\input lecnotes.tex
\prednaska{8}{Fourierova transformace}{(K.Jakubec, M.Polák a G.Ocsovszky)}

Násobení polynomù mù¾e mnohým pøipadat jako pomìrnì (algoritmicky) snadný problém. Asi ka¾dého hned napadne \uv{hloupý} algoritmus -- jednodu¹e vezmeme koeficienty prvního polynomu a ka¾dým z nich pøenásobím v¹echny koeficienty toho druhého. Pokud øád prvního polynomu je $n$ a druhého $m$, tak èasová slo¾itost nám vyjde nìco jako $\O(mn)$. To není a¾ tak ¹patné, v nejhor¹ím pøípadì se dostaneme na $\O(n^{2})$ (pokud $m = n$). Na první pohled se mù¾e zdát, ¾e rychleji to prostì nejde (pøeci musíme v¾dy vynásobit \uv{ka¾dej s ka¾dým}). Ve skuteènosti to ale rychleji fungovat mù¾e, ale k~tomu je potøeba znát trochu tajemný algoritmus FFT neboli {\I Fast Fourier Transform}.


\ss{Trochu algebry na zaèátek:}
\>Libovolný polynom $P$ øádu $n$ mù¾eme být reprezentován dvìma rùznými zpùsoby:

\itemize\ibull
\:svými koeficienty, èili èísly $a_{0}, a_{1}, \ldots ,a_{n}$, nebo
\:svými hodnotami v $n + 1$ rùzných bodech $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}$, èili èísly $P(x_{0}),$ $P(x_{1}),$ $\ldots , P(x_{n})$.
\endlist

\>Pov¹imnìme si jedné skuteènosti -- máme-li dva polynomy $A$ a $B$ øádu $n$ a body $x_{0}, \ldots, x_{k}$, pak platí $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots, n+1.$ Toto èiní tento druhý zpùsob reprezentace polynomu velice atraktivním pro násobení. Problémem je, ¾e typicky máme polynom zadaný koeficienty a ne hodnotami v bodech. Tím pádem potøebujeme nìjaký hodnì rychlý algorimtus (tj. rychlej¹í ne¾ kvadratický, jinak bychom si nepomohli oproti hloupému algoritmu) na pøevod polynomu z~jedné reprezentace do druhé a zase zpìt.

Dále bychom si mìli uvìdomit, ¾e stupeò na¹eho výsledného polynomu $C$ bude $\leq 2n+1$ (kde $n$ je stupnìm výchozích polynomù). To snad netøeba nijak vysvìtlovat, ka¾dý si to snadno ovìøí, jen dodáme, ¾e pokud chceme polynom $C$ reprezentovat pomocí jeho hodnot v bodech, musíme vzít $2n + 2$ bodù. Tímto konèí malá algebraická vsuvka.

\s{Idea, jak by mìl algoritmus pracovat:}
\algo
\:Vybereme $2n + 2$ bodù $x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{2n+1}$.
\:V~tìchto bodech vyhodnotíme polynomy $A$ a $B$.
\:Nyní ji¾ v lineárním èase získáme polynom $C$ (viz vý¹e).
\:Inverznì pøevedeme hodnoty polynomu $C$ v $2n+2$ bodech na jeho koeficienty.
\endalgo

\>Je asi vidìt, ¾e klíèové jsou kroky 2 a 4. Vybrání bodù jistì stihneme pohodlnì v~lineárním èase a vynásobení samotných hodnot té¾ (máme $2n+2$ bodù a $C(x_{k}) = A(x_{k}) \cdot B(x_{k}), k = 0,1,2, \ldots , 2n+1$, tak¾e na to nepotøebujeme více ne¾ $2n+2$ násobení).

Celý trik spoèívá v~chytrém vybrání onìch bodù, ve kterých budeme polynomy vyhodnocovat. Je na to potøeba vìdìt pár zajímavostí o~komplexních èíslech, na stránce Matrina Mare¹e jsou k dispozici slajdy, zde to bude zapsáno o~trochu struènìji.

\ss{Vyhodnocení polynomu metodou rozdìl a panuj (algoritmus FFT):}
Mìjme polynom $P$ øádu $n$ a chceme jej vyhodnotit v $n$ bodech. Vybereme si body tak, aby byly spárované, èili $\pm x_{0}, \pm x_{1}, \ldots , \pm x_{n/2-1} $. To nám výpoèet urychlí, proto¾e pak se druhé mocniny $x_{i}$ shodují s~druhými mocninami $-x_{i}$.

