%version 1.8

\input lecnotes.tex

\prednaska{4}{Goldbergùv algoritmus}{(zapsali R. Tupec, 
J. Volec,
J. Záloha)}

\noindent
Pøedstavíme si nový algoritmus pro~hledání maximálního toku v~síti, který se uká¾e stejnì dobrý jako {\I Dinicùv algoritmus} ($\O(MN^{2})$) a po~nìkolika vylep¹eních bude i lep¹í.

\noindent 
Tento algoritmus narozdíl od~Dinicova algoritmu zaèíná s~pøebytky v~sousedních vrcholech zdroje a sna¾í se jich zbavit pomocí pøevádìní. Pokud bychom toto pøevádìní dìlali \uv{tupým zpùsobem}, mohl by se algoritmus zacyklit. Proto pro~ka¾dý vrchol budeme definovat vý¹ku, a jak uvidíme, s~její pomocí se vyhneme zacyklení. 

\s{Definice:} Funkce $f:E \rightarrow {\bb R}_{0}^{+}$ 
je {\I vlna} v~síti~$(V, E, z, s, c)$ tehdy, kdy¾ $ \forall uv \in E : f(uv) \leq c(uv) $, kde $c(uv)$ je kapacita hrany~$uv$, a $ \forall v \ne z, s : f^{\Delta}(v) \geq 0 $. Funkcí $f^{\Delta}(v)$ rozumíme {\I pøebytek}, který pøebývá ve~vrcholu~$v$, co¾ je souèet v¹eho, co do~vrcholu~$v$ pøiteèe, mínus souèet v¹eho, co z~$v$ odteèe. To mù¾eme zapsat jako:
 $$f^{\Delta}(v):=\sum_{uv \in E}{f(uv)} - \sum_{vu \in E}{f(vu)}.$$
Ka¾dý tok je vlna, kde $\forall v \ne z,s: f^{\Delta}(v) = 0$.

\noindent
Algoritmus pou¾ívá sít rezerv, kterou jsme nadefinovali ji¾ v~pøedchozí kapitole vìnované Dinicovi.

\noindent
Dále budeme provádìt následující dvì operace na~vrcholech sítì. K~tomu budeme potøebovat pøiøadit v¹em vrcholùm vý¹ku pomocí funkce $h : V \rightarrow \bb{N}$.

\s{Operace:} Pro~hranu~$uv \in E$ definujme {\I pøevedení pøebytku}:

\noindent 
Pokud platí, ¾e:
\numlist \ndotted
	\:ve~vrcholu~$u$ je nenulový pøebytek, tj. $f^{\Delta}(u) > 0$,
	\:vrchol~$u$ je vý¹ ne¾ vrchol~$v$, tj. $h(u) > h(v)$, a
	\:hrana $uv$ má nenulovou rezervu, tj. $r(uv)>0$,
\endlist
\noindent pøevedeme tok o~velikosti $\delta:=\min(f^{\Delta}(u),r(uv))$ z~$u$ do~$v$ tímto zpùsobem:
\numlist \ndotted
  \:$f^{\Delta}(u) \leftarrow f^{\Delta}(u)-\delta$ a $f^{\Delta}(v) \leftarrow f^{\Delta}(v)+\delta$,
  \:$r(uv) \leftarrow r(uv)-\delta$ a $r(vu) \leftarrow r(vu)+\delta$.
\endlist

\s{Definice:} Øekneme, ¾e pøevedení je {\I nasycené}, pokud je po~pøevodu rezerva na~hranì $uv$ nulová, tedy $r(uv)=0$. 
Naopak pøevedení je {\I nenasycené}, pokud po~pøevodu $f^{\Delta}(u) = 0$. Pokud $r(uv)=0$ a $f^{\Delta}(u) = 0$,
budeme pøevedení pova¾ovat za~{\I nasycené}.

\s{Operace:} Pro~vrchol~$u \in V$ definujme {\I zvednutí vrcholu}: 
Pokud bìhem výpoètu narazíme ve~vrcholu~$u$ na~pøebytek, který nelze nikam pøevést, zvìt¹íme vý¹ku vrcholu~$u$ o~jednièku, tj. $h(u) \leftarrow h(u)+1$.

