\input ../lecnotes.tex

\prednaska{5}{Nejkrat¹í cesty}{}

Na~této pøedná¹ce budeme studovat problém hledání nejkrat¹ích cest
v~orientovaných grafech ohodnocených reálnými èísly.

\s{Situace:} Máme orientovaný graf~$G$ a funkci $\ell : E(G) \rightarrow {\bb R}$
pøiøazující hranám jejich ohodnocení (délky). Pro vrcholy $u,v\in V(G)$ budeme
chtít spoèítat jejich vzdálenost $d(u,v)$, co¾ bude délka nejkrat¹í cesty z~$u$
do~$v$ nebo $\infty$, pokud ¾ádná cesta neexistuje.

Chceme, aby se vzdálenosti chovaly \uv{rozumnì}, tedy co nejvíce jako metrika. Orientovanost
grafù nám kazí symetriènost -- nemusí nutnì platit $d(x, y)=d(y, x)$. Budeme aspoò chtít,
aby platily následující vlastnosti:

\itemize\ibull
\:$d(u, u) = 0$,
\:$d(u, v) \leq d(u, w) + d(w, v)$ (trojúhelníková nerovnost).
\endlist

To nemusí obecnì platit (kazí nám to záporné cykly), proto budeme studovat
pouze grafy, v~nich¾ záporné cykly neexistují. Pak u¾ budou obì vlastnosti
splnìny, jak plyne napøíklad z~následujícího lemmatu:

\s{Lemma:}
V~grafu bez záporných cyklù existuje ke~ka¾dému nejkrat¹ímu sledu z~$u$ do~$v$ stejnì dlouhá $uv$-cesta.

\proof Máme-li nejkrat¹í $uv$-sled, který není cestou, opakuje se v~nìm nìjaký vrchol
$w \in V(G)$ tedy $uv$-sled je $(u\dots w \dots w \dots v)$. Délka cyklu $c=(w\dots
w)$ je $\ell(c) \geq  0$ tedy platí $\ell(u\dots w\dots v) \leq \ell(\hbox{pùvodní
sled})$. Tento postup mù¾eme opakovat a po koneèném poètu krokù dostaneme cestu. Z
toho plyne trojúhelníková nerovnost. \qed

\s{Jednoduché pøípady}


\itemize\ibull
\:Pokud $\ell$ je konstantní funkce, pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost bude $\Theta(m+n)$.
\:Délky hran jsou malá pøirozená èísla -- $\ell(x, y) \in\{1, \dots, L\}$: Podrozdìlíme hrany
a pou¾ijeme BFS. Èasová slo¾itost $\Theta(Lm+n)$.
\:V DAG (orientovaném acyklickém grafu) najdeme nejkrat¹í cestu
indukcí pøes topologické uspoøádání v èase $\Theta(m+n)$.
\endlist

\s{Obecný algoritmus}

\s{Definice:} $D_k(v):=$ minimální délka ze v¹ech sledù z $v_0$ do $v$ o právì $k$ hranách.
$D_0(v)=0$ pokud $v=v_0$, jinak $D_0(v)=\infty$.

$d(v_0, v)=\min D_k(v)$ kde $1 \leq k \leq n-1$.

Jak spoèítat $D_k$ kdy¾ u¾ známe $D_0\dots D_{k-1}$? Zøejmnì $$D_k=\min
\{D_{k-1}(u)+\ell(u, v)\}$$ pro taková $u$ ¾e $(u, v)\in E(G)$. Z tohoto mù¾eme udìlat
jednoduchý algoritmus: postupnì pro v¹echna $k=0\dots n-1$ zjistíme v¹echna $D_k(z)$
pro v¹echny vrcholy $z\in V(G)$. Délka nejkrat¹í cesty z $v_0$ do $v$ je $\min D_k(v)$
kde $1 \leq k \leq n-1$.

Naivní implementace pobì¾í $n^2(\sum_v {\rm deg}^+(v))+n$ (musíme pøièíst na
konec $n$ za izolované vrcholy), upravíme $\sum_v {\rm deg}^+(v)=m$. Bohu¾el
spotøebujeme $\Theta(n^2)$ pamìti.

Nevýhodou této implementace je pøistupování k hranám pozpátku. Pojïme zkusit nepatrnì
odli¹ný pøístup.

\s{Bellmanùv-Fordùv algoritmus}
\algo
\:$D(*) \leftarrow \infty, D(v_0) \leftarrow 0$
\:Pro $k=1, \dots, n-1$:
\::Pro $\forall v\in V(G)$:
\:::Pro $\forall w$ takové ¾e $(v, w)\in E(G)$:
\::::$D(w)\leftarrow \min(D(w), D(v)+\ell(v, w))$
\endalgo

Pokud by algoritmus i v $n$-tém kroku nìco zmìnil, graf obsahuje záporný cyklus.

\s{Vìta:} Bellmanùv -- Fordùv algoritmus najde v èase $\Theta(nm)$ vzdálenosti $d(v_0, v)$
z $v_0$ do v¹ech $v\in V(G)$.

