\input lecnotes.tex

\prednaska{8}{Problém minimální kostry}{}

\s{Zadání úlohy:} Pro neorientovaný graf $G$ s~ohodnocením hran {\I váhami} $w: E(G) \rightarrow \bb R$,
chceme najít kostru $T$ s minimálním ohodnocením $w(T):=\sum_{e\in E(T)} w(e)$.

\s{Navíc pøedpokládáme:} (bez újmy na~obecnosti)
\itemize\ibull
\:Graf $G$ je souvislý (jinak ho nejprve rozlo¾íme na komponenty).
\:Váhy hran jsou navzájem rùzné
\endlist

Nyní si uká¾eme tøi algoritmy pro hledání minimální kostry, konkrétnì se jedná
o~Jarníkùv, Borùvkùv a Kruskalùv algoritmus.

\h{Jarníkùv algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:Zvolíme libovolný vrchol $v_0\in V(G)$.
\:$T\leftarrow(\left\{v_0\right\},\emptyset)$ (zatím jednovrcholový strom)
\:Dokud existuji vrcholy mimo $T$:
\::Vybereme hranu $uv\in E(G) : u\in V(T), v\notin V(T)$ tak, aby $w(uv)$ byla minimálni.
\::$T\leftarrow T+uv$.
\algout Minimální kostra~$T$.
\endalgo

\s{Vìta:} Jarníkùv algoritmus se zastaví po maximálnì $n$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.

\proof
Pøi ka¾dé iteraci algoritmus pøidá jeden vrchol do~$T$, a~proto se po~maximálnì $n$ iteracích zastaví.
Vydaný graf je strom, proto¾e se stále pøidává list k ji¾ existujícímu stromu, a~jeliko¾ má $n$~vrcholù,
je to kostra. Zbývá nám u¾ jen dokázat, ¾e nalezená kostra je minimální. K~tomu pomu¾e následující lemma:

{\narrower
\smallskip

\s{Definice:} {\I Øez} v~grafu $G=(V,E)$ je mno¾ina hran $F\subseteq E$ taková, ¾e $\exists A\subset V$ :
$F=\left\{\left\{u,v\right\}\in E:u\in A, v\notin A \right\}$.

\s{Lemma (øezové):} Pokud $G$ je graf, $w$ jeho prosté ohodnocení, $F$ je øez v~grafu $G$ a $f$
je nejlehèí hrana v øezu $F$, pak pro ka¾dou minimální kostru~$T$ grafu $G$ je $f\in E(T)$.

\proof
Sporem: Buï $T$ kostra a $f=uv\notin E(T)$. Pak existuje cesta $P\subseteq T$ spojující $u$ a $v$.
Cesta musí øez alespoò jednou pøekroèit. Proto existuje $e\in P \cap F$ a navíc víme, ¾e $w(e) > w(f)$. Uva¾me $T'=T-e+f$.
Tento graf je rovnì¾ kostra grafu $G$, proto¾e odebraním hrany $e$ se graf rozpadne na dvì komponenty a pøidáním
hrany $f$ se tyto komponenty opìt spojí. Navíc $w(T')=w(T)-w(e)+w(f)<w(T)$, co¾ je spor s minimalitou~$F$.
\qed

\smallskip
}

\>V~dùkazu korektnosti Jarníkova algoritmu toto lemma vyu¾ijeme tak, ¾e si v¹imneme, ¾e hrany mezi
vrcholy stromu~$T$ a zbytkem grafu tvoøí øez a algoritmus nejlehèí hranu tohoto øezu pøidá
do~$T$. Podle lemmatu tedy v¹echny hrany~$T$ musí být souèástí ka¾dé minimální kostry a jeliko¾~$T$ je strom,
musí být minimální kostrou.

\qed


\s{Dùsledky:} Graf $G$ s prostým ohodnocením má pravì jednu minimální kostru. Minimální kostra je
jednoznaènì urèená lineárním uspoøádáním hran podle vah (na~konkrétních hodnotách vah nezále¾í).

