\input ../lecnotes.tex

\prednaska{4}{Hradlové sítì}{(zapsal: Petr Jankovský)}

\def\land{\mathbin{\&}}

Výkon poèítaèù nelze zvy¹ovat donekoneèna a pøesto¾e ji¾ pìkných pár let platí,
¾e se jejich rychlost s~èasem exponenciálnì zvìt¹uje, jednou urèitì narazíme
pøinejmen¹ím na~fyzikální limity.

Kdy¾ tedy nemù¾eme zvy¹ovat rychlost jednoho procesoru, jak poèítat rychleji?
Øe¹ením by mohlo být poøídit si procesorù víc. U¾~dnes na~bì¾ném PéCéèku máme
k~dispozici vícejádrové procesory, díky nim¾ mù¾eme vyu¾ít pararelní poèítání
a úlohu øe¹it tak, ¾e práci ¹ikovnì rozdìlíme mezi procesory (èi jádra) a
zamìstnáme je pøi~výpoètu v¹echny.

My se podíváme na~abstraktní výpoèetní model, který je je¹tì paralelnìj¹í.
Techniky, které si uká¾eme na~tomto modelu, se v¹ak dají pøekvapivì vyu¾ít i~pøi~reálném
paralelizování na~nìkolika málo procesorech. Konec koncù i proto, ¾e vnitøní
architektura procesoru se na¹emu modelu velmi podobá. Budeme se zabývat 
jednoduchým modelem paralelního poèítaèe, toti¾ hradlovou sítí.

\h{Hradlové sítì}

\s{Definice:} {\I Hradlo} je prvek, který umí vyhodnocovat nìjakou funkci
nad~koneènou abecedou $\Sigma$.

Obecnì se na~hradlo díváme jako na~funkci $f: {\Sigma}^{k} \rightarrow \Sigma$, která dostane $k$ vstupù
a~vrátí jeden výstup, pøièem¾ hodnoty, nad~kterými pracuje, budou z~nìjaké koneèné
abecedy -- tedy z~nìjaké koneèné mno¾iny symbolù $\Sigma$. Písmenku $k$ zde øíkáme {\I arita
hradla}.

\s{Pøíklad:} Èasto studujeme hradla booleovská (pracující nad abecedou $\{0,1\}$), která poèítají logické funkce.

Z~nich nejèastìji potkáme:

\itemize\ibull
\:nulární: to jsou konstanty (FALSE=0, TRUE=1),
\:unární: napø. negace (znaèíme~$\lnot$),
\:binární: logický souèin ({\sc and},~$\land$), souèet ({\sc or},~$\lor$), ...
\endlist

\>Hradla kreslíme tøeba následovnì:

\figure{hradlo_and.eps}{Binární hradlo provádící logickou operaci {\sc and}.}{1in}

Jednotlivá hradla mù¾eme navzájem urèitým zpùsobem propojovat a vytváøet
z nich {\I hradlové sítì}. Pokud pou¾íváme pouze booleovská hradla, øíkáme takto vytvoøeným
sítím {\I booleovské obvody}. Pokud pracujeme s~operacemi nad nìjakou obecnìj¹í (ale koneènou) 
mno¾inou symbolù (abecedou), nazývají se {\I kombinaèní obvody.}

Ka¾dá hradlová sí» má nìjaké vstupy, nìjaké výstupy a uvnitø jsou propojovaná
hradla. Ka¾dý vstup hradla je pøipojen buïto na~nìkterý ze~vstupù sítì nebo
na~výstup jiného hradla. Výstupy hradel mohou být propojeny na~vstupy dal¹ích
hradel (mohou se vìtvit), nebo na výstupy sítì. Pøitom máme zakázáno vytváøet
cykly. 

Ne¾ si øekneme formální definici, podívejme se na obrázek.

\figure{hradlova_sit.eps}{Hradlová sí» -- tøívstupová verze funkce {\I majorita}.}{3in}

Obrazek znázoròuje hradlovou sí», která poèítá, zda je alespoò na~dvou ze~vstupù
jednièka. Pojïme si ale {\I hradlovou sí»} definovat formálnì.

\s{Definice:} {\I Hradlová sí»} je urèena:
\itemize\ibull
\:{\I abecedou} $\Sigma$ (to je nìjaká koneèná mno¾ina symbolù, obvykle $\Sigma=\{0,1\}$);
\:po dvou disjunktními koneènými mno¾inami $I$~({\I vstupy}), $O$~({\I výstupy}) \hfil\break a~$H$~({\I hradla});
\:acyklickým orientovaným multigrafem~$(V,E)$, kde~$V = I \cup O \cup H$;
\:zobrazením~$F$, které ka¾dému hradlu $h\in H$ pøiøadí nìjakou funkci~$F(h):
  \Sigma^{a(h)} \rightarrow \Sigma$, co¾ je funkce, kterou toto hradlo vykonává.
  Èíslu $a(h)$ øíkáme {\I arita} hradla~$h$;
\:zobrazením~$z: E \rightarrow {\bb N}$, které ka¾dé hranì vedoucí do~nìjakého
  hradla pøiøazuje nìkterý ze vstupù tohoto hradla.
\endlist

