katalogu.}

\exx{Doka¾te \NP-úplnost problému barvení grafu z~katalogu.}

\ex{Uka¾te, ¾e barvení grafu jednou nebo dvìma barvami je snadné.}

\ex{Pøeveïte batoh na dva loupe¾níky a opaènì.}

\ex{Doka¾te \NP-úplnost problému batohu.}

\ex{Pokud bychom definovali \P-úplnost analogicky k~\NP-úplnosti, které
problémy z~\P{} by byly \P-úplné?}

\exx{Doka¾te lemma o~vztahu mezi problémy z~\P{} a hradlovými sítìmi
pomocí výpoèetního modelu RAM.}

\endexercises

\bye
