\input ../lecnotes.tex

% Vkladani obrazku
\input ../mjipe.tex
\def\treepic#1{
\medskip
\IpeInput{treepic/t#1.ipe}
\medskip
}

\prednaska{8}{Datové struktury}{}

Co si mù¾eme pøedstavit pod pojmem datová struktura? Mù¾eme tøeba chtít udr¾ovat
mno¾inu $X$ prvkù z nìjakého universa $X\subseteq U$ (kde universum mohou být
napøíklad pøirozená èísla).

Na na¹ich datech budeme chtít provádìt následující operace: 
\itemize\ibull
\:{\it Insert} -- vlo¾it novou polo¾ku
\:{\it Delete} -- smazat polo¾ku
\:{\it Find} -- najít polo¾ku
\endlist

Èasovou slo¾itost jednotlivých operací poèítejme vzhledem k poètu prvkù obsa¾ených v
datové struktuøe.

Také mù¾eme chtít udr¾ovat slovník, tedy mno¾inu dvojic $(k, v)$ kde $k\in U$ se
nazývá klíè a $v$ hodnota. Dále pøedpokládejme, ¾e $U$ je lineárnì uspoøádaná a prvky
porovnáme v konstantním èase.

V následující tabulce jsou nìkteré mo¾né zpùsoby reprezentace na¹í datové struktury.

\settabs 4 \columns
\+ 			& Insert	& Delete	& Find \cr
\+ pole			& $\Theta (1)$	& $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ setøídìné pole	& $\Theta (n)$	& $\Theta (n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr
\+ spojový seznam	& $\Theta (1)$	& $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ setøídìný seznam	& $\Theta (n)$	& $\Theta (n)$ & $\Theta (n)$ \cr
\+ vyhledávací stromy	& $\Theta (\log n)$	& $\Theta (\log n)$ & $\Theta (\log n)$ \cr

\s{Pozorování:} Proces binárního vyhledávání v~setøídìném poli se dá reprezentovat
binárním vyhledávacím stromem.

\s{Definice:} {\I Binární strom:} Strom je binární, pokud je zakoøenìný a ka¾dý vrchol
má nejvý¹e dva syny, u nich¾ rozli¹ujeme, který je levý a který pravý.

\s{Definice:} Pro vrchol $v$ znaèíme:
\itemize\ibull
\:$l(v)$ a $p(v)$ -- levý a pravý syn vrcholu $v$
\:$L(v)$ a $P(v)$ -- levý a pravý podstrom vrcholu $v$
\:$S(v)$ -- pøíslu¹ný podstrom s~koøenem $v$
\:$h(v)$ -- hloubka stromu $S(v)$, neboli délka nejdel¹í cesty z koøene do listu
\endlist

\s{Definice:} {\I Binární vyhledávací strom} (BVS): Binární strom je vyhledávací,
pokud v~ka¾dém vrcholu je ulo¾ena dvojice (klíè, hodnota) [ztoto¾níme vrchol s~klíèem]
a pro v¹echny vrcholy platí: $\left ( \forall u \in L(v) : u < v \right ) $ $ \&$ $
\left ( \forall u \in P(v) : u > v \right)$.

\s{Pøíklady binárních vyhledávacích stromù:}

\treepic{2}

\break
 
Jak budou tedy vypadat operace {\it Find}, {\it Insert} a {\it Delete} na~binárním
vyhledávacím stromu?

{\bo Find$(v,x)$:}
\algo
\:Pokud $v = \emptyset \Rightarrow$ vrátíme $\emptyset$.
\:Pokud $v = x \Rightarrow$ vrátíme $v$.
\:Pokud $v < x \Rightarrow$ vrátíme $\<Find>(p(v),x)$.
\:Pokud $v > x \Rightarrow$ vrátíme $\<Find>(l(v),x)$.
\endalgo

{\bo Insert$(v,x)$:}
\algo
\:Jako \<Find> a na~konci pøidáme list.
\endalgo

{\bo Delete$(v)$:}
\algo
\:Pokud $v$ je list $\Rightarrow$ jednodu¹e list utrhneme.
\:Pokud $v$ má jednoho syna $\Rightarrow$ vrchol \uv{vyøízneme}.
\:Jinak má $v$ oba syny $\Rightarrow$ do vrcholu vlo¾íme minimum z $P(v)$, co¾ bude list, a ten utrhneme.
\endalgo

\s{Poznámka:} Pokud má vrchol $v$ pøi operaci {\it Delete} oba syny, je vlo¾ení minima
z $P(v)$ ekvivalentní s~vlo¾ením maxima z $L(v)$.