\>Pøitom jsou splnìny následující podmínky:

\itemize\ibull
\:$\forall i \in I: \deg^{in}(i)=0$ (do~vstupù nic nevede);
\:$\forall o \in O: \deg^{in}(o)=1~\land~\deg^{out}(o)=0$ (z~výstupù nic nevede a do~ka¾dého vede právì jedna hrana);
\:$\forall h \in H: \deg^{in}(v)=a(v)$ (do~ka¾dého hradla vede tolik hran, kolik je jeho arita);
\:$\forall h \in H~\forall j: 1\le j\le a(h)$ existuje právì jedena hrana~$e$ taková, ¾e~$e$ konèí v~$h$ a~$z(e)=j$, 
  (v¹echny vstupy hradel jsou zapojeny).
\endlist

\s{Pozorování:} Kdybychom pøipustili hradla s~libovolnì vysokým poètem vstupù, mohli
bychom libovolný problém se vstupem délky~$n$ vyøe¹it jedním hradlem o~$n$~vstupech,
kterému bychom pøiøadili funkci, která by na¹i úlohu rovnou vyøe¹ila. Tento model
v¹ak není ani realistický, ani pìkný. Proto pøijmìme omezení, ¾e~arity v¹ech hradel
budou omezeny nìjakou pevnou konstantou $k$ (uká¾e se, ¾e nám bude staèit dvojka
a~vystaèíme si tedy pouze s nulárními, unárními a binárními hradly). 
Následující obrázky ukazují, jak hradla o~více vstupech nahradit dvouvstupovými:

\twofigures{hradlo_ternor.eps}{Trojvstupové hradlo \sc or.}{0.5in}{hradlo_ternbior.eps}{Jeho nahrazení 2-vstupovými hradly.}{0.6in}


Nyní bychom je¹tì mìli definovat, co taková hradlová sí» vlastnì poèítá a~jak
její výpoèet probíhá.

\s{Definice:} {\I Výpoèet sítì} probíhá po~{\I taktech.} V nultém taktu jsou definovány pouze 
hodnoty na~vstupech sítì a na~výstupech hradel arity 0. Mù¾eme si to pøedstavit
tak, ¾e na~zaèátku nemá ¾ádné hradlo definovánu výstupní hodnotu (a¾ na ji¾ 
zmínìná hradla nulární). V~ka¾dém dal¹ím taktu pak vydají výstup hradla, která
na~konci minulého taktu mìla definovány v¹echny hodnoty na vstupech. Jakmile
budou po~nìjakém koneèném poètu taktù definované i hodnoty v¹ech výstupù, sí»
se zastaví a~vydá výsledek.

\s{Pozorování:} Proto¾e je sí» acyklická, je jasné, ¾e jakmile jednou nìjaké hradlo vydá
výstup, tak se tento výstup bìhem dal¹ího výpoètu sítì ji¾ nezmìní.

\figure{vypocet_site.eps}{Výpoèet hradlové sítì.}{6cm}

\>Podle toho, jak sí» poèítá, si ji mù¾eme rozdìlit na~vrstvy:

\s{Definice:} {\I $i$-tá vrstva $S_i$} obsahuje právì takové vrcholy~$v$, pro~které nejdel¹í cesta ze~vstupù
sítì do $v$ má délku rovnou~$i$.

\s{Pozorování:} V¹imnìme si, ¾e v $i$-tém taktu vydají hodnoty právì hradla z $S_i$.
 
Dává tedy smysl prohlásit za~{\I èasovou slo¾itost} sítì poèet
jejích vrstev. Podobnì {\I prostorovou slo¾itost} definujeme jako poèet hradel v~síti.

\s{Pøíklad:} Sestrojme sí», která zjistí, zda se mezi jejími~$n$ vstupy
vyskytuje alespoò jedna jednièka.

\>{\I První øe¹ení:} zapojíme hradla za~sebe (sériovì). Èasová i prostorová
slo¾itost odpovídají~$\Theta(n)$. Zde ov¹em vùbec nevyu¾íváme toho, ¾e by mohlo poèítat více
hradel souèasnì.

\figure{hloupy_or.eps}{Hradlová sí», která zjistí, zdali je na vstupu alespoò jedna jednièka.}{0.7in}

\>{\I Druhé øe¹ení:} Hradla budeme spojovat do~dvojic, pak výsledky z~tìchto dvojic opìt
do~dvojic a tak dále. Díky paralelnímu zapojení dosáhneme èasové slo¾itosti $\Theta(\log n)$,
prostorová slo¾itost zùstane lineární.

\figure{chytry_or.eps}{Chytøej¹í øe¹ení stejného problému pro vstup velikosti 16.}{3in}

\bye