\proof
Invarianty:
\itemize\ibull
\:Koneèné $D(v)$ v¾dy odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0 \rightarrow v $.
\endlist

Pro vrchol $v_0$ urèitì existuje sled nulové délky z $v_0$ do $v_0$.

Jak se z pùvodního nekoneèného $D(v)$ mohlo stát koneèné? Na¹li jsme takovou hranu,
která vedla z vrcholu $w$ s koneèným $D(w)$ do vrcholu $v$. Tedy do $v$ existuje sled.

Pokud sní¾ím $D(v)$, znamená to, ¾e jsem do vrcholu $v$ na¹el krat¹í sled.

\itemize\ibull
\:Na konci $k$-tého prùchodu vnìj¹ím cyklem platí $D(w)\leq \min$ délka sledu z $v_0$
do $v$ o nejvý¹e $k$ hranách. Z èeho¾ plyne ¾e na konci je $D(w)\leq d(v_0, v)$.
\endlist

Nech» nejkrat¹í sled $v_0\rightarrow w$ o nejvý¹e $k$ hranách konèí hranou $(v, w)$.
Zastavme algoritmus v okam¾iku, kdy v $k$-tém prùchodu zpracovává hranu $(v, w)$ tehdy
$D(w)\leq D(v)+\ell(v, w)$ a $D(v)$ je dle indukèního pøedpokladu men¹í nebo rovno
minimální délce sledu z $v_0$ do $v$ o nejvý¹e $k$ hránách.
\qed

V Bellman -- Fordovì algoritmu jsme v podstatì zlep¹ovali odhady na nejkrat¹í cestu.
Pojïme vymyslet algoritmus zalo¾ený na podobné my¹lence.

\s{\uv{Prùzkumnický algoritmus}} Pro ka¾dý vrchol budeme udr¾ovat jeho ohodnocení
(doèasnou vzdálenost) $D(v)$ a stav vrcholu $S(v)$. Stav mù¾e být buï $N$ nevidìn --
vrchol jsme je¹tì nepotkali, $O$ otevøen -- od posledního prozkoumání se $D(v)$
zmìnilo nebo $Z$ zavøen -- není potøeba zkoumat znovu, nic by se nezmìnilo. Abychom
mohli nejkrat¹í cestu na konci bìhu také zrekonstruovat, budeme si je¹tì udr¾ovat $P(v)$
pøedchùdce vrcholu $v$.

\algo
\:$D(*)\leftarrow \infty, D(v_0)=0, S(*)\leftarrow N, S(v_0)\leftarrow O,
P(*)\leftarrow ?$
\:Dokud $\exists u$: $S(u)=O$ opakuj:
\::$S(u)\leftarrow Z$
\::Pro $\forall v: (u, v)\in E(G)$:
\:::Je-li $D(u)+\ell(u, v)<D(v)$
\::::$D(v)\leftarrow D(u)+\ell(u, v)$
\::::$S(v)\leftarrow O$
\endalgo

\s{Invariant:} $D(v)$ neroste a odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$.

$D(v)$ volíme jako minimum z $D(v)$ a $D(u)+\ell(u, v)$, proto nikdy nemù¾e vzrùst.

Dùkaz toho, ¾e $D(v)$ odpovídá délce nìjakého sledu z $v_0$ do $v$ je stejný jako u
Bellman -- Fordova algoritmu.

\s{Lemma:} Algoritmus se zastaví pøi jakémkoliv poøadí zavíraných vrcholù. Èas pøi
nevhodném zavírání mù¾e být a¾ exponenciální.

\>Toto lemma bude zanecháno bez dùkazu, nebo» ho nebudeme potøebovat pro dùkaz
správnosti algoritmù, které od \uv{prùzkumnického algoritmu} odvodíme.

\s{Lemma:} Pokud se algoritmus zastaví, pak dosa¾itelné vrcholy jsou zavøené a
kdykoliv $S(v)=Z$, platí $D(v)=d(v_0, v)$.

\proof Nech» cesta z $v_0$ do $v$ je co do poètu hran nejmen¹í protipøíklad, pak musí
existovat vrchol $u$, pro který neplatí $S(u)=Z$. Co¾ je spor, proto¾e takový vrchol
musel ná¹ algoritmus projít.

Vezmìme minimání protipøíklad co do poètu hran. Nech» $v$ je nejbli¾¹í vrchol od $u$
takový, ¾e $D(v)\neq d(v_0, v)$, tudí¾ musí být vìt¹í, ne¾ by mìl být, proto¾e
odpovídá délce nìjakého sledu. Oznaème $u$ pøedchùdce vrcholu $v$ na nejkrat¹í cestì.
Víme, ¾e $D(u)$ je správnì. Algoritmus zkoumal $u$ nastavil finální $D(u)$, tedy
pøitom zpracoval hranu $(u, v)$ a $D(v)\leq D(u)+\ell(u, v)$, co¾ je opravdová
vzdálenost. Dostali jsme spor s tím, ¾e $D(x)$ neroste. \qed

\bye
