%%%%%%%%%%%%
% Zápisek tøetího semináre z grafových agoritmù - ze dne 20.3.2006
% Zapsal Jiøí Peinlich - peinlich@seznam.cz a Michal Kùrka - michal.kurka@gmail.com
%%%%%%%%%%%

\input ../sgr.tex

\prednaska{3}{Bipartitní párování a globální k-souvislost}{zapsali Jiøí Peinlich, Michal Kùrka}

\h{Maximální párování v $k$-regulárním bipartitním grafu}

\s{Operace Degree Split} provádí rozdìlení sudì-regulárního grafu na dva
podgrafy s polovièní regularitou. Operaci Degree Split definujme na
sudì-regulárním grafu takto: V grafu najdeme eulerovský tah. Sestrojíme dva
grafy, které budou mít oba stejnou mno¾inu vrcholù jako graf pùvodní a ka¾dý
bude mít polovinu jeho hran. Mno¾inu hran prvního grafu budou tvoøit sudé hrany
z nalezeného eulerovského tahu, mno¾inu hran druhého grafu pak hrany liché. Tuto
operaci lze jistì provést v lineárním èase (v lineárním èase najdeme eulerovský
tah i rozklad na sudé a liché hrany).

Dále budeme pracovat s $2^d$-regulárními grafy. Operací Degree Split tedy získáme dva grafy, které budou $2^{d-1}$-regulární.

Provedeme-li operaci Degree Split $\log k = d$ krát (polovinu hran v¾dy
zahodíme), získáme 1-regulární podgraf a tedy párování pro zadaný graf (ve
skuteènosti mù¾eme graf rozkládat na párování a vyrobit si 1-faktorizaci
grafu). Slo¾itost nalezení párování bude tedy pro $2^d$ regulární grafy $\O(2^d n
d)$.

Pokud zadaný graf nebude $2^d$-regulární budeme muset pøidat hrany tak, aby nový
graf tuto vlastnost mìl. Operaci Degree Split pak budeme provádìt tak, abychom
se k párování blí¾ili.

Místo toho, abychom do grafu hrany jen pøidávali, budeme v pøípadech, kdy je to
mo¾né, pouze zvìt¹ovat násobnost hrany. U ka¾dé hrany si tedy budeme pamatovat
její násobnost.

\s{Degree Split s~násobnostmi:} Pro sudì-regulární grafy s násobnostmi zavedeme operaci Degree Split takto:
Graf $G=(V,E)$ rozdìlíme na dva grafy $G_1$ a $G_2$, bude platit $V(G_1) = V(G_2) = V$. Hrany nyní pøidìlíme následujícím zpùsobem:
\algo
\:Pokud $e\in E$ v $G$ má sudou násobnost (znaèíme $n(e)$), umístíme ji do $E_1$ i do $E_2$ s násobností ${n(e) \over 2}$, v opaèném pøípadì pøidáme do obou grafù hranu s násobností $\lfloor {n(e) \over 2} \rfloor$.
\:Graf se zbylých hran má v¹echny stupnì sudé a je bez multiplicit. Provedeme na nìj pùvodní operaci Degree Split a rozdìlené mno¾iny hran pøidáme do $G_1$ a $G_2$.
\endalgo

Celý proces lze stihnout v èase $\O(m)$ ($m$ je poèet hran $G$), nebo» v první èásti u ka¾dé hrany pouze zjistíme, zda má sudou násobnost, pøidáme nové hrany v konstantním èase (upravíme násobnosti), a v druhé èásti se provede Split, který má té¾ lineární slo¾itost. Operace Degree Split má tedy slo¾itost $\O(m)$ i v grafu s násobnostmi.

Mìjme nyní $k$-regulární bipartitní graf. Zvolme $t$ tak aby $2^t\geq kn$.
Zvolme dále
$\alpha := \lfloor {2^t \over k} \rfloor$ a
$\beta := 2^t \bmod k$.
Do grafu pøidáme hrany a upravíme násobnosti hran tak, aby byl $2^t$ regulární. Dále pøidáme triviální párování ($i$-tý vrchol vlevo se spojí s $i$-tým vrcholem vpravo) s násobností $\beta$. Tuto mno¾inu hran oznaème $F$. Platí $\beta < k \Rightarrow \vert F \vert < 2^t$.