\s{Algoritmus (hledání maximálního toku v síti, Goldberg)}

\algo
\:$\forall v \in V: h(v)\leftarrow 0$ (v¹em vrcholùm nastavíme poèáteèní vý¹ku nula). 
\:$h(z)\leftarrow N$ (zdroj zvedneme do~vý¹ky $N$).
\:$\forall e \in E: f(e)\leftarrow 0$ (po~hranách na~poèátku nenecháme protékat nic).
\:$\forall zu \in E : f(zu)\leftarrow c(zu)$ (ze~zdroje pustíme maximální mo¾nou vlnu).
\:Dokud $\exists u \in V \setminus \{z,s\}, f^{\Delta}(u)>0$: 
\::Pokud $\exists uv \in E, r(uv)>0$ a $h(u)>h(v)$: pøevedeme pøebytek po~hranì $uv$.
\::V~opaèném pøípadì zvedneme $u$.
\:Vrátíme tok $f$ jako výsledek.
\endalgo

\noindent
Nyní bude následovat nìkolik lemmat a invariantù, jimi¾ doká¾eme správnost a èasovou slo¾itost vý¹e popsaného algoritmu.

\s{Invariant A:} Funkce $f:E \rightarrow \bb{R}$ je v~ka¾dém kroku algoritmu vlna, $h(v)$ nikdy neklesá, $h(z)=N$ a $h(s)=0$.

\proof
Pro~první èást invariantu si staèí rozmyslet, ¾e v~¾ádném kroku algoritmu nepøekroèíme kapacity hran a nevytvoøíme záporný pøebytek. Pro~$v \in V \setminus \{z,s\}$ skuteènì vý¹ku pouze zvy¹ujeme a z~podmínky v~pátém kroku algoritmu vyplývá, ¾e nás pøebytky v~$z$ a $s$ v~podstatì nezajímají, tudí¾ se $h(z)$ a $h(s)$ nemìní. 
\qed

\s{Invariant S (o~Spádu):} Neexistuje hrana se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna a nenulovou rezervou, neboli $\forall uv \in E, r(uv)>0 : h(u) \leq h(v)+1$.

\proof %todo pøeformulovat:BEGIN OK
Podívejme se, kdy by mohla vzniknout nenasycená hrana se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna. Bìhem inicializace k~tomu evidentnì nedojde, proto¾e v¹echny hrany jsou nenasycené nebo mají kapacitu nula, proto je mù¾eme vypustit. Bìhem práce algoritmu k~tomu v¹ak také nedojde, jak uvidíme z~rozebrání následujících pøípadù. Pokud ji¾ existuje vrchol~$v$ s~kladným pøebytkem, dále existuje nenasycená hrana $vu$ a $h(v)=h(u)+1$, vrchol~$v$ algoritmus nezvedne, ale pøebytek po¹le po~této hranì. Uva¾me tedy je¹tì druhý pøípad, kdy existuje nasycená hrana $uv$ se~spádem vìt¹ím ne¾ jedna a tuto hranu se pokusíme odsytit. Jen¾e pokud bychom chtìli nìco poslat v protismìru, sna¾ili bychom se o pøelití proti smìru funkce $h$.
\qed %todo pøeformulovat:END 

\s{Lemma K (o~Korektnosti):} Kdy¾ se algoritmus zastaví, je $f$ maximální tok.

\proof
Nejprve uká¾eme, ¾e $f$ je tok, a pak jeho maximalitu. Vyjdìme z~toho, ¾e $f$ je vlna a algoritmus se mù¾e zastavit, jen pokud nastanou oba následující pøípady souèasnì:
\itemize\ibull
\:Ve~vrcholech grafu nejsou ¾ádné pøebytky (mimo $z$ a~$s$), proto¾e jinak by se algoritmus nezastavil a pokraèoval dále ve~výpoètu. Tudí¾ $f$ je tok.
\:Neexistuje nenasycená cesta ze~zdroje do~stoku, èím¾ z~{\I Ford-Fulkersonovy vìty} okam¾itì vyplývá, ¾e $f$ je tok maximální. A jak tuto neexistenci nahlédneme? Pro~spor pøedpokládejme, ¾e nìjaká nenasycená cesta~$P$ ze~$z$ do~$s$ existuje. Tato cesta mù¾e mít maximálnì $N-1$ hran. O~nich víme, ¾e v¹echny mají kladnou rezervu, a dále víme, ¾e po~celou dobu výpoètu je vý¹ka zdroje $N$ a vý¹ka stoku $0$. Tak¾e celkový spád cesty $P$ je $N$, co¾ ale znamená, ¾e na cestì $P$ existuje hrana s~kladnou rezervou, která má spád alespoò $2$. To je v¹ak v~rozporu s~invariantem~S.
\qeditem
\endlist

\s{Invariant C (Cesta domù, do~zdroje):} Je-li $v \in V \setminus \{z,s\}$ a $f^{\Delta}(v) > 0$, pak existuje nenasycená cesta z~$v$ do~$z$.