Polynom $P$ rozlo¾íme na dvì èásti, první obsahuje èleny se sudými exponenty, druhá s~lichými:

$P(x) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n-2}x^{n-2} + p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n-1}x^{n-1}$

$S(x^{2}) = p_{0}x^{0} + p_{2}x^{2} + \ldots + p_{n - 2}x^{n - 2}$,
$L(x^{2}) = p_{1}x^{1} + p_{3}x^{3} + \ldots + p_{n - 1}x^{n - 1}$

\>Tak¾e obecnì $P(x) = S(x^{2}) + xL(x^{2})$ a $P(-x) = S(x^{2}) - xL(x^{2})$.
Jinak øeèeno, vyhodnocování $P(x)$ v $n$ bodech se nám smrskne na vyhodnocení $S(x)$ a $L(x)$ (oba mají polovièní stupeò ne¾ $P(x)$) v $n/2$ bodech (proto¾e $(x_{i})^{2} = (-x_{i})^{2}$).

\s{Pøíklad:}
$3 + 4x + 6x^{2} + 2x^{3} + x^{4} + 10x^{5} = (3 + 6x^{2} + x^{4}) + x(4 + 2x^{2} + 10x^{4})$.


Teï nám ov¹em vyvstane problém s oním párováním -- druhá mocina pøece nemù¾e být záporná a tím pádem u¾ v~druhé úrovni rekurze body spárované nebudou. Z~tohoto dùvodu musíme pou¾ít komplexní èísla -- tam druhé mocniny záporné býti mohou. Jako $x_{0}, \ldots , x_{n-1} $ si zvolíme $n$-tou komplexní odmocninu z~jedné. Máme $n$ $n$-tých odmocnin z jednièky, rovnomìrnì rozesetých po jednotkové kru¾nici, BÚNO $n=2^{k}, k \in N$ (jinak viz slajdy Martina Mare¹e). Jednotlivé odmociny vypadají takto: $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1} $, kde $\omega = e^{2 \pi i/ n}$.

\s{Dvì poznámky:}
\itemize\ibull
\:$n$-té odmocniny z~jednièky jsou spárované, èili $\omega^{j} = -\omega^{n/2 + j}$,
\:umocníme-li v¹echny na druhou, vznikne nám $n/2$ $n/2$-tých odmocnin z~jedné, které jsou i nadále spárované.
\endlist

\ss{Tak a teï koneènì ten slavný algoritmus:}
\>FFT($P$, $ \omega$)

\>{\sl Vstup:} $p_{0}, \ldots , p_{n-1}$, koeficienty polynomu $P$, a $\omega$, $n-$tá odmocina z~jedné.

\>{\sl Výstup:} Hodnoty polynomu v~bodech $1, \omega, \omega^{2}, \ldots , \omega^{n - 1}$, èili èísla $P(1), P(\omega), P(\omega^{2}),$ $\ldots , P(\omega^{n - 1})$.

\algo
\:Pokud $n = 1$, vra» $P_{0}$ a konec.
\:Jinak rozdìl $P$ na sudé a liché koeficienty a zarekurzi se do FFT($S$, $\omega^{2}$) a FFT($L$, $\omega^{2}$).
\:Pro $j = 0, \ldots , n - 1$ spoèítej: $P(\omega^{j}) = S(\omega^{2j}) + \omega^{j} \cdot L(\omega^{2j})$.

\endalgo


\s{Èasová slo¾itost:}
\>$T(n)=2T({n \over 2} ) + \O(n)  \Rightarrow$ slo¾itost  $\O(n \log n)$, stejnì jako MergeSort.




Máme tedy algoritmus, který \uv{pøevede} koeficienty polynomu na hodnoty tohoto polynomu v~námi zadaných bodech. Ale potøebujeme také algoritmus, který doká¾e reprezentaci polynomu pomocí hodnot pøevést zpìt na koeficienty polynomu. Tedy nìjaký inverzní algoitmus.
Definujeme si algoritmus DFT, která vyu¾ívá maticovou reprezentaci a s~jeho¾ pomocí získáme hledaný algoritmus.

\s{Definice:}
\>{\I Diskretní Fourierova transformace} $(DFT)$
je funkce $f:  { {\bb C} ^n} \rightarrow { {\bb C} ^n}$, kde  $y=f(x) \equiv \forall j \  y_{j} = \sum \limits ^{n-1}_{k=0} x_{k} . \omega ^{jk}$.

