\input ../lecnotes.tex

\prednaska{4}{Aplikace DFS}{}

\h{Nejdel¹í cesta v DAG-u (v grafu bez orientovaných cyklù):}

\s{Definice:} Pro $w \in V$ bude $D(w)$ délka nejdel¹í cesty z $u$ do $w$. $D^R(w)$ bude délka nejdel¹í cesty v grafù s hranami opaène.

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf $G$
\:Zvolíme topologické uspoøádání $w_1 \dots w_n$ na $G$
\:Pro ka¾dé $w_i$ pøed $u$ nastavíme $D(w_i)=-\inf$ a $D(u)=0$
\:Postupnì procházíme vrcholy $w_i \in V(G)$ v topologickém poøadí a pro $\forall w_i$ spoèítáme $D(w_i)$
\::$D(w_i)=\max_{\forall w_j \mid (w_j, w_i) \in E} (D(w_j)) + 1$
\algout Vrátime $D(v)$
\endalgo

\s{Èasová slo¾itost:} Sestrojení topologického uspoøádání v $O(n+m)$. Poèítání indukcí $D(w)$ také v $O(n+m)$.

\s{Definice:} Hrana je kritická právì tehdy, kdy¾ $e$ le¾í na nìkteré z nejdel¹ích cest.

\>{\I Pozorování:} $e = (x,y)$ kritická kdy¾ $D(x) + D^R(y) + e(x,y) = D(v)$

%%%%%%
%
%\s{Definice:} $e \in E(G)$ je most v neorientovaném grafu $G$ právì tehdy, kdy¾ $G-e$ má více komponent ne¾ $G$.
%
%\h{Hledání mostu}
%
%\>{\I Pozorování:} Zpìtná hrana není most.
%
%Jak to poznat o stromové?
%
%\s{Definice:} $\<low>(v) := \min\{\<in>(w) \mid \exists x \in T_v: (x, w) \hbox{ je zpìtná}\}$
%
%\>{\I Pozorování:} ${u, v}$, $\<in>(u) < \<in>(v)$ není most právì tehdy kdy¾ existuje zpìtná hrana z $T_v$ do $w$ "nad $u$" (t.j. $\<in>(w) < \<in>(u)$)
%
%$\<low>(v) < \<in>(u)$
%
%$\<low>(s_1) \dots \<low>(sk)$ známe
%
%\>{\I Pozorování:} $\<low>(v) = \min\{\<low>(s_1) \dots \<low>(s_k), in(v), \min\{\<in>(w) \mid (v, w) \hbox{ je zpìtná}\}\}$
%
%%%%%%

\h{Rozkládání orientovaných grafù na komponenty souvislosti}

\s{Definice:} $R$ bude relace na $V(G)$ tak, ¾e $uRv \Longleftrightarrow$ existuje orientovaná cesta v~$G$ z~$u$ do~$v$ a opaène.

\>{\I Pozorování:} Ak $R$ je ekvivalence a $u...v$ $v...w$ je $u$-$w$ sled $\Rightarrow$ existuje $u$-$w$ cesta.

\s{Definice:} $G$ je silnì souvislý $\Longleftrightarrow \forall (u,v) \in V(G) : uRv$.

{\narrower
\s{Definice:} Komponenty silné souvislosti grafu $G \Longleftrightarrow$ ekvivalence tøídy relace $R$ je
DAG - ka¾dý vrchol ve své komponente.
}

\s{Definice:} Graf komponent $C(G)$

$V(C(G))$: Komponenty (silne souvislého) grafu $G$

$(C_1,C_2) \in E(C(G)) \Longleftrightarrow \exists v_1 \in C_1, v_2  \in C_2 : (v_1, v_2) \in E(G)$

\smallskip

\s{Lemma:} $\forall (G) : C(G)$ je DAG.

\proof
Sporem: Nech» $C_1, C_2, \dots C_k$ tvoøí cyklus v~$C(G)$. Potom existují vrcholy $x_1 \dots x_k \in C_i$ a $y_1 \dots y_k \in C_{i+1}$ takové, ¾e $(x_i, y_i)$ jsou hrany grafu~$G$. V¹echny $C_i$ jsou silne souvislé, teda existuje cesta z~$y_{i-1}$ do~$x_i$ v~$C_i$. Slepením vznikne cyklus v~$G$, co¾ je spor.
\qed

\smallskip

\s{Trik:}

1. Uva¾ujme graf $G^R$ ($G$ s hranami opaène)

~~~Pokud $v$ le¾í ve zdrojové komponente grafu $G$, pak DFS(v) v $G^R$ projde právì komponenty G.

2. Vrchol s maximálním $\<out>(v)$ le¾í ve zdrojové komponente.

2*. Pokud $(C_1, C_2) \in E(C(G))$, pak $\max_{x \in C_1} \<out>(x) > \max_{x \in C_2} \<out>(x)$.

\proof
2*:
\itemize\ibull
\:a.) DFS vstoupí nedøíve do $C_1$ : Z $C_2$ vyleze urèitì døív ne¾ z $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
\:b.) nejdøíve do $C_2$: Nejdøív se vrátím z celé $C_2$, a¾ pak nìkdy zase vlezu do $C_1 \Rightarrow \<out>(C_1) > \<out>(C_2)$.
\endlist
\qed

\s{Algoritmus:}

\algo
\algin Graf $G$
\:Sestrojíme $G^R$
\:$S \in \emptyset$ seznam, $\<komp>(*) \Rightarrow$ ?
\:Spustíme $\<DFS>(G)$, pøi opu¹tení vrcholu ho pøidáme na zaèátek $S$.
\:Postupòe pro $v \in S$:
\::Pokud $\<komp>(v)=~?$
\:::pustíme $\<DFS>(v)$ v $G^R$, nav¹tíveným vrcholom $w$ nastavíme $\<komp>(w) \Rightarrow v$.
\algout Pro ka¾dý vrchol $v$, jeho komponentu $\<komp>(v)$.
\endalgo

\bye