\proof
Mìjme nìjaký vrchol~$v \in V$ takový, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$.
Potom definujme mno¾inu $A := \{ u \in V : \exists$ nenasycená cesta z~$v$ do~$u \}$.
Mìjme vrcholy $a \in A$ a $b \in V \setminus A$ takové, ¾e $ba\in E$. O~nich víme, ¾e $f(ba)=0$, proto¾e pokud by tomu tak nebylo, muselo by platit $r(ab)>0$, a tudí¾ by $b$ patøilo do~mno¾iny $A$.

Seètìme pøebytky ve~v¹ech vrcholech mno¾iny $A$. Proto¾e pøebytek ka¾dého vrcholu se spoèítá jako souèet tokù do~nìj vstupujících minus souèet tokù z~nìj vystupujících a v¹echny hrany, jejich¾ oba vrcholy le¾í v~$A$, se jednou pøiètou a jednou odeètou, platí: 
 $$\sum_{u \in A}f^{\Delta}(u)=\sum_{\scriptstyle{ab \in E \cap {\bb A}} \atop \scriptstyle{{\bb A} = \bar{A}\times A}} f(a,b)-\sum_{{\scriptstyle ba \in E \cap {\bb A}} \atop {\scriptstyle {\bb A} = A\times \bar{A}}} f(b,a).$$
My v¹ak víme, ¾e do~$A$ nic neteèe, a proto $\sum_{v \in A}{f^\Delta(v) \le 0}$. Zároveò v¹ak v~$A$ je vrchol s~kladným pøebytkem, toti¾ $v$, proto v~$A$ musí být také vrchol se záporným pøebytkem a jediný takový je $z$.
\qed
\s{Invariant V (Vý¹ka):} $\forall v \in V$ platí $h(v)\le 2N$.

\proof
Víme, ¾e poèet hran na~cestì ze~$z$ do~$\forall v \in V$ je maximálnì $N-1$. Pokud by existoval vrchol~$v$ s~vý¹kou $h(v)>2N$, museli jsme tento vrchol zvednout alespoò $(2N+1)$-krát. Snadno si uvìdomíme, ¾e $z$ nikdy nezvedáme, a tudí¾ by na cestì ze $z$ do $v$ musela být hrana se spádem vìt¹ím ne¾ jedna, co¾ je spor s~invariantem~S.
\qed

\s{Lemma Z (poèet Zvednutí):} Poèet v¹ech zvednutí je maximálnì $2N^{2}$.

\proof
Staèí si uvìdomit, ¾e ka¾dý vrchol mù¾eme zvednout maximálnì $2N$-krát a vrcholù je $N$.
\qed

\s{Lemma S (naSycená pøevedení):} Poèet v¹ech nasycených pøevedení je nejvý¹ $NM$.

\proof
Mìjme hranu~$uv \in E$, kterou jsme právì nasytili. Tedy platí $h(v)<h(u)$ a zároveò $r(uv)=0$. Aby se rezerva této hrany zmìnila, musel by ji nìkdo odsytit. Pro~odsycení hrany se musí otoèit nerovnost mezi~vý¹kami koncových vrcholù. Tedy $h(v)>h(u)$. Proto, abychom tuto hranu opìt nasytili, musíme opìt zmìnit nerovnost vý¹ek na~$h(v)<h(u)$. Mezi dvìma nasyceními hranami $uv$ proto probìhla minimálnì dvì zvednutí vrcholu~$u$. Algoritmus nikdy vý¹ku vrcholu nesni¾uje, a tedy poèet v¹ech nasycených pøevedení je skuteènì $NM$.
\qed

\s{Lemma N (Nenasycená pøevedení):} Poèet v¹ech nenasycených pøevedení je $\O(N^2M)$.

\proof
Dùkaz provedeme pomocí potenciálu -- nadefinujme si následující funkci jako potenciál:
 $$ \psi := \sum_{\scriptstyle{v: f^{\Delta}(v) > 0} \atop \scriptstyle{v \ne z,s}} h(v). $$
Nyní se podívejme, jak se ná¹ potenciál bìhem algoritmu vyvíjí a jaké má vlastnosti:
\itemize\ibull
\:Bìhem celého algoritmu je $ \psi \ge 0 $, nebo» je souètem nezáporných èlenù.
\:Na poèátku je $ \psi = 0 $.
\:Zvednutí vrcholu zvý¹í $\psi$ o~jednièku. Ji¾ víme, ¾e za~celý prùbìh algoritmu je v¹ech zvednutí maximálnì $2N^2$, proto zvedáním vrcholù zvý¹íme potenciál dohromady nejvý¹e o~$2N^2$.
\:Nasycené pøevedení zvý¹í $\psi$ nejvý¹e o~$2N$, proto¾e buï po~pøevodu hranou $uv$ v~$u$ zùstal nìjaký pøebytek, tak¾e se mohl potenciál zvý¹it a¾ o~$2N$, nebo je pøebytek v~$u$ po~pøevodu nulový a potenciál se dokonce o~jedna sní¾il. Za~celý prùbìh tak dojde k~maximálnì $NM$ takovýmto pøevedením, díky nim¾ se potenciál zvý¹í maximálnì o~$2N^2M$.
\:Koneènì kdy¾ pøevádíme po~hranì $uv$ nenasycenì, tak od~potenciálu urèitì odeèteme vý¹ku vrcholu~$u$ a mo¾ná pøièteme vý¹ku vrcholu~$v$. Jen¾e $h(v) = h(u) - 1$, a proto nenasycené pøevedení potenciál v¾dy sní¾í alespoò o~jedna. 
\endlist

