\input ../lecnotes.tex

\prednaska{7}{Stromy}{zapsali Miroslav Øezáè, ©tìpán Masojídek, Barbora Urbancová}

\h{Binární}

V minulé kapitole jsme se zabývali problematikou pøidávání a ubírání prvkù binárního stromu a jeho slo¾itostí a zjistili, ¾e v¹e zále¾í na~hloubce stromu. Víme, ¾e chceme hloubku logaritmickou, ale jak ji mù¾eme udr¾et pøi~operacích? Øe¹ením jsou


\h{AVL stromy}

tedy stromy, hloubka jejich¾ pravého a levého podstromu se~li¹í maximálnì o~jednotku
\par

\> {\I Operace s AVL stromy:}


\s {FIND}

\> se~neli¹í od~operace find v~binárních stromech.\


Dùraz klademe na operace \it INSERT \rm a \it DELETE \rm , proto¾e pøi~nich musíme o¹etøit udr¾ení struktury AVL~stromù..



První nutnou podmí podmínkou je, ¾e si musíme \bf pamatovat stav \rm v~ka¾dém vrcholu tohoto stromu. A~to jednak hladinu alias \bf hloubku\rm , ve~které se vrchol vyskytuje, tedy vzdálenost tohoto vrcholu od~koøene stromu, a~za~druhé \bf vyvá¾ení \rm hloubky jeho podstromù.
Umluvíme~se napø. na~pravidle, ¾e pokud je levý podstrom hlub¹í, vrchol má hodnotu minus $\ominus$ a pokud je pravý podstrom hlub¹í, vrchol má hodnotu plus $\oplus$.

\>Tím dostáváme tøi typy vrcholù, které se mohou v~AVL~stromu vyskytnout:

\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\oplus$ \rm

\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\ominus$ \rm a

\item{$\bullet$}\it Vrchol se~znaménkem~$\odot$ (nulou), \rm který má oba syny schodné hloubky.


\s {SESTAVENÍ} \rm AVL stromu:

Postupujeme po~struktuøe binárního stromu od~listù ke~koøeni a~kontrolujeme, zda jsou vrcholy v~jednom ze~tøí uvedených stavù. Pokud ne, opravíme ho operací jménem rotace.

\s {Rotace}
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``Rotace".}

Jde o~pøevrácení hrany mezi pùvodním otcem (koøenem podstromu) a nevyvá¾eným vrcholem tak, aby byli i po pøeskupení synové vzhledem k~otcùm správnì uspoøádáni.


\s {INSERT} \rm - vlo¾ení vrcholu do~AVL~stromu.

Vlo¾íme jej jako list. Nový list má v¾dy "znaménko" nula $\odot$. Pøedpokládáme, ¾e patøí nalevo od posledního otce. Podíváme~se na~znaménko jeho otce:
\itemize\ibull
\: \bf mìl~$\odot$ (nemìl syna) $\rightarrow$ teï má~$\ominus$ \rm , po struktuøe stromu nahoru posíláme informaci, ¾e se podstrom prohloubil o~1, co¾ mù¾e mít samozøejmì vliv na~znaménka vrcholù na~cestì ke~koøeni.
\: \bf mìl~$\oplus$ (mìl pravého syna, který je listem) $\rightarrow$ teï má~$\odot$ \rm , hloubka podstromu se~nemìní
\: \bf mìl $\ominus$ \rm $\leftarrow$ nenastane, proto¾e v binární struktuøe nejmohou být dva leví synové
\par Pøipadne-li pøidaný list napravo, øe¹íme zrcadlovì.
\endlist
\vglue 2 in


\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``Pøidání listu samotné''.}


\>\bf Prohloubil-li se strom \rm vlo¾ením nového listu, musíme pracovat s vyvá¾ením:
\algo
\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do~vrcholu se~znam.~$\odot$ \rm $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\ominus$ a informace o~prohloubení je tøeba poslat o~úroveò vý¹
\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do~vrcholu se~znam.~$\oplus$ \rm $\rightarrow$ mìní jej na~vrchol se~znaménkem~$\odot$, hloubka je vyrovnána, dál nic neposíláme
\: informace o~prohloubení pøi¹la zleva \bf do vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$\rm
\endalgo