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Pøímoèará: pamatujeme si, které vrcholy a hrany jsou v kostøe $T$ a které ne. Èasová slo¾itost je $\O(nm)$.
\:Chytøej¹í: Pro $v\notin V(T)$ si pamatujeme $D(v)=\min\left\{w(uv):u\in T\right\}$. Pøi ka¾dém
prùchodu hlavním cyklem pak procházíme v¹echna~$D(v)$ (to v¾dy trvá $\O(n)$) a pøi pøidání vrcholu do~$T$ kontrolujeme
okolní~$D(w)$ pro $vw\in E$ a pøípadnì je sni¾ujeme (za~ka¾dou hranu~$\O(1)$). Èasovou slo¾itost tím celkovì
zlep¹íme na~$\O(n^2+m)=\O(n^2)$.
\:S pou¾itím haldy: $D(v)$ ukládáme do haldy. Potom provedeme nanejvý¹ $n$-krát {\I ExtractMin}, nanejvý¹ $n$-krát {\I Insert} a nanejvý¹ $m$-krát {\I Decrease}. Pro binární haldu to má èasovou slo¾itost $\O(m \log n)$. V¹imnìte si, ¾e Jarníkùv algoritmus s $D(v)$ je velmi podobný Dijkstrovu algoritmu pro nejkrat¹í cesty. Rozbor slo¾itosti pro rùzné typy hald proto také dopadne stejnì.
\endlist

\h{Borùvkùv algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:$F\leftarrow(V(G),\emptyset)$
\:Dokud $F$ má alespoò dvì komponenty ($F$ není souvislý):
\::Pro ka¾dou komponentu $F_i$ lesa $F$ vybereme nejlehèí incidentní hranu $e_i$.
\::V¹echny hrany $e_i$ pøidáme do $F$.
\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo

\s{Vìta:} Borùvkùv algoritmus se zastaví po $\left\lfloor \log_2 n\right\rfloor$ iteracích a vydá minimální kostru grafu $G$.

\proof
V¹imnìme si nejprve, ¾e po~$k$ iteracích mají v¹echny komponenty grafu~$F$ minimálnì $2^k$ vrcholù.

To nahlédneme indukcí -- na~poèátku jsou v¹echny komponenty jednovrcholové, v~ka¾dé dal¹í iteraci se komponenty sluèují do~vìt¹ích,
ka¾dá s~alespoò jednou sousední, tak¾e se velikosti komponent minimálnì zdvojnásobí.

Proto nejpozdìji po~$\left\lfloor \log_2 n\right\rfloor$ iteracích u¾~velikost ka¾dé komponenty dosáhne poètu v¹ech vrcholù a algoritmus se zastaví, tak¾e komponenta mù¾e být jen jedna.

Hrany mezi ka¾dou komponentou a~zbytkem grafu tvoøí øez, tak¾e podle øezového
lemmatu v¹echny hrany pøidané do~$F$ musí být souèástí (jednoznaènì
urèené) minimální kostry. Graf $F\subseteq G$ je tedy v¾dy les a a¾ se
algoritmus zastaví, bude tento les roven minimální kostøe.
\qed

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Inicializace pøímoèará.
\:Pomocí DFS rozlo¾íme les na komponenty. Pro ka¾dý vrchol si pamatujeme èíslo komponenty.
\:Pro ka¾dou hranu zjistíme, do které komponenty patøí, a pro ka¾dou komponentu
si uchováváme nejlehèí hranu.
\endlist

\>Takto doká¾eme ka¾dou iteraci provést v~èase $\O(m)$ a celý algoritmus dobìhne v~$\O(m\log n)$.

\h{Kruskalùv neboli hladový algoritmus}

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf~$G$ s~ohodnocením~$w$.
\:Setøídíme v¹echny hrany z $E(G)$ tak, aby platilo $w(e_1)<...<w(e_m)$.
\:$F\leftarrow (V(G),\emptyset)$.
\:Pro $i=1$ do $m$:
\::Pokud $F+e_i$ je acyklický, provedeme $F\leftarrow F+e_i$.
\algout Minimální kostra~$F$.
\endalgo

\s{Vìta:} Kruskalùv algoritmus se zastaví po~$m$ iteracích a vydá minimální kostru.