\s{Pøíklady operací  {\it Insert} a {\it Delete} na~BVS:}
\treepic{1}
\treepic{3}

\break Èasová slo¾itost v¹ech tøí operací je $\Theta(\<hloubka stromu>)$, co¾ mù¾e být
$\Theta(n)$, kdy¾ budeme mít smùlu a strom bude (témìø) lineární spojový seznam, nebo
$\Theta(\log{n})$ kdy¾ bude strom pìknì vyvá¾enì vystavìný. Vidíme tedy, ¾e slo¾itost
operací stojí a padá s~hloubkou stromu. Proto by se nám líbilo, aby mìl ná¹ strom v¾dy
hloubku $\Theta(\log{n})$. Podívejme se tedy, jak se dá navrhnout binární vyhledávací
strom, aby tuto podmínku splòoval \dots

\h{Vyvá¾ené binární vyhledávací stromy}

\s{Definice:} {\I Dokonalá vyvá¾enost:} Strom je dokonale vyvá¾ený, pokud pro v¹echny
jeho vrcholy platí: $\left \vert \vert L(v)\vert - \vert P(v)\vert \right \vert \leq 1
$.

Takto definovaný binární strom bude mít urèitì logaritmickou hloubku. Jak takový strom
ale konstruovat? To se nám podaøí buï staticky, nebo na~nìm budou operace dra¾¹í ne¾
$\Theta(\log{n})$.

\s{Statická konstrukce dokonale vyvá¾eného BVS:} Vybereme prostøední prvek ze
setøídìného pole (tedy medián posloupnosti) a dáme ho do~koøene stromu. Jeho syny pak
vystavíme rekurzivnì z~levé a pravé pùlky pole. Celá konstrukce tedy trvá $\O(n)$.

\s{Lemma} buï Insert nebo Delete v dokonale vyvá¾eném BVS trvají $\Omega(n)$ (ve
skuteènosti oba, ale dùkaz je mnohem obtí¾nìj¹í).

\proof Nech» $n:=2^k-1$ pak má dokonale vyvá¾ený BVS urèený tvar a je jednoznaèné, co
je v koøeni. Bez újmy na obecnosti mù¾eme pøedpokládat, ¾e nejmen¹í èíslo ve stromì je
$x$ a nejvìt¹í je $x+n-1$.

Proveïme posloupnost operací $$Insert(x+n), Delete(x), Insert(x+n+1), Delete(x+1)
\dots$$ v¾dy se aspoò polovina listù posune o patro vý¹. Víme ¾e listù v na¹em stromì
je $(n+1)/2$. Tedy aspoò jedna z operací Insert nebo Delete trvá $\Theta (n)$.

Vidíme tedy, ¾e to ná¹ problém pøíli¹ neøe¹í. Potøebovali bychom, aby se strom dal
také efektivnì udr¾ovat. Zkusíme proto slab¹í podmínku:

\s{Definice:} {\I Hloubková vyvá¾enost:} Strom je hloubkovì vyvá¾ený, pokud pro
v¹echny jeho vrcholy platí: $\left \vert h(L(v)) - h(P(v)) \right \vert \leq 1 $.

Stromùm s~hloubkovým vyvá¾ením se øíká {\I AVL stromy} (objeviteli je ru¹tí
matematikové G. M. Adelson-Velsky a E. M. Landis, podle nich jsou také pojmenovány) a
platí o~nich následující lemma:

\s{Lemma:} AVL strom na~$n$ vrcholech má hloubku $ \Theta(\log{n}) $.

\proof Uva¾me posloupnost $A_k = $ minimální poèet vrcholù AVL stromù hloubky $k$.
Staèí ukázat, ¾e $A_k$ roste exponenciálnì. Podívejme se na minimální AVL stromy:
$$\eqalign{
A_0 &= 1 \cr
A_1 &= 2 \cr
A_2 &= 4 \cr
A_3 &= 7 \cr
&\vdots \cr
A_k &= 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2}. \cr
}$$

Rekurentní vzorec jsme dostali rekurzivním stavìním stromu hloubky $k$: nový koøen a 2
podstromy o~hloubkách $k - 1$ a $k - 2$.

Vidíme tedy, ¾e $A_n = F_{n + 2} - 1$. (Mù¾eme dokázat napø. indukcí.) Teï nám ji¾
staèí dokázat, ¾e posloupnost $A_k$ roste exponenciálnì S výhodou mù¾eme vyu¾ít toho,
¾e na první pøedná¹ce jsme si ji¾ dokázali, ¾e Fibonacciho èísla rostou exponenciálnì.
Nicménì pro zapomnìtlivé mù¾eme dùkaz ve struènosti zopakovat:

Indukcí doká¾eme, ¾e $ A_k \geq 2^{k \over 2} $. První indukèní krok jsme si u¾
ukázali, teï pro $ k \geq 2 $ platí: $ A_k = 1 + A_{k - 1} + A_{k - 2} > 2^{{k - 1}
\over 2} + 2^{{k - 2} \over 2} = 2^{k \over 2} \cdot (2^{-{1 \over 2}} + 2^{-1}) \cong
2^{k \over 2} \cdot 1.21 > 2^{k \over 2}.$

Tímto jsme dokázali, ¾e na~ka¾dé hladinì je minimálnì exponenciálnì vrcholù, co¾ nám
zaruèuje hloubku $ \Theta(\log{n})$.
\qed

\bye
