\input lecnotes.tex

\prednaska{4}{Goldgergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, 
%J. Volec,
J. Záloha)}

\noindent
Pøedstavíme si nový algoritmus pro hledání toku v síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako
{\I Dinicùv alogritmus} ($\O(mn^{2})$), a po nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í.

\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}_{0}^{+}$ 
je {\I vlna} v síti ($V, E, z, s, c$), t.¾. $ \forall e \in E : f(e) \leq c(e) \wedge $ pro 
$ \forall v \ne z, v \ne s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $.

\s{Poznámka:} Funkce $f^{\Delta}(v)$ vrací pøebytek ve vrcholu 
$v$ : $$f^{\Delta}(v):=\sum_{(u,v) \in E}{f(u,v)} - \sum_{(v,u) \in E}{f(v,u)}$$
Tok je vlna, kde $ f^{\Delta}(v) = 0 , \forall v \in V , v \ne z,s $.

\noindent r(v,u)
V algoritmu budeme provádìt dvì operace na vrcholech sítì. K tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em 
vrcholùm vý¹ky pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.

\s{Operace:} pro $ (u,v) \in E$

\algo
\:{\I Pøevedení pøebytku} 

Pokud platí:
\itemize\ibull
	\: $u : f^{\Delta}(v) > 0$
	\: $v : h(u) > h(v)$
	\: $r(u,v)>0$	
\endlist
 pøevedeme tok o velikosti $\delta:=min(f^{\Delta}(u),r(u,v))$ z $u$ do $v$ takto: $f^{\Delta}(u):=f^{\Delta}(u)-\delta$ $f^{\Delta}(v):=f^{\Delta}(v)+\delta$, $r(u,v)=r(u,v)-\delta$ a $r(v,u)=r(v,u)+\delta$ .

Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po pøevodu rezerva na hranì $(u,v)$ nulová, tedy $r(u,v)=0$. 
Naopak pøevedení {\I nenasycené}, pokud po pøevodu $f^{\Delta}(v) = 0$. Pokud $r(u,v)=0 \wedge f^{\Delta}(v) = 0$
budeme pøevedení pova¾ovat za {\I nasycené}.

\:{\I Zvednutí vrcholu} $u$ 

Pokud v algoritmu narazíme na pøebytek, kterého se nelze pøevést, zvedneme vrchol $h(u):=h(u)+1$.  
\endalgo

\s{Algoritmus:} (Goldberg)

\algo
\:$h(*)\leftarrow 0, h(z)\leftarrow \bb{N}$.
\:$f(*)\leftarrow 0, \forall u \in V, (z,u) \in E : f(u,v)\leftarrow c(z,u)$.
\:Dokud $\exists u \in V, u \ne z, u \ne s, f^{\Delta}(u)>0$: 
\:Pokud $\exists (u,v) \in E, r(u,v)>0 \wedge h(u)>h(v)$, tak prevedeme pøebytek po (u,v).
\:Jinak zvedneme $u$.
\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek.
\endalgo

\s{Poznámka:} Pokud v síti neexistují nìkteré zpìtné hrany, tak je tam pøidáme s nulovou kapacitou

\noindent
Následovat bude nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ se doká¾e správnost a èasová slo¾itost vý¹e popsaného
agoritmu.

\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ vrácená algoritmem je vlna. Pro $\forall v \in V, h(v)$ neklesá a
$h(z)=N, h(s)=0$.

\proof
Pro první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a~nevytvoøíme
záporný pøebytek. Pro $\forall v \in V, v \ne z, v \ne$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z podmínky v tøetím kroku
algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v $z$ a $s$ v podstatì nezajímají, tudí¾ ani nemìníme jejich vý¹ku.   
\qed

\s{Invariant S(o spádu):} Pro $\forall (u,v) \in E, r(u,v)>0 : h(u) \leq h(v)+1$. Tedy neexistuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou.

\proof
Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1. V druhé fázi algoritmu k tomu nedojde. Pokud ji¾ existuje vrchol $v$ s pøebytkem a nenasycená hrana $(v,u)$ a platí $h(v)=h(u)+1$ vrchol $v$ algoritmu nezvedá a rovnou pøebytek posílá po této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $(u,v)$ se spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e to také nejde, proto¾e kdybychom cokoli poslali proti smìru této hrany, bude to proti smìru funkce $h()$, ale to nejde.
\qed 

\s{Lemma K (o korektnosti)} Kdy¾ se algorimus zastaví, vydá maxinální tok.