\> $\rightarrow$ rozebereme na~tøi pøípady podle znaménka vrcholu, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení.
\itemize\ibull
\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\ominus$\rm $\rightarrow$ provedeme rotaci doprava tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$y$, ze~kterého pøi¹la informace o~prohloubení
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``y je $\ominus$"}
{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholù~$y$ a~$x$ je~$\odot$\

{\I Pozorování 2:} hloubka pøed vkládáním byla $h+1$ a~nyní je také $h+1$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a mù¾eme skonèit
\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$\rm
\itemitem{-}uva¾me je¹te vrchol~$z$ jako pravého syna vrcholu~$y$, ze~kterého pri¹la informace o~prohloubení, a~jeho podstromy~$B$ a~$C$
\itemitem{-} vrcholy~$B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo $h-1$ $\rightarrow$ oznaème~ji tedy $h-$ (to zøejmì proto¾e vrchol~$y$ má znaménko~$\oplus$, tedy jeho pravý podstrom s~koøenem~$z$ má hloubku~$h+1$ )
\itemitem{-}provedeme dvojrotaci tak, ¾e novým koøenem se~stane vrchol~$z$
\vglue 2 in

\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``$y$ jako $\oplus$''}


{\I Pozorování 1:} znaménko vrcholu~$z$ bude~$\odot$\

{\I Pozorování 2:} znaménka vrcholu~$x$ a~$y$ se~dopoèítají v~závislosti na~hloubce~$B$ a~$C$\

{\I Pozorování 3:} rozdíl hloubky pravého a~levého podstromu u~tìchto vrcholù bude~$0$ nebo~$1$\

{\I Pozorování 4:} hloubka pøed vkládáním byla $h+2$ a~nyní je také $h+2$, tedy nemusíme dále posílat informaci o~prohloubení a~mù¾eme skonèit
\: informace pøi¹la \bf z~vrcholu se~znaménkem~$\odot$ \rm $\leftarrow$ to nemù¾e nastat, proto¾e v~tom pøípadì by ne¹lo o~prohloubení
\endlist


\s {DELETE} \rm - odebrání vrcholu z~AVL~stromu


\> Buï ma¾eme list nebo ma¾eme vrchol, který mìl nìjaké syny.

\itemize\ibull
\: pokud ma¾eme list, podíváme~se na~znaménko otce.  Pøedpokládáme mazání levého syna.
\itemize\ibull
\: mìl znaménko $\ominus$ (nemìl pravého syna) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\odot$ (vrchol teï nemá ¾ádné syny)
\: mìl znaménko $\odot$ (mìl oba syny) $\rightarrow$ zmìní~se na~$\oplus$
\endlist
(ma¾eme-li pravý list, øe¹íme zrcadlovì)
\: ma¾eme vrchol s~jedním (levým nebo pravým) synem $\rightarrow$ syn nastupuje na~místo otce a~získává zn.~$\odot$\

\> V~obou pøípadech posílame informaci o~zmìnì hloubky stromu..
\: mazaný vrchol mìl oba syny (listy) $\rightarrow$ vybereme jednoho ze~synù na~místo smazaného otce. Hloubka se nemìní.
\: mazaný vrchol mìl syny podstromy $\rightarrow$ na~jeho místo vezmeme nejvìt¹í prvek levého podstromu (nebo nejmen¹í prvek pravého podstromu) a od~odebraného (nahrazujícího) listu kontrolujeme vyvá¾ení podstromu.
\endlist




\bf Úprava vyvá¾ení \rm stromu po~odebrání listu z~podstromu
\algo
\: informace o~zmìnì hloubky pøi¹la z~levého podstromu do~vrcholu se~znaménkem $\odot$ $\rightarrow$ vrchol se~zmìní na~$\oplus$ a~dál se hloubka nemìní

\: informace pøi¹la zleva do~vrcholu s~$\ominus$ $\rightarrow$ mìní~se na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky.