\s{Poznámka:}
Vezmeme polynom, který má $x_{kj}$ jako koeficienty a vyhodnotíme ho v~bodì $\omega ^{j} [y_{j} = x(\omega^{j})] \Rightarrow  {f}$  je linearní $\Rightarrow$ mù¾eme  napsat $f(x) = \Omega x ,\  \Omega _{jk} =\omega ^{jk}$, kde $\Omega$ je matice.


\s{Jak najít inverzní matici?} Víme, ¾e $\Omega =\Omega ^{T}$ proto¾e $\omega ^{jk} = \omega ^{kj}$.

\ss{Jak vypadají øádky této matice?}
Vyu¾ijeme následující lemma, které si ale napøed doká¾eme :)

\ss{Lemma:}

\proof Souèin
$$\Omega _{j}  \Omega _{k} = \sum \limits ^{n-1}_{l=0} \Omega _{jl}  \overline{\Omega _{kl}} = \sum \limits _{l}  \omega ^{jl}   \overline{\omega ^{kl}}  = \sum \limits _{l} \omega ^{jl}  \omega ^{-kl} = \sum \limits _{l} \omega ^{(j-k)l } = \sum \limits ^{n-1}_{l} (\omega^{j-k}) ^{l}, $$

proto¾e $ \overline{\omega^{kl}} = \overline{\omega} ^{kl} = {({1 \over \omega} )}^{kl} = \omega ^{-kl}$.

\itemize\ibull
\:Pokud $j\neq k$, pou¾ijeme vzoreèek pro souèet geometrické posloupnosti, kde $a_{1}=1$ a $q=\omega ^{(j-k) }$ a dostaneme ${{\omega^{(j-k)n} -1} \over {\omega^{(j-k)} -1}} ={1-1 \over @ -1} = {0 \over \neq 0} = 0$.

\:Pokud $j=k \sum \limits ^{n-1}_{l=0} (\omega ^{0}) ^{l} = n$.
\endlist
\qed

\>A nyní slibované a u¾ i dokázané lemma:

\s{Lemma:} \quad $\Omega _{j}  \cdot \Omega _{k} = \left\{
{\displaystyle 0 \ldots j\neq k}\atop
{\displaystyle 1 \ldots j=k}
\right.$.

\s{Dùsledek:} \quad $\Omega \cdot \overline{\Omega} = nE$.


\>Jedná se o skalární souèin (jako pøedtím, èili prvek na pozici $ij$ je $0$ nebo $n$) $\Rightarrow\Omega^{-1} = {1 \over n} \overline{\Omega}$.


\>Na¹li jsme inverzi:

$\Omega({1 \over n}  \overline{\Omega}) = {1 \over n}\Omega \cdot \overline{\Omega} = E$, \quad
$\Omega^{-1}_{jk} = {1 \over n}\overline{\omega^{jk}} = {1 \over n}\omega^{-jk} = {1 \over n}  {(\omega^{-1})}^{jk}$, \quad
kde $\omega^{-1}$ je $\overline{\omega}$.


\>Ná¹ algoritmus poèítá tedy i inverzní transformaci, pouze místo $\omega_n$  pou¾ijeme $\overline{\omega_n}$ a vydìlíme $n$. Co¾ je skvìlé -- staèí znát pouze jeden algoritmus u~kterého staèí v~jednom pøípadì pou¾ít jinou matici a vydìlit $n$.

\s{Vìta:} Pro $n= 2^k$ lze DFT na ${\bb C}^n$ spoèítat v~èase $\O(n \log n)$ a DFT$^{-1}$ takté¾.

\s{Dùsledek:}

\>Polynomy stupnì $n$ lze násobit v èase $\O(n \log n)$:
$\O(n \log n)$ pro vyhodnocení, $\O(n)$ pro vynásobení a $\O(n \log n)$ pro pøevedení zpìt.

\s{Pou¾ití:}

\itemize\ibull

\:Zpracování signálu -- rozklad na siny a cosiny o~rùzných frekvencích $\Rightarrow$ spektrální rozklad.
\:JPEG.
\:Násobení dlouhých èísel v èase $\O(n \log n)$.
\endlist


\figure{img.eps}{Pøíklad prùbìhu algoritmu na vstupu velikosti 8}{3in}


\>To je schéma zapojení kombinaèního obvodu (tzv. \uv{motýlek}).

\s{Z toho:}

\itemize\ibull
\:Kombinaèní obvod pro DFT
        s~$\O(\log n)$ hladinami
        a $\O(n)$ hradly na hladinì.
\:Nerekurzivní algoritmus (postupujeme zleva) v~èase $\O(n \log n)$.
   Èísla vstupu jsou èísla v~binárním tvaru pøeètená pozpátku.
\endlist


\bye