\proof
Vyjdìme z toho, ¾e $f$ je vlna a algorimus se mù¾e zastavit v tìchto pøípadech:
\itemize\ibull
\:ve vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky. Potom, ale $f$ je zároveò tok.
\:pokud existuje nenasycená cesta $P$ ze zdroje do stoku. O té víme, ¾e má maximálnì $n-1$ hran. Zároveò v¹ak musí mít spád $N$, ale to znamená, ¾e existuje hrana $(u,v)$, pro kterou platí $h(u,v)>=2$, ale to je spor s Invariantem S.
\endlist
\qed

\s{Invarinat C (cesta domù, do zdroje)} Je-li $v \in V(G), v \neq z,s,  f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$.

\proof
Mìjme nìjaký vrchol $v \in V(G)$ takový, ¾e  $f^{\Delta}(v) > 0$.
Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V(G) : \exists$ nenasycená cesta z $v$ do $u \}$.
Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V(G) - A$ takové, ¾e $(b,a)\in E$. O nich víme, ¾e $f(b, a)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(a, b)>0$, a tedy $b$ patøí do mno¾iny $A$.

\noindent Seètìme pøebytky ve v¹ech vrcholech $A$, Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do nìj vstupujících minus souèet tokù z nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v $A$ se tedy jedenkrát pøiètou a jedenkrát odeètou, platí:
$$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{(a,b)\in E \cap (\bar{A}\times A)}f(a,b)-\sum_{(b,a)\in E \cap (A\times \bar{A})}f(b,a)$$
Proto¾e v¹ak do $A$ nic neteèe, nebo obsahuje zdroj (pokud není izolovaný, existují nenasycené zpìtné hrany), tento výraz musí být men¹í, roven nule. Odtud vyplývá, ¾e pokud nìco odtéká ven z $A$ nebo $A$ obsahuje $s$, pak $\exists u \in A, f^{\Delta}(u)<0$. Toto $u$ musí být zdroj, proto¾e v¹echny ostatní vrcholy mají kladný pøebytek.
\qed
\s{Invariant V (vý¹ka)} Pro $\forall v \in V$ platí $h(v)<=2N$.

\proof
Víme, ¾e poèet hran v cestì ze $z$ do $\forall v \in V$ je maximálnì $N-1$.
Pokud by existoval vrchol $v$ s vý¹kou $h(v)>2N$, musel by být zvednut alespoò 2N-krát. To ale znamená, ¾e by po $2N-1$ zvednutích musel mít stále pøebytek. Pokud tento pøebytek nelze pøevést do ¾ádného jiného vrcholu $\acute{v}$, musí platit $h(v)<=h(\acute{v})$ a tedy $v$ bude zvednut po 2N. To ale znamená, ¾e by platilo $h(v)-h(z)=N$. Dále víme z Invariantu C, ¾e existuje nenasycená cesta z $v$ do $z$. Potom, ale v cestì ze $z$ do $v$ existuje hrana se spádem vìt¹ím ne¾ 1 a to je spor s Invariantem S.
\qed

\s{Lemma Z (poèet zvednutí)} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2N^{2}$.

\proof
Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol zvednut maximálnì 2N-krát a vrcholù je N.
\qed
%
%\s{Definice:} Nasycené pøevedení je pøevedení pøebytku z vrcholu hranou takové, ¾e tato hrana bude nasycena.
%
%\s{Definice:} Nenasycené pøevedení je takové pøevedení, které není syté a pøi nìm¾ dojde k odstranìní pøebytku z vrcholu.

\s{Lemma SY (sytá pøevedení)} Poìet v¹ech sytých pøevedení je maximálnì $NM$.

\proof
Mìjme hranu $(u,v) \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)<h(u)$ a zároveò $r(u, v)=0$. Aby se rezerva této hrany zmìnila, musel by ji nìkdo odsytit. Ale nutná podmínka pro odsycení hrany je, ¾e se otoèí nerovnost mezi vý¹kami koncových vrcholù. Tedy $h(v)>h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na $h(v)<h(u)$.  Mezi dvìma nasyceními hrany $(u,v)$ probìhly minimálnì dvì zvednutí vrcholu $u$. Algoritmus nikdy vý¹ku vrcholu nesni¾uje, a tedy poèet v¹ech sytých pøevedení je skuteènì $NM$.
\qed



\end