\>Z~tohoto rozboru chování potenciálu $\psi$ v~prùbìhu algoritmu získáváme, ¾e poèet v¹ech nenasycených pøevedení mù¾e být nejvý¹e $2N^2 + 2N^2M$, co¾ je $\O(N^2M)$.
\qed

\s{Implementace:}
Budeme si pamatovat seznam $P$ v¹ech vrcholù $v \ne z,s$ takových, ¾e $f^{\Delta}(v) > 0$. Kdy¾ mìníme pøebytek nìjakého vrcholu, mù¾eme ná¹ seznam v~konstantním èase aktualizovat (napø. tak, ¾e si ka¾dý vrchol pamatuje pozici, na~které v~seznamu je). A v~konstantním èase také umíme odpovìdìt, zda existuje nìjaký vrchol s~pøebytkem. Dále si $\forall u \in V$ budeme pamatovat $L(u) := $ seznam $uv \in E$ takových, ¾e $r(uv) > 0$ a $h(v) < h(u)$. Díky tomu mù¾eme pøistupovat k~patøièným sousedùm $u$ v~èase $\O(1)$, stejnì jako provádìt operace pøidání do~$L(u)$, resp. smazání v~nìm. Ka¾dé pøevedení po~hranì $uv$ nás stojí konstantní èas na~aktualizaci rezerv hran $uv$ a $vu$, stejnì tak i na aktualizaci pøebytkù ve~vrcholech $u$ a $v$. V~pøípadì, ¾e se jedná o~nasycené pøevedení, musíme je¹tì odstranit hranu~$uv$ z~$L(u)$, co¾ také stihneme v~èase $\O(1)$. A koneènì zvedání vrcholu~$v$ nám zabere èas $\O(N)$, proto¾e musíme obejít v¹echny hrany~$uv$, kterých je $\O(N)$, porovnat vý¹ky a pøípadnì odebrat $uv$ z~seznamu $L(u)$ resp. pøidat do $L(v)$. Abychom pro odebrání hrany~$uv$ ze~seznamu $L(u)$ nemuseli procházet celý seznam, budeme si $\forall v \in V$ pamatovat je¹tì $L^{-1}(v) := $ seznam ukazatelù na~hrany~$uv$ v~seznamech $L(u)$.

\s{Vìta:} Goldbergùv algoritmus najde maximální tok v~èase $\O(N^2M)$.

\proof
Z~lemmatu~Z vyplývá, ¾e celkový poèet zvednutí je maximálnì $2N^2$, pøièem¾ ka¾dé zvednutí jsme schopni provést v~èase $\O(N)$. Tak¾e dohromady pro~zvedání spotøebujeme èas $\O(N^3)$, co¾ je pro souvislé sítì urèitì $\O(N^2M)$. Z~lemmatu~S pro~zmìnu vyplývá, ¾e nasycená pøevedení nás stojí $\O(NM)$, a na~závìr z~lemmatu~N dostáváme èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro~pøevedení nenasycená. Proto celková slo¾itost algoritmu je $\O(N^2M)$.    
\qed %todo ? pro zmìnu vs. prozmenu ?

Dokázali jsme, ¾e algoritmus má èasovou slo¾itost $\O(N^2M)$ pro libovolnou posloupnost zvedání a pøevádìní. Nabízí se otázka, zda není mo¾né vhodným výbìrem tìchto operací výpoèet zrychlit. Uká¾eme, ¾e pokud v~$5.$ kroku algoritmu budeme v¾dy brát vrchol~$u$ takový, ¾e $h(u)$ je maximální, poèet nenasycených pøevedení se sní¾í.

\s{Lemma N':} Poèet nenasycených pøevedení v~upravené verzi Goldbergova algoritmu je $\O(N^2\sqrt{M})$, co¾ je maximálnì $\O(N^3)$. Díky tomu je i slo¾itost celého algoritmu $\O(N^3)$.

\proof 
Viz pøí¹tí pøedná¹ku.
\bye
