\input ../lecnotes.tex
\let\la\leftarrow

\prednaska{4}{Aplikace DFS}{}

\h{Nejdel¹í cesta v ohodnoceném DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù)}

\s{Definice:} Pro $u,v \in V$ bude $D(u,v)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $v$.
$D^R(u,v)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafu s otoèenými hranami.

Neexistuje-li cesta z $u$ do $v$, nech» $D(u,v) = -\infty$.
%Zvolme pak $D(u)$ jako nejdel¹í cestu zaèínající v $u$. Pak platí: $$D(u) = \max_{v\in V} D(u,v)$$

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf $G$, v nìm vrchol $u$.
\:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$. Nech» $w_k=u$.
\:Pøedpoèítáme si ke ka¾dému vrcholu v¹echny jeho pøedchùdce, tedy mno¾inu
$W_i = \{w_j\mid(w_j,w_i)\in E\}$.
\:Pro v¹echny vrcholy $w_i$ pøed $u$ ($\forall w_i: i<k$) nastavíme délku cesty $D(u,w_i)=-\infty$, pro $u$ pak $D(u,u)=0$.
\:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro ka¾dý z nich spoèítáme $D(u,w_i)$.
$$D(u,w_i)=\max_{w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(u,w_j)+ e(w_i,w_j))$$
\algout $\left\{\strut D(u,w_i)\right\}$.
\endalgo
\s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání a pøedpoèet v $\O(n+m)$. Postupné poèítání $D(u,w)$ také v $\O(n+m)$, celkem $\O(n+m)$.

\s{Pamì»ová slo¾itost:} Pøedpoèet pøedchùdcù zabere $\O(n+m)$ pamìti.

\h{Hledání kritických hran v ohodnoceném DAG-u}
\s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.

\s{Pozorování:} Hrana $(x,y)$ je kritická právì tehdy, kdy¾ $D(u,x) + e(x,y) = D(u,y)$.

\s{Algoritmus:}
\algo
\algin Graf $G$, v nìm vrchol $u$.
\:Nalezneme v grafu $G$ nejdel¹í cesty z $u$ pøedchozím algoritmem
\:Vybereme ty hrany, které splòují rovnost $D(u,x) + e(x,y) = D(u,y)$ -- kritické
\algout Seznam kritických hran.
\endalgo
\s{Èasová a pamì»ová slo¾itost:} $\O(n+m)$

%\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$
% MQ: Toto pozorování mì mate. Co tam má být doopravdy?

%%%%%%
%
%\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
%
%\h{Hledání mostu}
%
%\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
%
%Jak to poznat o stromové?
%
%\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
%
%\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
%
%$\<low>(v) < \<in>(u)$
%
%$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
%
%\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
%
%%%%%%

\h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty silné souvislosti}

\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv$ znamená, ¾e existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaènì.

% WTF?
%\>{\I Pozorování:} Pokud $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.

\s{Definice:} $G$ je silnì souvislý právì tehdy, kdy¾ $\forall (u,v) \in V(G): uRv$.

\s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G$ jsou tøídy ekvivalence relace $R$.

\s{Definice:} Graf komponent $C(G)$

$V(C(G))$: Komponenty silné souvislosti grafu $G$

$(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Leftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2  \in C_2: (v_1, v_2) \in E(G)$

\smallskip

\s{Lemma:} Graf komponent $C(G)$ ka¾dého grafu $G$ je DAG.

\proof
Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují
vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i,
y_i)$ jsou hrany grafu~$G$.

V¹echny $C_i$ jsou silnì souvislé, tedy existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$
v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor, nebo» v¹echny vrcholy
v~cyklu musí le¾et v jedné komponentì souvislosti.
\qed

\smallskip

\s{Definice:} {\it Zdrojová komponenta} grafu $G$ je taková komponenta silné
souvislosti, která tvoøí zdroj v $C(G)$.

\s{Trik:} Uva¾ujme graf $G^R$ (graf $G$, ve kterém otoèíme orientace v¹ech hran). Pokud
$v$~le¾í ve zdrojové komponentì grafu $G$, pak $\<DFS>(v)$ v $G^R$ projde právì
komponenty~$G$.

Pustíme-li $\<DFS>(G)$, pak vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í nutnì ve zdrojové
komponentì (laskavý ètenáø doká¾e samostatnì). 