\proof
Ka¾dá iterace algoritmu zpracovává jednu hranu, tak¾e iterací je~$m$. Indukcí doká¾eme,
¾e~$F$ je v¾dy podgrafem minimální kostry: prázdné poèáteèní~$F$ je podgrafem èehokoliv,
ka¾dá hrana, kterou pak pøidáme, je minimální v~øezu oddìlujícím nìjakou
komponentu~$F$ od~zbytku grafu (ostatní hrany tohoto øezu je¹tì nebyly
zpracovány, a~tudí¾ jsou tì¾¹í). Naopak ¾ádná hrana, kterou jsme se rozhodli
do~$F$ nepøidat, nemù¾e být souèástí minimální kostry, jeliko¾ s~hranami,
o~kterých ji¾ víme, ¾e v~minimální kostøe le¾í, tvoøí kru¾nici. \qed

% Toto jsme na pøedná¹ce dìlali sporem a mì se to líbí více, ale oba dùkazy
% urèitì fungují.

\s{Implementace:}
\itemize\ibull
\:Setøídìní v èase $\O(m\log m)=\O(m\log n)$.
\:Potøebujeme udr¾ovat komponenty souvislosti grafu~$F$, abychom umìli rychle
  urèit, jestli právì zpracovávaná hrana vytvoøí kru¾nici. Potøebujeme tedy strukturu
  pro udr¾ování komponent souvislosti, které se $m$-krát zeptáme, zda dva vrcholy
  le¾í v~té¾e komponentì (tomu budeme øíkat operace \<Find>), a~$(n-1)$-krát spojíme
  dvì komponenty do jedné (\<Union>).
\endlist

\>Kruskalùv algoritmus tedy pobì¾í v~èase $\O(m\log n + mT_f + nT_u)$, kde~$T_u$ je
èas na~provedení jedné operace \<Union> a $T_f$ na~operaci \<Find>.

\s{Jednoduchá struktura pro komponenty:}
Budeme si pamatovat v~poli èísla komponent, ve~kterých le¾í jednotlivé
vrcholy. \<Find> zvládneme v~èase $\O(1)$, ale \<Union> bude stát $\O(n)$. Celý
algoritmus pak pobì¾í v~èase $\O(m\log n+ m + n^2) = \O(m\log n+n^2)$.

\s{Chytøej¹í struktura:} Ka¾dou komponentu si ulo¾íme jako strom orientovaný smìrem ke koøeni
-- ka¾dý vrchol si pamatuje svého otce, navíc ka¾dý koøen si pamatuje hloubku stromu.
Operace \<Find> vystoupá z~obou vrcholù ke~koøeni a koøeny porovná. \<Union>
rovnì¾ najde koøeny a pøipojí koøen mìlèí komponenty pod koøen té hlub¹í
(pokud jsou obì stejnì hluboké, vybere si libovolnì). Obojí
zvládneme v~èase lineárním v~hloubce stromu a jak si uká¾eme, tato hloubka je
v¾dy nejvý¹e logaritmická, a proto celý Kruskalùv algoritmus pobì¾í v~èase
$\O(m\log n + m\log n + n\log n) = \O(m\log n)$.\foot{%
Drobnou úpravou bychom mohli dosáhnout daleko efektivnìj¹í struktury, ale tu
bychom neupotøebili,
jeliko¾ by nás stejnì brzdilo tøídìní, a analýza slo¾itosti by byla \dots\ inu, slo¾itìj¹í.}

\s{Lemma:} \<Union-Find> strom hloubky $h$ má alespoò $2^h$ prvkù.

\proof
Indukcí: Pokud \<Union> spojí strom s~hloubkou $h$ s jiným s~hloubkou men¹í ne¾ $h$, pak hloubka výsledného
stromu zùstává~$h$. Pokud spojuje dva stromy stejné hloubky~$h$, pak má výsledný strom hloubku $h+1$.
Z~indukèního pøedpokladu víme, ¾e strom hloubky $h$ má minimálnì $2^h$ vrcholù,
a~tedy výsledný strom hloubky $h+1$ má alespoò $2^{h+1}$ vrcholù. \qed

% Union-find je jsme mìli na pøedná¹ce detailnìji rozebraný (i s pseudokódem),
% není to nutnost, ale mù¾u ho klidnì rozepsat trochu výøeènìji, aby mìl ètenáø
% vìt¹í jistotu. Zále¾í na tobì.

\bye