\: problémová situace nastává, kdy¾ informace o~zmìnì pøi¹la zleva do~vrcholu se~znaménkem~$\oplus$~$\rightarrow$
\endalgo
\> $\rightarrow$ rozebereme na~tøi~pøípady podle znaménka pravého syna nevyvá¾eného vrcholu
\itemize\ibull
\: pravý syn má znaménko~$\oplus$ $\rightarrow$ provedeme rotaci vlevo, novým koøenem se~stává~$y$ (pravý syn), oba vrcholy zmìní znaménko na~$\odot$ a~posíláme informaci o~zmìnì hloubky
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``opaèný syn má $\oplus$''}

\: pravý syn má znaménko~$\odot$ $\rightarrow$ provedeme opìt rotaci vlevo, koøenem se~stává~$y$, následnì se u~$y$ zmìní znaménko na~$\ominus$ , u~vrcholu~$x$ se znaménko nemìní. Hloubka stromu se~nemìní, tudí¾ není tøeba posílat informaci..
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``opaèný syn má $\odot$''}

\: pravý syn má znaménko $\ominus$
v~tomto pøípadì uva¾ujeme je¹tì vrchol~$z$ jako levého syna vrcholu~$y$, s~podstromy $B$ a~$C$, podstromy $B$ a~$C$ mají hloubku~$h$ nebo~$h-1$. Provedeme dvojrotaci, napøed vpravo rotujeme vrcholy $z$ a~$y$, potom vlevo vrcholy~$x$ a~$z$ tak, ¾e se $z$ stane novým koøenem, znaménko vecholu~$x$ bude potom~$\ominus$ nebo~$\odot$, znaménko~$y$~$\oplus$ nebo~$\odot$ (podle toho, jaké znaménko mìl pùvodnì vrchol~$z$), znaméko~$z$ bude~$\odot$ a~opìt posíláme informaci o~zmìnì hloubky stromu.
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek ``opaèný syn má $\ominus$''}
\endlist

\h{Obecné stromy}

(Stromy s více vìtvemi)

\>\it Proè se tímto zabývat? \rm
\par
Pøi ulo¾ení dat na~disku se~sna¾íme, aby~se ètení z~disku provádìlo pokud mo¾no co nejménìkrát a~nezále¾í nám tolik na~tom, kolik operací se~vykoná v~jednom uzlu. (Èasovì je operace porovnávání zanedbatelná oproti ètení z~disku)


\s {Def:} \bf (a,b) strom \rm pro parametry $a,b$, $a \geq 2$, $b\geq 2a - 1$ je zakoøenìný strom s~uspoøádanými syny a~vnìj¹ími vrcholy, pro který platí:
\par
\> (pozn.: kdekoli~by mohl být syn a~není, pøipojíme vrchol, kterému øíkáme vnìj¹í vrchol)


\item{Ax 1)} data jsou ulo¾ena ve~vnitøních vrcholech a~ka¾dý vrchol obsahuje o~1 ménì klíèù ne¾ má synù
\item{Ax 2)} platí stromové uspoøádání
\item{Ax 3)} koøen má $2$ a¾~$b$ synù, ostatní vnitøní vrcholy $a$ a¾ $b$ synù
\item{Ax 4)} v¹echny vnìj¹í vrcholy jsou ve~stejné hloubce (vnìj¹í vrchol$=$list)
\vglue 2 in

\centerline {Prosím vlo¾it obrázek "ab strom11.gif"}

$$ A < x_1 < B < x_2 < C < x_3 < D $$

\s {Lemma:} $(a,b)$ strom na~$n$~vrcholech má hloubku~$O(\log_a n)$.

\proof
Zjistíme jeho minimální poèet listù (oznaème jej $m$): ka¾dý vrchol a¾ na~koøen má alespoò $a$ synù $\rightarrow$\
$$m\geq~a^{(hloubka -1)}$$
$$\log_a m \geq	hloubka -1$$
$$hloubka \leq 1+ \log_a m$$
\centerline{co¾ je øádovì  $O(\log_a n)$, kde n je poèet vrcholù.}\

\> \it Operace s (a,b) stromy:\


\s {FIND}\rm
\item{-}V¾dy zjistíme, mezi které 2 klíèe hledaný vrchol patøí a potom se zanoøíme hloubìji.\