Takto získáme $2^t$-regulární graf. Na tento graf budeme aplikovat operaci Degree Split a vybereme si v¾dy tu polovinu, kde bude ménì hran z $F$. Tímto zpùsobem budem graf dìlit dokud budou stupnì vrcholù vìt¹í ne¾ jedna. Tedy $t$-krát. Poslední takto získaný graf bude 1-regulární (párování). V ka¾dém kroku se zbavíme alespoò poloviny hran z $F$. Provedeme to ceklem $t$-krát a tedy výsledné párování bude perfektní párování zadaného grafu.

Slo¾itost algoritmu je $\O(kn \log n)$, proto¾e inicializace algoritmu se dá provést v lineárním èase, provede se $\log (kn)$ iterací po $\O(m)$.

\h{Algoritmy na hledání globální k-souvislosti}

\>Problém zji¹tìní {\I stupnì hranové souvislosti} grafu lze pøevést na problém hledání minimálního øezu,
který ji¾ pro zadanou dvojici vrcholù umíme øe¹it pomocí Dinicova algoritmu v~èase $\O(n^{2/3}m)$.
Pokud chceme najít minimum pøes v¹echny dvojice, mù¾eme vyzkou¹et v¹echny dvojice $(s,t)$.
To v¹ak lze snadno zrychlit, pokud si uvìdomíme, ¾e jeden z vrcholù $s$ nebo $t$ lze zvolit
pevnì. Pokud pracujeme s orientovanými grafy, musíme projít jak øezy pro $s \rightarrow t$, tak i $t \rightarrow s$.
Algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n^{{5/3}}m)$.

U~{\I vrcholové $k$-souvislosti} to ov¹em tak snadno nepùjde. Pokud by toti¾ fixovaný vrchol byl souèástí nìjakého
minimálního separátoru, algoritmus mù¾e selhat. Pøesto ale nemusíme procházet v¹echny dvojice vrcholù. Staèí si
pamatovat, kolik vrcholù $s$ jsme u¾ pro v¹echny $t$ zkontrolovali a nejmen¹í zatím nalezený separátor. Kdy¾ bude poèet
vrcholù vìt¹í ne¾ nejmen¹í separátor, tak u¾ jsme jistì na¹li jeden z minimálních øezù. Slo¾itost takového algoritmu pak
bude $\O(\kappa (G) n^{3/2} m)$, kde $\kappa(G)$ je stupeò souvislosti $G$, který hledáme.

Pro minimální øezy v~neorientovaných grafech ov¹em existuje rychlej¹í algoritmus, který toky nepou¾ívá.

\h{Algoritmus Namagochiho a Ibarakiho}

\>Buï $G$ neorientovaný graf s~ohodnocením na~hranách. Oznaèíme si:

\s{Znaèení:}

\itemize\ibull
\:$r(u,v)$ buï kapacita minimálního $uv$-øezu,
\:$d(P,Q)$ buï kapacita hran vedoucích mezi mno¾inami $P,Q \subseteq V$,
\:$d(P) = d(P,\overline P)$ buï kapacita hran vedoucích mezi $P\subseteq V$ a zbytkem grafu,
\:$d(v) = d(\{v\})$ buï kapacita hran vedoucích z~$v$ (tedy pro neohodnocené grafy stupeò~$v$),
\:analogicky zavedeme $d(v,w)$ a $d(v,P)$.
\endlist

\s{Definice:}
{\it Legálním uspoøádáním vrcholù} (LU) budeme nazývat lineární uspoøádání vrcholù $v_1 \ldots v_n$ takové, ¾e platí
$d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_i) \geq d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},v_j)$ pro $1 \leq i<j\leq n$.

\s{Lemma:} Je-li $v_1 \ldots v_n$ LU na $G$, pak $r(v_{n-1},v_n)=d(v_n)$.