\s{Tvrzeníèko:} Dále pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $$\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x).$$

\proof
\itemize\ibull
\:Buïto DFS vstoupí nejdøíve do $C_1$ -- nìkdy odtamtud dojde do $C_2$ a zase se nìkdy vrátí, rozhodnì ale døíve ne¾ z $C_1$. Pro tento pøípad tvrzeníèko platí.
\:Nebo vstoupí nejdøíve do $C_2$. Odtud nemù¾e nikdy dojít do $C_1$. Vrátí se tedy rozhodnì døíve z celé $C_2$, ne¾ kdy vùbec vstoupí do $C_1$, tedy pro tento pøípad také tvrzeníèko platí.
\endlist
\qed

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf $G$
\:Sestrojíme $G^R$
\:$Z$ prázdný zásobník, $\<komp>(*) \la$ ?
\:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu jej vlo¾íme do $Z$. Máme tedy vrcholy v zásobníku setøídìné podle $\<out>(v)$.
\:Postupnì pro $v \in Z$:
\::Pokud $\<komp>(v)=~?$
\:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholùm $w$ nastavíme $\<komp>(w) \la v$.
\algout Pro ka¾dý vrchol $v$ vrátíme jeho komponentu $\<komp>(v)$.
\endalgo

\h{Detekce cyklù v grafu}

Algoritmus na vypsání {\I v¹ech} cyklù v grafu si neuká¾eme, nebo» tento
problém je tì¾¹í, ne¾ se zdá. Zde probíráme nalezení {\I nìjakého} cyklu v grafu.

\s{Lemma:} Cyklus je v grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $\<DFS>(G)$ oznaèí nìjakou
hranu jako zpìtnou.

\proof Nech» je v grafu $G$ cyklus $v_1,v_2,\dots,v_k,v_1$, nech» $\<DFS>(G)$ urèí
nìjakou funkci $\<out>$. Nech» je oznaèení vrcholù takové, ¾e $\<out>(v_1)$ je
maximální pøes celý cyklus. Pak jistì $\<out>(v_k) < \<out>(v_1)$. 

Nyní uva¾me poøadí opou¹tìní vrcholù na rùzných typech hran $(x,y)$. Na
stromové, dopøedné a pøíèné hranì platí $\<out>(x) > \<out>(y)$, na zpìtné
$\<out>(x) < \<out>(y)$. Tedy $(v_k,v_1)$ musí být nutnì zpìtná.

Opaèná implikace je triviální.
\qed

Dùkaz nám sám dává zpùsob, jak najít cyklus v grafu.

\s{Algoritmus:}
\algo
\algin Graf $G$
\:$Z$ budi¾ prázdný zásobník.
\:Spustíme $\<DFS>(G)$ a pøi nalezení první zpìtné hrany $(u,v)$ zastavíme.
\:Postupnì pro v¹echny otevøené vrcholy $w$ v poøadí, ve kterém by se z~nich DFS vracelo
\::vlo¾íme $w$ na zásobník $Z$
\::Pokud $w = v$ (nalezli jsme konec zpìtné hrany)
\:::ukonèíme cyklus
\algout Obsah zásobníku $Z$ (nalezený cyklus).
\endalgo

\h{Hledání mostù v neorientovaném grafu}

\s{Definice:} Hrana $uv \in E(G)$ je {\I most}, pokud se jejím odebráním
z~grafu $G$ zvý¹í poèet komponent souvislosti tohoto grafu.

\s{Pozorování:} Hrana, která je v nìjakém cyklu, nemù¾e být mostem. Z cyklu
toti¾ lze libovolnì odebrat jednu hranu a pøesto zùstane souvislý. V¹echny
ostatní hrany naopak mosty jsou.

Mù¾e být mostem jiná hrana ne¾ stromová? Zpìtné hrany nutnì tvoøí cyklus.
Pøíèné a dopøedné se v neorientovaném DFS neobjeví.

Hledáme tedy v¹echny stromové hrany, které nejsou v ¾ádném cyklu. Projdeme graf
zase pomocí upraveného DFS.

Kdy je hrana $uv$ v nìjakém cyklu? Kdy¾ existuje cesta $v\dots w$ (a nebo
$v=w$), zpìtná hrana $wx$ a cesta $x\dots u$ (a nebo $x=u$).

\smallskip
\s{Algoritmus} bude je¹tì trochu více upravené DFS. Pro ka¾dý vrchol~$v$ si
budeme kromì hloubky je¹tì pamatovat $z(v)$. To bude nejmen¹í \<in> vrcholu,
do kterého se dá dostat po zpìtných hranách z~vrcholu $v$ nebo podstromu pod ním.

\algo
\:Vstoupíme do vrcholu $u$ jako DFS.
\:$x \la $~minimum z $\<in>(v)$ pøes v¹echny zpìtné hrany $uv$
\:$y \la $~minimum ze $z(w)$ pøes v¹echny stromové hrany $uw$
\:$z(u) \la \min xy$
\:Pokud $z(u) \ge \<in>(u)$,
\::je jistì mostem hrana, po které jsme vstoupili do $u$.
\endalgo

\qed

\bye