\> Èasová slo¾itost:
$$O(\log b \cdot \log_a n)$$
$\log b$ je èas strávený na~jednom vrcholu pro zji¹tení, mezi které 2 vrcholy hledaný patøí, $\log_a n$ je hloubka stromu.\


\s {INSERT}

\> Jako Find, pøièem¾ jestli¾e nena¹el, skonèí na~posledním patøe a~pøidáme klíè
\itemize\ibull
\: pokud pøidáním nepøesáhneme maximální poèet klíèù mù¾eme skonèit
\vglue 2 in
\centerline {Prosím vlo¾it obrázek "insert1.gif"}
\: pokud pøidáním pøesáhneme maximální poèet klíèù
\endlist
\itemitem{*}rozdìlíme vrchol na~3 èásti: L,x,P
\itemitem{*}L a P jsou nové vrcholy
\itemitem{*}x je hodnota mezi L a P, kterou vlo¾íme o patro vý¹ jako klíè oddìlující novì vzniklé vrcholy L a P
\itemitem{*}tím jsme pøevedli problém o patro vý¹ a opakujeme algoritmus
\vglue 2 in

\centerline{Prosím vlo¾it obrázek "b klicu1.gif" a "b klicu2.gif"}


\> pozn.: jestli¾e se dostaneme a¾ do koøene, rozdìlí se koøen na 2 èásti, vznikne nám nový koøen se 2ma syny (co¾ je povoleno) a celému stromu vzroste hloubka o 1
\par
\s {Korektnost:}
Potøebujeme, aby
$$|L|\geq a-1$$
$$|P|\geq a-1$$
po seètení obou nerovností a~priètení 1 na~obì strany rovnice:
$$|L|+|P|+1\geq 2a-2+1=2a-1$$
pravá strana je rovna $b$ a~to podle definice $\geq 2a-1$. \par
\s {Èasová slo¾itost:}
$$O(b\cdot \log_a n)$$


\s {DELETE}
\item{-} pøevedeme na~delete z~listu (stejný postup jako u~stromu: jestli¾e to není list, prohodíme tuto hodnotu s~nejmen¹í hodnotou podstromu jeho pravého syna) --- v tomto pøípadì na~klíè posledního vnitøního vrcholu, proto¾e listy jsou vnìj¹í vrcholy bez dat.
\itemize\ibull
\: pokud má vrchol, ze~kterého odebíráme stále $a-1$ kl\'\ièù, mù¾eme skonèit
\: pokud má vrchol(V), ze~kterého odebíráme $a-2$ klíèù a~jeho levý sousední vrchol(L) alespoò $a$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
\endlist
\algo
\: sma¾eme nejvìt¹í klíè levého sousedního vrvholu(L) a~nahradíme tím klíè otce obou vrcholù (nahradíme $x$ za~tuto hodnotu)
\: pùvodní klíè otce($x$) pøidáme jako nejmen¹í klíè odebíranému vrcholu(V)
\: tím mají oba tyto vrcholy $a-1$ klíèù a mù¾eme skonèit
\endalgo
\vglue 2 in
\centerline{Prosm vlo¾it obrzek "delete21.gif" a "delete22.gif"}
\itemize\ibull
\: pokud má vhchol, z kterého odebíráme(V) $a-2$ klíèù a jeho levý sousední vrchol(L) $a-1$ klíèù (klíè otce oddìlující tyto vrcholy oznaème $x$):
\endlist
\algo
\: slouèíme $V,x,L$ do jednoho vrcholu
\: tím jsme problém pøevedli o patro vý¹ a opakujeme algoritmus \par
\endalgo
\vglue 2 in
\centerline{Prosím vlo¾it obrázek "delete31.gif" a "delete32.gif"}

\> pozn. Dojdeme-li takto a¾ do koøene, na místo klíèe odebraného z koøene lze pou¾ít nejmen¹í nebo nejvìt¹í klíè novì slouèeného podstromu. Ten odebrat lze, proto¾e po slouèení (které bylo pøíèinou této situace), je v nejni¾¹ím vrcholu $2a-2$ klíèù.

\> \bf Èasová slo¾itost: $$O(b\cdot \log_a n)$$

\bye