\s{Dùkaz:} Buï $C$ nìjaký øez oddìlující $v_{n-1}$ a $v_n$. Utvoøme posloupnost vrcholù $u_i$ takto:

\algo
\:$u_0 := v_1$
\:$u_i := v_j$ tak, ¾e $j>i$, $v_i$ a $v_j$ jsou oddìleny øezem $C$ a $j$ je minimální takové.
\endalgo

Ka¾dé $u_{i-1}$ je tedy buï $u_i$, pokud jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na stejné stranì øezu, nebo $u_{i-1}$ je $v_i$ pokud
jsou $v_i$ a $v_{i-1}$ na opaèné stranì øezu.  Dostáváme tedy, ¾e $d(\{v_1\ldots v_{i-1}\},u_i)\leq d(\{v_1\ldots
v_{i-1}\},u_{i-1})$, proto¾e buïto $u_i=u_{i-1}$, a pak je nerovnost splnìna jako rovnost, nebo je $u_i=v_j$, $j>i$ a
nerovnost plyne z LU vrcholù $v_i$.

Chceme ukázat, ¾e velikost libovolného øezu je alespoò taková, jako velikost øezu kolem vrcholu $v_n$.
Platí, ¾e $ \vert C \vert \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i)$. Uká¾eme, ¾e pravá strana je alespoò $d(v_n)$:

$$\eqalign{
\sum_{i=1}^{n-1} d(v_i,u_i) &= \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1\ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_i) \geq \sum_{i=1}^{n-1} d(\{v_1 \ldots v_i\},u_i) - d(\{v_1 \ldots v_{i-1}\},u_{i-1}) = \cr
&= d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},u_{n-1}) - d(\{v_1 \ldots v_0\},u_0) = d(\{v_1 \ldots v_{n-1}\},v_n) - 0 = d(v_n).\cr
}$$
\qed

Dokázali jsme, ¾e libovolný øez separující $v_{n-1}$ a $v_n$ je vìt¹í ne¾ jednoduchý øez skládající se jen z hran kolem~$v_n$. Kdy¾ tedy sestavíme nìjakou LU posloupnost vrcholù, budeme mít k dispozici jednoduchý minimální øez $v_{n-1}$ a~$v_n$. Následnì vytvoøíme graf $G'$, v nìm¾ $v_{n-1}$ a $v_n$ skontrahujeme. Rekurzivnì najdeme minimální øez v $G'$. Hledaný minimální øez poté buïto oddìluje vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ a potom je øez kolem vrcholu $v_n$ minimální, nebo vrcholy $v_n$ a $v_{n-1}$ neoddìluje, a v takovém pøípadì jej najdeme rekurzivnì. Hledaný øez je tedy men¹í z rekurzivnì nalezeného øezu a øezu kolem $v_n$.

Zbývá ukázat, jak konstruovat LU. Postaèí hladovì: Pamatujeme si $\forall v\neq v_1 \ldots v_{i-1}$ hodnotu $d(\{v_1 \ldots v_{i-1},v)$, oznaème ji $z_v$. V ka¾dém kroku vybereme vrchol $v$ s maximální hodnotou $z_v$ a prohlásíme ho za $v_i$ a pøepoèítáme~$z_v$.

Zde se hodí datová struktura, která doká¾e rychle hledat maxima a zvy¹ovat hodnoty prvkù,
napøíklad Fibonacciho halda. Ta zvládne \<DeleteMax> v~èase $\O(\log n)$ a \<Increase> v~$\O(1)$
amortizovanì. Celkem pak ná¹ algoritmus bude mít slo¾itost $\O(n(m+n\log n))$ pro obecné kapacity.

Pokud jsou kapacity malá celá èísla, mù¾eme vyu¾ít pøíhrádkové struktury. Budeme
si udr¾ovat obousmìrný seznam zatím pou¾itých hodnot $z_v$, ka¾dý prvek takového
seznamu bude obsahovat v¹echny vrcholy se spoleènou hodnotou $z_v$. Kdy¾ budeme
mít seznam seøazený, vybrání minimálního prvku znamená pouze podívat se na
první prvek seznamu a z nìj odebrat jeden vrchol, pøípadnì celý prvek ze seznamu
odstranit. Operace \<Increase> poté bude reprezentovat pouze pøesunutí vrcholu o
malý poèet pøihrádek, pøípadnì zalo¾ení nové pøihrádky na správném místì.
\<DeleteMax> i \<Increase> pak budou mít slo¾itost $\O(1)$ a celý algoritmus $\O(mn)$.

\bye
